Spline functions, the discrete biharmonic operator and approximate eigenvalues
Institute of Mathematics, The Hebrew University（希伯来大学数学研究所）；Department of Mathematics, Ort Braude College（奥尔布劳德学院数学系）
本文研究了样条函数与离散双调和算子之间的强关联，揭示了双调和算子在网格函数上的作用与三次样条函数的四阶分布导数的关系，并证明了离散双调和算子的特征值以最优的O(h^4)速率收敛到连续情况下的特征值。
2017-11-30 cs.NA math.NA
Cubature from rational approximation
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
该研究针对具有可求长Jordan边界的平面区域上解析函数的面积积分，基于柯西 - 格林恒等式，利用AAA算法计算有理函数逼近边界值，构造求积规则，有对偶解读，数值例子表现良好，还追踪了相关解析骨架。
2026-07-21 cs.NA math.NA
Fast Automatic Bayesian Cubature Using Lattice Sampling
自动cubatures近似多维积分，以用户指定的误差容限。对于高维问题，固定采样密度但自动确定样本量$n$是有意义的。贝叶斯求积假设被积函数是随机过程的一个实例。在这里，我们假设高斯过程由常数均值和由尺度参数乘以参数化函数定义的协方差函数参数化，该函数指定域中两个不同点处的被积函数值如何相关。这些参数估计从被积函数值或给出非信息先验。选择样本量$n$，以使贝叶斯后验均值的可信区间的半宽度不大于误差容限。刚刚概述的过程通常需要计算成本为$O(n^3)$的向量矩阵运算。我们的创新是将低差异节点与匹配内核配对，从而将计算成本降低到$O(n \log n)$。这种方法是使用秩1格序列和移位不变内核。我们的算法是在保证自动集成库（GAIL）。
2019-11-08 cs.NA math.NA stat.CO
A continuous/discontinuous Galerkin method and a priori error estimates for the biharmonic problem on surfaces
Umeå University（于默奥大学）
本文提出了一种连续/间断有限元方法，用于求解嵌入R^3中的曲面上的四阶椭圆PDE的解，并在离散能量范数和L^2范数下给出了先验误差估计。
2016-02-10 cs.NA math.NA
$C^0$-hybrid high-order methods for biharmonic problems
我们设计并分析了$C^0$ -一致的混合高阶（HHO）方法来近似双调和问题的固定或简支边界条件。$C^0$ -符合HHO方法取决于单元未知数和面未知数，单元未知数是近似网格单元中的解的$(k+2)$阶的$C^0$ -符合多项式，面未知数是近似网格骨架上的解的法向导数的$k\ge0$阶的多项式.此类方法提供$O(h^{k+1})$ $H^2$ -用于平滑解决方案的误差估计。误差分析的一个重要创新是降低了对精确解的最小正则性要求。实现这一目标的技术具有更广泛的适用性比只是$C^0$符合HHO方法，并说明这一点，我们概述了著名的$C^0$符合内部罚间断Galerkin（IPDG）方法的误差分析。本技术不需要气泡函数或$C^1$平滑器来在粗略负载的情况下评估右手侧。最后，数值结果，包括各种现有的方法比较展示了建议的$C^0$符合HHO方法的效率。
2023-02-11 cs.NA math.NA
Computation of volume potentials over bounded domains via approximate approximations
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of Linköping（林雪平大学）；University of Liverpool（利物浦大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）
提出一种结合近似逼近基函数与切向半空间积分的体积势数值积分公式，将计算简化为半直线上的单变量积分，数值实验验证了高精度和收敛阶。
2012-10-26 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo and discontinuous Galerkin
本研究针对含随机系数的椭圆型偏微分方程的非协调间断伽辽金近似，开发定制化准蒙特卡洛求积法，证明其收敛速率与连续有限元情形一致，推导的参数正则性界可用于其他方法，数值结果验证了理论结论。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Approximate Approximations from scattered data
通过将均匀网格上的光滑快速衰减函数的伸缩平移近似拟插值扩展到散乱数据拟插值，利用多项式乘以基函数构造近似单位分解，实现指定精度的高阶逼近。
2005-08-14 cs.NA math.NA
Augmented physics informed extreme learning machine to solve the biharmonic equations via Fourier expansions
针对物理信息极限学习机求解高阶偏微分方程时参数敏感和精度不足的问题，提出傅里叶诱导的PIELM方法，将双调和方程转化为线性最小二乘问题，并通过数值实验证明其在规则和不规则域上更稳定、鲁棒、精确和高效。
2024-11-05 cs.NA math-ph math.MP
Hybrid high-order and weak Galerkin methods for the biharmonic problem
我们设计并分析了两个混合高阶（HHO）方法的双调和问题的数值逼近。该方法支持多面体网格，依赖于原始制定的问题，并提供$O(h^{k+1})$ $H^2$ -误差估计时，使用多项式的顺序$k\ge0$近似的网格（间）面的正常导数。这两种HHO方法都依赖于二阶偏微分方程的Leenfeld-Schöberl稳定性。单元未知数是$(k+2)$阶的多项式，可以通过静态凝聚局部消除。在第一种HHO方法中，近似网格（内部）面上解的迹线的面未知数是$(k+1)$阶多项式，该方法在二维中有效，并使用涉及规范混合有限元的原始稳定化，而它们对于第二种HHO方法是$(k+2)$阶多项式，该方法在任意维中有效，并在稳定化中仅使用$L^2$ -正交投影。与弱Galerkin方法从文献中提供了一个比较讨论，突出了密切的联系和本文提出的改进。此外，我们还展示了如何将两种HHO方法与Nitsch边界罚技术相结合，以弱执行边界条件。Nitsche技术的一个独创性是避免了任何必须足够大的罚参数。最后，数值结果表明，所提出的方法的效率，并表明，HHO方法可以普遍优于间断Galerkin方法，甚至可以竞争的$C^0$ -内部惩罚方法在三角形网格。
2022-04-08 cs.NA math.NA
Dimensional hyperreduction of nonlinear finite element models via empirical cubature with manifold-adaptive weights
Centre Internacional de Mètodes Numèrics en Enginyeria (CIMNE)（国际工程数值方法中心）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Stanford University（斯坦福大学）
该研究提出MAW-ECM方法，结合非线性流形表示，可大幅减少非线性有限元模型的采样积分点数量，同时基本保持精度。
2026-09-04 cs.CE cs.NA math.NA
Conforming and non-conforming virtual element methods for the biharmonic Steklov eigenvalue problem with minimum regularity
Indian Institute of Technology-Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）；King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Università di Pavia（帕维亚大学）；IMATI, Consiglio Nazionale delle Ricerche（国家研究委员会IMATI研究所）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
针对一般形状多边形域上的四阶Steklov特征值问题，提出协调和C^0非协调虚拟元方法，通过富化算子进行收敛分析，证明无伪特征值并得到最优收敛阶。
2026-06-16 cs.NA math.FA math.NA
Approximation of solutions to non-stationary Stokes system
本文提出了一种求解线性非定常Stokes方程组Cauchy问题解的高阶近似的快速方法，该方法在速度和运动压力未知的情况下，用$R^3$方法求解。密度${\bf f}({\bf x},t)$和无发散矢量的初始值${\bf g }(\bf x)$是平滑的，并且随着$|\bf x|$趋于无穷大而迅速减小。我们以$\bf u=\bf u_1+\bf u_2$的形式构造向量$\bf u$，其中$\bf u_1$求解齐次热方程组，$\bf u_2$求解非齐次热方程组，其右侧为${\bf f}-\nabla P$。此外，$P=-{\cal L}( \nabla\cdot \bf f)$，其中$\cal L$表示谐波势。本文考虑了计算调和势的快速半解析容积公式和基于解析已知势的函数逼近数据的热方程的解。另外，梯度$\nabla P$可以用$P$的体积梯度来近似，也是一个半解析公式。我们推导出快速和精确的高阶公式逼近的$\bf u_1,\bf u_2$，$P$和$\nabla P$。数值实验证实了该方法的精度和收敛阶$2,4,6$和$8$。
2019-10-25 cs.NA math.AP math.NA
Approximate and integrate: Variance reduction in Monte Carlo integration via function approximation
National Institute of Informatics（国立情报学研究所）
本文提出通过函数近似方法改进蒙特卡洛积分，利用高维近似理论加速收敛，展示非常数近似函数具有与蒙特卡洛相同收敛速度但方差更小。
2018-06-14 cs.NA math.NA
Accurate computation of the high dimensional diffraction potential over hyper-rectangles
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of Linköping（林雪平大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
本文提出了一种快速方法，用于在R^n中的超矩形上对Helmholtz型算子Delta + kappa^2的势进行高阶近似，通过引入近似逼近理论中的基函数，将势的立方体计算转化为可分离的单维积分的求积问题，结合合适的求积规则，得到积分算子的张量表示，数值测试显示该方法在维度高达100时具有六阶精度。
2018-12-04 cs.NA math.NA
Weak approximation of stochastic differential equations and application to derivative pricing
本文提出一种新的简单算法用于随机微分方程的弱逼近，并将其应用于Heston随机波动模型下的亚式期权定价，结合拟蒙特卡洛方法显著提高计算速度。
2006-10-01 cs.NA math.NA math.PR
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with lognormal diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
本文介绍了扩散系数为对数正态分布的椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法，其中$Z$是由无穷级数展开式$Z(\boldsymbol{y}) = \sum_{j\ge1} y_j\,ϕ_j$定义的高斯随机场，展开式中含有$y_j\sim\mathcal{N}(0,1)$和给定的函数序列$\{ϕ_j\}_{j\ge1}$ .我们使用MDFEM来近似PDE的解的线性泛函的期望值，PDE是参数空间上的无限维积分。该算法使用多元分解方法（MDM）计算的无限维积分分解成有限维积分，我们解决使用准蒙特卡罗（QMC）方法，我们使用有限元法（FEM）来解决不同的情况下的PDE。我们开发了高阶拟蒙特卡罗规则的积分在有限维欧几里德空间相对于高斯分布通过使用截断策略。通过线性变换的交错多项式格规则从单位立方体的欧氏空间的多变量盒，我们实现高阶收敛速度属于一类锚定高斯Sobolev空间的功能，考虑到截断误差。在适当的条件下，MDFEM在误差与成本的关系方面实现了高阶收敛率，即，为了实现$O(ε)$的精确度，计算成本是$O(ε^{-1/λ-d'/λ}) = O(ε^{-(p^*+d'/τ)/(1-p^*)})$，其中$ε^{-1/λ}$和$ε^{-d'/λ}$分别是准蒙特卡罗体积和有限元近似的成本，对于某些$δ' \ge 0$和$d$，$d' = d \, (1+δ')$是物理尺寸，而$0 < p^* \le (…
2021-09-27 cs.NA math.NA
