Quadratic Poisson algebras for two dimensional classical superintegrable systems and quadratic associative algebras for quantum superintegrable systems
经典的二维超可积系统的二次运动积分闭于一个约束的二次Poisson代数，并研究了它的一般形式.每个经典超可积问题都有一个对应的量子问题，即量子超可积系统。将二次Poisson代数变形为量子结合代数，利用变形的仿费米子振子技术计算了该代数的有限维表示。证明了二次代数的有限维表示由超可积系统的能量特征值决定。能量本征值的计算归结为代数方程的求解，而代数方程对所有二维运动二次积分超可积系统都是通用的。
2000-03-20 math-ph math.MP math.QA
Partially superintegrable systems on Poisson manifolds
辛流形上的超可积系统通常被考虑。然而，它们的定义隐含着一个相当严格的条件2n=k+m，其中2n是辛流形的维数，k是超可积系统的点态李代数的维数，m是它的余秩。为了解决这个问题，我们的目标是考虑部分超可积系统的泊松流形，其中k+m是一个兼容的泊松结构的秩。给出了广义作用角坐标系下Mishchenko-Fomenko定理的相应推广。
2016-06-13 math-ph math.MP
Superintegrable Systems on Moduli Spaces of Flat Connections
本文的主要结果是在曲面上的主$G$ -丛的平坦联络的模空间上构造了一族超可积Hamilton系统。模空间是具有Atiyah-Bott Poisson结构的Poisson簇。在这些系统的特殊情况下是自旋推广的Ruijsenaars-Schneider模型。
2019-09-18 math-ph math.MP nlin.SI
Geometric construction of superintegrable Poisson projection chains via Poisson centralizers
Paris Curie Engineer School, Beijing University of Chemical Technology（巴黎居里工程师学院，北京化工大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究所）；Department of Mathematical and Physical Sciences, La Trobe University（拉筹伯大学数理科学学院）；School of Mathematics and Physics, The University of Queensland（昆士兰大学数学与物理学院）
本文通过泊松中心化子在李-泊松代数中构造超可积系统，研究不变泊松子代数及其中心，并提出超可积性的泊松投射链定义，通过极小torus证明了超可积链的结构，并描述了中间空间的辛叶。
2026-05-14 math-ph math.MP
A discrete Smorodinsky--Winternitz I superintegrable system
Université de Montréal（蒙特利尔大学）
该研究构造了二维方格三角形区域上Smorodinsky–Winternitz I超可积系统的有限离散实现，其对称代数具Hahn代数表示，谱问题由Tratnik型二元对偶Hahn多项式精确求解，连续极限可恢复原连续系统。
2026-08-19 math-ph math.MP
Unified treatment and classification of superintegrable systems with integrals quadratic in momenta on a two dimensional manifold
本文证明了流形上具有二次运动积分的二维超可积系统可以利用运动积分的Poisson代数进行分类。超可积系统有六种基本类型。所涉及的积分的解析公式计算在所有的情况下。所有已知的超可积系统都是这六类系统的特例。
2007-02-09 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable Systems on 3 Dimensional Conformally Flat Spaces
我们考虑与3维共形平坦空间相联系的Hamilton算子，这些空间具有2维、3维和4维等距代数。利用共形代数构造了附加的{ \em二次}第一积分，从而构造了一大类超可积系统和第一积分的完备Poisson代数.然后，我们使用等距线将系统减少到2个自由度。对于每一个等距代数，我们给出了相应的广义哈密顿量的{ \em泛}约化.超可积特化以这种方式简化为达布-柯尼希斯型系统，其积分是三维系统的积分的简化。
2019-10-19 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable metrics on surfaces admitting integrals of degrees 1 and 4
研究了曲面上的黎曼度量，其测地流是超可积的，其中一个积分动量是线性的，一个积分动量是四次的。工作的主要成果是当地的描述等指标的常微分方程，积分的方程，并描述相应的泊松代数的运动积分。我们还给出了这样的度量，可以扩展到领域$S^2$的例子，并研究组的对称性的问题。
2018-05-26 math-ph math.MP nlin.SI
Polynomial Poisson Algebras and Superintegrable Systems from Cartan centralisers of Types $B_3$, $C_3$ and $D_3$
Instituto de Matemática Interdisciplinar and Dpto. Geometría y Topología, UCM（UCM 交叉数学研究所与几何与拓扑系）；Università degli Studi di Milano（米兰大学）；INFN Sezione di Milano（意大利国家核物理研究所米兰分部）；La Trobe University（拉筹伯大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
本文研究了B_3、C_3和D_3类型的Cartan中心化子的多项式泊松代数结构，并构造了对应的超可积系统。
2025-12-21 math-ph math.MP
Dynamical symmetry algebra of two superintegrable two-dimensional systems
该研究采用基于额外梯算子的新方法，重新检验二维超可积系统分类中的两个伪厄米量子系统，推导其动力学对称代数，证明其可解释超可积性，并生成包含广义态的扩展态集，为这类态提供自然框架。
2022-03-12 math-ph math.MP quant-ph
Quartic Poisson algebras and quartic associative algebras and realizations as deformed oscillator algebras
我们引入了由二维超可积经典系统的二阶和四阶运动积分生成的最一般的四次Poisson代数。我们得到相应的四次（结合）代数的量子模拟，我们延长Daskaloyannis的建设中获得的背景下，二次代数，我们得到的实现作为变形振子代数这个四次代数。我们得到了Casimir算子，并讨论了这些实现如何允许获得有限维酉不可约表示的四次代数和代数获得退化的超可积系统的能量谱。我们将构造的结构函数和得到的结构函数公式应用于最近引入的与I型Laguerre例外正交多项式有关的超可积系统。
2013-04-26 math-ph math.MP
Families of 2D superintegrable anisotropic Dunkl oscillators and algebraic derivation of their spectrum
我们推广了量子超可积模型的运动积分的构造和变形振子代数方法。这是在一维系统的上下文中承认梯子运营商满足一个抛物波代数涉及反射运营商和更一般的$c_λ$扩展振荡器代数与分级。我们将此构造应用于二维$c_λ$振子。我们还引入了两个新的超可积哈密顿量，即各向异性Dunkl振子和奇异Dunkl振子。我们构建的积分，并使用这种扩展的Daskaloyannis方法与分级，我们提出了一个代数推导的能量谱的两个模型从有限维酉表示，并显示他们的频谱划分成不同的部门，并涉及到物理频谱。
2015-09-07 math-ph math.MP
Quadratic algebras for three dimensional non degenerate superintegrable systems with quadratic integrals of motion
具有二次运动积分的三维超可积系统有五个函数独立的积分，其中之一是Hamilton。Kalnins，Kress和Miller证明了在非退化势的情况下，存在一个与其它积分线性无关的第六次二次积分。这个第六积分的存在意味着运动积分构成了一个具有五个生成元的三元类仿费米二次泊松代数。我们证明了在所有的非退化情况下（有一个例外），至少有两个子代数的三个积分具有泊松二次代数结构，这是类似的二维情况。
2009-02-01 math-ph math.MP
Universal integrals for superintegrable systems on N-dimensional spaces of constant curvature
定义在N维球面空间、欧氏空间和双曲空间上的一类经典超可积Hamilton算子族具有一个共同的（2N-3）函数独立运动常数集.其中，两个不同的子集的N个积分的对合（包括汉密尔顿）总是可以明确识别。作为特殊情况下，我们恢复在一个简单的方式大多数的超可积性的Smorodinsky，Winternitz和广义开普勒-库仑系统的常曲率空间，我们引进以及新的类（准最大）超可积的潜力在这些空间。这里给出的结果是所有Hamilton算子的sl（2）Poisson余代数对称性的结果，以及与Poincare和Beltrami坐标相关联的相空间的适当使用。
2006-10-17 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability of the Fock-Darwin system
从量子和经典框架中的对称性的角度分析了福克-达尔文系统。量子福克-达尔文系统已知有两组阶梯算符，这一事实保证了它的可解性。我们表明，两个相关的频率的商的合理值，这个系统是超可积的，量子对称性负责的能级的简并。这些对称是高阶的，并且封闭了一个多项式代数。在经典的情况下，阶梯算子被阶梯函数所取代，对称性被运动常数所取代。我们还证明了有理经典系统是超可积的，并且它的轨线是闭的。运动常数也是相空间中的对称变换的发生器，这些对称变换在某些特殊情况下已经被积分。这些转换将不同的轨迹与相同的能量连接起来。发现了量子超可积系统的相干态，它们再现了经典系统的闭合轨道。
2017-03-20 math-ph math.MP quant-ph
Algebraic calculations for spectrum of superintegrable system from exceptional orthogonal polynomials
本文引入球坐标系下的扩展Kepler-Coulomb量子模型。该哈密顿量的薛定谔方程在这些坐标系中求解，它表明，该系统的波函数可以表示为拉盖尔，勒让德和例外雅可比多项式（超几何型）。基于相应的波函数构造了阶梯算子和移位算子，并得到了它们的递推公式。这些递归关系被用来构造高阶，代数独立的运动积分，以证明超可积的哈密顿量。这些积分形成一个高阶多项式代数。通过构造相应的变形振子代数的结构函数，得到了超可积系统的能谱简并性。
2017-10-10 math-ph math.MP
Combined state-adding and state-deleting approaches to type III multi-step rationally-extended potentials: applications to ladder operators and superintegrability
III型多步有理扩展谐振子势和径向谐振子势，其特征在于一组$k$整数$m_1$，$m_2$，\ldots，$m_k$，使得$m_1 < m_2 < \cdots < m_k$与$m_i$偶（分别为1和2）。奇数），用于$i$奇数（分别为（甚至），被认为。在超对称量子力学框架下，结合对这些势的加态和减态方法，构造了新的梯形算符。的哈密顿算符的本征态分离成相应的多项式海森堡代数的$m_k+1$无限维酉不可约表示。这些阶梯算子，然后用来建立一个高阶积分的运动7个新的无限家庭的超可积二维系统可分离的carlets坐标。这类系统的多项式代数的有限维酉不可约表示直接由梯形算符作用于一维哈密顿本征态的结果确定，并提供了超可积系统全谱的代数推导，包括能级全简并.
2014-02-26 math-ph math.MP quant-ph
New families of superintegrable systems from k-step rational extensions, polynomial algebras and degeneracies
利用谐振子和径向振子的k步延拓构造了四类新的二维量子超可积系统。它们的波函数与III型Hermite和Laguerre异常正交多项式（EOP）有关。我们表明，阶梯运营商从替代建设的基础上组合的超荷在克莱因-阿德勒和达布Crum（或状态删除和创建）的方法可以用来生成一组运动的积分和相应的多项式代数，提供了一个代数推导的全谱和总数量的退化。这样的推导是基于有限维酉表示（unirreps），并不适用于从超对称量子力学（SUSYQM）中的标准梯形算子构建的积分，因为它们包含从激发态隔离的单线态。在本文中，我们还依赖于一种新的方法来获得有限维unirreps的基础上的行动的运动积分的波函数，这些EOP。我们比较的结果与Daskaloyannis方法和变形振子代数的1步扩展的情况下的一个新的家庭方面的实现。本文是对近期作品的回顾。
2014-12-01 math-ph math.MP
Deformed oscillator algebra approach of some quantum superintegrable Lissajous systems on the sphere and of their rational extensions
我们扩展的二维超可积哈密顿量的建设与分离的变量在球坐标系中使用的组合的移位，梯子，和supercharge运营商的模型，涉及合理的扩展的两个参数Lissajous系统的领域。这些新的家庭的超可积系统的积分的任意阶的Jacobi例外正交多项式（EOP）的类型I（或II）和超对称量子力学（SUSYQM）。此外，我们提出了一个代数推导的退化能谱的单参数和双参数Lissajous系统和合理的扩展模型。这些结果是基于非线性生成多项式代数，Casimir算子，实现为变形振子代数和有限维酉表示。到目前为止，这样的结果只建立在笛卡尔坐标下可分的2D超可积系统上，这与一类结构更简单的多项式代数有关。我们还指出了这些变形振子代数的结构函数与由非多项式积分所张成的广义Heisenberg代数（GHA）之间的直接关系。
2015-03-13 math-ph math.MP
Recurrence approach and higher rank polynomial algebras for superintegrable monopole systems
我们重新讨论了具有相互作用的平坦空间中的MIC谐振子，并利用特别递推方法导出了运动积分及其能谱所满足的多项式代数。在广义Taub-NUT空间中引入了一个超可积的非线性系统。该模型的薛定谔方程在Stäckel变换的框架下在球坐标系中求解。结果表明，量子系统的波函数可以用Laguerre多项式和Jacobi多项式的乘积表示。基于相应的波函数构造了阶梯算子和移位算子，并得到了相应的递推公式。应用这些递推关系，我们构造了高阶代数独立的运动积分。我们证明了积分构成一个多项式代数。构造了多项式代数的结构函数，得到了模型的简并能谱。
2016-05-20 math-ph math.MP
Superintegrable anharmonic oscillators on N-dimensional curved spaces
从sl（2）-Poisson余代数对称性的角度重新讨论了N维常曲率空间中内禀谐振子势的极大超可积性。它示出了如何这种代数方法导致一个简单的定义一个新的大家庭的准极大超可积扰动的内在振荡器在这样的空间。此外，还将这种构造推广到了具有sl（2）-余代数对称性的非常曲率的N维空间.作为后一类系统的第一个例子，我们构造了N维Darboux空间上的振子势及其拟极大超可积非调和扰动族.
2008-05-14 math-ph math.MP nlin.SI
New ladder operators for a rational extension of the harmonic oscillator and superintegrability of some two-dimensional systems
构造了一类新的阶梯算子，用于与III型Hermite例外正交多项式相关的谐振子的有理延拓，其特征为偶数$m$ .哈密顿量的本征态分离成相应多项式海森堡代数的$m+1$无限维酉不可约表示。这些阶梯算子被用来构造一个高阶积分的运动的两个超可积的二维系统可分离的笛卡尔坐标。这种系统的多项式代数提供了第一次通过其有限维酉不可约表示的整个频谱的代数推导。
2013-10-11 math-ph math.MP nlin.SI
Laurent Polynomials and Superintegrable Maps
这篇文章是献给瓦季姆库兹涅佐夫的记忆，并开始与一些作者对他的回忆。此后，提供了一个简短的评论Somos序列，特别关注Somos-4递归的可积结构，并在Laurent属性。随后考虑了一族具有Laurent性质的四阶递归映射，它们等价于四维Poisson映射。其中有两个映射是超可积的，它们的迭代可消除某些相关的四次丢番图方程的无穷多个解。
2007-02-10 math-ph math.MP math.NT
A discrete Smorodinsky--Winternitz II superintegrable system
University of Toronto（多伦多大学）；Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montréal（蒙特利尔大学数学研究中心）
本文构造了二维正方形格点三角形区域上的离散Smorodinsky–Winternitz II超可积系统，证明其极大超可积且对称代数具Hahn代数表示，通过特定二元正交多项式精确求解谱问题，其连续极限对应连续系统，极限代数结构由Laguerre–Heun代数描述。
2026-08-19 math-ph math.MP
Two-dimensional superintegrable systems from operator algebras in one dimension
我们开发了新的结构的二维经典和量子超可积哈密顿允许分离的变量在笛卡尔坐标。在经典力学中，我们从一维相空间上的两个函数开始，一个自然的哈密顿量$H$和一个在动量$p.$中的阶数为$N$的多项式。我们假设它们的泊松换位子$\{H,K\}$为零，是一个常数，一个常数乘以$H$，或一个常数乘以$K$。在量子情形下，$H$和$K$是算符，它们的李交换子具有上述性质之一.我们使用这样的$(H,K)$对的两个副本，以产生二维超可积系统在欧几里德空间$E_2$，允许分离的变量在笛卡尔坐标。所有已知的$E_2$中的可分超可积系统都可以用这种方法得到，并且我们得到了$N=4.$中的新系统
2018-10-13 math-ph math.MP
Superintegrable systems in curved spaces via coalgebras and deformed Racah algebras
Imperial College London（帝国理工学院）；La Trobe University（拉筹伯大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
该研究在抽象代数层面推导未变形与非标准q变形𝔰𝔩(2)余代数的泊松代数，构造弯曲空间超可积系统，证明相关恒等式并补充Stäckel模型的最大超可积性。
2026-10-14 math-ph math.MP
A superintegrable quantum field theory
DAMTP, University of Cambridge（剑桥大学 DAMTP）；High Energy Physics Research Unit, Faculty of Science, Chulalongkorn University（朱拉隆功大学理学院高能物理研究单元）；Theoretische Natuurkunde, Vrije Universiteit Brussel (VUB) & International Solvay Institutes（布鲁塞尔自由大学理论物理系与国际索尔维研究所）
本文研究一个超可积量子场论，探讨其特征值、本征向量、守恒律和级联算子等结构，揭示其超越普通量子可积性的特性。
2026-05-07 hep-th math-ph math.AP
Ternary Poisson algebra for the non degenerate three dimensional Kepler Coulomb potential
在三维平坦空间中，任何经典的哈密顿量，包括哈密顿量在内，具有五个函数独立的运动积分，都是超可积的。Kalnins，Kress和Miller证明了，在非退化势，即线性依赖于四个参数的势，具有二次对称性的情况下，有一个与其他积分线性无关的第六次二次积分。这个第六积分的存在意味着运动积分构成了一个具有五个生成元的三元类亚费米二次泊松代数。由Verrier和Evans引入的Kepler Coulomb势是超可积系统的一个特例，在其余的二次积分中有两个独立的四阶运动积分。相应的Poisson积分代数是一个二次Poisson积分代数，具有相同的特殊形式，具有二次积分系统的非退化情况的特征。
2009-02-02 math-ph math.MP
Generalised Darboux-Koenigs Metrics and 3-Dimensional Superintegrable Systems
二维Darboux-Koenigs度量是一类重要的共形平坦的、具有单个Killing向量和一对二次Killing张量的非常曲率度量。在[arXiv：1804.06904]中，展示了如何通过使用2D欧几里得度量的共形对称来导出这些。在本文中，我们考虑的共形对称的3D欧氏度量和类似的推导出一个大家庭的共形平坦的度量拥有1和3之间的Killing向量（因此不是常曲率），连同一些二次Killing张量。我们把这些称为广义达布-柯尼希斯度量。从而构造了三自由度超可积系统的多参数族。限制参数增加等距代数，这使得我们能够完全确定第一积分的泊松代数。这个更大的代数的等距然后被用来减少从3到2自由度，获得达布-柯尼希斯动能与潜在的功能，这是特定的情况下，已知的超可积的潜力。
2019-05-05 math-ph math.MP nlin.SI
Real-analyticity of 2-dimensional superintegrable metrics and solution of two Bolsinov-Kozlov-Fomenko conjectures
Institut für Mathematik, Friedrich Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学数学研究所）
本文研究二维Riemannian度量在多项式动量积分类中的超可积性，基于核心定理证明了动量多项式积分的泊松括号为积分和哈密顿的代数函数，进而解决两个猜想并反驳特定度量的超可积性。
2025-06-16 math-ph math.DG math.DS
Structure Theory for Extended Kepler-Coulomb 3D Classical Superintegrable Systems
经典的Kepler-Coulomb系统在三维空间中是二阶超可积的，其对称代数在Poisson括号下多项式闭合。这种多项式封闭对于二维的二阶超可积系统和具有非退化（4-参数）势的三维的二阶系统是典型的。然而，三维扩展Kepler-Coulomb系统的退化三参数势（也是二阶超可积的）是一个例外，因为它的二次对称代数不是多项式闭合的。推广的Kepler-Coulomb系统的三维四参数势甚至不是二阶超可积的。然而，Verrier和Evans（2008）表明它是4阶超可积的，而Tanoudis和Daskaloyannis（2011）表明在量子情况下，如果第二个4阶对称被添加到生成元，对称代数中的双对称子多项式闭合。本文基于Tremblay，Turbiner和Winternitz构造，考虑了一类无穷大的经典扩展Kepler-Coulomb三参数和四参数系统，其指标为一对有理数$(k_1,k_2)$，当$k_1=k_2=1$ .我们证明了这些系统是任意高阶超可积的，并明确地给出了由我们构造的5个基生成元所决定的对称代数的结构。我们证明了对称代数合理关闭，只有系统允许额外的离散对称多项式封闭实现。结构理论的基础是运动的升降常数的存在，而不是动量中的多项式本身，可以用来构造多项式对称性及其结构关系。
2012-06-07 math-ph math.MP nlin.SI
Higher-order superintegrable momentum-dependent Hamiltonians on curved spaces from the classical Zernike system
我们考虑由$$\mathcal H_N = p_1^2 + p_2^2 +\sum_{n=1}^N γ_n(q_1 p_1 + q_2 p_2)^n ,$$给出的经典的动量或速度相关的二维哈密顿量，其中$q_i$和$p_i$是一般的正则变量，$γ_n$是任意系数，而$N\in \mathbb N$。对于$N=2$，由于两个$γ_1,γ_2$都不为零，这简化为经典的Zernike系统。我们证明了$\mathcal H_N$总是提供一个超可积系统（对于任何值的$γ_n$和$N$）通过获得相应的常数明确，原来是高阶的动量。这样的一般结果不仅适用于欧几里德平面，也适用于球面和双曲平面。在后者的弯曲空间中，$\mathcal H_N $用测地极坐标表示，表明这种新的超可积汉密尔顿量可以被视为各向同性1：1弯曲（希格斯）振子与偶阶非简谐振子的叠加加上另一个叠加高阶动量相关势。此外，还研究了由运动常数决定的对称代数，得到了一个$(2N-1)$阶多项式代数。作为一个副产品，哈密顿量$\mathcal H_N $被解释为一个家庭的超可积扰动的经典Zernike系统。最后，它表明，$\mathcal H_N$（因此泽尔尼克系统以及）被赋予泊松$\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ -余代数对称性，这将允许进一步可能的推广，也讨论了。
2023-01-04 math-ph math.MP nlin.SI
Generalized Kaluza-Klein monopole, quadratic algebras and ladder operators
我们提出了一个广义的Kaluza-Klein系统。我们解决了这个量子超可积系统的欧氏Taub螺母流形上使用相应的薛定谔方程在球坐标和抛物坐标的变量分离。我们提出了这个系统的运动积分，这些积分产生的二次代数，实现在变形振子代数使用Daskaloyannis建设和能量谱。结构常数和Casimir算子不仅是Hamilton算子的函数，而且是与二次代数的所有生成元交换的另两个积分的函数，从而构成一个Abel子代数。我们提出了另一个代数推导的能量谱的系统使用的因式分解方法和阶梯算子。
2011-03-02 hep-th math-ph math.MP
Quantum Deformations and Superintegrable Motions on Spaces with Variable Curvature
引入了一个拟极大超可积Hamilton算子的无穷族，该族具有运动的一个共同的（2N-3）积分集。所有这些哈密顿量的可积性是一个隐藏的非标准量子sl（2，R）泊松余代数对称性的后果。作为一个具体的应用程序，这个哈密尔顿算子之一，以产生测地线运动的某些流形上的一个非常数曲率，原来是一个函数的变形参数z。此外，在这个家庭中的另一个哈密顿示出产生黎曼和相对论空间的测地运动，所有的截面曲率是常数，等于变形参数z。利用余代数的对称性，这种方法可以推广到任意维数。
2007-02-14 math-ph math.MP math.QA
Algebraic properties of three-four dimensional anisotropic oscillator potentials through Hamiltonian chains
在这项工作中，哈密顿链的概念，提出了适用于各向异性振子势，特别是定义在三维和四维欧氏空间。一个哈密顿链是一个超可积的哈密顿量序列，此外，它还构成了一个新的超可积系统的运动积分。随着泊松代数链的量子对应物以及链的每个成员的特征值。该方法可以扩展到覆盖n维的情况。
2015-11-04 math-ph math.MP
On polynomial symmetry algebras underlying superintegrable systems in Darboux spaces
本文综述了三种构造Darboux空间中超可积系统多项式对称代数的方法，分别利用形变振子代数、诱导模构造及子代数交换子，以获取谱信息、构造态并发现新模型。
2023-09-10 math-ph math.MP math.RT
Ladder operators for solvable potentials connected with exceptional orthogonal polynomials
例外正交多项式构成了某些可解量子势的束缚态波函数的主要部分，它们是著名的形状不变波函数的有理扩展。前者的势是最容易建立从后者通过使用高阶超对称量子力学（SUSYQM）或达布方法。它们通常可以属于三种不同的类型（或它们的混合）：I型和II型，它们是严格的等谱的，III型，对于III型，k个额外的束缚态在起始势谱之下产生。一个著名的SUSYQM方法，使一个构造的阶梯算子的扩展潜力相结合的超荷与阶梯算子的启动潜力。由此产生的阶梯算子关闭一个多项式海森堡代数（PHA）与相应的哈密顿量。在III型扩展势的特殊情况下，对于该PHA，k个额外的束缚态形成k个与较高的激发态隔离的单线态。一些替代的梯子运营商的建设进行审查。其中，有一种方法结合了III型扩展势的状态添加和状态删除方法（或所谓的Darboux-Crum和Krein-Adler变换），并将k个额外的束缚态与更高的激发态混合。这种新的方法可用于建立二维超可积系统的运动积分的合理扩展的潜力。
2015-04-15 math-ph math.MP nlin.SI
Higher order superintegrability, Painlevé transcendents and representations of polynomial algebras
近年来，具有高阶运动积分的超可积系统的分类取得了进展。特别是，一个完整的分类与三阶或四阶积分的所有外来的潜力，并允许分离的变量在笛卡尔坐标系。所有具有五阶积分的双奇异势也被完全分类。证明了三阶微分方程的Chazy类在求解确定性方程中的重要作用。此外，利用各种算子代数定义的阿贝尔，海森堡，共形和梯形的情况下的算子代数，我们重新推导这些模型。这些新的技巧也提供了进一步的例子，超可积哈密顿积分的任意阶。已经证明，所有不满足任何线性方程的量子超可积势都满足具有Painlevé性质的非线性方程。此外，人们已经发现，他们的积分自然生成的多项式代数和表示可以用来计算能量谱。对于某些与特殊正交多项式相关的非常有趣的情况，这些代数结构不允许计算全谱和退化。它已被证明，替代集的积分，可以建立和使用，以提供一个完整的解决方案。这使得另一个猜想，即高阶超可积系统可以用代数方法求解，它们需要比直接方法所提供的积分更好的积分集。
2019-04-26 math-ph math.MP
Superintegrability on N-dimensional spaces of constant curvature from so(N+1) and its contractions
利用Lie-Poisson代数so（N+1）和它的某些压缩算子，在ND球面空间、欧氏空间、双曲空间、Minkowski空间和（反）de Sitter空间上构造了一族超可积Hamilton算子.首先给出了一个任意中心势与N个任意离心项的叠加的哈密顿量。这样的系统是准极大超可积的，因为它被赋予了2N-3个函数独立的运动常数（加上哈密顿量）。其次，我们通过选择一个特定的中心势，同时找到剩余的积分，确定了两个最大超可积的哈密顿量。前者是Smorodinsky-Winternitz系统在上述六种空间上的推广，后者是Kepler-Coulomb势的推广，并给出了它的Laplace-Runge-Lenz N-向量.所有的系统和常数的运动明确表示在一个统一的形式，在环境和极坐标，因为它们是参数化的两个收缩参数（曲率和签名的度量）。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Two-dimensional classical superintegrable systems: polynomial algebra of integrals
本文证明二维经典超可积系统的运动积分生成四维多项式代数，提出不依赖可分离性的构造方法，并应用于多个物理势，显式推导经典轨迹。
2025-06-20 math-ph math.MP
Poisson Centralisers and Polynomial Superintegrability for Magnetic Geodesic Flows on Reductive Homogeneous Spaces
Paris Curie Engineer School, Beijing University of Chemical Technology（北京化工大学巴黎居里工程师学院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究所）；Department of Mathematical and Physical Sciences, La Trobe University（拉筹伯大学数理科学学院）；School of Mathematics and Physics, The University of Queensland（昆士兰大学数学与物理学院）
本文研究了在紧致半单李群作用下的齐性空间上磁几何流的超可积性，通过构造两个多项式第一积分家族，揭示了其在泊松代数中的结构，并给出了两个SU(3)案例的显式动作-角坐标。
2026-05-13 math-ph math.MP
Algebraic Calculation of the Energy Eigenvalues for the Nondegenerate Three-Dimensional Kepler-Coulomb Potential
在三维平坦空间中，一个经典的哈密顿量，它有五个功能独立的运动积分，包括哈密顿量，是超可积的特征。Kalnins、Kress和Miller（J.Math.Phys.48（2007），113518，26页）已经证明，在非简并势的情况下，即在具有二次对称性的情况下，线性地依赖于四个参数的势，是第六次二次积分，其线性地独立于其它积分。这个第六积分的存在意味着运动积分形成了一个有五个生成元的三元二次泊松代数。Verrier和Evans（J. Math. Phys. 49（2008），022902，8页）研究的广义Kepler-Coulomb势的超可积性是超可积系统的特殊情况，在剩余的二次积分中具有两个独立的四阶运动积分。相应的泊松积分代数是一个二次的，具有相同的特殊形式，特征的非退化的情况下，系统的二次积分。本文讨论了对应于量子Verrier-Evans系统的三元二次结合代数。研究了该代数的子代数结构、Casimir算子和有限维表示，并计算了非退化Kepler-Coulomb的能量本征值.
2011-06-06 math-ph math.MP nlin.SI
An approach for obtaining integrable Hamiltonians from Poisson-commuting polynomial families
我们讨论了一个一般的方法，允许识别广泛的一类集合的泊松交换哈密顿，这是可积的意义上的刘维尔。它表明，所有这样的哈密顿量可以解决明确的分离的变量{ \em Ancillary}。该方法导致特别是一个证明，所谓的“金鱼”哈密顿量是最大的超可积，并导致一个基本的识别完整的一套运动积分。对合的哈密顿量与“金鱼”哈密顿量也显式集成。新的可积哈密顿量被确定，其中一些具有的性质，是isoelectric，即，所有的轨道有相同的周期。最后，一个特殊的结构被确定在泊松括号之间的基本对称函数和一组与“金鱼”哈密顿量交换的哈密顿量：这些可以表示为产品之间的基本对称函数和哈密顿量。该结构显示出相对于一个元素的不变性，并且具有对称性和封闭性。作者并不完全清楚这种结构的含义，但它是一个强大的工具。
2017-10-04 math-ph math.MP
The Perlick system type I: from the algebra of symmetries to the geometry of the trajectories
本文研究了极大超可积系统Perlick系统I的主要代数性质。考虑了相关参数$K$和$β$的所有可能值。特别是，根据进入度量的参数$K$的符号，运动将发生在紧致或非紧致黎曼流形上。为了执行我们的分析，我们遵循所谓的因式分解方法的经典变体。相应地，我们导出了运动常数的全集合，并构造了它们的泊松代数。正如对极大超可积系统所期望的那样，代数结构实际上也将揭示轨迹的几何特征，这些特征将在不同的初始数据和参数值下被描绘。特别是，理性参数$β$所起的关键作用将被视为“在行动中”。
2017-05-12 math-ph math.MP physics.class-ph
(Super)integrability from coalgebra symmetry: formalism and applications
回顾了从Poisson余代数构造经典可积系统的余代数方法，强调了辛实现在这一框架中所起的重要作用.给出了许多具有未变形或q-变形余代数对称性的哈密顿算子的例子，并讨论了它们的Liouville超可积性。其中，详细分析了N维非常曲率空间上的（拟极大）超可积系统。进一步推广的余代数方法，利用余代数和循环代数。这种余代数对称性框架推广到量子力学系统是简单的。
2009-05-08 math-ph math.MP nlin.SI
On realizations of polynomial algebras with three generators via deformed oscillator algebras
我们提出了最一般的多项式李代数所产生的二阶积分的运动和一个阶M，构造Casimir算子，并显示如何Jacobi恒等式提供了一个实现变形振子代数的存在。我们还提出了最一般的多项式Poisson代数的这种建设的经典模拟。两个特定的类，这样的多项式代数进行了讨论，包括各种二维超可积系统观察到的对称代数。
2014-02-14 math-ph math.MP
Superintegrability of a resonant ghostly tri-Hamiltonian model: polynomial first integrals and transcendental completion
City St George’s, University of London（伦敦城市圣乔治大学）；La Trobe University（拉筹伯大学）
研究三维共振不定动能哈密顿量的超可积性，发现多项式环含四次生成元，有理域秩四，超越不变量提升秩至五，实现最小与最大超可积，并给出量子对应。
2026-10-02 math-ph math.MP quant-ph
Recurrence relations and general solution of the exceptional Hermite equation
本文针对例外Hermite多项式$X_2^{(1)}$，利用阶梯算子构造新链，基于通解与合流Heun方程的联系建立Rodrigues公式，实现多项式与非多项式状态的纯代数构造及系数求解。
2022-11-01 math-ph math.MP
Spectrum generating algebra for the continuous spectrum of a free particle in Lobachevski space
本文对具有纯连续谱的量子系统：常负曲率Lobachevski空间中的量子自由粒子构造了一个谱生成代数。SGA包含系统的几何对称代数加上一个子代数的运营商，使系统的频谱和连接的本征函数之间的哈密顿量。在我们的例子中，几何对称代数是$\frak{so}(3,1)$，SGA是$\frak{so}(4,2)$。我们从一个表示$\frak{so}(4,2)$的功能上的实现的罗巴切夫斯基空间给出了一个两个单双曲面，其中的李代数代数算子是通常的泊松-狄拉克括号。然后，介绍一个量子化版本的表示，其中函数被替换为希尔伯特空间上的算子和泊松-狄拉克括号的算子。给出了哈密顿量的本征函数，并确定了“天真”梯形算子。先前定义的“朴素”阶梯算子将本征值移动一个复数，因此需要另一种方法。这是由一个非自伴函数的线性组合的阶梯运营商给出正确的关系之间的本征函数的哈密顿量。利用Hamilton函数的本征函数，给出了双曲上片上函数的本征函数展开式。
2012-01-13 math-ph math.MP
Classical Mechanics in Noncommutative Spaces: Confinement and More
该研究在半经典近似下探讨非对易空间中的点粒子动力学，发现动量空间曲率导致速度上限、斥力下的有界运动及库仑势下不落入中心等奇异现象，并揭示开普勒问题中非对易性的首阶修正等效于单极势。
2024-05-22 hep-th math-ph math.MP
Ladder operators and coherent states for multi-step supersymmetric rational extensions of the truncated oscillator
本文对谐振子在半平面上的多步有理扩张$x\ge0$构造了梯形算子$\tilde{C}$和$\tilde{C^\dagger}$.这些阶梯算子只在多项式海森堡代数的无限维表示中连接谱的所有状态。为了比较，我们还构建了两个不同的类的阶梯算子作用于这个系统，形成有限维以及无限维表示各自的多项式海森堡代数。对于有理延拓，我们构造的位置波函数的例外正交多项式。对于一个特定的参数选择，我们构建的相干态，本征向量的$\tilde{C}$一般复杂的本征值，$z$，作为叠加的能量本征向量的一个子集。然后我们计算这些相干态的性质，寻找经典或非经典行为。我们计算能量期望值作为$|z|$的函数。我们绘制位置的相干态的概率密度和从这些相干态形成的偶数和奇数猫态。我们绘制了特定选择$z$的维格纳函数。对于这些相干态，我们计算了它们在分束器一臂上的双激发数分布和输出态的线性熵。我们绘制了$x$和$p$中的标准差，发现在所考虑的区域中没有压缩。通过绘制相干态的Mandel $Q$参数与$|z|$的关系图，发现相干态的数统计是亚泊松的.
2018-11-23 math-ph math.MP quant-ph
Coherent states for ladder operators of general order related to exceptional orthogonal polynomials
我们构造了作用于谐振子有理形变的梯形算符$c(m)$和$c^\dagger(m)$的一般阶相干态$m$。本征向量的位置波函数涉及III型Hermite例外正交多项式。我们绘制的能量期望值，时间依赖的位置概率密度的相干态和奇偶猫态，维格纳函数，海森堡不确定性关系。我们发现一般的非经典行为，有一个例外：有一个政权的大幅度的相干态参数，$z$，否则模糊的位置概率密度分离成$m+1$不同的波包振荡和碰撞的潜力，形成干涉条纹时，他们碰撞。Mandel $Q$参数的计算，以找到亚泊松统计，非经典行为的另一个指标。我们绘制位置标准差，并发现在许多情况下的压缩。我们计算了当$m=4$、$μ=-5$相干态（其中$μ$标记叠加态中最低的权重）被放置在分束器的一个臂上时输出态的双光子数概率密度。我们发现，它不因式分解，再次表明非经典行为。对该分束器输出态的线性熵的计算显示出显著的纠缠，这是另一个非经典特征。我们还构建了线性化版本，$\tilde c(m)$，湮灭运营商和他们的相干态和计算相同的属性，我们调查的相干态。对于这些，我们发现类似的行为的$c(m)$相干态，在小得多的幅度$z$，但可比的平均能量。
2018-03-04 math-ph math.MP quant-ph
Polynomial algebras from Lie algebra reduction chains $\mathfrak{g} \supset \mathfrak{g}'$
本文通过李代数约化链构造多项式代数，分析Elliott链和Seniority模型链得到三生成元三次代数，并扩展到非半单代数，为核模型研究提供新视角。
2023-10-26 math-ph math.MP
Algebraic (super-)integrability from commutants of subalgebras in universal enveloping algebras
本研究从李代数泛包络代数的子代数交换子出发，提出代数哈密顿量与运动常数的代数构造方法，推导了$\frak{sl}(n)$相对Cartan子代数交换子的基与多项式代数阶，建立了其与球面超可积模型及Racah代数的联系，并在经典框架下完成构造。
2022-11-09 math-ph math.MP
