Stable high-order randomized cubature formulae in arbitrary dimension
我们提出并分析了随机容积公式的数值积分的功能就一个给定的概率测度$μ$定义在一个域$Γ\subseteq \mathbb{R}^d$，在任何尺寸$d$。每个求积公式在给定的$n$维的有限维子空间$V_n\subset L^2(Γ,μ)$上是精确的，并且使用被积函数$ϕ: Γ\to \mathbb{R}$在$m>n$独立随机点处的逐点求值。这些点是从依赖于PDMATHAMT的适当的辅助概率测量中得出的。我们发现，到对数因子，$m$和$n$与维数无关的常数之间的线性比例，确保稳定的体积公式具有很高的概率。我们还证明了任何$n\geq 1$和$m>n$的概率和期望的误差估计，从而涵盖了前渐近和渐近制度。我们的分析表明，预期的体积误差衰减为$\sqrt{n/m}$乘以$V_n$中$ϕ$的最佳逼近误差$L(Γ, μ)$。一方面，对于固定的$n$和$m\to \infty$，我们的体积公式可以被看作是一个方差减少技术的Monte Carlo估计，并可以导致巨大的方差减少光滑的被积函数和子空间$V_n$谱逼近性能。另一方面，当我们让$n,m\to\infty$，我们的体积变得高阶谱收敛。作为进一步的贡献，我们还分析了另一个体积公式，其预期误差衰减为$\sqrt{1/m}$倍的$L^2(Γ,μ)$-最佳逼近误差的$ϕ$在$V_n$，这是渐近最优的，但常数，可以在preasymptomatic制度。…
2020-12-03 cs.NA math.NA
Commuting Extensions and Cubature Formulae
基于一维高斯求积的新观点，提出通过构造交换矩阵扩展来计算d维求积公式的方法，并证明求积公式与满足特定相容性条件的交换扩展之间的对应关系。
2004-08-05 cs.NA math.NA
A decomposition method to construct cubature formulae of degree 3
Dalian University of Technology（大连理工大学）
针对具有置换对称性的积分，提出一种分解方法，通过独立处理n个一维矩问题，构造仅需2n个实点的三次数值积分公式。
2013-01-25 cs.NA math.NA
Discrete Hybrid Polyharmonic Cubature Formulas with weight on the disc. with error bounds
本文研究了圆盘上离散混合调和立方求积公式的精度与计算点数，提出高效求积方法。
2015-08-31 cs.NA math.CA math.NA
Existence of Gaussian cubature formulas
LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心高级分析实验室）；Institute of Mathematics University of Toulouse（图卢兹大学数学研究所）
本文通过检查超定线性系统是否有解，给出了高斯求积公式存在的充要条件，并揭示了存在性对线性泛函的严格限制。
2011-05-24 cs.NA math.NA
Fast cubature of high dimensional biharmonic potential based on Approximate Approximations
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of Linköping（林雪平大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
本文提出了一种基于近似近似法的高维双调和势快速求积方法，通过推导新的公式来构建高阶准确且高效的求积公式，即使在非常高的维度下也能保持准确性。
2018-09-25 cs.NA math.NA
Fast cubature of volume potentials over rectangular domains
Sapienza University of Rome（罗马智慧大学）；University of Liverpool（利物浦大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机过程研究所）
利用近似逼近理论中的基函数，将对流扩散势的求积简化为一维积分求积，并针对可分离逼近的密度导出张量积表示，实现了高达10^8维的高效高精度求积，误差阶为O(h^6)。
2013-01-07 cs.NA math.NA
Construction and application of provable positive and exact cubature formulas
许多应用需要多维数值积分，通常以体积公式的形式。这些求积公式对于某些有限维函数空间（和权函数）是正的和精确的。虽然有几个有效的程序来构建许多标准情况下的积极和准确的容积公式，它仍然是一个挑战，这样做在更一般的设置。在这里，我们展示了如何最小二乘法可以用来推导出可证明的积极和确切的公式，在一般的多维设置。因此，该过程仅利用基本的线性代数运算，例如求解最小二乘问题。特别是，它被证明，所得到的最小二乘容积公式是确保积极的和准确的，如果使用足够大的数量的均匀分布的数据点。我们还讨论了应用可证正的和精确的最小二乘求积公式来构造嵌套稳定的高阶规则和正插值公式。最后，我们的研究结果揭示了一些现有的多元数值积分的方法，并在这些限制下，确保是成功的。
2022-05-26 cs.NA math.NA math.OC
Calculating the Greeks by Cubature formulas
本文利用 Terry Lyons 和 Nicolas Victoir 的 Cubature 公式，快速计算期权价格对初始值的导数（即 Greeks），并给出简单算例。
2005-05-04 cs.NA math.NA math.PR
Towards stability of radial basis function based cubature formulas
基于径向基函数的体积公式已成为离散数据多元数值积分的重要工具。虽然已经发表了许多关于这种RBF-CF的著作，但其稳定性理论仍然可以被认为是欠发达的。在这里，我们努力铺平道路，一个更成熟的稳定性理论RBF-CFs。特别地，我们证明了基于紧支撑RBFs的RBF-CF在一定条件下的形状参数和数据点的稳定性。此外，它表明，渐近稳定性的许多RBF-CF是独立的多项式项，这往往是包括在RBF近似。虽然我们的研究结果为RBF-CF的稳定性提供了一些新的条件，但目前的工作也表明，在未来的研究中仍有许多空白需要填补。
2021-08-13 cs.NA math.NA
A new cubature formula with weight functions on the disc, with error estimates
本文提出一种基于权函数傅里叶级数分析的新立方公式，将双变量积分转化为无穷多个单变量积分，实验表明其精度优于传统盘积分立方公式，并提供理论依据支持其性能。
2015-09-03 cs.NA math.CA math.NA
Cubature Formulas for Symmetric Measures in Higher Dimensions with Few Points
针对张量积形式的任意对称权函数的高维积分，提出一种构造高多项式精确度的立方体公式的方法，在固定次数 l=5 或 l=7 且维数大时，节点数仅略大于 Möller 下界，远小于已知构造；同时证明对任意奇数次 l=2k+1，最小点数几乎与权函数无关，对球面积分也成立。
2006-06-20 cs.NA math.NA
A novel interpolation-regression approach for function approximation on the disk and its application to cubature formulas
本文提出一种基于插值-回归的多项式逼近方法，用于在圆盘域上重构函数并避免 Runge 现象，特别关注 Zernike 多项式下的插值节点选择以确保数值稳定性，并据此推导出圆盘上数值积分的精确求积公式。
2025-08-09 cs.NA math.NA
Stable high-order cubature formulas for experimental data
在许多应用中，获取数据以拟合已知的体积公式（CF）是不切实际的，甚至是不可能的。相反，实验数据通常是在等距甚至分散的位置获得的。在这项工作中，稳定的（在非负的意义上只有体积重量）高阶CF为此目的而开发。这些是基于允许数据点的数量N大于由CF精确积分的基函数K的数量的方法。这产生（N-K）维仿射线性子空间，从该子空间中选择使对应于CF的稳定性的某些范数最小化的体积权重。在这个过程中，两个新的类稳定的高阶CF的建议和仔细研究。
2021-09-08 cs.NA math.NA math.OC
Numerical cubature from Archimedes' hat-box theorem
本文以阿基米德帽子-盒子定理为出发点，利用矩映射推广并构造了球面、单纯形等空间上的数值求积公式，给出了下界及局部最优性证明，并提出了新的格点三角求积公式。
2004-09-22 cs.NA math.MG math.NA
New Constructions of Cubature Formulas on Wiener Space
本研究基于Lyons和Victoir的技术，首次构造出$\n\bbr^3$上维纳空间的7次显式求积公式，对比了随机泰勒展开与Log-ODE两种求积近似方法，通过实验验证了求积次数对收敛阶的影响及求积法在SDE弱近似中的效用，为后续研究提供参考。
2025-09-05 cs.NA math.NA math.PR
Polyharmonic Hardy Spaces on the Complexified Annulus and Error Estimates of Cubature Formulas
University of Bonn（波恩大学）
本文引入多维复化环域上的Hardy空间，并给出该空间中函数的多调和Gauß-Jacobi求积公式的误差估计。
2012-04-03 cs.NA math.CV math.NA
The role of Frolov's cubature formula for functions with bounded mixed derivative
本文研究了Frolov求积公式在单位立方体上具有主导混合光滑性的函数空间中的收敛阶上界，针对Besov和Triebel-Lizorkin空间，探讨了不同参数范围内的积分误差表现，揭示了小光滑性情况下求积公式的最优性问题。
2016-04-06 cs.NA math.NA
A new approach for the existence problem of minimal cubature formulas based on the Larman-Rogers-Seidel theorem
Nagoya University（名古屋大学）；Tohoku University（东北大学）；University of Texas（德克萨斯大学）
针对球对称积分，研究在Möller下界取等号的4k+1次立方公式的存在性，证明高维最小公式中同心球面上任意两点的内积均为有理数，并由此证明对某些特殊积分，d>2时不存在13次和21次的最小公式。
2011-03-06 cs.NA math.CO math.NA
ARCANE: Scalable high-degree cubature formulae for simulating SDEs without Monte Carlo error
University of Oxford（牛津大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）；University of Bath（巴斯大学）
ARCANE算法通过高效构造高次立方公式，实现了无需蒙特卡洛误差的SDE模拟，达到D=19的高精度表现。
2026-02-19 cs.MS cs.NA math.NA
Monte Carlo construction of cubature on Wiener space
本文提出利用蒙特卡洛采样与线性规划构造维纳空间上一般维数和次数的容积公式，并通过推广随机 Tchakaloff 定理给出理论证明。
2021-10-19 cs.NA math.NA math.PR
Note on cubature formulae and designs obtained from group orbits
Tohoku University（东北大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文基于Sobolev定理，给出Xu定理的简化证明，并将Neumaier-Seidel定理推广到不变欧几里得设计，从而分类由角向量轨道并集得到的紧欧几里得设计。
2011-06-28 cs.NA math.CO math.NA
Monte Carlo Cubature Construction
本文提出一种基于独立同分布采样和测试函数均值即可为任意概率测度构造容积公式的方法，并证明其同时具备数据压缩能力。
2020-01-24 cs.NA math.NA math.PR
Polyharmonic Hardy Spaces on the Klein-Dirac Quadric with Application to Polyharmonic Interpolation and Cubature Formulas
本文在Klein-Dirac二次曲面上引入了一类新的Hardy型空间，研究了其函数性质（特别是边值问题），并将其应用于多调和插值和插值型求积公式。
2012-05-29 cs.NA math-ph math.AP
Cubature Method for Stochastic Volterra Integral Equations
本文针对随机Volterra积分方程提出Cubature方法，利用泛函Itô公式推导随机Taylor展开并构造Cubature测度，在长记忆随机波动率模型等特殊情形下显式实现，数值实验表明其效率显著优于Euler格式。
2023-07-06 cs.NA math.NA math.PR
Tensor product approximations of high dimensional potentials
Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机过程研究所）
本文结合近似逼近框架与结构化张量积方法，通过将高维离散卷积转化为一维卷积，高效计算体积势的高阶求积公式，并针对n维调和势和Yukawa势提出允许低秩张量积逼近的一维积分表示。
2009-02-12 cs.NA math.NA
A Bayes-Sard Cubature Method
Aalto University（阿尔托大学）；Newcastle University（纽卡斯尔大学）
本文提出一种结合贝叶斯求积灵活性与经典求积鲁棒性的贝叶斯-萨德求积方法，通过高斯过程模型和参数回归模型实现高维积分的高效准确计算。
2018-05-18 cs.NA math.NA stat.ME
Efficient Cubature Rules
用数值寻零器直接搜索，为三个具有球对称区域和权值的标准多维积分找到了73个新的求积规则。除了四个新规则外，所有新规则的积分点都比相同次数的已知规则少，并且有二十个规则的积分点都在穆勒下界的三个点之内。大多数都有正系数，大多数都有一定的对称性，包括由一个或两个同心球支撑的一些。它们包括7度积分公式的领域和高斯加权积分的所有空间，每个在6和7维，127和183点，分别。
2019-06-16 cs.NA math.NA
Numerical cubature using error-correcting codes
本文利用线性纠错码构造等权重数值求积公式，在低阶时用扩展BCH码，获得多种空间上显式正权内部公式，渐近改进Tchakaloff界。
2004-09-22 cs.NA math.CO math.MG
CECM: A continuous empirical cubature method with application to the dimensional hyperreduction of parameterized finite element models
我们提出了连续经验立方法（CECM），一种新的算法，经验设计有效的集成规则。CECM的目标是通过产生接近最优的规则来改进现有的求积方法，其特征是点远少于要集成的函数的数量。CECM包括两个阶段的战略。首先，一个点的选择策略，用于获得一个初始近似的容积规则，功能集成的许多点。第二阶段包括一个稀疏化策略，其中，除了索引和相应的权重，点的空间坐标也被认为是设计变量。初始选择的点的位置被改变以将其相关联的权重渲染为零，并且以这种方式，实现了最小数量的点。虽然最初设想的超降阶模型（HROM）的框架内，我们提出了该方法的制定方面的通用向量值函数，从而强调其在各个问题领域的多功能性。为了证明该方法的广泛适用性，我们进行了数值验证，使用单变量和多变量拉格朗日多项式。在这些情况下，我们展示了该方法的能力，检索最佳高斯规则。我们还评估了任意指数正弦函数在3D域的方法，最后考虑一个例子的应用程序的方法的超简化的多尺度有限元模型，展示显着的计算性能的收益。本文的第二个贡献是序列随机SVD（SRSVD）方法，用于计算列分区格式的奇异值分解（SVD）。当矩阵大小接近内存限制时，SRSVD特别有利。
2023-08-07 cs.NA math.NA
Gauß Cubature for the Surface of the Unit Sphere
本文针对三维单位球面，研究Gauß求积规则的构造，指出高维矩方程求解困难，并总结已获得次数至17的良好规则。
2000-03-03 cs.NA math.NA
Optimal with respect to accuracy algorithms for calculation of multidimensional weakly singular integrals and applications to calculation of capacitances of conductors of arbitrary shapes
本文推导了多维弱奇异积分的精度渐近最优求积公式，并据此开发了计算任意形状导体电容的通用代码。
2003-01-31 cs.NA math.NA
Change of variable in spaces of mixed smoothness and numerical integration of multivariate functions on the unit cube
本文研究了在混合光滑性空间中多变量函数的最优数值积分问题，提出两种改进的Frolov求积公式，通过变量替换和点乘操作，保持了最小最坏误差率，并扩展了经典结果。
2015-11-06 cs.NA math.FA math.NA
Optimal with respect to accuracy algorithms for calculation of multidimensional weakly singular integrals and applications to calculations of capacitances of conductors of arbitrary shapes
本文推导了精度渐近最优的求积公式用于计算多维弱奇异积分，并开发了通用程序计算任意形状导体的电容。
2004-09-18 cs.NA math.NA
Trivariate polynomial approximation on Lissajous curves
University of Padova（帕多瓦大学）
研究三维利萨如曲线生成特殊秩-1切比雪夫格点的代数求积公式，用于构造三元超插值多项式及离散极值集。
2015-02-13 cs.NA math.NA
Digital net properties of a polynomial analogue of Frolov's construction
本文研究了一种多项式类Frolov求积公式，该公式在有限域上的Laurent级数域中定义，证明了其作为(t,m,d)-网的性质，并展示了其在高维情况下的应用价值。
2018-02-14 cs.NA math.NA math.NT
Positive Cubature formulas and Marcinkiewicz-Zygmund inequalities on spherical caps
针对球冠上的多项式，通过定义新度量并证明离散化不等式，建立了正体积公式和Marcinkiewicz-Zygmund不等式。
2007-03-26 cs.NA math.CA math.NA
Computation of volume potentials over bounded domains via approximate approximations
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of Linköping（林雪平大学）；University of Liverpool（利物浦大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）
提出一种结合近似逼近基函数与切向半空间积分的体积势数值积分公式，将计算简化为半直线上的单变量积分，数值实验验证了高精度和收敛阶。
2012-10-26 cs.NA math.NA
Discrete Fourier analysis on fundamental domain of $A_d$ lattice and on simplex in $d$-variables
Institute of Software Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；Department of Mathematics University of Oregon（俄勒冈大学数学系）
本文在 $A_d$ 型格的基本域和 $d$ 维单纯形上建立了离散傅里叶分析，通过不变和反不变元素导出单纯形上的结果，包括三角函数的傅里叶分析、插值和求积公式，其中单纯形上的三角拉格朗日插值具有显式紧致公式且勒贝格常数为 $O((\log n)^d)$，并研究了与切比雪夫多项式相关的公共零点，给出了第二类高斯求积公式的节点。
2008-09-05 cs.NA math.CA math.NA
Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the ideal theory approach
本文从理想理论角度研究基于Padua点的双变量多项式插值，发现了插值多项式的紧凑公式，并分析了其L^p收敛性。
2006-04-27 cs.NA math.CA math.NA
Algorithm for constructing optimal explicit finite-difference formulas in the Hilbert space
本文提出在希尔伯特空间中构造最优显式差分公式的算法，通过函数方法确定最优系数。
2026-02-10 cs.NA math.NA
A note on the periodic $L_2$-discrepancy of Korobov's $p$-sets
本文研究了$d$维环面中点集的周期性$L_2$ -偏差。这种差异与移动点集的均方根$L_2$ -差异密切相关，与diaphony的概念密切相关，与混合光滑的索伯列夫空间中周期函数积分的容积公式的最坏情况误差密切相关。在差异理论中，许多结果是基于平均参数。为了使这样的结果相关的应用程序之一，需要明确的建设点集与“平均”的差异。在我们的主要结果中，我们研究了Korobov的$p$ -集，并证明了这类点集具有平均阶的周期性$L_2$ -偏差。这一结果与Novak和Woonniakowski的一个公开问题有关。
2020-01-07 cs.NA math.NA math.NT
Enumeration of the Chebyshev-Frolov lattice points in axis-parallel boxes
The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文提出了一种新的算法，用于在d=2^n时高效计数Chebyshev-Frolov格点，以提升立方求积公式的收敛率。
2016-12-16 cs.NA math.NA
High-order numerical algorithms for Riesz derivatives via constructing new generating functions
School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University（天水师范学院数学与统计学院）；Department of Mathematics, Shanghai University（上海大学数学系）
本文通过构造新生成函数建立高阶数值算法，改进了经典Lubich差分公式在时间依赖问题中的收敛阶和稳定性，并通过数值实验验证了算法的有效性。
2016-04-30 cs.NA math.NA
An Improved Formula for Jacobi Rotations
Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文提出改进的Jacobi旋转算法，用于更精确地计算实对称2x2矩阵的特征值和特征向量。
2018-06-19 cs.NA math.NA
