Towards (1+ε)-Approximate Flow Sparsifiers
“压缩”大型网络$G$的有用方法是用{ \em流稀疏化器}来表示它，即，小型网络$H$支持与$G$相同的流，直到称为稀疏器质量的因子$q \geq 1$。具体地，我们假设网络$G$包含与网络$H$共享的一组$k$终端$T$，即，$T\subseteq V(G)\cap V(H)$，并且我们希望$H$保留可以在终端$T$之间路由的所有多商品流。挑战在于构建小的$H$。近年来，这些问题受到了很多关注，导致了稀疏器的质量$q$和其大小$|V(H)|$之间的一些已知权衡。然而，它仍然是一个悬而未决的问题，是否每个$G$承认流稀疏$H$与质量$q=1+ε$，甚至$q=O(1)$，和大小$|V(H)|\leq f(k,ε)$（特别是，独立于$|V(G)|$和边缘容量）。在这个方向上的第一步，我们提出了几种情况下的新的建设：* 我们的主要结果是，准二分网络$G$，可以构建一个$(1+ε)$流稀疏的大小$\poly(k/\eps)$。相比之下，这类网络的精确（$q=1$）稀疏器已知需要大小为$2^{Ω(k)}$。* 对于树宽有界的$w$网络$G$，我们构造了一个流稀疏器，其质量为$q=O(\log w / \log\log w)$，大小为$O(w\cdot \poly(k))$。* 对于一般的网络$G$，我们构造了一个{ \em sketch} $sk(G)$，它存储了所有可行的多商品流直到因子$…
2013-10-11 cs.DS math.CO
Towards a Unified Theory of Sparsification for Matching Problems
在本文中，我们提出了一个建设的“匹配稀疏”，也就是说，一个稀疏的子图的给定的图，保持大的匹配近似，是强大的修改的图形。我们使用这个匹配稀疏器来获得最大匹配问题的几个新的算法结果：* 一个几乎$(3/2)$ -近似的单向通信协议的最大匹配问题，显着简化$(3/2)$ -近似协议Goel，Kapralov和Khanna（SODA 2012），并将其从二分图扩展到一般图。* 一种用于随机匹配问题的近似$(3/2)$ -近似算法，改进并显著简化了Assadi、Khanna和Li（EC 2017）之前的$1.999$ -近似算法。* 容错匹配问题的一个几乎$(3/2)$ -近似算法，据我们所知，这是该问题的第一个非平凡算法。我们的匹配稀疏器是通过证明Bernstein和Stein（ICALP 2015; SODA 2016）的边度约束子图（EDCS）的新性质获得的-在动态图中保持匹配的背景下设计-将EDCS确定为匹配稀疏器的绝佳选择。这导致了上述结果以统一的方式令人惊讶的简单和非技术性的证明。在此过程中，我们还提供了一个简单得多的证明，证明EDCS保证包含一个大的匹配，这可能是独立的利益。
2018-11-07 cs.DS
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
Minor Sparsifiers and the Distributed Laplacian Paradigm
我们研究了基于minor的顶点稀疏器的分布式算法，并给出了在CONGEST模型中求解图拉普拉斯矩阵中的线性系统的高精度算法。我们的Laplacian求解器的轮复杂度为$O(n^{o(1)}(\sqrt{n}+D))$，因此几乎与$\widetildeΩ(\sqrt{n}+D)$的下界匹配，其中$n$是网络中的节点数，$D$是其直径。我们表明，我们的分布式求解器产生新的次线性轮算法的几个基石问题，组合优化。这是通过在分布式图算法的背景下利用内点方法（IPM）和拉普拉斯范式的强大算法框架来实现的，这需要通过一系列拉普拉斯系统数值求解图上的优化问题。受益于我们的分布式算法范式的问题，包括精确的最小成本流，负权重最短路径，最大流，和稀疏有向图的二分匹配。对于最大流问题，这是第一个适用于有向图的精确分布式算法，而以前的工作[Ghaffari et al. SICOMP'18]考虑了近似设置，仅适用于无向图。对于最小费用流和负权最短路径问题，我们的结果构成了第一个精确的分布式算法运行在一个次线性轮数。考虑到IPM和拉普拉斯范式之间的混合已被证明是有用的，在集中式设置中处理众多的优化问题，我们相信，我们的分布式求解器将找到未来的应用。
2022-02-05 cs.DC cs.DS
Bipartite Matching in Massive Graphs: A Tight Analysis of EDCS
本文针对大规模二分匹配重新分析 EDCS 稀疏化器，给出对任意参数 $β$ 均紧致的精确近似比，并发现 $β=6$ 时达到 $.677$，优于此前公认的 $2/3$ 极限。
2024-06-11 cs.DS
Almost-Tight Bounds on Preserving Cuts in Classes of Submodular Hypergraphs
本文通过在不同超图稀疏化变体之间建立归约，并利用简单超图类模拟复杂超图类的割，给出了保持割的空间复杂度的几乎紧上界和下界。
2024-02-20 cs.DS
Expander Decomposition in Dynamic Streams
本文首次在动态流模型中研究了图的 expander 分解，通过引入 power_cut 稀疏器这一新型算法工具，使用 $\tilde{O}(n/εδ)$ 空间实现了递归最稀疏割过程，并证明了其空间复杂度的渐近紧致性。
2023-08-03 cs.DS
Nearly Optimal Submodular Sparsification, with and without Cardinality Constraints
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）
研究在基数约束（子集大小不超过k）下，子模函数和的稀疏化能否降低稀疏子大小，提出大小为O(n k^2 log n)的稀疏子构造，并证明某些自然族无法达到(k log n)^{O(1)}大小。
2026-11-04 cs.DS
Tighter bounds for online bipartite matching
我们研究了由Karp，Vazirani和Vazirani [1990]提出的在线二分匹配问题。对于匹配大小为$n$的二分图，已知Ranking随机算法至少匹配期望中的$(1 - \frac{1}{e})n$边。还已知的是，当从我们称为$D_n$的特定分布中选择输入时，没有在线算法匹配期望中的多于$(1 - \frac{1}{e})n + O(1)$的边缘。这个上限也适用于分数匹配。我们回顾了这最后一个陈述的已知证明。顺便说一下，我们观察到$O(1)$的加法项（在分数匹配的上限中）是$\frac{1}{2} - \frac{1}{2e} + O(\frac{1}{n})$，并且这项是紧的：称为Balance的在线算法确实产生了这种大小的分数匹配。我们提供了一个新的证明，准确地描述了预期的基数的（积分）匹配排名时，输入图来自$D_n$的支持。这个期望结果是$(1 - \frac{1}{e})n + 1 - \frac{2}{e} + O(\frac{1}{n!})$，并作为任何在线（积分）匹配算法的性能比的上限。
2018-12-31 cs.DS
Minimizing the Union: Tight Approximations for Small Set Bipartite Vertex Expansion
在最小k并集问题（MkU）中，我们给出了一个有n个集合的集合系统，并要求选择k个集合以最小化它们的并集的大小。尽管是一个非常自然的问题，它已经收到了令人惊讶的关注少：唯一已知的近似算法是一个$O(\sqrt{n})$ -近似由于[Chlamtácrit等人APPROX '16]。这个问题也可以被看作是小集顶点扩展问题（SSVE）的二分版本，我们称之为小集二分顶点扩展问题（SSBVE）。SSVE，其中我们被要求找到一组k个节点，以最大限度地减少其顶点扩展，还没有像它的基于边的对应物小集合扩展（SSE）那样得到很好的研究，但最近受到了极大的关注，例如[Louis-Makarychev APPROX '15]。然而，由于连接到唯一的游戏和硬度近似的重点主要是对集的大小$k = Ω(n)$，而我们专注于一般的情况下，$k$，其中没有多项式近似是已知的。对于任意常数$\varepsilon > 0$，我们给出了SSBVE的$n^{1/4+\varepsilon}$近似，从而改进了这个问题的上界。我们的算法遵循Denmark $k$ -Subgraph（DkS）和相关问题的脚步，通过为随机模型设计一个紧算法，然后将其扩展到对任意实例提供相同的保证。此外，我们表明，这是严格的合理的复杂性假设下：它不能近似比$O(n^{1/4})$假设扩展的所谓的“密集与随机”猜想DkS超图。我们发现，同一界也匹…
2016-11-23 cs.DS
Tight Competitive Ratios of Classic Matching Algorithms in the Fully Online Model
黄等人~ (STOC 2018）引入了完全在线匹配问题，这是经典在线二分匹配问题的推广，因为它允许所有顶点在线到达并考虑一般图。他们表明，Karp等人的排名算法。(STOC 1990）严格优于$0.5$ -竞争的，并且该问题严格比在线二分匹配问题困难，因为没有算法可以是$(1-1/e)$ -竞争的。针对完全在线匹配问题，给出了经典算法的两个紧竞争比。对于分数版本的问题，我们表明，一个自然的实例化的注水算法是$2-\sqrt{2} \approx 0.585$ -竞争，以及匹配的硬度结果。有趣的是，我们的硬度结果适用于任意算法的边缘到达模型的在线匹配问题，提高了最先进的$\frac{1}{1+\ln 2} \approx 0.5906$上限。对于积分算法，我们在二分图上的排名算法中显示了$\approx 0.567$的紧密竞争比，与Huang等人的硬度结果相匹配。（STOC 2018）。
2018-10-18 cs.DS
Tight Bounds for Budgeted Maximum Weight Independent Set in Bipartite and Perfect Graphs
本文研究二分图与完美图上的 BMWIS，基于 SSEH 证明 $(2-\varepsilon)$ 下界，并用拉格朗日松弛给出紧的 2-近似，同时证明 CMWIS 不存在 EPTAS。
2023-07-17 cs.DS
Red Domination in Perfect Elimination Bipartite Graphs
二部图$G=(X,Y,E)$的$k$红控制问题是寻找一个基数不超过$k$的子集$D \subseteq X$控制$Y$的顶点.这个问题的判定版本对于一般的二部图是NP-完全的，但是对于弦二部图是多项式时间可解的。我们加强了结果表明，它是NP-完全完美消除二部图。我们提出了一个紧的上限，这样的集合的数量在二分图，并表明，我们可以计算出凸二分图的线性时间的数量。提出了一种线性空间线性延迟枚举算法，该算法只需要线性预处理时间。
2022-03-20 cs.DS
Streaming Lower Bounds for Approximating MAX-CUT
本文研究了流计算模型中图的最大割值的估计问题。在一个极端情况下，对于该问题存在仅使用$O(\log n)$空间的平凡$2$ -近似，即，计算边缘的数量并输出该值的一半作为最大切割值的估计。在另一个极端，如果允许$\tilde{O}(n)$空间，则可以通过存储基本上保留最大割的$\tilde{O}(n)$大小的稀疏化器来获得最大割值的近最优解。一个有趣的问题是，多对数空间是否足以获得最大截值的非平凡近似（即，击败因子$2$）。最近的研究表明，估计图中最大匹配的大小的问题允许在多对数空间中的非平凡近似。我们的主要结果是，任何流算法，打破$2$近似障碍需要$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间，即使输入图的边缘是随机顺序。我们的结果是通过展示分布图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离二部，并建立$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间是必要的，以区分这两种情况。因此，作为一个直接的推论，我们得到，$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间也是必要的，以测试，如果一个图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离是二部。我们还表明，对于任何$ε> 0$，任何流算法，获得一个$(1 + ε)$ -近似的最大切割值时，边缘到达敌对的顺序需要$n^{1 - O(ε)}$空间，这意味着$Ω(n)$空间是必要的，以获得一个任意好的近似的最大切割值。
2014-09-07 cs.DS
A Logarithmic Integrality Gap Bound for Directed Steiner Tree in Quasi-bipartite Graphs
我们证明了在具有$k$终端的准二部图中，基于自然割的LP松弛的有向Steiner树问题的完整性间隙是$O(\log k)$。这样的例子可以被看作是广义的集合覆盖，所以完整性缺口分析是紧到一个常数因子。我们的方法的一个新的方面是，我们使用的原始-对偶方法，很少使用的技术，在有向图的网络设计问题的近似算法的设计。
2016-04-27 cs.DS
Online Bipartite Matching with Advice: Tight Robustness-Consistency Tradeoffs for the Two-Stage Model
针对两阶段二分匹配问题，提出基于ALPS框架的插值方法，刻画一致性与鲁棒性的紧致权衡，并在合成与真实数据上达到最优性能。
2024-11-04 cs.DS math.OC
A Tight Bound on Online Vertex Cover under Edge Arrivals
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
该研究针对边到达模型下的在线顶点覆盖问题，利用Assadi等人的蓝图框架直接归约，证明任何随机化算法的最优竞争比为2，确定了该问题的紧下界。
2026-08-06 cs.DS
Efficient Exact Algorithms for Maximum Balanced Biclique Search in Bipartite Graphs
最大平衡二分图（\textsf{MBB}）问题是在给定的二分图中寻找一个连通且大小相等的不交集，并使其具有最大的基数，是挖掘二分图的一个重要问题，有着广泛的应用。尽管NP-硬度的\textsf{MBB}问题，在本文中，我们表明，一个确切的\textsf{MBB}可以发现非常快的二分图的实际应用。我们提出了两个精确算法，分别致力于密集和稀疏二部图。针对稠密二部图，提出了一种$\mathcal{O}^{*}( 1.3803^{n})$算法.该算法实际上可以找到一个\textsf{MBB}在近多项式时间的密集二部图，是常见的应用，如VLSI设计。这是因为，使用我们提出的新技术，搜索可以快速收敛到足够密集的二分图，我们证明是多项式可解的。针对生物数据分析中的大型稀疏二部图，提出了一种$\mathcal{O}^{*}( 1.3803^{\ddotδ})$算法，其中对于具有数百万个顶点的大型稀疏二部图，$\ddotδ$仅为几百个.不可或缺的优化，导致这种时间复杂度是：我们将一个大的稀疏二分图到一个有限数量的密集的子图的大小高达$\ddotδ$，然后应用我们提出的算法对每个子图的密集二分图。为了进一步提高算法的速度，提出了更严格的上界、更快速的算法和有效的约简，使得对于具有数百万个顶点的二部图，可以在几秒钟内发现一个\textsf{MBB}.大量的实验进行合成和真正的大二部图，以证明我们所提出的…
2020-07-17 cs.DS
Laminar Families and Metric Embeddings: Non-bipartite Maximum Matching Problem in the Semi-Streaming Model
本文研究了半流模型下的非二部最大匹配问题。最近，半流模型中的最大匹配问题受到了极大的关注。虽然对于二分图已经稍微很好地解决了该问题，但是用于非二分图的已知算法使用$2^{\frac1ε}$遍或$n^{\frac1ε}$时间来计算$(1-ε)$近似。在本文中，我们提供了第一个FPTAS（多项式在$n,\frac1ε$）的问题，这是有效的运行时间和通过的数量。我们还表明，我们可以估计的大小匹配$O(\frac1ε)$通过使用轻微的超线性空间。为了实现这两个结果，我们使用的结构特性的匹配多面体，如层紧集和总的对偶积分。该算法是迭代的，并基于分数包装和覆盖框架。然而，本文的公式需要指数地多个变量或约束。我们使用分层，度量嵌入和图稀疏化，以减少所需的算法之间和整个迭代的空间。这是第一次使用这些想法在半流模型来解决一个组合优化问题。
2011-04-20 cs.DS
Online Multi-Coloring with Advice
本文研究了带建议的在线图的多重着色问题。在蜂窝网络中，经常使用多色来建模频率分配。我们给出了几个几乎紧的上限和下限的最标准的蜂窝网络，道路和六边形图的拓扑结构。对于路，负结果平凡地延续到二部图，并且我们的正结果也对二部图有效。所提供的建议代表了可能获得的信息，例如研究了早期类似时期的数据。
2014-09-05 cs.DS
A Tight Approximation for Co-flow Scheduling for Minimizing Total Weighted Completion Time
Co-flows对一种现代调度设置进行建模，这种设置通常存在于分布式和云计算的各种应用程序中。在同流调度中，存在$m$输入端口和$m$输出端口。每个同流$j \in J$可以由输入和输出端口之间的二分图表示，其中具有需求$d_{i,o}^j$的每个边缘$(i,o)$意味着分组的$d_{i,o}^j$单元必须从端口$i$传递到端口$o$。为了完成协同流$j$，我们必须满足它的所有需求。由于容量限制，一个端口在单位时间内只能发送（或接收）一个单位的数据。因此，在每个时间$t$的可行调度必须是二分匹配。我们考虑同流调度，并寻求优化的总加权完成时间的流行目标。我们的主要结果是一个$(2+ε)$ -近似这个问题，这是本质上紧，因为这个问题是很难近似的一个因素内的$(2 - ε)$。这改进了以前最著名的4-近似。此外，我们的结果举行，即使作业的释放时间没有任何损失的近似保证。我们的方法的关键思想是构造一个连续时间调度使用配置线性规划和解释每个作业的完成时间作为作业的最后期限。连续时间调度作为一个证人时间表满足发现的最后期限，这使我们能够减少问题的最后期限约束的调度问题。* 这个结果是有缺陷的;详见第一页。
2018-12-01 cs.DS
Dynamic Sketching for Graph Optimization Problems with Applications to Cut-Preserving Sketches
在本文中，我们介绍了一个新的模型称为\emph{dynamic sketching}的次线性算法。在该模型中，底层数据被划分为大的\emph{static}部分和小的\emph{dynamic}部分，目标是计算静态部分的汇总（即，\emph{sketch}），使得给定动态部分的任何\emph{update}，可以将其与草图组合以计算给定函数。如果草图的大小由动态数据长度的多项式函数限制，（基本上）与静态零件的大小无关，则我们称草图为\emph{compact}。该模型中的图优化问题$P$定义如下。输入是一个图形$G(V,E)$和一组$k$终端$T \subseteq V$;终端之间的边是动态部分，$G$中的其他边是静态部分。目标是将图$G$总结为紧凑的草图（尺寸为polyPDMATHABMX），使得给定端子之间的任何边的集合$Q$，可以仅使用草图来回答通过将$Q$中的所有边插入$G$而获得的图的问题$P$。我们研究了计算最大匹配的基本问题，并证明了紧边界上的草图大小。特别是，我们表明，存在一个（紧凑）的动态草图的大小$O(k^2)$的匹配问题，任何这样的草图的大小$Ω(k^2)$。我们的草图匹配可以进一步用于推导出紧凑的动态草图，其他基本的图形问题，涉及削减和连通性。有趣的是，我们的草图匹配也可以用来给一个基本的建设\emph{cut-preserving vertex spars…
2015-10-12 cs.DS
Essentially Tight Kernels for (Weakly) Closed Graphs
研究了当输入图满足三元闭包性质时经典硬图问题的核化问题。更准确地说，我们考虑最近引入的参数闭包数$c$和弱闭包数$γ$ [Fox等人，SICOMP 2020]，以及标准参数解决方案大小$k$。对于容量限制顶点覆盖，连通顶点覆盖，诱导匹配，我们得到的第一个核的大小$k^{\mathcal{O}(γ)}$和$(γk)^{\mathcal{O}(γ)}$，分别，从而扩展以前的核退化图的结果。核本质上是紧的，因为这些问题不太可能通过关于退化图中的核化复杂性的先前结果来承认大小为$k^{o(γ)}$的核[Cygan等人，ACM TALG 2017]。此外，我们还给出了具有常数闭包数~ $c$的图的独立集的核化的下界以及弱闭分裂图和弱闭二部图的支配集的核的下界.
2021-03-05 cs.DS
A New Impossibility Result for Online Bipartite Matching Problems
本文针对随机用户到达的在线二分匹配问题，提出了一个新的不可能性结果，通过简单构造与解析证明，将竞争比上界从0.823改进至0.82062，并证明该构造在一类自然实例中具有极值性。
2025-04-28 cs.DS
Random-order Contention Resolution via Continuous Induction: Tightness for Bipartite Matching under Vertex Arrivals
该研究提出基于连续时间精确解的随机序竞争求解方案新框架，在二分图匹配中取得紧的0.567可选性，还改进了一般图的相关结果并推导出对应先知秘书匹配算法的竞争比。
2023-12-12 cs.DM cs.DS math.CO
An Alon-Boppana Type Bound for Weighted Graphs and Lowerbounds for Spectral Sparsification
我们证明了下面的Alon-Boppana型定理，（不一定是正则的）加权图：如果$G$是平均组合度$d$的$n$ -结点加权无向图（即，$G$具有$dn/2$边缘）和周长$g> 2d^{1/8}+1$，并且如果$λ_1 \leq λ_2 \leq \cdots λ_n$是（非标准化）$G$的拉普拉斯算子，然后是\[ \frac {λ_n}{λ_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O \left( \frac 1{d^{\frac 58} }\right) \]（Alon-Boppana定理意味着如果$G$是无权的且$d$是正则的，那么如果直径至少为$d^{1.5}$，则为$\frac {λ_n}{λ_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O\left( \frac 1 d \right)$。）我们的结果意味着一个下界的谱稀疏。一个图$H$是一个图$G$的谱$ε$ -稀疏子，如果\[ L(G) \preceq L(H) \preceq (1+ε) L(G) \]，其中$L(G)$是$G$的拉普拉斯矩阵，$L(H)$是$H$的拉普拉斯矩阵. Batson，Spielman和Srivastava证明了对于每个$G$都有一个$ε$ -稀疏因子$H$，其平均度为$d$，其中$ε\approx \frac {4\sqrt 2}{\sqrt d}$…
2017-07-20 cs.DM cs.DS math.CO
Covering multigraphs with bipartite graphs
本文将 Hansel 关于二部图覆盖完全图边数下界的引理推广到多重图与 graphon 覆盖，并给出匹配的渐近上界。
2023-04-23 cs.DS math.CO
A tight lower bound for malicious online bipartite matching with limited recourse budget
University of Oxford（牛津大学）；Jagiellonian University, Kraków（雅盖隆大学）；University of Warsaw（华沙大学）；Max Planck Institute for Informatics, SIC, Saarbrücken（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
本文针对带回溯的在线二分匹配问题，证明恶意匹配设定的Ω(n log² n)下界，否定了其存在O(n log n)上界的猜想，确定了该问题恶意变体的渐近回溯复杂度，并补充了扩张器图的O(n log n)上界。
2026-08-25 cs.DM cs.DS
Online Matching in Convex Bipartite Graphs
本文研究凸二分图上的在线匹配问题，针对均匀长度模型提出Flip随机算法，证明其竞争比为2/3且为紧值，同时给出该模型下随机算法竞争比的上界3/4。
2026-09-07 cs.DS
Bounded Max-Colorings of Graphs
在点/边赋权图的有界极大染色中，每个色类的基数至多为$b$，且其权等于该类中最重的点/边的权.有界最大点/边着色问题要求这样的着色最小化所有颜色类的权重之和。本文给出了一般图、二部图和树上这类问题的复杂性结果和近似算法。我们首先表明，这两个问题是多项式的树，当颜色的数量是固定的，和$H_b$近似的一般图，当绑定$b$是固定的。对于有界最大顶点着色问题，我们给出了二部图的一个17/11-近似算法，当$b$固定时，给出了树和二部图的一个PTAS.对于单位权，我们通过一个简单的4/3近似算法证明了二部图的4/3下界是紧的。对于有界最大边着色问题，我们证明了$3-2/\sqrt{2b}$对一般图的逼近因子，$\min\{e, 3-2/\sqrt{b}\}$对二分图的逼近因子，以及2对树的逼近因子.此外，我们表明，这个问题是NP-完全的，即使是树。这是第一个复杂性的结果最大着色问题的树木。
2009-04-10 cs.DS
Better Bounds for Incremental Frequency Allocation in Bipartite Graphs
我们研究无线网络中的频率分配。无线网络由无向图建模，顶点对应于小区。在每个顶点中，我们有一定数量的请求，并且每个请求必须被分配不同的频率。边表示单元之间的冲突，这意味着相邻顶点的频率也必须不同。目标是最小化使用频率的总数。这个问题的离线版本被认为是NP难的。在增量版本中，对频率的请求随着时间的推移而到达，并且算法需要在请求到达时立即为其分配频率。竞争增量算法已经研究了几类图。对于路径，最佳（渐近）比已知为4/3，而对于六边形单元图，它在1.5和1.9126之间。对于k-可着色图，可以达到（k+1）/2的比例。本文证明了二部图的渐近竞争比的近似紧界，它在1.428和1.433之间。这改进了之前的4/3下限和1.5上限。我们的证明是基于减少增量问题的一个纯粹的组合（等价）的问题，构建具有一定的交叉属性的集合家庭。
2011-02-16 cs.DS
Revisiting the Auction Algorithm for Weighted Bipartite Perfect Matchings
我们研究经典的二分图的加权完美匹配问题，有时也称为分配问题，即，给定具有权重$w : E \rightarrow \mathcal{R}$的加权二分图$G = (U\cup V,E)$，我们感兴趣的是找到具有最小/最大权重的$G$中的最大匹配。在这项工作中，我们提出了一个新的，可以说是更简单的分析最早的技术之一，解决分配问题，即拍卖算法。使用我们的分析技术，我们提出了更严格的和改进的运行时复杂性的界限上找到一个近似的最小重量完美匹配$k$ -左定期稀疏二分图。
2021-01-18 cs.DM cs.DS math.CO
Tight Bounds for Sparsifying Random CSPs
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯计算理论研究所）；Harvard University（哈佛大学）
研究随机CSPs压缩的紧界，揭示了r-部模型和均匀模型中压缩的阈值现象及非单调性。
2026-10-08 cs.DM cs.DS math.CO
Tight Bounds for Online Coloring of Basic Graph Classes
我们解决了在线图着色中一些长期存在的问题。更具体地说，我们开发的基本图形类的在线算法的性能上紧的下限。一个重要的贡献是，我们的界限也举行随机在线算法，其中几乎没有任何结果是已知的。从技术上讲，我们构造弦图的下界。的建设，然后让我们得到以下进一步的图形类的随机在线算法的性能结果：树，平面，二分，归纳，有界树宽和磁盘图。结果表明，确定性算法和随机在线算法的最佳竞争比均为$Θ(\log n)$，其中$n$为图的顶点数.此外，我们证明，这种保证不能得到改善，如果一个在线算法有一个前瞻性的大小$O(n/\log n)$或访问一个重排序缓冲区的大小$n^{1-ε}$，任何$0<ε\leq 1$。我们的研究结果的一个后果是，除了二分图，自然$\textit{First Fit}$着色算法实现了最佳性能，确定性和随机在线算法之间的常数因子。
2017-07-03 cs.DM cs.DS
Nearly Optimal Communication and Query Complexity of Bipartite Matching
我们解决的复杂性的最大基数二分匹配问题（BMM）的多对数因子在五个模型的计算：双方通信，与查询，或查询，异或查询，和量子边缘查询模型。我们的结果回答了至少三十年前以来反复提出的开放问题[Hajnal，Maass和Turan STOC'88; Ivanyos，Klauck，Lee，Santha和de Wolf FSTTCS'12; Dobzinski，Nisan和Oren STOC'14; Nisan SODA'21]并收紧了Beniamini和Nisan [STOC'21]和Zhang [ICALP'04]所示的下限。我们还解决了BMM的推广的通信复杂性，例如最大成本二分$b$匹配和转运;以及唯一二分完美匹配的查询复杂性（回答Beniamini [2022]的一个公开问题）。我们的算法和下界遵循简单的应用程序的已知技术，如切割平面的方法和设置不相交。
2022-08-04 cs.CC cs.DS
Round and Bipartize for Vertex Cover Approximation
本文研究顶点覆盖问题，提出一种利用诱导二部子图知识的取整算法，通过分析收缩图结构证明了改进的紧近似比，并获得了3可着色图积分间隙和分数色数的紧界。
2023-07-27 cs.DS math.OC
Maximum Bipartite Matching Size And Application to Cuckoo Hashing
Cuckoo hashing with a stash是一种具有高内存利用率的健壮的多选择散列方案，可用于许多网络设备应用程序。不幸的是，对于超过0.5的内存负载，对其性能知之甚少。在本文中，我们分析其平均性能在这样的负载。我们解决这个问题，通过重铸的问题作为一个给定的随机二分图的预期最大匹配大小的分析。我们提供任何有限系统的精确结果，并推导出渐近结果的内存大小的增加。我们进一步考虑这个问题的其他变体，并最终评估我们的模型在互联网骨干网上的表现。更一般地说，我们的结果给出了一个严格的下限的大小所需的任何多项选择哈希方案的隐藏。
2011-08-09 cs.DS cs.NI
Dynamic 3-Coloring of Bipartite Graphs with Optimal Locality
CISPA Helmholtz Center for Information Security（CISPA 亥姆霍兹信息安全中心）；Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；Aalto University（阿尔托大学）
该研究提出动态图算法维护二分图3着色，其局部性上界与在线模型下界匹配，缩小了动态与在线局部性的差距。
2026-10-14 cs.DC cs.DS
Tight Approximation Ratio for Minimum Maximal Matching
我们研究了一个组合问题，称为最小最大匹配，在那里我们被要求在一个一般的图中找到最小的，不能扩展。我们表明，这个问题是很难近似的常数小于2，假设唯一的游戏猜想。作为推论，我们表明，最小最大匹配在二部图是很难近似常数小于$\frac{4}{3}$，与相同的假设。利用唯一博弈猜想的一个更强的变体-即小集合扩展假设-我们能够将硬度结果提高到$\frac{3}{2}$的因子。
2018-11-20 cs.CC cs.DS
Smaller parameters for vertex cover kernelization
我们重新讨论顶点覆盖的多项式核与结构参数的关系。我们的出发点是Fomin和Strømme最近的一篇论文[WG 2016]，他们给出了一个具有$\mathcal{O}(|X|^{12})$顶点的核，当$X$是一个顶点集，使得$G-X$的每个连通分量最多包含一个循环，即，$X$是假森林的调节剂。我们通过使用调制器将这一结果强有力地推广到$d$ -准森林，即，图，其中每个连通分量具有大小至多为$d$的反馈顶点集，并获得具有$\mathcal{O}(|X|^{3d+9})$顶点的核。我们的结果依赖于证明$d$ -拟森林中的最小阻塞集的大小至多为$d+2$。这个界是紧的，并且在内核的位大小上存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$的相关下界。事实上，我们也得到了更一般的图类的最小阻塞集的界：对于$d$ -拟二部图，其中每个连通分支可以通过删除最多$d$顶点而成为二部图，我们得到了$d+2$顶点的相同紧界。对于图的连通组件每个有一个顶点覆盖的成本最多$d$超过最好的分数顶点覆盖，我们称之为$d$ -拟积分，我们表明，最小阻塞集的大小最多$2d+2$，这也是紧的。与现有的随机多项式核化相结合，这导致调制器的随机多项式核化为$d$ -准二部图和$d$ -准整数图。对于这样的内核的位大小，存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$和$\mathcal{O}(|X|^{2…
2017-11-13 cs.CC cs.DS
On Geometric Bipartite Graphs with Asymptotically Smallest Zarankiewicz Numbers
University of Sheffield（谢菲尔德大学）；Aalto University（阿尔托大学）
本文研究低Ferrers维二部图的Zarankiewicz问题，揭示了维数三与四的分离，并为弦二部图和网格交点图推导出紧上界，推进了极值组合学与几何图论的理解。
2025-10-23 cs.DS math.CO
A Change-Sensitive Algorithm for Maintaining Maximal Bicliques in a Dynamic Bipartite Graph
我们考虑的最大bicliques从动态二分图，随着时间的推移，由于添加或删除的边缘变化的维护。当一个图的边集发生变化时，我们感兴趣的是知道最大二分点集的变化（“变化”），而不是知道不受影响的最大二分点集。在一个有效的算法的挑战是枚举的变化，而不显式枚举的所有最大biclique的集合。在这项工作中，我们提出了（1）近紧边界的变化幅度在一个图的最大biclies的集合，由于边集的变化（2）的“变化敏感”算法枚举的变化在一组最大biclies，其时间复杂度是成比例的变化幅度，实际上发生在一组最大biclies在图中。据我们所知，这些是第一个算法枚举最大bicliques在动态图中，这样的可证明的性能保证。我们的算法很容易实现，实验结果表明，它们的性能超过目前的基线实现的数量级。
2017-07-26 cs.DB cs.DS
No Sublogarithmic-time Approximation Scheme for Bipartite Vertex Cover
柯尼希定理指出，在二分图上，最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小。从先前的工作中已知，对于每个ε> 0，存在一个常数时间分布式算法，该算法在有界度的2色图上找到最大匹配的（1+ε）-近似。在这项工作中，我们显示-有点令人惊讶-，没有subjumic-time近似计划存在的对偶问题：有一个常数δ> 0，使没有随机分布式算法运行时间o（\log n）可以找到一个（1+δ）-近似的最小顶点覆盖的2色图的最大程度3。事实上，Linial-Saks（1993）分解的一个简单应用证明了这个下界是紧的。我们的下界构造是简单的，在某种程度上，独立于以前的技术。一路上，我们证明了一定的削减最小化问题，这可能是独立的利益，是很难近似局部膨胀图。
2012-05-21 cs.CC cs.DC cs.DS
Perfect Matchings in Õ(n^{1.5}) Time in Regular Bipartite Graphs
我们考虑了在$d$ -正则二部图中寻找完美匹配的问题，该图具有$2n$顶点和$m = nd$边。一般二部图的最著名算法（由Hopcroft和Karp提出）需要$O(m \sqrt{n})$时间，而在规则二部图中，完美匹配已知可以在$O(m)$时间内计算。最近，$O(m)$界限被改进为$O(\min\{m, \frac{n^{2.5}\ln n}{d}\})$预期时间，这是一个受$\tilde{O}(n^{1.75})$界限的表达式。在本文中，我们进一步改进了这一结果，给出了一个$O(\min\{m, \frac{n^2\ln^3 n}{d}\})$期望时间算法，在正则二部图中找到一个完美的匹配，作为一个功能的$n$单独，该算法需要的期望时间$O((n\ln n)^{1.5})$。为了获得这个结果，我们设计和分析了一个两阶段的抽样方案，减少了在一个经常的二分图中找到一个完美匹配的问题，以同样的问题上的二分图与$O(n\ln n)$边缘，具有高概率的完美匹配。然后使用Hopcroft-Karp算法恢复匹配。虽然Hopcroft-Karp的标准分析为我们提供了$\tilde{O}(n^{1.5})$运行时间，但我们对我们的特殊情况进行了更严格的分析，导致前面提到的更强的$\tilde{O}(\min\{m, \frac{n^2}{d} \})$时间。我们证明这种抽样方案的正确性使用了一个…
2009-07-30 cs.DM cs.DS
Adjacency Spectral Radius Under Laplacian Sparsification: Deterministic and Probabilistic Bounds
研究拉普拉斯稀疏化对邻接谱半径的影响，提出确定性界和基于有效电阻采样的概率界，并利用特征向量离域化理论改进稀疏化误差。
2026-06-05 cs.DS math.CO
