A General Framework for Graph Sparsification
给定一个加权图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题要求对$G$中的边进行采样，并赋予采样边适当的权值，以获得一个稀疏图$G_ε$（期望包含O（\log n）条边），该稀疏图具有以下性质：$G_ε$中每个割的权值在$G$中相应割的权值的$(1\pm ε)$的因子之内.我们提供了一个通用的框架，任何特定的采样方案，以产生良好的稀疏的充分条件，并获得一组结果，通过简单的实例化这个框架。（1）对于边权为多项式的图，将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m + n \log^4 n）。(2)对于具有任意边权值的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m \log^2 n）. (3)如果允许稀疏因子的大小为O（n \log^2 n/ε^2）而不是O（n \log n/ε ^2），则对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度提高到O（m）。(4)我们表明，使用标准的连通性抽样结果在良好的稀疏，从而解决了一个悬而未决的问题Benczur和Karger。作为一个推论，我们给出了一个简单的证明（一个稍微弱的版本）的结果，由于斯皮尔曼和Srivastava表明，使用有效电阻采样产生良好的稀疏。(5)我们给出了一个简单的证明，表明使用强连通性的采样结果在良好的稀疏，以前获得的结果使用更复杂的证明Benczur和Karger。我…
2010-04-23 cs.DS
From Hop Reduction to Sparsification for Negative Length Shortest Paths
Purdue University（普渡大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出了一种更高效的随机时间算法，用于求解负长度最短路径问题，通过稀疏化和递归技术改进了现有算法的性能。
2025-11-28 cs.DS
Dynamic Streaming Spectral Sparsification in Nearly Linear Time and Space
在本文中，我们考虑的问题，计算谱逼近图的单通道动态流模型。我们提供了一个基于线性草图的解决方案，给定一个流的边缘插入和删除的$n$ -节点无向图，使用$\tilde O(n)$空间，处理每个更新的$\tilde O(1)$时间，并以高概率恢复频谱稀疏在$\tilde O(n)$时间。在我们的工作之前，现有技术的结果要么使用接近最佳的$\tilde O(n)$空间复杂度，要么使用强力$Ω(n^2)$恢复时间[Kapralov et al. '14]，或具有次二次运行时间，但多项式次优空间复杂度[Ahn et al. '14，Kapralov等人。'19]。我们的主要技术贡献是一种新的方法“桶”的输入图形的顶点成集群，允许快速恢复足够大的有效电阻的边缘。我们的算法首先通过使用（近似）其有效电阻度量执行球雕刻来对图的顶点进行桶化，然后从桶中顶点之间的电流的草图版本中恢复高效电阻边缘，总体上在顶点数量上花费几乎线性的时间。该过程在不同的几何尺度下执行，以恢复具有与有效电阻成比例的概率的边缘的样本，并获得输入图的实际稀疏因子。这项工作提供了第一个有效的$\ell_2$ -稀疏恢复算法的图形和新的原语操作的有效电阻嵌入的图，这两个我们希望有进一步的应用。
2019-03-28 cs.DS
Comparison of Matrix Norm Sparsification
本文研究了不同Schatten $p$-范数下矩阵稀疏化之间的关系，发现与向量情形不同，对于几乎所有充分不同的 $p\neq q$，矩阵在一种范数下的稀疏化无法蕴含另一种范数下的稀疏化。
2023-09-09 cs.DS cs.NA math.NA
Flows in Almost Linear Time via Adaptive Preconditioning
我们提出了一个大类的流动和回归问题的解决算法，单位加权图的$(1 + 1 / poly(n))$精度在几乎线性的时间。这些问题包括$\ell_p$ -范数最小化流的$p$大（$p \in [ω(1), o(\log^{2/3} n) ]$），和他们的双，$\ell_p$ -范数半监督学习的$p$接近$1$。当$p$趋于无穷大时，$\ell_p$ -范数流及其对偶分别趋于最大流和最小割.使用这种连接和我们的算法，我们给出了一个替代的方法来近似无向最大流，和第一次几乎线性时间近似的离散化的总变差最小化目标。该算法表明，许多工具以前被认为是有限的线性系统，实际上适用于更广泛的凸目标。它基于Spielman和Teng（STOC '04，SIMAX '14）的Laplacian线性系统的基于路由的求解器，但需要几个新的工具：自适应非线性预处理，基于树路由的混合$\ell_2$和$\ell_p$范数目标的超稀疏化，以及将图分解为均匀扩展器。
2019-06-25 cs.DS
On the Complexity of Community-aware Network Sparsification
研究社区感知网络稀疏化问题，即在边数与权重约束下保留各社区诱导子图的连通性或生成星性质。针对两个NP难问题，基于ETH给出紧的2^Ω(n²+c)时间下界，并分别提出Stars NWS关于反馈边数的XP算法和证明Connectivity NWS在t=1时NP难。
2024-02-23 cs.DS cs.SI
Covering convex bodies and the Closest Vector Problem
我们提出了算法的$(1+ε)$-近似版本的最接近的向量问题的某些规范。目前最快的算法（Dadush和Kun 2016）一般规范的运行时间为$2^{O(n)} (1/ε)^n$。我们在以下两种情况下大大改进了这一点。对于具有$p>2$的$\ell_p$-范数（分别为$p \in [1,2]$）固定，我们提出了一个算法的运行时间为$2^{O(n)} (1/ε)^{n/2}$（分别。$2^{O(n)} (1/ε)^{n/p}$）。这一结果是基于Eisenbrand等人在CVP上下文中引入的几何覆盖问题：需要多少个凸体来覆盖范数球，使得如果围绕它们的质心缩放2，则每个凸体都包含在范数球的$(1+ε)$缩放的同素异形中？我们利用$\ell_p$-球的\emph{modulus of smoothness}为这个问题提供了上界。应用覆盖方案，我们可以将CVP的任何常数近似算法提升为具有改进的运行时间的$(1+ε)$近似算法，无论是使用简单的采样例程还是使用Dadush的确定性算法来构造一个可扩展网络。空间要求仅取决于所使用的常数近似CVP求解器。进一步推广了Eisenbrand等人关于$\ell_\infty$-范数的结果.对于中心对称多面体（分别为Zonotopes）与$O(n)$小平面（分别为由$O(n)$线段生成），我们提供了一个确定性的$O(\log_2(1/ε))^{O(n)}$时间…
2021-11-01 cs.CG cs.DS
Small $\ell$-edge-covers in $k$-connected graphs
设$G=(V,E)$是一个$k$ -边连通图，其边代价为$\{c(e):e \in E\}$，设$1 \leq \ell \leq k-1$ .我们证明了一个简单而简短的证明，$G$包含一个$\ell$ -边覆盖$I$，使得：$c(I) \leq \frac{\ell}{k}c(E)$，如果$G$是二分的，或如果$\ell |V|$是偶数，或如果$|E| \geq \frac{k|V|}{2} +\frac{k}{2\ell}$ ;否则，$c(I) \leq (\frac{\ell}{k}+\frac{1}{k|V|})c(E)$。$\ell=k-1$和单位成本的特殊情况已经包括Cheriyan和Thurimella的结果，即$G$包含大小为$|E|-\lfloor |V|/2 \rfloor$的$(k-1)$ -边缘覆盖。使用我们的结果，我们稍微提高了近似比的{ \sf $k$ -连接子图}问题（节点连接版本）的统一和$β$ -度量成本。然后，我们考虑的对偶问题，找到一个最大连通$k^*$与规定数量的边缘的生成子图。我们给出了一个算法，计算$(k^*-1)$连接的子图，这是紧的，因为这个问题是NP-困难的。
2012-03-28 cs.DS
Assigning channels via the meet-in-the-middle approach
我们研究了信道分配问题的复杂性。通过应用中间相遇方法，我们得到了一个在时间上运行的$\ell$有界信道分配算法（当边缘权重由$\ell$有界时）$O^*((2\sqrt{\ell+1})^n)$。这是第一个打破$(O(\ell))^n$障碍的算法。我们将该算法推广到计数型，代价是多项式因子略高。一个主要的开放问题是，对于独立于$\ell$的恒定$c$，信道分配是否允许$O(c^n)$时间算法。我们考虑一个类似的问题，广义T-着色，CSP问题，推广\CA。我们表明，广义T-着色不承认一个$2^{2^{o\left(\sqrt{n}\right)}} {\rm poly}(r)$时间算法，其中$r$是实例的大小。
2014-08-04 cs.DS
Sparsifying generalized linear models
本文研究广义线性模型和式的稀疏化，证明在对称单调且满足增长界的条件下存在近线性大小的近似稀疏化子，并给出高效算法，推广了 $\ell_p$ 稀疏化并首次覆盖 Huber 损失等情形，可用于高精度优化多种广义线性模型。
2023-11-29 cs.DS math.FA
Covering Small Independent Sets and Separators with Applications to Parameterized Algorithms
我们提出了两个新的组合工具的参数化算法的设计。第一种是简单的线性时间随机化算法，给定$d$ -退化图$G$和整数$k$作为输入，输出独立集$Y$，使得对于$G$中大小至多为$k$的每个独立集$X$，$X$是$Y$子集的概率至少为$\left({(d+1)k \choose k} \cdot k(d+1)\right)^{-1}$。（确定性）多项式时间图稀疏化过程，其给定图$G$、终端对的集合$T = \{\{s_1, t_1\}, \{s_2, t_2\}, \ldots, \{s_\ell, t_\ell\}\}$和整数$k$，返回$G$的导出子图$G^\star$，该导出子图保持大小至多为$k$的$G$的所有包含最小多割，并且不包含任何大小为$2^{{\cal O}(k)}$的$(k+2)$ -顶点连通集。特别地，$G^\star$排除大小为$2^{{\cal O}(k)}$的团作为拓扑子体。总之，我们的新工具产生了新的随机固定参数易处理（FPT）算法，用于一般图上的稳定$s$ - $t$分离器，稳定奇循环translation和稳定多割，以及$d$ -退化图上的稳定定向反馈顶点集，解决了Marx等人[ACM Transactions on Algorithms，2013]留下的两个问题。我们所有的算法都可以去随机化，在运行时间的成本很小。
2017-05-03 cs.DS
Faster Separators for Shallow Minor-Free Graphs via Dynamic Approximate Distance Oracles
Plotkin，Rao，and Smith（SODA'97）证明了任何具有$m$边和$n$顶点的图，如果不将$K_h$作为深度$O(\ell\log n)$ -minor，则具有大小为$O(n/\ell + \ell h^2\log n)$的分隔符，并且可以在$O(mn/\ell)$时间中找到这样的分隔符。随后给出了任何恒定$ε> 0$的$O(m + n^{2+ε}/\ell)$的时间界限（W.，FOCS'11），这是对非稀疏图的改进。我们给出了三个新的算法。第一个具有相同的分隔符大小和运行时间$O(\mbox{poly}(h)\ell m^{1+ε})$。这对于小型$h$和$\ell$是一个显著的改进。如果$\ell = Ω(n^{ε'})$对于任意小的常数$ε' > 0$，我们得到$O(\mbox{poly}(h)\ell n^{1+ε})$的时间界。第二种算法实现了相同的分隔符大小（对$h$的多项式依赖性稍大）和运行时间$O(\mbox{poly}(h)(\sqrt\ell n^{1+ε} + n^{2+ε}/\ell^{3/2}))$，当$\ell = Ω(n^{ε'})$。我们的第三个算法有运行时间$O(\mbox{poly}(h)\sqrt\ell n^{1+ε})$时，$\ell = Ω(n^{ε'})$。它找到一个大小为$O(n/\ell) + \tilde O(\…
2014-07-25 cs.DS
Hardness of Bounded Distance Decoding on Lattices in $\ell_p$ Norms
$ \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\cc}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\NP}{\cc{NP}} \newcommand{\problem}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\BDD}{\problem{BDD}} $有界距离解码$\BDD_{p,α}$是在$\ell_{p}$范数中，当目标点被保证在格的最小距离的$α$因子内时解码格的问题。我们证明了$\BDD_{p, α}$是$\NP$ -硬随机减少$α\to 1/2$作为$p \to \infty$（和$α=1/2$时$p=\infty$），从而显示出硬度的解码距离接近唯一的解码半径大$p$。我们还显示了$\BDD_{p,α}$的细晶硬度。例如，我们证明，对于所有的$p \in [1,\infty) \setminus 2\Z$和常数$C > 1, \eps > 0$，有没有$2^{(1-\eps)n/C}$ -时间算法$\BDD_{p,α}$为一些常数$α$（接近$1/2$为$p \to \infty$），假设随机强指数时间假设（SETH）。此外，基本上我们所有的结果也持有（在类似的非均匀假设下）$\BDD$与预处理，其中无界预计算可以应用到格之前的目标是可用的…
2020-03-17 cs.CC cs.DS
Nearly Linear Row Sampling Algorithm for Quantile Regression
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of California Los Angeles（加利福尼亚大学洛杉矶分校）；Duke University（杜克大学）
本文给出了分位数损失函数的行抽样算法，该算法的抽样复杂度与数据的维数近似成线性关系，改进了以往的最佳算法，其抽样复杂度至少与维数成立方关系。基于我们的行抽样算法，我们给出了已知的最快的分位数回归算法和平衡有向图的图稀疏化算法。我们的主要技术贡献是表明，刘易斯权重采样，这已被用于行采样算法的$\ell_p$规范，也可以应用于行采样算法的各种损失函数。我们补充我们的理论结果通过实验来证明我们的方法的实用性。
2020-06-15 cs.DS cs.LG
Differentially Private Synthetic Graphs Preserving Triangle-Motif Cuts
School of Computer Science and Technology, University of Science and Technology of China（计算机科学与技术学院，中国科学技术大学）
本文提出首个差分隐私机制，在多项式时间内生成合成图以逼近原图所有割的三角形模体大小，并给出匹配的下界，同时将结果推广到加权图和一般团模体割。
2025-09-21 cs.DS cs.LG
Better Algorithms for Individually Fair $k$-Clustering
Dartmouth College（达特茅斯学院）
我们研究数据聚类问题与$\ell_p$规范的目标（例如$k$ -中位数和$k$ -手段）在个人公平的背景下。数据集由$n$点组成，我们希望找到$k$中心，使得（a）目标最小化，同时（b）尊重个体公平性约束，即每个点$v$在最多$r(v)$的距离内具有中心，其中$r(v)$是$v$到其$(n/k)$ th最近点的距离。Jung、Kannan和Lutz [FORC 2020]引入了这一概念，并设计了一种聚类算法，该算法具有可证明的（近似的）公平性和$\ell_\infty$或$k$ -中心目标的客观保证。Mahabadi和Vakilian [ICML 2020]重新讨论了这个问题，给出了所有$\ell_p$ -范数的局部搜索算法。从经验上讲，他们的算法优于荣格等人。al.在成本方面有很大的差距（对于$k$ -Median和$k$ -Means），但它们在公平性方面会产生合理的损失。在本文中，我们的主要贡献是使用线性规划（LP）技术，以获得更好的算法，这个问题，在理论和实践中。我们证明，通过修改已知的LP舍入技术，得到一个最坏情况下的保证的目标，这是比MV 20更好，经验，这个目标是非常接近最佳的。此外，我们的理论公平性保证在理论上与MV 20相当，并且根据经验，我们获得了明显更公平的解决方案。虽然解决LP { \em确切}可能是禁止的，我们证明，在实践中，一个简单的稀疏化技术大大提高了…
2021-06-23 cs.CY cs.DS cs.LG
