Superintegrable systems on spaces of constant curvature
给出了定义在常曲率空间上的二维超可积系统（即除了保证Liouville可积性的两个整体运动积分外，还允许第三个整体独立运动积分的系统）的构造和分类，这些超可积系统定义在所谓的测地极坐标系下的可分二维常曲率空间上.该方法适用于任意曲率的平面，包括欧氏平面、2-球面和双曲平面。所使用的数学基本上是“物理”的，特别是它指的是非常优雅的技术的作用角变量和微扰理论，所以我们的大多数数学公式有一个明确的物理意义。主要结果可以被认为是Bertrand定理在2D常曲率空间上的一种推广，它涵盖了大多数已知的此类空间上的可分和超可积模型（特别是最近引起一些兴趣的所谓Tremblay-Turbiner-Winternitz（TTW）和Post-Winternitz（PW）模型）。
2013-11-20 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable Systems in Darboux spaces
几乎所有关于超可积势的研究都涉及常曲率空间。在本文中，我们发现通过穷举计算，所有的超可积的潜力在四个达布空间的革命，至少有两个积分的运动平方的动量，除了汉密尔顿。这些是具有非常数曲率的二维空间。事实证明，通过“耦合常数变形”（或等价地，通过Staeckel乘子变换），所有这些势都等价于复欧氏2-空间或复2-球面上的超可积势。我们提出的结果表。
2003-07-18 math-ph math.MP
Quantum Deformations and Superintegrable Motions on Spaces with Variable Curvature
引入了一个拟极大超可积Hamilton算子的无穷族，该族具有运动的一个共同的（2N-3）积分集。所有这些哈密顿量的可积性是一个隐藏的非标准量子sl（2，R）泊松余代数对称性的后果。作为一个具体的应用程序，这个哈密尔顿算子之一，以产生测地线运动的某些流形上的一个非常数曲率，原来是一个函数的变形参数z。此外，在这个家庭中的另一个哈密顿示出产生黎曼和相对论空间的测地运动，所有的截面曲率是常数，等于变形参数z。利用余代数的对称性，这种方法可以推广到任意维数。
2007-02-14 math-ph math.MP math.QA
Quadratic algebra contractions and 2nd order superintegrable systems
二次代数是李代数的推广;它们包括二维中二阶超可积系统的对称代数作为特殊情况。超可积系统是经典力学和量子力学中精确可解的物理系统。对于常曲率空间，我们证明了由其欧几里得和正交对称代数的包络代数中的一阶和二阶元素生成的自由二次代数与定义在这些空间上的可能的具有势的超可积系统一一对应。我们描述了二次代数的收缩理论，并表明，常曲率超可积系统，普通李代数收缩诱导收缩的二次代数的超可积系统，对应于几何逐点限制的物理系统。一个结果是，通过将一般超可积量子系统在2-球面上的表示的函数空间实现（给出Racah/Wilson多项式的结构方程）收缩到其他超可积系统，可以获得正交超几何多项式的完整Askey方案。
2014-01-04 math-ph math.MP
Superintegrable anharmonic oscillators on N-dimensional curved spaces
从sl（2）-Poisson余代数对称性的角度重新讨论了N维常曲率空间中内禀谐振子势的极大超可积性。它示出了如何这种代数方法导致一个简单的定义一个新的大家庭的准极大超可积扰动的内在振荡器在这样的空间。此外，还将这种构造推广到了具有sl（2）-余代数对称性的非常曲率的N维空间.作为后一类系统的第一个例子，我们构造了N维Darboux空间上的振子势及其拟极大超可积非调和扰动族.
2008-05-14 math-ph math.MP nlin.SI
Separation equations for 2D superintegrable systems on constant curvature spaces
二维二阶共形量子超可积系统是流形上的Laplace方程，它带有附加的标势和$3$独立的二阶共形对称算子.它们以一种有效的方式编码了关于二维亥姆霍兹或时间无关薛定谔超可积系统的所有信息：这些系统中的每一个都允许一个二次对称代数（通常不是李代数），并且是多可分的。我们研究的分离方程的系统作为一个家庭，而不是单独的情况。我们表明，分离方程包括所有的各种类型的超几何和Heun方程在充分的一般性。特别是，它们产生了所有与Heun算子相关的一维薛定谔精确可解（ES）和准精确可解（QES）系统。我们专注于复杂的常曲率空间，并明确表明，有8对拉普拉斯分离类型，这些类型占所有可分离的坐标上的20平坦空间和9个2球Helmholtz超可积系统，包括那些为常势的情况。不同的系统通过Stäckel变换、对称代数和共形代数so（4，C）到自身的Böcher压缩联系起来，这使得所有系统都可以从一个单一的系统导出：复2-球面上的一般势。这种方法有利于特殊函数理论的统一观点，将超几何和Heun函数在充分的一般性。
2017-06-15 math-ph math.MP
Superintegrable Systems on 3 Dimensional Conformally Flat Spaces
我们考虑与3维共形平坦空间相联系的Hamilton算子，这些空间具有2维、3维和4维等距代数。利用共形代数构造了附加的{ \em二次}第一积分，从而构造了一大类超可积系统和第一积分的完备Poisson代数.然后，我们使用等距线将系统减少到2个自由度。对于每一个等距代数，我们给出了相应的广义哈密顿量的{ \em泛}约化.超可积特化以这种方式简化为达布-柯尼希斯型系统，其积分是三维系统的积分的简化。
2019-10-19 math-ph math.MP nlin.SI
Structure Theory for Second Order 2D Superintegrable Systems with 1-Parameter Potentials
对于具有非退化（3-参数）和（或）2-参数势的二维二阶超可积系统，由运动的一阶和二阶常数生成的二次代数的结构理论已得到很好的理解，但对于严格的1-参数情形，其结果还不完全。本文给出了这一结构理论，并证明了具有4个二阶运动常数的系统，其运动的一阶和二阶常数所生成的二次代数必在3阶闭合，且4个生成元之间存在函数关系。我们还证明了每一个单参数超可积系统都Stäckel等价于常曲率空间上的系统。
2009-01-20 math-ph math.MP nlin.SI
Quadratic Poisson algebras for two dimensional classical superintegrable systems and quadratic associative algebras for quantum superintegrable systems
经典的二维超可积系统的二次运动积分闭于一个约束的二次Poisson代数，并研究了它的一般形式.每个经典超可积问题都有一个对应的量子问题，即量子超可积系统。将二次Poisson代数变形为量子结合代数，利用变形的仿费米子振子技术计算了该代数的有限维表示。证明了二次代数的有限维表示由超可积系统的能量特征值决定。能量本征值的计算归结为代数方程的求解，而代数方程对所有二维运动二次积分超可积系统都是通用的。
2000-03-20 math-ph math.MP math.QA
Generalised Darboux-Koenigs Metrics and 3-Dimensional Superintegrable Systems
二维Darboux-Koenigs度量是一类重要的共形平坦的、具有单个Killing向量和一对二次Killing张量的非常曲率度量。在[arXiv：1804.06904]中，展示了如何通过使用2D欧几里得度量的共形对称来导出这些。在本文中，我们考虑的共形对称的3D欧氏度量和类似的推导出一个大家庭的共形平坦的度量拥有1和3之间的Killing向量（因此不是常曲率），连同一些二次Killing张量。我们把这些称为广义达布-柯尼希斯度量。从而构造了三自由度超可积系统的多参数族。限制参数增加等距代数，这使得我们能够完全确定第一积分的泊松代数。这个更大的代数的等距然后被用来减少从3到2自由度，获得达布-柯尼希斯动能与潜在的功能，这是特定的情况下，已知的超可积的潜力。
2019-05-05 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on N-dimensional spaces of constant curvature from so(N+1) and its contractions
利用Lie-Poisson代数so（N+1）和它的某些压缩算子，在ND球面空间、欧氏空间、双曲空间、Minkowski空间和（反）de Sitter空间上构造了一族超可积Hamilton算子.首先给出了一个任意中心势与N个任意离心项的叠加的哈密顿量。这样的系统是准极大超可积的，因为它被赋予了2N-3个函数独立的运动常数（加上哈密顿量）。其次，我们通过选择一个特定的中心势，同时找到剩余的积分，确定了两个最大超可积的哈密顿量。前者是Smorodinsky-Winternitz系统在上述六种空间上的推广，后者是Kepler-Coulomb势的推广，并给出了它的Laplace-Runge-Lenz N-向量.所有的系统和常数的运动明确表示在一个统一的形式，在环境和极坐标，因为它们是参数化的两个收缩参数（曲率和签名的度量）。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable quantum u(3)--systems and higher rank factorizations
一类常曲率曲面上的二维超可积系统被认为是某些著名的一维因子分解系统的自然推广。通过使用标准的方法来寻找形状不变的缠绕算子，我们得到了一个$so(6)$动力代数和它的Hamilton族。我们注意那些与某些酉不可约表示，可以显示的三维多面体晶格的手段。我们还讨论了超势在这一新的背景下的作用。
2006-01-31 math-ph math.MP
Superintegrable dynamics on $H^2$ generated by coupling the Morse and Rosen-Morse potentials
分析了二维双曲平面上Morse势和Rosen-Morse势耦合的哈密顿动力学。证明了所有有界运动的轨道都是闭的当且仅当Morse势的参数$\tilde a$与曲率绝对值的平方根的乘积是有理数.这种性质的轨迹相当于最大超可积性确认明确建设的多项式超常数的运动。
2020-12-15 math-ph math.MP nlin.SI
Two-dimensional superintegrable metrics with one linear and one cubic integral
我们描述了所有局部黎曼度量的曲面上的测地线流是超可积的一个积分的动量线性和一个积分的动量立方。我们还表明，这些指标中的一些可以扩展到2球。这给我们提供了新的例子，哈密顿系统的领域与三次积分的动量，和第一个例子的超可积度量的非常曲率的封闭曲面上
2010-10-22 math-ph math.AP math.DG
The Racah algebra and superintegrable models
拉卡代数的普适性将通过证明它是拉卡多项式、三个su（1，1）表示的再耦合和2-球面上一般二阶超可积模型的对称性之间关系的中心来说明。
2013-12-13 math-ph math.MP
Structure Relations and Darboux Contractions for 2D 2nd Order Superintegrable Systems
二维二次代数是李代数的推广，包括二维二阶超可积系统的对称代数作为特殊情况。超可积系统是经典力学和量子力学中精确可解的物理系统。不同的超可积系统和它们的二次代数可以通过由Inönü-Wigner型李代数压缩导出的几何压缩联系起来。这些几何压缩具有重要的物理和几何意义，如从${\hbar}\to 0$得到量子现象的极限的经典现象和从狭义相对论得到非相对论现象的极限的$c\to \infty$，以及推导得到所有超几何正交多项式作为Racah/Wilson多项式极限的Askey方案。本文给出了抽象非退化和退化二次代数及其压缩代数的结构关系的简化方法。在较早的论文中，我们分类压缩的二阶超可积系统的常曲率空间，并已表明，所有的结果是可导自自由二次代数包含在包络代数的李代数$e(2,{\mathbb C})$在平坦的空间和$o(3,{\mathbb C})$非零常曲率空间。二次代数压缩是由这些李代数的Inönü-Wigner压缩的推广导出的。作为特例，我们得到了超几何正交多项式的Askey格式.在这里，我们完成了这一理论发展的二维超可积系统表明，达布超可积系统的特点也是自由二次代数包含在这些空间的对称代数和他们的收缩也诱导Inönü-维格纳压缩。我们提出的收缩结果表。
2015-06-08 math-ph math.MP
Superintegrability in a non-conformally-flat space
二维和三维常曲率空间中的超可积系统已经得到了广泛的研究。由此，共形平坦空间中的超可积系统可以通过Staeckel变换来构造。本文将二维Tremblay-Turbiner-Winternitz系统的超可积性的证明方法推广到高维，在四维非共形平坦空间中找到了一个超可积系统，并发现对相应的经典势作曲率修正是必要的.发现对称代数的某些子代数是多项式闭的。
2012-11-07 math-ph math.MP
Superintegrability on Three-Dimensional Riemannian and Relativistic Spaces of Constant Curvature
本文构造了一类依赖于任意径向函数的经典超可积Hamilton算子，它们定义在三维球面、欧氏和双曲空间以及（2+1）维反de Sitter、Minkowski和de Sitter时空上.这样的系统承认三个积分的运动（除了汉密尔顿），这是明确给出的环境和测地极坐标。由此产生的表达式以统一的方式覆盖了六个空间，因为这些空间由两个收缩参数化，这两个收缩参数控制每个空间上的曲率和度量签名。接下来的两个最大超可积哈密顿量确定在初始超可积家庭找到其余的运动常数。前一个势是一个（弯曲的）中心谐振子与其他三个谐振子或离心屏障（取决于每个特定的空间）的叠加，因此这推广了Smorodinsky-Winternitz系统。后者是Kepler-Coulomb势与另外两个振子或离心垒的叠加。作为一个副产品，Laplace-Runge-Lenz向量为这些空间推导。此外，这两种潜力进行了详细分析，为每个特定的空间。最后对它们推广到任意维的情况提出了一些看法。
2006-01-27 math-ph math.MP nlin.SI
Classical and Quantum Superintegrability of Stäckel Systems
本文讨论了经典Stäckel系统和量子Stäckel系统的极大超可积性。我们证明了平坦或常曲率Stäckel系统是极大超可积的一个充分条件。此外，我们证明了一个充分条件的Stäckel变换保持最大超可积性，我们把这个条件应用到我们的类Stäckel系统，这产生新的最大超可积系统的保形变形的原始系统。此外，我们演示了如何执行的程序，考虑系统的最小量子化，以产生量子超可积和量子可分系统。
2017-01-30 math-ph math.MP nlin.SI
A maximally superintegrable deformation of the N-dimensional quantum Kepler-Coulomb system
证明了$N$维量子哈密顿量$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2 {|\mathbf{q} } | }{2(η+| {\mathbf{q}} |)} {\mathbf{\nabla}}^2 - \frac{k}{η+ |{\mathbf{q}} |} $对参数$η$的任意实正值都是精确可解的.在代数上，这个哈密顿系统可以被看作是$N$维Kepler-Coulomb哈密顿系统的一个新的极大超可积$η$ -变形，而从几何的观点来看，这个超可积哈密顿系统可以被解释为一个具有非常曲率的$N$维黎曼空间上的系统.明确地获得了该模型的本征值和本征函数，并且当形变参数$η$和耦合常数$k$为正值时，该谱呈现类氢形状。
2013-10-24 math-ph math.MP nlin.SI
Classical and quantum higher order superintegrable systems from coalgebra symmetry
研究了N维Bertrand空间作为极大超可积系统族在非常曲率空间上的推广。考虑到二维径向系统的分类允许3个动量至多平方的运动常数，我们将能够产生一类新的球对称M. S。系统，使用基于余代数的技术。这些系统的三维实现提供了经典球对称M.S.允许周期性轨迹的系统。我们表明，在尺寸N > 2这些系统（经典和量子）承认，在一般情况下，高阶运动常数，原来是完全可解的。此外，可以获得非径向M.S.通过引入原始径向系统到适当的低维空间的投影，
2013-04-17 math-ph math.MP
Maximally superintegrable Smorodinsky-Winternitz systems on the N-dimensional sphere and hyperbolic spaces
本文从李代数so_k（N+1）出发，同时研究了ND球面、欧氏空间S^N、欧氏空间E^N和双曲空间H^N上的经典Smorodinsky-Winternitz系统，这些系统包含对曲率k的参数依赖.给出了内禀测地坐标系下哈密顿量及其运动积分的一般表达式。每个李代数生成元产生一个运动积分，从而得到一组N（N+1）/2个积分。此外，2N-1功能独立的识别，这反过来表明，著名的Smorodinsky-Winternitz系统E^N上的极大超可积性时，曲率出现保持。在S^N和H^N上，所得到的系统可以被解释为一个“实际”振子和N个“理想”振子的叠加（对于球体，这些振子与实际振子相似），它们也可以被理解为N个“离心项”;这是在欧几里得极限情况下看到的形式。
2005-01-12 math-ph math.MP nlin.SI
Completeness of superintegrability in two-dimensional constant curvature spaces
我们在二维复欧氏空间中对所有经典超可积系统的哈密顿量$H=p_x^2+p_y^2+V(x,y)$进行了分类，给出了运动的二阶常数。我们同样对复2-球面上的超可积哈密顿量$H=J_1^2+J_2^2+J_3^2+V(x,y,z)$进行了分类，其中$x^2+y^2+z^2=1$ .这是在所有的一般性实现使用的性质的复杂欧几里德集团和复杂的正交集团。
2001-02-07 math-ph math.MP quant-ph
N-dimensional sl(2)-coalgebra spaces with non-constant curvature
引入了一类具有sl（2）-余代数对称性的ND空间.对于所有这些空间，测地流都是超可积的，并且它们的公共积分集的显式形式可以从底层的sl（2）-余代数结构中获得。特别地，具有欧氏签名的ND球对称空间被证明是sl（2）-余代数空间。作为这个建设的副产品，我们提出了ND推广的经典达布曲面，从而获得显着的超可积ND空间的非常曲率。
2007-07-02 hep-th math-ph math.MP
Bôcher Contractions of Conformally Superintegrable Laplace Equations
量子超可积系统的显式可解性是由于对称性，但对称性往往是“隐藏的”。二维二阶超可积系统的对称生成元在对易下闭合，从而定义了二次代数，这是李代数的推广。常曲率空间上的不同系统通过几何极限联系起来，这些几何极限由基础空间的对称代数的广义Inönü-Wigner李代数压缩引起。这些都有物理/几何的影响，如超几何正交多项式的Askey计划。然而，极限没有令人满意的李代数压缩解释的基础空间的1-或0-维李代数。我们表明，这些系统可以最好地理解他们的拉普拉斯共形超可积系统，与平坦的空间共形对称群${\rm SO}(4,{\mathbb C})$，并使用的想法介绍了在1894年的论文Bôcher研究可分离的解决方案的波动方程的根的二次型。我们表明，Bôcher的处方合并这些形式的根诱导收缩的共形代数$\mathfrak{so}(4,{\mathbb C})$本身，并产生一个机制，分类所有亥姆霍兹超可积系统及其限制。在论文[Acta Polytechnica，to appear，arXiv：1510.09067]中，我们宣布了我们的主要发现。本文提供了证据和更多的细节。
2016-04-19 math-ph math.MP
A new integrable anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
本文将具有Rosochatius（离心）项的二维欧氏各向异性振子哈密顿量推广到二维球面$S^2$和双曲空间$H^2$，并证明其运动的曲积分是动量平方的.为了构造这样一个新的可积哈密顿量$H_κ$，我们将利用群论的方法，其中的曲率$κ$的基础空间将被视为一个额外的（收缩）参数，我们将广泛使用的射影坐标和它们相关的相空间。结果表明，当振子参数$Ω_1$和$Ω_2$满足$Ω_2=4Ω_1$时，系统是$S^2$和$H^2$上著名的超可积1：2振子.然而，数值积分的轨迹$H_κ$表明，其他值的参数$Ω_1$和$Ω_2$的系统是不是超可积。通过这种方式，我们支持这样的猜想，即对于每个相称的（因此是超可积的）$m:n$欧几里德振子，存在一个双参数族的弯曲可积（但不是超可积的）振子，只有当参数被调谐到$m:n$可积性条件时才是超可积的。
2014-10-27 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable families of magnetic monopoles with non-radial potential in curved background
本文回顾并推广了三维欧氏空间及广义Taub-NUT空间中单极子系统的超可积性，通过共形变换将其扩展到特定弯曲背景，并给出非径向势情形下最小超可积性的新结果。
2024-07-16 math-ph math.MP
An infinite family of Dunkl type superintegrable curved Hamiltonians through coalgebra symmetry: Oscillator and Kepler-Coulomb models
通过引入新的sl(2,R)微分-差分实现和余代数方法，构造了共享2N-3个量子积分的Dunkl型超可积哈密顿量无穷族，涵盖振子与Kepler-Coulomb模型及其弯曲空间推广。
2025-07-04 math-ph math.MP nlin.SI
Examples of Complete Solvability of 2D Classical Superintegrable Systems
在$n$维中的经典（极大）超可积系统是具有$2n-1$独立运动常数的哈密顿系统，全局定义，可能的最大数目。它们非常特殊，因为它们可以用代数方法求解。在本文中，我们明确地表明，主要是通过2阶超可积系统在2维的例子，如何可以确定的轨迹，而基本的代数，几何和分析的方法，适用于封闭的二次代数的对称性的系统的详细。我们对待一个家庭的二阶退化系统：达布，非零常曲率，平坦的空间，通过收缩相互关联的振荡器类比，并遵守开普勒定律。然后，我们处理两个二阶非退化系统，一个类比的笼库仑问题的2球和它的收缩到一个欧几里德空间笼库仑问题。在所有情况下，对称代数结构提供了关于轨迹的详细信息。一个有趣的例子是“节拍器轨道”的出现，轨道被限制在一个弧线而不是一个环，这是从结构方程清楚地表明，但可能会被忽视使用更传统的方法。我们还处理后Winternitz系统，一个例子，一个经典的4阶超可积系统，不能使用分离变量来解决。最后，我们处理一个超可积系统，涉及到椭圆函数的加法定理，它的运动常数只有合理的动量，一个特别感兴趣的系统，因为它的运动常数产生一个封闭的多项式代数。本文包含许多新的结果，但我们试图提出的大多数材料的时尚，是很容易获得的非专家，以提供入口superintegrablity理论。
2015-11-03 math-ph math.MP
The classical Darboux III oscillator: factorization, Spectrum Generating Algebra and solution to the equations of motion
在最近的一篇论文中，所谓的谱生成代数（SGA）技术已被应用到N维Taub-NUT系统，一个最大超可积的哈密顿系统，它可以被解释为一个单参数变形的开普勒-库仑系统。这样的哈密尔顿算子与一个特定的非常曲率的伯特兰空间相关联。SGA程序揭示了哈密顿系统的对称代数基础，而且，使人们能够求解运动方程。在这里，我们将遵循同样的路径来处理达布III系统，另一个极大超可积系统，它确实可以被视为各向同性谐振子的自然变形，其中平坦的欧几里得空间再次被另一个非常曲率空间所取代。
2015-11-28 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on the Dunkl oscillator model in three-Dimensional spaces of constant curvature
本文研究了三维Dunkl振子模型，将超可积欧氏哈密顿系统推广到曲面系统。这些模型定义的基础上弯曲的哈密尔顿算子，这取决于变形参数的基础空间，并涉及反射算子。利用一维Dunkl振子的动力学$sl_{-1}(2)$代数的生成和湮灭算子，通过Cayley-Klein正交代数族中的Jordan-Schwinger表示，得到了它们的对称性.由此产生的代数是$so_{κ_1κ_2}(4)$的变形与反射，这是已知的约旦-Schwinger-Dunkl代数$jsd_{κ_1κ_2}(4)$。因此，这个模型被证明是最大超可积的。另一方面，从因子分解方法的角度研究了三维Dunkl振子模型的超可积性。该系统的频谱是通过分离变量在测地极坐标系中，并由此产生的本征函数的雅可比多项式代数给出。
2021-12-27 math-ph math.MP math.QA
Block regularization of the Kepler problem on surfaces of revolution with positive constant curvature
我们考虑同胚于$S^2$且具有常高斯曲率的旋转曲面上的开普勒问题。我们表明，该系统是最大的超可积，发现常数的运动推广的龙格-伦茨矢量。然后，使用这样的第一积分，我们确定类的表面，导致块正则化碰撞奇点。特别是，我们表明，奇点总是正则化的，如果表面是球面orbifolds的革命与常曲率。
2009-05-31 math-ph math.DG math.DS
Curvature from quantum deformations
一个泊松余代数模拟的（非标准）量子变形的sl（2），以产生一个可积的测地线动力学在某些二维空间的非常曲率。这样的曲率依赖于量子形变参数z，并且在极限z \to 0中恢复平坦的情况。超可积测地动力学也可以在同一框架下定义，相应的空间可以是黎曼或相对论时空（AdS和dS），其常曲率等于z。这种方法的基本余代数对称性保证了其推广到任意维数的存在性。
2005-04-07 hep-th math-ph math.MP
Quantum mechanics on spaces of nonconstant curvature: the oscillator problem and superintegrability
严格求出了N维非常曲率空间上非线性振子的量子态的全谱和本征函数，由于其下的曲率空间产生了依赖于位置的动能，在量子化后必须保持系统的最大超可积性的条件下，给出了三种不同的量子化公式.通过适当的相似变换，详细描述了这三个薛定谔问题之间的关系。这三种方法被用来说明N维弯曲空间的量子化问题的不同特点，或者，位置相关的质量量子哈密顿。据我们所知，这个量子振子是在具有非常数曲率的N维空间上的最大超可积量子系统的第一个例子。
2011-02-27 math-ph math.MP nlin.SI
The anisotropic oscillator on curved spaces: A new exactly solvable model
我们提出了一个新的精确可解（经典和量子）模型，可以解释为推广到二维球和双曲空间的二维各向异性振子与任何对频率$ω_x$和$ω_y$。新的弯曲哈密顿量${H}_κ$依赖于底层空间的曲率$κ$作为变形/收缩参数，而${H}_κ$的Liouville可积性依赖于它在测地平行坐标下的可分性，这推广了平面的笛卡尔坐标。此外，该系统被证明是superintegrable相称的频率$ω_x: ω_y$，从而模仿的行为的平坦的欧几里德的情况下，这是总是恢复在$κ\to 0$限制。在公度情况下的附加运动常数，正如预期的那样，在动量中是高阶的，并且可以通过对哈密顿量进行经典因式分解来明确推导。已知的$1:1$和$2:1$各向异性曲振子被恢复为${H}_κ$的特例，而其余的$ω_x: ω_y$曲振子定义了新的超可积系统.此外，量子哈密顿量$\hat {H}_κ$的充分建设和研究以下量子因式分解的方法。在公度频率的情况下，证明了哈密顿量$\hat {H}_κ$是量子超可积的，从而得到了一个新的精确可解量子模型。其相应的频谱，表现出最大的简并性，明确给出作为一个分析变形的欧几里德本征值的曲率$κ$和普朗克常数$\hbar$。事实上，这样的谱是作为两个一维（三角或双曲）Pösch-Teller特征值集的合成而获得的。
2016-05-08 math-ph math.MP nlin.SI
Coupling constant metamorphosis and Nth order symmetries in classical and quantum mechanics
我们回顾了耦合常数变态（CCM）和Stäckel变换的基本原理，并应用它们将所有阶的可积和超可积系统映射到不同流形上的其它系统.一般来说，CCM不保持运动常数的顺序，甚至不将动量多项式取为动量多项式。我们研究专业化的这些行动，保持多项式和结构的对称代数在经典和量子的情况下。我们给出了几个通过CCM得到的2维空间中的非常曲率3阶和4阶超可积系统的例子，并详细说明了变换作用所保持的对称代数的结构。
2009-08-31 math-ph math.DG math.MP
Integrable potentials on spaces with curvature from quantum groups
通过定义在sl（2）Poisson余代数的非标准量子变形上的Hamilton算子，构造了一类定义在二维球面、双曲和（反）de Sitter空间变形上的经典可积系统.所有这些空间都具有取决于变形参数z的非恒定曲率。作为特例，提出了谐振子和Kepler-Coulomb势在这种空间上的类似物。另一个变形的哈密顿量也被证明提供超可积系统通常的球，双曲和（反）德西特空间与常曲率，正好符合z。根据每个特定的空间，所得到的势被解释为中心谐振子与两个以上的振子或离心屏障的叠加。所有这些哈密顿量的非变形极限z=0可以被认为是零曲率极限（收缩），它导致平坦欧氏空间和闵可夫斯基空间上相应的（超）可积系统。
2005-08-08 math-ph math.MP math.QA
Superintegrability in a two-dimensional space of non-constant curvature
一个具有两个自由度的哈密顿量被称为超可积的，如果它允许三个函数独立的运动积分。这个性质已被广泛研究的情况下，二维空间的常数（可能为零）曲率时，所有的独立积分是二次或线性的典范动量。在这篇文章中的第一个步骤是采取解决问题的超可积性的这种类型的任意弯曲流形在二维。这是通过详细研究G.柯尼希斯我们确定，基本上有三个不同的潜力时，添加到自由哈密顿空间具有这种类型的超可积性。讨论了相应的Hamilton-Jacobi方程和Schroedinger方程的分离变量问题。与这些潜在的经典和量子二次代数的确定。
2001-08-21 math-ph math.MP nlin.SI
Quadratic symmetry algebras and Sturm algebraization of superintegrable systems with magnetic fields
Pabna University of Science and Technology（帕布纳科技大学）；La Trobe University（拉筹伯大学）
本文研究两个三维量子超可积磁系统，通过二次代数、分离变量和Sturm代数化获得三种互补的代数描述，揭示其隐藏结构与可解性。
2026-10-02 math-ph math.MP quant-ph
A Family of Exactly Solvable Radial Quantum Systems on Space of Non-Constant Curvature with Accidental Degeneracy in the Spectrum
提出了一类新的弯曲空间上的精确可解量子系统。该族是经典Perlick族的量子版本，它包括所有具有球对称性的最大超可积3维Hamilton系统。经典系统所表现出的大量对称性（几何和动力学）在量子系统的光谱中有一个对应的偶然简并。这一系列的量子问题是完全解决的技术的超对称量子力学。我们还详细分析了经典哈密顿量的动力学项的量子化中出现的排序问题，强调了两个物理意义的量子化之间存在的联系：几何量子化和位置相关的质量量子化。
2010-12-15 math-ph math.MP nlin.SI
Integrable geodesic motion on 3D curved spaces from non-standard quantum deformations
3D空间（一般来说，非常数）曲率和量子变形之间的联系。它示出了如何sl（2）泊松余代数的非标准变形生成一族可积的Hamilton算子，其表示具有非恒定曲率的3D流形上的测地线运动，该曲率是变形参数z的函数。定义在同一变形余代数上的一个不同的Hamilton算子也可以在截面曲率均为常数且等于z的3D黎曼空间和（2+1）维相对论空间上产生一个极大超可积测地运动.这种方法可以推广到任意维度。
2005-08-19 math-ph math.MP math.QA
Quantum two-dimensional superintegrable systems in flat space: exact-solvability, hidden algebra, polynomial algebra of integrals
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM（墨西哥国立自治大学核科学研究所）；Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montreal（蒙特利尔大学数学研究中心）
本文研究了六个二维量子超可积系统，揭示了其精确可解性、隐藏代数结构及多项式积分代数特性。
2026-03-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Superintegrable systems in curved spaces via coalgebras and deformed Racah algebras
Imperial College London（帝国理工学院）；La Trobe University（拉筹伯大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
该研究在抽象代数层面推导未变形与非标准q变形𝔰𝔩(2)余代数的泊松代数，构造弯曲空间超可积系统，证明相关恒等式并补充Stäckel模型的最大超可积性。
2026-10-14 math-ph math.MP
The anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
给出了$H=1/2(p_1^2+p_2^2)+ δq_1^2+(δ+ Ω)q_2^2 +\frac{λ_1}{q_1^2}+\frac{λ_2}{q_2^2}$给出的具有“离心”项的欧氏各向异性振子哈密顿量在二维球面S^2和双曲平面H^2上的可积推广.由此得到的广义哈密顿量H_κ显式地依赖于基础空间的常高斯曲率κ，使得这里给出的所有结果对S^2（κ>0），H^2（κ<0）和E^2（κ=0）同时成立。此外，还证明了H_κ对参数δ，Ω，λ_1和λ_2的任意值都是可积的.因此，H_κ也可以解释为弯曲Higgs振子的各向异性推广，即恢复为H_κ的各向同性极限Ω=0。此外，还对H_κ的一些轨迹进行了数值积分，并着重讨论了弯曲背景的引入所引起的动力学特征。讨论了H_κ的超可积性问题，重点讨论了Ω=3δ的情形，这是已知欧几里德哈密顿量H是超可积的情形之一（1：2振子）.数值结果表明，当Ω=3δ时，弯曲哈密顿量H_κ呈现非周期有界轨线，这似乎表明H_κ是H的一个非超可积推广.我们将这个结果与已知的1：2欧几里德振子的超可积曲线模拟H '_κ作了比较，表明H_κ的Ω=3δ特化与H'_κ不一致.最后，还详细讨论了H_κ中出现的弯曲“离心”项的几何解释。
2013-02-08 math-ph math.MP nlin.SI
The Kepler problem on 3D spaces of variable and constant curvature from quantum algebras
在变曲率和常曲率的三维空间上，利用量子sl（2，R）余代数（带变形参数z）构造了超可积的Kepler势，其中包括经典的球面、双曲和（反）de Sitter空间以及它们的非常曲率类似空间.在这种情况下，非变形极限z = 0与导致适当的欧几里得和闵可夫斯基空间/势的平坦收缩相一致。相应的哈密顿量承认运动的三个常数来自余代数结构。此外，开普勒势在常曲率空间上的最大超可积性是通过找到一个额外的运动常数来明确显示的，该运动常数来自于一个额外的对称性，而这个对称性是不能从量子代数中推导出来的。由此导出了这类空间的Laplace-Runge-Lenz向量，并分析了它的代数性质。
2006-04-05 math-ph math.MP
First Integrals of Extended Hamiltonians in n+1 Dimensions Generated by Powers of an Operator
我们描述了一个程序来构造多项式的动量第一积分的任意高的次数自然哈密尔顿算子$H$作为一维扩展的自然（测地线）$n$维哈密尔顿算子$L$。$L$的Liouville可积性蕴涵了$H$的（极小）超可积性。我们证明，作为自然可积条件的结果，它是必要的建设，与$L$相关的度量张量的曲率是常数。作为例子，该程序被应用到一维$L$，包括和改进以前的结果，和二维和三维$L$，提供新的超可积系统。
2012-01-02 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on N-dimensional curved spaces: Central potentials, centrifugal terms and monopoles
由一个弯曲的动力学项（取决于函数f）、一个中心势（取决于函数U）、一个狄拉克项和N个离心项构成的N维哈密顿量H对于函数f和U的任何选择都是准极大超可积的。利用H的sl（2，R）-余代数对称性证明了这一结果，从而得到了一组（2N-3）函数独立的运动积分。这样的运动常数是“普适的”，因为它们都与f和U无关。这个哈密顿量描述了粒子在任意中心势U作用下在任意ND球对称弯曲空间（其度规由函数f指定）上的运动，并且同时包括一个抛物型贡献以及N个打破球对称的离心项。此外，我们表明，两个适当的选择U提供的“本征”振荡器和KC潜力，这些弯曲的流形。作为一个副产品，MIC-Kepler，Taub-NUT和所谓的多重开普勒系统被证明属于这类超可积哈密顿量，并得到新的推广。讨论了四个达布曲面的N维推广的开普勒势和振子势。
2008-12-10 math-ph math.MP nlin.SI
Algebraic structures and Hamiltonians from the equivalence classes of 2D conformal algebras
本文提出基于二维共形代数子代数的代数方法，分类中心化子并构造具有代数积分的哈密顿量，揭示其对称代数为六维二次代数，并提供Casimir不变量，为Darboux空间超可积系统研究提供新视角。
2025-03-21 math-ph math.MP
Superintegrability on sl(2)-coalgebra spaces
我们回顾了最近推出的一套N维拟极大超可积哈密顿系统描述测地线运动，可用于产生“动态”一个大家庭的弯曲空间。从代数的观点出发，通过定义在sl（2）Poisson余代数或其量子变形上的动能Hamilton算子得到了这样的空间，并在这些空间上引入了某些势，赋予了相同的基本余代数对称性，从而保持了整个系统的超可积性.几个新的N=2的例子，这种建设明确给出，并强调特定的哈密顿导致空间的非常曲率。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Harmonic Oscillator on the ${\rm SO}(2,2)$ Hyperboloid
本文在Hamilton-Jacobi方程的框架下，完全解决了双曲空间$H_2^2$：$z_0^2+z_1^2-z_2^2-z_3^2=R^2$中谐振子的经典问题.我们证明了$H_2^2$上的谐振子与其它常曲率空间一样，是精确可解的，并且属于极大超可积系统类.证明了所有有界经典轨线都是闭的周期轨线。有界运动的轨道为椭圆或圆，无限长运动的轨道为超椭圆或等距曲线。
2015-11-25 math-ph math.MP
Pseudo-Riemannian metrics on closed surfaces whose geodesic flows admit nontrivial integrals quadratic in momenta, and proof of the projective Obata conjecture for two-dimensional pseudo-Riemannian metrics
我们描述了所有的伪黎曼度量的闭曲面的测地流允许非平凡积分平方动量。作为应用，我们解决了闭曲面上的Beltrami问题，证明了闭曲面上非常曲率的二次超可积度量的不存在性，并证明了投影Obata猜想的二维伪黎曼版本.
2010-02-20 math-ph math.DG math.MP
Universal Curvature Force on Dislocations from a Cartan Geometric Defect Action
Rathinam Technical Campus（拉蒂南技术校区）
该研究通过卡坦几何框架统一描述位错和位错，预测了曲率对位错的普遍 Magnus-like 力及位错驱动的重新连接事件。
2025-12-13 math-ph math.MP
The harmonic oscillator on Riemannian and Lorentzian configuration spaces of constant curvature
谐振子作为一种特殊的动力系统，不仅可以定义在欧几里得平面上，也可以定义在球面和双曲平面上，更一般地说，可以定义在任何具有常曲率和任何特征的度量的位形空间上，无论是黎曼（正定）还是洛伦兹（不定）。在本文中，我们使用Cayley-Klein（CK）型方法，同时研究了这些“弯曲"谐振子在任何这样的位形空间上的主要性质，其中两个自由参数$\ki, \kii$完全对应于曲率和签名类型的可能值：常曲率一般黎曼空间和洛伦兹空间（球面${\bf S}^2$，双曲平面${\bf H}^2$，AntiDeSitter球面${\bf AdS}^{\unomasuno}$和DeSitter球面${\bf dS}^{\unomasuno}$）出现在这个家族中，欧氏空间和闵可夫斯基空间作为平坦极限。我们解决的运动方程的“弯曲”谐振子，并获得明确的表达的轨道，通过使用三种不同的方法：第一，通过直接积分，第二，通过获得一般CK版本的比奈方程和第三，由于其superintegrable字符。轨道是二次曲线，其中心在任何CK空间的潜在原点，从而将这一众所周知的欧几里得性质推广到任何常曲率配置空间。文章的最后一部分，有更多的几何性质，提出了这些结果的理论二次曲线的空间常曲率这是相关的。
2007-09-17 math-ph math.DG math.MP
Integrable generalizations of oscillator and Coulomb systems via action-angle variables
N维常曲率空间上的振子系统和库仑系统可以通过用一个紧致的可积（N-1）维系统代替它们的角自由度来推广。我们提出了这样的模型中的径向自由度和角子系统的作用角变量的作用角制剂。作为一个例子，我们构造了由Tremblay，Turbiner和Winternitz以及Post和Winternitz引入的二维超可积模型的球面和伪球面推广.我们证明了这些系统的超可积性，并给出了它们的隐藏运动常数。
2011-11-18 hep-th math-ph math.MP
