球冠上的正体积公式与Marcinkiewicz-Zygmund不等式
Positive Cubature formulas and Marcinkiewicz-Zygmund inequalities on spherical caps
AI总结：
针对球冠上的多项式，通过定义新度量并证明离散化不等式，建立了正体积公式和Marcinkiewicz-Zygmund不等式。
摘要：
令 $Π_n^d$ 表示 $\mathbb{R}^{d+1}$ 中单位球面 $\sph$ 上次数不超过 $n$ 的球面多项式空间，$d(x, y)$ 表示 $x, y\in \sph$ 之间的标准测地距离 $\arccos x\cdot y$。给定球冠 $$ B(e,\al)=\{x\in\sph: d(x, e) \leq \al\}, (e\in\sph, ext{$\al\in (0,π)$ 远离 $π$}),$$ 我们定义度量 $$ρ(x,y):= rac 1{\al} \sqrt{(d(x, y))^2+\al(\sqrt{\al-d(x, e)}-\sqrt{\al-d(y,e)})^2},$$ 其中 $x, y\in B(e,\al)$。证明表明：给定任意 $e\ge 1$，$1\leq p<\infty$ 以及 $B(e,\al)$ 的有限子集 $\Ld$，满足条件 $\dmin_{\sub{ξ,η\in \Ld ξ eq η}} ρ(ξ,η) \ge \da n$，其中 $\da\in (0,1]$，则存在正常数 $C$ 与 $\al$、$n$、$\Ld$ 和 $\da$ 无关，使得对任意 $f\inΠ_{n}^d$，有 egin{equation*} \sum_{\og\in \Ld} (\max_{x,y\in B_ρ(\og, e\da/n)}|f(x)-f(y)|^p) |B_ρ(\og, \da/n)| \le (C \dz)^p \int_{B(e,\al)} |f(x)|^p d\sa(x),\end{equation*} 其中 $d\sa(x)$ 表示 $\sph$ 上的标准 Lebesgue 测度，$$B_ρ(x, r)=\Bl\{y\in B(e,\al): ρ(y,x)\leq r\Br\}, (r>0),$$ 且 $$\Bl|B_ρ(x, \da n)\Br|=\int_{B_ρ(x, \da/n)} d\sa(y) \sim \al ^{d}\Bl[ ( {\da}n)^{d+1}+ ( \da n)^{d} \sqrt{1- {d(x, e)}\al}\Br].$$ 作为推论，我们在球冠 $B(e,\al)$ 上建立了正体积公式和Marcinkiewicz-Zygmund不等式。
英文摘要：
Let $Π_n^d$ denote the space of all spherical polynomials of degree at most $n$ on the unit sphere $\sph$ of $\mathbb{R}^{d+1}$, and let $d(x, y)$ denote the usual geodesic distance $\arccos x\cdot y$ between $x, y\in \sph$. Given a spherical cap $$ B(e,\al)=\{x\in\sph: d(x, e) \leq \al\}, (e\in\sph, \text{$\al\in (0,π)$ is bounded away from $π$}),$$ we define the metric $$ρ(x,y):=\frac 1{\al} \sqrt{(d(x, y))^2+\al(\sqrt{\al-d(x, e)}-\sqrt{\al-d(y,e)})^2}, $$ where $x, y\in B(e,\al)$. It is shown that given any $\be\ge 1$, $1\leq p<\infty$ and any finite subset $\Ld$ of $B(e,\al)$ satisfying the condition $\dmin_{\sub{ξ,η\in \Ld ξ\neq η}} ρ(ξ,η) \ge \f \da n$ with $\da\in (0,1]$, there exists a positive constant $C$, independent of $\al$, $n$, $\Ld$ and $\da$, such that, for any $f\inΠ_{n}^d$, \begin{equation*} \sum_{\og\in \Ld} (\max_{x,y\in B_ρ(\og, \be\da/n)}|f(x)-f(y)|^p) |B_ρ(\og, \da/n)| \le (C \dz)^p \int_{B(e,\al)} |f(x)|^p d\sa(x),\end{equation*} where $d\sa(x)$ denotes the usual Lebesgue measure on $\sph$, $$B_ρ(x, r)=\Bl\{y\in B(e,\al): ρ(y,x)\leq r\Br\}, (r>0),$$ and $$\Bl|B_ρ(x, \f\da n)\Br|=\int_{B_ρ(x, \da/n)} d\sa(y) \sim \al ^{d}\Bl[ (\f{\da}n)^{d+1}+ (\f\da n)^{d} \sqrt{1-\f{d(x, e)}\al}\Br].$$ As a consequence, we establish positive cubature formulas and Marcinkiewicz-Zygmund inequalities on the spherical cap $B(e,\al)$.
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