Frolov's cubature formula在具有有界混合导数函数中的作用
The role of Frolov's cubature formula for functions with bounded mixed derivative
AI总结：
本文研究了Frolov求积公式在单位立方体上具有主导混合光滑性的函数空间中的收敛阶上界，针对Besov和Triebel-Lizorkin空间，探讨了不同参数范围内的积分误差表现，揭示了小光滑性情况下求积公式的最优性问题。
摘要：
我们证明了Frolov求积公式在具有主导混合光滑性的函数空间中数值积分的收敛阶上界。具体而言，我们研究了Besov空间B^s_{p,θ}和Triebel-Lizorkin空间F^s_{p,θ}的最坏情况积分误差，并考虑了所有可接受的参数范围(s≥1/p)。特别是，我们得到了小光滑性情况下Triebel-Lizorkin空间F^s_{p,θ}在1<θ<p<∞且1/p<s≤1/θ时的上界。所提出的最坏情况误差上界表现出与大光滑性s>1/θ完全不同的行为。在后者情况下，所提出的上界是最佳的，即无法通过其他求积公式进一步改进。而小光滑性情况下的最优性仍是一个开放问题。
英文摘要：
We prove upper bounds on the order of convergence of Frolov's cubature formula for numerical integration in function spaces of dominating mixed smoothness on the unit cube with homogeneous boundary condition. More precisely, we study worst-case integration errors for Besov $\mathbf{B}^s_{p,θ}$ and Triebel-Lizorkin spaces $\mathbf{F}^s_{p,θ}$ and our results treat the whole range of admissible parameters $(s\geq 1/p)$. In particular, we obtain upper bounds for the difficult the case of small smoothness which is given for Triebel-Lizorkin spaces $\mathbf{F}^s_{p,θ}$ in case $1<θ<p<\infty$ with $1/p<s\leq 1/θ$. The presented upper bounds on the worst-case error show a completely different behavior compared to "large" smoothness $s>1/θ$. In the latter case the presented upper bounds are optimal, i.e., they can not be improved by any other cubature formula. The optimality for "small" smoothness is open.
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