Kernel interpolation in Sobolev spaces of hybrid regularity
Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）
本文提出在混合正则性Sobolev空间中使用优化稀疏网格进行核插值，从而避免维度诅咒。
2025-12-14 cs.NA math.NA
Constructive Approximation of High-Dimensional Functions with Small Efficient Dimension with Applications in Uncertainty Quantification
本文证明有效低维的高维函数逼近不受维度灾难影响，先在一般再生核希尔伯特空间证明，再针对特定空间验证，还推导判定其是否有效低维的高效估计，并将结果应用于不确定性量化的典型问题参数偏微分方程。
2024-11-27 cs.NA math.NA
A characterization of Sobolev spaces on the sphere and an extension of Stolarsky's invariance principle to arbitrary smoothness
University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文通过截断幂函数的积分表示刻画了球面上任意光滑性的再生核Hilbert空间，并将Stolarsky不变性原理推广到任意光滑性。
2012-03-23 cs.NA math.NA
Solving Support Vector Machines in Reproducing Kernel Banach Spaces with Positive Definite Functions
本文在再生核巴拿赫空间中利用半内积的正交性和傅里叶变换技术，显式求解支持向量机，并通过正定函数表示最优解，系数由不动点迭代计算。
2013-04-23 cs.NA math.NA math.OC
Fitted Reproducing Kernel Method for Solving a Class of Third-Order Periodic Boundary Value Problems
Ajloun College, Al Balqa Applied University（阿勒琼学院，巴尔卡应用大学）；Faculty of Science, Zarqa University（扎尔卡大学理学院）；University of Malakand（马拉坎德大学）；Faculty of Engineering Technology, Al-Balqa Applied University（巴尔卡应用大学工程技术学院）
本文提出适合再生核算法求解三阶周期边值问题，通过构造再生核函数快速获得精确解，并在网格点上实现高效计算，实验表明该方法在物理、计算机和工程领域具有广泛应用前景。
2017-04-17 cs.NA math.NA
Expected uniform integration approximation under general equal measure partition
本文研究了Sobolev空间$\mathcal{H}^{\mathbf{1}}(K)$中函数一致积分逼近的均方误差的$L_2-$期望偏差的界，其中$\mathcal{H}$是具有核$K$的再生Hilbert空间.与已知的粗Monte Carlo方法的速率$O(N^{-1})$相比，得到了更好的近似误差阶数$O(N^{-1-\frac{1}{d}})$.其次，在一般Sobolev空间$F_{d,q}^{*}$中，利用分层样本的期望$L_{p}-$偏差界（$p\ge 1$）给出了$p$-积分逼近误差矩的几个上界.
2021-10-04 cs.NA math.NA
Optimal Compactly Supported Functions in Sobolev Spaces
本文在Sobolev空间中构造具有最小范数、最大支撑和最大中心值的最优紧支撑函数，给出插值收敛速率 $m-d/2$ 的正确上界，并通过投影与迹算子描述构造过程。
2024-09-03 cs.NA math.NA
Extending error bounds for radial basis function interpolation to measuring the error in higher order Sobolev norms
本文将径向基函数插值的加倍技巧扩展至高阶Sobolev范数误差度量，适用于满足易验证假设的核族，并获得了新收敛率与Bernstein估计。
2023-09-13 cs.NA math.CA math.NA
Local Regularity Estimation through Sobolev-Scale Norm Profile
Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）
本文提出了一种基于核的方法，通过Sobolev尺度范数轮廓估计空间上变化的Sobolev正则性，结合滑动窗口和局部-全局范数比较策略，提高了对低正则性区域的检测能力。
2026-08-13 cs.NA math.NA
Change of variable in spaces of mixed smoothness and numerical integration of multivariate functions on the unit cube
本文研究了在混合光滑性空间中多变量函数的最优数值积分问题，提出两种改进的Frolov求积公式，通过变量替换和点乘操作，保持了最小最坏误差率，并扩展了经典结果。
2015-11-06 cs.NA math.FA math.NA
Optimal Monte Carlo integration on matrix manifolds
University of Chicago（芝加哥大学）；Purdue University（普渡大学）
本文针对施蒂费尔等矩阵流形上的索伯列夫再生核希尔伯特空间，开发了最优阶加权蒙特卡洛求积规则，通过开源实验验证了其理论有效性并展示了初步应用结果。
2026-10-14 cs.NA math.NA stat.CO
The analysis of vertex modified lattice rules in a non-periodic Sobolev space
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文在非周期Sobolev空间中分析顶点修正格点规则，探讨其在Korobov空间、多线性空间及混合项中的最坏情况误差，并推导出一维和二维情况下的误差界。
2017-09-11 cs.NA math.NA
Sobolev Acceleration and Statistical Optimality for Learning Elliptic Equations via Gradient Descent
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究了一类广义目标函数下随机采样噪声观测值反问题求解的梯度下降Sobolev范数统计极限。我们的目标函数类包括用于核回归的Sobolev训练、深度里兹方法（DRM）和用于求解椭圆偏微分方程（PDE）的物理信息神经网络（PINN）作为特例。我们考虑一个潜在的无限维参数化我们的模型使用一个合适的再生核希尔伯特空间和一个连续的参数化的问题硬度通过定义的内核积分算子。我们证明了梯度下降在这个目标函数也可以达到统计最优性和最佳的通过数据的数量增加与样本量。基于我们的理论，我们解释了使用Sobolev范数作为训练的目标函数的隐式加速，推断当数据大小和任务难度增加时，DRM的最佳时期数变得大于PINN的数量，尽管DRM和PINN都可以达到统计最优。
2022-09-19 cs.LG cs.NA math.NA
Convergence Analysis of Meshfree Approximation Schemes
California Institute of Technology（加州理工学院）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文建立了一个分析无网格近似方案的一般框架，并以局部最大熵（LME）方案为例，证明了其在Sobolev空间中的收敛性，收敛阶为h的线性阶。
2011-07-29 cs.NA math.NA
Escaping the native space of Sobolev kernels by interpolation
Institute of Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）
通过插值方法，研究了Sobolev核插值在超越本原空间的收敛性条件及应用。
2025-12-08 cs.NA math.NA
Optimal Monte Carlo integration on closed manifolds
University of Vienna（维也纳大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）；Newcastle University（纽卡斯尔大学）
本文研究了闭流形上Sobolev空间的蒙特卡洛积分方法，证明重加权能提高收敛速度，并在单位球面和Grassmannian流形上进行了数值实验。
2018-01-24 cs.NA math.NA stat.ME
Error Analysis of Kernel/GP Methods for Nonlinear and Parametric PDEs
本文针对非线性及参数化偏微分方程，基于核/高斯过程方法提出先验Sobolev误差估计，揭示解的正则性与维度灾难间的权衡，正则性足够时收敛速率维度良性。
2023-05-08 cs.NA math.NA stat.ML
Embeddings of Weighted Hilbert Spaces and Applications to Multivariate and Infinite-Dimensional Integration
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel（基尔大学）；Technische Universität Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）；Johannes-Kepler-Universität Linz（林茨约翰内斯开普勒大学）
本文研究了加权再生核希尔伯特空间张量积的嵌入和范数估计，提出了一种可直接应用于多变量问题（如积分和近似）及其无限维对应物的转移原理，并在应用中推导了多变量和无限维积分的新结果。
2016-08-02 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo tractability of high dimensional integration over products of simplices
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究了高维简单形积集上积分的准蒙特卡洛可处理性，证明了强多项式可处理性 的条件是γ_{m,j}的求和收敛，而多项式可处理性 的条件是求和除以对数收敛。
2015-04-28 cs.NA math.NA
Efficient Numerical Integration in Reproducing Kernel Hilbert Spaces via Leverage Scores Sampling
Istituto Italiano di Tecnologia（意大利技术研究院）
针对仅能通过观测访问目标分布的RKHS数值积分问题，提出基于均匀或近似杠杆得分的小子采样方法，证明其能达到最优收敛速率并大幅降低计算成本，可应用于核均值嵌入、最大平均差异计算及核检验。
2025-06-16 cs.LG cs.NA math.NA
Lattice rules for nonperiodic smooth integrands
本文通过帐篷变换或对称化晶格规则，在非周期α-光滑余弦级数空间上实现了接近最优的积分误差收敛速率N^{-α+δ}。
2012-11-16 cs.NA math.NA
Piecewise linear interpolation of noise in finite element approximations of parabolic SPDEs
本文首次严格分析了抛物型SPDE有限元逼近中噪声分段线性插值的离散化误差，在温和核假设下建立了误差界，并通过数值实验揭示了Matérn核无额外误差及粗网格生成噪声不一定降低精度等关键结论。
2024-10-21 cs.NA math.NA math.PR
Minimax Optimal Kernel Operator Learning via Multilevel Training
Peking University（北京大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文研究无限维 Sobolev 再生核 Hilbert 空间间 Hilbert–Schmidt 算子的学习极限，通过谱偏差—方差轮廓分析建立最优率，并提出计算可行的多层核算子学习算法。
2023-07-24 cs.LG cs.NA econ.EM
General superconvergence for kernel-based approximation
该研究针对目标函数比再生核希尔伯特空间函数更光滑的超收敛情形，刻画了一般希尔伯特空间中投影的超收敛性，拓展了相关理论，并通过数值实验验证了结果。
2025-05-16 cs.NA math.NA
Lattice rules with random $n$ achieve nearly the optimal $\mathcal{O}(n^{-α-1/2})$ error independently of the dimension
本文提出了一种新的随机算法，用于在[0,1]^d上对d变量函数进行数值积分，该函数属于带主导混合光滑度α≥0和产品权重1≥γ_1≥γ_2≥⋯>0的加权Sobolev空间。算法基于秩为1的格点规则，并使用随机点数n。对于α>1/2的情况，证明了该算法能够达到几乎最优的收敛阶O(n^{-α-1/2})，其中隐含常数与维度d无关，如果权重满足∑_{j=1}^∞ γ_j^{1/α}<∞。通过在格点规则中添加随机位移，对于更一般的α>0的情况，同样可以达到相同的收敛阶。这表明，在随机化设置中，强可处理性 的指数等于1/(α+1/2)，如果权重衰减足够快。本文还给出了下界以表明我们的结果本质上是最佳的。与之前的相关工作相比，本文在实现潜力和误差界与问题维度无关方面取得了显著进展。其他已知的达到最优误差界的算法，如基于Frolov方法的算法，在高维情况下难以实现。本文适配了一种较少为人知的随机化技术，该技术由Bakhvalov于1961年提出。该算法基于秩为1的格点规则，利用整数生成向量可以轻松实现。使用简单的概率方法可以得到合适的生成向量。
2018-08-01 cs.NA math.NA
Bayesian ODE Solvers: The Maximum A Posteriori Estimate
最近已经建立，常微分方程的数值解可以被视为一个非线性贝叶斯推理问题，它可以近似地解决通过高斯滤波和平滑，每当使用高斯-马尔可夫先验。本文研究了一类$ν$次可微线性时不变Gauss-Markov先验。建立了高斯估计器的分类，最大后验估计在层次的顶部，它可以用迭代扩展卡尔曼平滑器计算。其余三类被称为显式，半隐式，和隐式，这是在类似的经典概念对应的向量场的条件下，过滤器更新产生一个局部极大值后验估计。最大后验估计对应于与先验相关的再生希尔伯特空间中的最优插值，在本例中，该最优插值等价于光滑的索伯列夫空间$ν+1$。因此，在索伯列夫空间中利用离散数据逼近和非线性分析的方法，证明了在向量场上，在适当的条件下，最大后验估计在填充距离（最大步长）内以多项式速度收敛于真解.开发的方法提供了一种新的和更自然的方法来研究这些估计的收敛性比经典的收敛性分析方法。数值算例验证了方法和理论结果。
2021-01-12 cs.NA math.NA stat.ME
Optimal randomized multilevel algorithms for infinite-dimensional integration on function spaces with ANOVA-type decomposition
University of Technology, Sydney（悉尼科技大学）；University of New South Wales（新南威尔士大学）
针对加权再生核希尔伯特空间中的无穷维积分问题，提出新的随机多水平算法并证明其最优性，显著改进了已有误差界。
2012-09-05 cs.NA math.NA
Kernel-based Greedy Approximation of Parametric Elliptic Boundary Value Problems
University of Stuttgart（斯图加特大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）；Ca’ Foscari University of Venice（威尼斯卡福斯卡里大学）
本文提出了一种基于核方法的贪心逼近方案，针对参数椭圆边值问题实现指数收敛，扩展了参数PDE的逼近方法，并展示了其在复杂几何参数化、移动源和高维域中的高效性。
2025-07-09 cs.NA math.NA
Stability of convergence rates: Kernel interpolation on non-Lipschitz domains
本文借助贪婪核算法证明任意（含非 Lipschitz）区域上的核插值仍可获得收敛速率，且速率在缩小到子集时保持稳定，并通过有限与无穷光滑核及数值实验加以验证。
2023-07-12 cs.NA math.NA
Infinite-Dimensional Integration in Weighted Hilbert Spaces: Anchored Decompositions, Optimal Deterministic Algorithms, and Higher Order Convergence
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文研究无穷维函数的数值积分，通过锚定分解定义加权再生核希尔伯特空间，提出多水平算法和变维算法，在两种成本模型下分别实现最优收敛速率，并基于高阶多项式格点规则给出拟蒙特卡洛算法实例。
2012-10-16 cs.NA math.NA
Extending Neural Operators: Robust Handling of Functions Beyond the Training Set
本文提出了一种扩展神经算子的方法，通过核近似和RKHS理论，实现对分布外函数及其导数的鲁棒处理，并通过PDE求解实验验证了其有效性。
2026-03-04 cs.CV cs.LG cs.NA
Greedy sampling designs via reduced basis methods: optimal recovery in the uniform norm
Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）；Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
该研究针对再生核希尔伯特空间的最优采样恢复，通过降基方法建立线性采样宽度与Gelfand宽度的新比较，克服平方根间隙，经数值实验验证了方法的有效性。
2026-09-02 cs.NA math.FA math.NA
Optimal randomized changing dimension algorithms for infinite-dimensional integration on function spaces with ANOVA-type decomposition
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文研究了具有无限多个变量的函数积分问题，提出了一种基于ANOVA分解的随机变维算法，通过分析随机求积算法的误差界，证明了其在不同权重下的最优性。
2013-06-12 cs.NA math.NA
Kernel approximation beyond the native space -- with applications to approximation on manifolds
University of Hawai‘i – Mānoa（夏威夷大学马诺阿分校）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普斯大学）；Boise State University（博伊西州立大学）
针对嵌入流形上的正定和条件正定核，提出一种推广的逼近方案，通过积分算子范围刻画目标函数，并建立新的Bernstein不等式以实现原生空间紧嵌入Sobolev空间中的插值误差估计。
2026-08-06 cs.NA math.CA math.NA
Mesh-free error integration in arbitrary dimensions: a numerical study of discrepancy functions
我们感兴趣的无网格公式的基础上的蒙特卡罗方法的多维积分的近似，我们调查他们的准确性时，属于再生核空间的功能。一个核函数通常捕获标准Sobolev正则类之外的函数的正则性和定性性质。我们感兴趣的问题是否定量误差界可以在应用程序（例如数学金融，但也科学计算和机器学习）的先验保证。我们的主要贡献是一个数值研究的误差差异函数的基础上几个数值策略之间的比较，当一个不同的选择的内核，近似点的数量，和尺寸的问题。我们考虑两种策略，以本地化到一个有界集的标准内核定义在整个欧几里德空间（指数，multiquadric，高斯，截断），即，一方面通过离散傅里叶变换定义的一类周期性内核的晶格上，另一方面，一类运输为基础的内核。首先，我们利用格上的泊松公式，结合启发式的论证，讨论了周期核的偏差函数的理论界的推导。其次，对于每个感兴趣的内核，我们执行所需的数值实验，以生成点的最佳分布和差异误差函数。我们的数值结果使我们能够验证我们的理论观察，并为我们提供定量估计的错误与基于内核的策略，而不是一个纯粹的随机策略。
2019-12-02 cs.NA math.AP math.NA
