Near-linear Size Hypergraph Cut Sparsifiers
图中的割是一个基本的研究对象，在图算法的研究中起着核心作用。图的稀疏化同时保持其割结构的问题已经得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。一个自然的问题是，如果这样的切割保持稀疏也存在超图。Kogan和Krauthgamer（2015）发起了对这个问题的研究，并证明了给定任何加权超图$H$，其中每个超边的基数由$r$限定，存在多项式时间算法来找到$H$的大小为$\tilde{O}(\frac{nr}{\varepsilon^2})$的$(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏子。由于$r$可以和$n$一样大，一般来说，这给出了一个大小为$\tilde{O}(n^2/\varepsilon^2)$的超图割稀疏因子，它是比图的Benczúr-Karger界大$n$的因子。超图的Benczúr-K…
2020-09-10 cs.DS
Exact Flow Sparsification Requires Unbounded Size
给定一个大的边容量网络$G$和一个称为终端的$k$顶点子集，（精确）流稀疏器是一个小网络$G'$，它（精确）保留所有可以在终端之间路由的多商品流。流稀疏器由Leighton和Moitra [STOC 2010]引入，并已在许多算法环境中进行了研究和使用。一个基本的问题，仍然开放了十多年，问是否每个$k$终端网络承认一个确切的流稀疏，其大小是有界的一些功能$f(k)$（无论大小的$G$或其能力）。我们解决这个问题的否定证明存在$6$终端网络$G$的流稀疏$G'$必须有任意大的大小。这种无界性可能令人惊讶，因为保留所有终端切割的类似稀疏化（称为精确切割稀疏化器或模仿网络）允许大小为$f_0(k)\leq 2^{2^k}$的稀疏化器[Hagerup，Katajainen，Nishimura和Ragde，JCSS 1998]。我们通过分析网络中所有可行需求的集合（称为需求多面体）来证明我们的结果。我们确定了这个多面体的不变量，基本上是某些方面的斜率，可以任意大，甚至$k=6$，并意味着一个明确的下限的网络的大小。我们进一步使用这种技术来回答Seymour [JCTB 2015]关于仅使用收缩并保留一个需求向量的不可行性的流稀疏化的公开问题。
2022-08-03 cs.DS
Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers
我们提出了一个通用的框架，设计有效的动态近似算法优化无向图。特别是，我们开发了一种技术，任何问题，承认一定的概念顶点稀疏，给出数据结构，保持近似的解决方案，在次线性更新和查询时间。我们说明了我们的范例的适用性，以下列问题。(1)一个完全动态的算法，近似所有对最大流量/最小切割到一个接近对数的因子在$\tilde{O}(n^{2/3})$摊销时间对一个不经意的对手，和$\tilde{O}(m^{3/4})$时间对自适应对手。(2)一种增量数据结构，它以$n^{o(1)}$时间为单位维护$O(1)$ -近似最短路径，以$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)})$分摊时间为单位维护全动态近似所有对最短路径和转运。(3)一种全动态算法，可将所有对的有效电阻近似为$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$中的$(1+ε)$因子，每个操作的分摊更新时间。结果（1）背后的关键工具是Madry [FOCS' 10]算法构造的动态维护，它将图划分为更简单的图结构（称为j树）的集合，并近似捕获图的割流和度量结构。（2）的$O(1)$近似保证是通过[Thorup-Zwick JACM '05]调整距离预言。结果（3）是通过以分层方式调用[Durfee et al. STOC `19]的基于随机游走的谱顶点稀疏器，同时仔细跟踪分层中的级别之间的追索权而获得的。
2020-05-05 cs.DS
Vertex Sparsification in Trees
给定一个带终端$K \subset V$的未加权树$T=(V,E)$，我们给出了如何得到一个$2$质量的顶点流，以及如何用$V_H = K$切割稀疏子$H$.我们证明了我们的结果本质上是紧的，通过提供一个$2-o(1)$下界的质量上的任何削减稀疏星。此外，我们还对拟二部图给出了改进的结果。首先，我们展示了如何获得一个$2$质量流稀疏与$V_H = K$这样的图。然后，我们考虑另一个极端，并构造精确的稀疏的大小$O(2^{k})$，当输入图是unweighted。
2016-12-09 cs.DS
Pursuing More Effective Graph Spectral Sparsifiers via Approximate Trace Reduction
谱图稀疏化的目的是寻找能保持原图谱特性的超稀疏子图。本文首先提出了一种新的基于迹约简的谱关键度度量，用于识别谱重要的非子图边。然后，提出了一种基于物理的截断策略和一种利用Cholesky因子的近似逆的方法来有效地计算近似迹约简。结合\cite{feng2019grass}中的迭代加密方案和\cite{fegrass}中排除谱相似的非子图边的策略，我们提出了一种高效的图稀疏化算法.所提出的方法已与各种图形进行了验证。实验结果表明，在相同的计算量下，该算法产生的稀疏化质量明显优于GRASS \cite{feng2019grass}，平均可减少40%以上的预处理迭代方程求解时间.在电网暂态分析和谱图分割等应用中，该算法在运行时间和内存开销上均优于直接稀疏算法3.3倍以上。
2022-06-13 cs.DS cs.NA math.NA
On Fully Dynamic Graph Sparsifiers
我们开始研究图稀疏化问题的动态算法，并获得完全动态的算法，允许边插入和边删除，每次更新后在图中需要多对数时间。我们的三个主要结果如下。首先，我们给出了一个完全动态的算法来维持一个$ (1 \pm ε) $ -频谱稀疏器与摊销的更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。其次，我们给出了一个完全动态的算法来维护一个$ (1 \pm ε) $ -cut稀疏化器与\emph{worst-case}更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。两个稀疏化器都具有大小$ n \cdot poly(\log{n}, ε^{-1})$。第三，我们应用我们的动态稀疏算法，以获得一个完全动态的算法保持$(1 + ε)$ -近似值的最大流在一个未加权的，无向的，二分图与摊销更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。
2016-10-07 cs.DS
Vertex Sparsifiers: New Results from Old Techniques
给定一个容量限制图$G = (V,E)$和一组终端$K \subseteq V$，我们应该如何产生一个图$H$只在终端$K$，使每个（多商品）在$G$中的终端之间的流可以支持在$H$低拥塞，反之亦然？(Such图$H$被称为$G$的流稀疏因子。）如果我们想让$H$成为一个“简单”的图呢？如果我们允许$H$是简单图的凸组合会怎样？改进Moitra [FOCS 2009]和Leighton和Moitra [STOC 2010]的结果，我们给出了有效的算法来构建：（a）流稀疏器$H$，其将拥塞维持到因子$O(\log k/\log \log k)$，其中$k = |K|$，（b）终端$K$上的树的凸组合，其将拥塞维持到因子$O(\log k)$，以及（c）对于平面图$G$，平面图的凸组合，其保持拥塞直到常数因子。这就要求我们给出一个新的算法来解决0-扩张问题，第一个算法是在$G$中每个终端的原像是连接的。此外，这一结果扩展到小闭图族。我们的改进的界限立即意味着改进的近似保证几个终端为基础的切割和排序问题。
2014-04-23 cs.DS
Faster Maxflow via Improved Dynamic Spectral Vertex Sparsifiers
我们做了几个进展广泛涉及到维护的电流在加权图进行动态电阻更新，包括：1。更有效的动态谱顶点稀疏化，通过使用Morris计数器快速估计加权图中的随机游走长度来实现[Morris 1978，Nelson-Yu 2020]。2.从动态电流中检测具有大能量的边缘到动态谱顶点稀疏器的直接还原。3.一种用于将用于估计在来自不经意对手的更新下的向量序列的算法从差分隐私经由高斯机制转变为容忍自适应对手的算法的过程。将这些部分与对先前的鲁棒内点框架的修改相结合，给出了一种算法，该算法在具有$m$边的图上计算$[1, U]$中的边成本和容量在时间$\widetilde{O}(m^{3/2-1/58} \log^2 U)$上的最小成本流。在先前的独立工作中，[Axiotis-Mackdry-Vladu FOCS 2021]还获得了容量限制图上稀疏最小成本流的改进算法。我们的算法隐含了$\widetilde{O}(m^{3/2-1/58} \log U)$时间最大流算法，对[Gao-Liu-Peng FOCS 2021]的$\widetilde{O}(m^{3/2-1/328}\log U)$时间最大流算法进行了改进。
2021-12-01 cs.DS math.OC
Almost-linear-time Weighted $\ell_p$-norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification
我们给出了几乎线性时间算法构造稀疏与$n\ poly(\log n)$边缘，大约保持加权$(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$流或电压目标图。对于流目标，这是第一个稀疏化结构的混合目标以外的单位$\ell_p$权重，是基于扩展分解。对于电压目标，我们给出了这些目标的第一个稀疏器构造，我们使用图空间和利用分数采样来构建。结合[Adil et al，SODA 2019]的迭代细化框架和一种新的基于乘法权重的混合目标流量或电压常数近似算法，我们展示了如何在$p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$时间内找到加权$\ell_p$范数最小化流量或电压的$(1+2^{-\text{poly}(\log n)})$近似，$p=ω(1),$对于稍微密集的图（$m \ge n^{4/3 + o(1)}$）几乎是线性的。
2021-02-13 cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
Linear-Sized Sparsifiers via Near-Linear Time Discrepancy Theory
本文提出一个基于差异理论的新框架，通过低精度正则化优化近似部分着色，实现近线性时间构建线性大小稀疏化器，并改进谱稀疏化、超稀疏化及Spencer定理的算法。
2023-05-15 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Approximate Undirected Maximum Flows in O(m polylog(n)) Time
我们给出了第一个O（mpolylog（n））时间算法，用于逼近无向图中的最大流和构造polylog（n）质量的割逼近层次树分解。我们的算法调用现有的算法，这两个问题的递归，同时逐步将大小减少。这些大小的减少反过来又通过超稀疏器获得，超稀疏器是对称对角占优（SDD）线性系统求解器中的关键工具。
2015-11-17 cs.DS
Towards Tight Bounds for Spectral Sparsification of Hypergraphs
图的切割和谱稀疏化有许多应用，包括例如加速切割算法和拉普拉斯求解器。这些强大的概念最近被扩展到超图，这是更丰富，并可能提供新的应用。然而，目前超图稀疏器的大小界限并不像图的相应界限那样严格。我们的第一个结果是一个多项式时间算法，给定一个超图的$n$顶点的最大超边大小$r$，输出一个$ε$ -频谱稀疏与$O^*(nr)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。该大小界限改进了先前的两个界限：$O^*(n^3)$ [Soma和Yoshida，SODA'19]和$O^*(nr^3)$ [Bansal，Svensson和Trevisan，FOCS'19]。我们的主要技术工具是一个新的方法证明浓度的非线性模拟的二次形式的拉普拉斯超图扩展。我们补充这一点上的任何压缩方案，$(1+ε)$ -近似在一个给定的超图中的所有削减的位复杂性的下限，因此也对每个$ε$ -削减/频谱稀疏的位复杂性。这些下界基于Ruzsa-Szemerédi图，并且特定的实例化即使对于固定常数$ε$也会产生比特复杂度的$Ω(nr)$下界。这是紧到多对数因子在$n$，由于最近超图削减稀疏的[陈，Khanna和Nagda，FOCS'20]。最后，对于有向超图，我们提出了一个算法，计算一个$ε$ -谱稀疏与$O^*(n^2r^3)$超弧，其中$r$是一个超弧的最大尺寸。对于小$r$，这比从[S…
2021-04-12 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Finding All Useless Arcs in Directed Planar Graphs
提出了一个简化有向平面图上流网络的线性时间算法：给定一个有向平面图上的$n$顶点，一个源顶点$s$和一个汇顶点$t$，我们的算法在线性时间内删除所有不参与任何简单$s,t$ -路的弧.该算法产生的输出图满足Weihe [FOCS'94 \& JCSS'97]的$O(n\log n)$ -时间算法计算有向平面图最大$s,t$ -流的前提条件。以前，由于没有预处理步骤，Weihe的算法不能在$O(n\log n)$时间内运行;所有前面的算法都在$\tildeΩ(n^2)$时间内运行[Misiolek-Chen，COCOON'05 \& IPL'06; Biedl，Brejov{á}和Vinar，MFCS'00]。因此，除了已知的$O(n\log n)$-时间算法[Borradaile-Klein，SODA'06 \& J.ACM'09; Erickson，SODA'10]之外，这提供了用于计算有向平面图中的最大$s,t$ -流的替代的$O(n\log n)$ -时间算法。我们的算法可以被看作是一个（真正的）线性时间$s,t$流稀疏有向平面图，它运行速度比任何最大$s,t$流算法（也可以被看作是一个稀疏）。所得到的图的简化结构可能是有用的，在未来的发展中的最大$s,t$流算法在有向和无向平面图。
2018-05-08 cs.DS
An Almost-Linear-Time Algorithm for Approximate Max Flow in Undirected Graphs, and its Multicommodity Generalizations
在本文中，我们介绍了一个新的框架，近似解决流问题的能力，无向图，并应用它提供渐近更快的算法的最大$s$ - $t$流和最大并发多商品流问题。对于具有$n$顶点和$m$边的图，它允许我们在时间$O(m^{1+o(1)}ε^{-2})$中找到一个$ε$ -近似最大$t$流，改进了以前的$\tilde{O}(mn^{1/3} poly(1/ε))$的最佳界.在多商品环境中应用相同的框架，解决了在$O(m^{1+o(1)}ε^{-2}k^2)$时间内使用$k$商品的最大并发多商品流问题，改进了现有的$\tilde{O}(m^{4/3} poly(k,ε^{-1})$的界。我们的算法利用几个新的技术工具，我们相信可能是独立的利益：-我们给出了一个非欧几里德广义梯度下降，并提供其性能的界限。利用这一点，我们展示了如何减少近似最大流和最大并发流的不经意路由的有效建设具有较低的竞争比。- 我们定义并提供了一种新型的流稀疏器的有效构造。除了提供一个削减稀疏的标准属性，我们的建设允许在稀疏图中的流路由（非常有效）在原始图低拥塞。- 我们给出了第一个几乎线性时间构造的$O(m^{o(1)})$竞争不经意路由方案。以前没有这样的算法比$\tilde{Ω}(mn)$在时间上运行得更好。我们还注意到，独立乔纳谢尔曼产生了一个几乎线性时间算法的最大流量，我们感谢他协调提交。
2013-09-23 cs.DS
Approximate Maximum Flow on Separable Undirected Graphs
我们提出了更快的算法，在无向图中的近似最大流具有良好的分离器结构，如有界亏格，未成年人自由，几何图形。给定这样一个具有$n$顶点、$m$边以及递归$\sqrt{n}$ -顶点分隔符结构的图，我们的算法在时间上找到$1-ε$近似最大流$\tilde{O}(m^{6/5} \poly{ε^{-1}})$，忽略多对数项。对于具有较大大小分隔符的可分离图，也实现了类似的加速，尽管具有较大的运行时间。这些界限也适用于二维和三维的图像问题。我们的算法的关键是一个中间问题，我们称之为分组$L_2$流，它存在于最大流和电流之间。我们的算法还利用频谱顶点稀疏，以消除顶点，同时保持电力流的能量耗散。我们还给出了更快的谱顶点稀疏算法分离良好的图，这可能是独立的利益。
2012-10-18 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow via Residual Graph Sparsification
Faculty of Computer Science, University of Vienna（维也纳大学计算机学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）；Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；UniVie Doctoral School Computer Science DoCS（维也纳大学计算机科学博士学校）
本文提出了一种算法，在高概率下能够维持无向、无容量限制的n顶点图在经历m次边插入操作后的(1-ε)近似s-t最大流，总更新时间为~O(m + nF*/ε)，其中F*是最终图的最大流。这是首个在密集图（m=Ω(n²)）中实现多项式对数平均更新时间的算法，更一般地适用于F*=~O(m/n)的图。
2026-05-21 cs.DS
Sparsifying generalized linear models
本文研究广义线性模型和式的稀疏化，证明在对称单调且满足增长界的条件下存在近线性大小的近似稀疏化子，并给出高效算法，推广了 $\ell_p$ 稀疏化并首次覆盖 Huber 损失等情形，可用于高精度优化多种广义线性模型。
2023-11-29 cs.DS math.FA
Approximate Gomory-Hu Tree Is Faster Than $n-1$ Max-Flows
Gomory-Hu树或割树（Gomory and Hu，1961）是一种经典的数据结构，用于报告无向图中所有顶点对$s$和$t$的$(s,t)$最小割（以及通过对偶，$(s,t)$最大流的值）。Gomory和Hu证明了它可以使用$n-1$精确最大流计算来计算。令人惊讶的是，这仍然是最好的算法Gomory-Hu树超过50年后，* 即使是近似mincut *。在本文中，我们打破了这个长期存在的障碍，并给出了一个算法计算$(1+ε)$ -近似Gomory-Hu树使用$\text{polylog}(n)$最大流计算。具体来说，我们获得了下面描述的运行时边界。我们得到一个随机（蒙特卡罗）算法无向，加权图，运行在$\tilde O(m + n^{3/2})$时间，并返回一个$(1+ε)$ -近似Gomory胡树算法w. h. p.以前，已知的最佳运行时间是$\tilde O(n^{5/2})$，这是通过运行Gomory和胡的原始算法上的削减稀疏的图形。接下来，我们得到一个随机（蒙特卡罗）算法的无向，未加权的图形，运行在$m^{4/3+o(1)}$时间，并返回一个$(1+ε)$近似Gomory-Hu树算法w. h. p.这提高了我们的第一个结果稀疏图，即$m = o(n^{9/8})$。以前，对于未加权图已知的最佳运行时间是精确Gomory-Hu树的$\tilde O(mn)$（Bhalgat等…
2021-11-03 cs.DS
Faster Approximate Multicommodity Flow Using Quadratically Coupled Flows
最大多商品流问题是最大流问题的自然推广，用于路由多个不同的流。图上多商品流问题的$1-ε$近似是一个研究得很好的问题。在本文中，我们提出了一个适应单商品流算法的最新进展，这个问题。由于多商品流问题的电气问题中的基本线性系统不再是拉普拉斯算子，我们的方法是定制的，以生成专门的系统，可以使用拉普拉斯算子进行预处理和有效地解决。给定一个m边k商品的无向图，给出了求解最大并发流问题和最大加权多商品流问题的$1-ε$时间近似解的算法$\tilde{O}(m^{4/3}\poly(k,ε^{-1}))$ .
2012-05-08 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow in $m^{1/2+o(1)}$ update time
我们展示了一个$(1+ε)$ -近似算法，用于在有向无权图的$m^{1/2+o(1)} ε^{-1/2}$分摊更新时间中，在$m$边插入下保持最大$s$ - $t$流。这构成了第一个次线性动态最大流算法在一般稀疏图具有任意好的近似保证。
2022-11-17 cs.DS
Faster Weak Expander Decompositions and Approximate Max Flow
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出了更快的无向图弱扩展器分解和近似最大流算法，通过对 cut-matching game 热启动避免递归开销，并简化 Li、Rao 和 Wang 的非递归近似最大流框架，使其复杂度逼近基于扩展器分解方法的极限。
2025-11-04 cs.DS
Deterministic Decremental SSSP and Approximate Min-Cost Flow in Almost-Linear Time
在递减单源最短路径问题中，目标是保持从固定源$s$到$m$ -边图中经历边删除的每个顶点$v$的距离.在本文中，我们总结了这个问题的一个长期的研究显示一个接近最佳的确定性数据结构，保持$(1+ε)$近似距离估计和运行在$m^{1+o(1)}$总更新时间。我们的结果，特别是，删除了由Henzinger等人[FOCS'14]，这导致了我们的第二个结果：$(1-ε)$近似最小成本流的无向图中的容量和成本可以采取的边缘和顶点的第一个几乎线性时间算法所需的不经意的对手的假设。以往求解具有顶点容量的最大流或具有任意容量的最小费用流的算法都需要超线性时间。我们的结果基本上完成了无向图中近似流的图像。第一个结果的关键技术是一个新的框架，使我们能够像对待扩张器的低直径图。这使我们能够利用扩展器属性，同时绕过扩展器分解的缺点，这几乎是所有以前的基于扩展器的算法需要处理的。对于第二个结果，我们使用随机化打破了乘法权重更新框架中臭名昭著的流分解障碍。
2021-01-19 cs.DS
Approximate solution of length-bounded maximum multicommodity flow with unit edge-lengths
针对单位边长分数长度有界最大多商品流问题，提出了一种改进的完全多项式时间近似算法和贪心启发式算法。计算实验进行基准图和软件定义的卫星网络模型的图形，比较所提出的算法和精确的线性规划求解器。实验结果表明，在计算时间和算法精度之间的权衡考虑。
2017-08-02 cs.DS
Low-Step Multi-Commodity Flow Emulators
该研究提出低步数多商品流模拟器概念并证明其存在性，开发高效计算算法，以此在O((m+k)^(1+ε))时间内求解常数近似k-商品流，还可推广至最小成本场景且算法支持并行。
2024-06-20 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow on Undirected Graphs in Subpolynomial Update Time
该研究提出基于ℓ_p-范数迭代细化和乘法权重更新的算法，实现无向图增量近似最大流的次多项式摊销更新时间，还可改进动态有效电阻维护算法。
2023-11-06 cs.DS
Approximate Parametric Computation of Minimum-Cost Flows with Convex Costs
本文研究了具有凸费用函数的图中的最小费用流问题的一个变形，其中顶点处的需求是依赖于一维参数$λ$的函数。我们设计了两种算法的近似计算参数的解决方案，这个问题。第一种方法通过对边际成本函数进行插值，将参数化问题转化为具有分段二次成本函数的问题。新的情况下，可以完全解决我们在以前的工作中开发的算法。在第二种方法中，我们计算一个固定数量的非参数的解决方案和插值产生的流量产生一个近似的解决方案，为原来的参数问题。对于这两种方法，我们制定明确的边界上使用的步长在各自的插值，保证相对和绝对的误差幅度。最后，我们测试我们的方法在现实世界中的交通和天然气实例的实证研究。
2022-03-24 cs.DM cs.DS cs.GT
An efficient heuristic for approximate maximum flow computations
针对大型大脑网络最大流计算的可扩展性问题，提出结合图划分的近似最大流算法，将Edmonds-Karp算法的O(|V||E|^2)复杂度降至O(|V||E|^2/k^2)，并在模拟图和公开脑网络图上验证了其准确率与运行效率。
2024-09-12 cs.DS stat.ME
Approximate Max-Flow Min-Multicut Theorem for Graphs of Bounded Treewidth
证明了有界树宽图的一个近似的最大多流最小多割定理。特别是，我们证明了以下几点：给定一个树宽$r$图，存在一个（分数）多商品流的价值$f$，和一个多割的能力$c$，使$ f \leq c \leq \mathcal{O}(\ln (r+1)) \cdot f$。众所周知，$r$ -顶点（常度）扩张图上的多流-多割间隙可以是$Ω(\ln r)$，因此我们的结果紧到常数因子。我们的证明是建设性的，我们也得到了一个多项式时间的$\mathcal{O}(\ln (r+1))$ -近似算法的树宽- $r$图的最小多割问题。我们的算法收益四舍五入的最佳分数的解决方案，自然的线性规划松弛的多割问题。我们引入新的修改著名的区域生长算法，以方便舍入，同时保证在树宽的对数因子损失。
2022-11-11 cs.DM cs.DS
Faster Approximate Lossy Generalized Flow via Interior Point Algorithms
Yale University（耶鲁大学）
提出一种基于内点算法和对称M矩阵线性系统近线性时间求解器的算法，对有损广义网络流问题实现加性ε近似，时间复杂度为Õ(m^(3/2) log(1/ε))，相比先前算法改进约m^(1/2)因子。
2008-04-07 cs.DS cs.NA math.NA
Coordinate Methods for Accelerating $\ell_\infty$ Regression and Faster Approximate Maximum Flow
我们提供了更快的算法近似解决$\ell_{\infty}$回归，一个基本的问题，在组合和连续优化。特别是，我们提供了加速坐标下降的方法，能够证明利用动态措施的坐标平滑度，并将它们应用到$\ell_\infty$回归框给算法收敛在$k$迭代在$O(1/k)$率。我们的算法可以被视为Sherman [She 17]最近突破性结果的替代方法，该方法实现了与经典算法方法（即平滑和梯度下降）相似的运行时间改进，这些算法要么以$O(1/\sqrt{k})$速率收敛，要么运行时间对问题参数的依赖性更差。我们的运行时在广泛的参数范围内与[She 17]相匹配，并在某些结构化情况下实现了改进。我们证明了我们的结果的有效性，提供更快的算法研究的最大流问题。直接利用我们的加速$\ell_\infty$回归算法意味着一个$\tilde{O}\left(m + \sqrt{mn}/ε\right)$运行时来计算一个$ε$ -近似最大流的无向图与$m$边和$n$顶点，一般改善了以前最好的已知运行时的$\tilde{O}\left(m/ε\right)$在[She 17]每当图是稍微密集。我们进一步设计了一个算法，适应于最大流引起的回归问题的结构，获得运行时间的$\tilde{O}\left(m + \max(n, \sqrt{ns})/ε\right)$，其中$s$是平方$\ell_2$规范的任何最优流的拥塞…
2020-04-02 cs.DS math.OC
Accelerated Approximate Optimization of Multi-Commodity Flows on Directed Graphs
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了时间复杂度为$m^{1+o(1)}kε^{-1}$的算法，用于计算有向图上多商品流问题的近似解，并提供了改进的$\ell_{q, p}$-回归求解方法和复合$\ell_{1, \infty}$-回归转化技术。
2026-11-02 cs.DS math.OC
