数值求积：从阿基米德的帽子-盒子定理出发
Numerical cubature from Archimedes' hat-box theorem
AI总结：
本文以阿基米德帽子-盒子定理为出发点，利用矩映射推广并构造了球面、单纯形等空间上的数值求积公式，给出了下界及局部最优性证明，并提出了新的格点三角求积公式。
摘要：
阿基米德的帽子-盒子定理指出，球面上的均匀测度在投影到区间上时仍为均匀测度。这一事实可用于推导辛普森法则。我们利用矩映射作为阿基米德定理的推广，提出了数值求积公式的各种构造方法及其下界。我们将单纯形上一些已知的求积公式实现为球面设计的投影。我们结合单纯形和环面上的求积公式，在球面上构造新的公式。特别地，$S^n$ 上存在一个具有 $O(n^4)$ 个点的 7-求积公式（有时为 7-设计）。我们利用矩映射建立了单纯形上 PI 求积公式密度的局部下界。在此过程中，我们还建立了其他具有独立意义的求积和求积公式结果。对于每个 $t$，我们在 $n$ 维空间中构造了一个具有 $O(n^t)$ 个点的格点三角 $(2t+1)$-求积公式。我们利用向量丛推导了 Möller 下界的一个变体。我们还证明了高斯求积在正求积公式中具有非常尖锐的局部最优性。
英文摘要：
Archimedes' hat-box theorem states that uniform measure on a sphere projects to uniform measure on an interval. This fact can be used to derive Simpson's rule. We present various constructions of, and lower bounds for, numerical cubature formulas using moment maps as a generalization of Archimedes' theorem. We realize some well-known cubature formulas on simplices as projections of spherical designs. We combine cubature formulas on simplices and tori to make new formulas on spheres. In particular $S^n$ admits a 7-cubature formula (sometimes a 7-design) with $O(n^4)$ points. We establish a local lower bound on the density of a PI cubature formula on a simplex using the moment map. Along the way we establish other quadrature and cubature results of independent interest. For each $t$, we construct a lattice trigonometric $(2t+1)$-cubature formula in $n$ dimensions with $O(n^t)$ points. We derive a variant of the Möller lower bound using vector bundles. And we show that Gaussian quadrature is very sharply locally optimal among positive quadrature formulas.
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