Superintegrable families of magnetic monopoles with non-radial potential in curved background
本文回顾并推广了三维欧氏空间及广义Taub-NUT空间中单极子系统的超可积性，通过共形变换将其扩展到特定弯曲背景，并给出非径向势情形下最小超可积性的新结果。
2024-07-16 math-ph math.MP
On superintegrable monopole systems
在平坦空间和弯曲空间中具有相互作用的超可积系统引起了人们的广泛关注。例如，具有Taub-NUT度量的空间中的模型是众所周知的，它承认开普勒型对称性，并提供了通常开普勒问题的非平凡推广。本文综述了在平坦和弯曲的Taub-NUT空间中与Yang-Coulomb单极相互作用的超可积Kepler、MIC谐振子和形变Kepler系统的新族。我们提出了他们的高阶，代数独立的运动积分，通过直接和建设性的方法证明了模型的超可积性。这些积分构成某些李代数的Casimir算子的结构常数系统的对称多项式代数。这种代数方法提供了对能谱简并性以及波函数与微分方程和几何之间联系的更深入理解。
2018-02-19 math-ph math.MP
Hamiltonian systems admitting a Runge-Lenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds
Bertrand定理指出，在欧氏空间中，任何具有稳定圆轨道且有界轨道都是周期的球对称自然哈密顿系统，要么是谐振子，要么是开普勒系统。本文将这一经典结果推广到弯曲空间，证明了球对称黎曼3流形上满足Bertrand定理中相同条件的任何Hamilton算子都是超可积的，并且是由内禀振子或Kepler系统给出的。作为副产品，我们得到了广泛的新的超可积哈密顿系统。这个演示依赖于Perlick对Bertrand时空的分类，以及对Runge-Lenz矢量的一个合适的、全局定义的推广。
2009-07-30 math-ph math.MP nlin.SI
A new integrable anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
本文将具有Rosochatius（离心）项的二维欧氏各向异性振子哈密顿量推广到二维球面$S^2$和双曲空间$H^2$，并证明其运动的曲积分是动量平方的.为了构造这样一个新的可积哈密顿量$H_κ$，我们将利用群论的方法，其中的曲率$κ$的基础空间将被视为一个额外的（收缩）参数，我们将广泛使用的射影坐标和它们相关的相空间。结果表明，当振子参数$Ω_1$和$Ω_2$满足$Ω_2=4Ω_1$时，系统是$S^2$和$H^2$上著名的超可积1：2振子.然而，数值积分的轨迹$H_κ$表明，其他值的参数$Ω_1$和$Ω_2$的系统是不是超可积。通过这种方式，我们支持这样的猜想，即对于每个相称的（因此是超可积的）$m:n$欧几里德振子，存在一个双参数族的弯曲可积（但不是超可积的）振子，只有当参数被调谐到$m:n$可积性条件时才是超可积的。
2014-10-27 math-ph math.MP nlin.SI
New superintegrable models on spaces of constant curvature
众所周知，最公平的（最多？）定义在二维常曲率空间上，在（测地）极坐标下分离的一类二维超可积系统，由两类径向势（振子势或（广义）Kepler势）和相应的角势族来描述.与径向势不同的是，角势是由超越方程隐式地给出的（直到函数）。本文用初等函数构造了新的双参数角势族。结果表明，对于一个适当的选择参数的家庭对应的振子/开普勒型径向势减少到Poschl-Teller势。这允许考虑由这个家族定义的哈密顿系统作为Tremblay-Turbiner-Winternitz（TTW）或Post-Winternitz（PW）模型在平面上以及在常曲率的弯曲空间上的推广。
2019-07-26 math-ph math.MP nlin.SI
Klein-Gordonization: mapping superintegrable quantum mechanics to resonant spacetimes
我们描述了一个程序，自然地将静态弯曲时空中的相对论性Klein-Gordon方程与存在势的弯曲空间中的非相对论性量子运动联系起来。我们的程序是特别有吸引力的应用程序（通常，超可积）的问题，其能量谱是由一个二次函数的能级数，因为这样的系统的时空之一，获得拥有均匀间隔，共振频谱的频率为标量场的一定质量。这种构造是对以前研究过的希格斯振子和Anti-de Sitter时空之间的对应关系的推广，这对于理解Anti-de Sitter时空中的弱非线性动力学和希格斯振子的守恒量代数都很有用。我们的转换过程（“克莱因-戈登化”）减少到一个非线性椭圆方程密切联想到一个新兴的有关著名的Yamabe问题的微分几何。作为一个例子，我们明确地展示了如何将这个过程应用到超可积Rosochatius系统，从而产生一个大家庭的时空与共振谱的无质量波方程。
2018-01-15 gr-qc hep-th math-ph
Superintegrability on N-dimensional curved spaces: Central potentials, centrifugal terms and monopoles
由一个弯曲的动力学项（取决于函数f）、一个中心势（取决于函数U）、一个狄拉克项和N个离心项构成的N维哈密顿量H对于函数f和U的任何选择都是准极大超可积的。利用H的sl（2，R）-余代数对称性证明了这一结果，从而得到了一组（2N-3）函数独立的运动积分。这样的运动常数是“普适的”，因为它们都与f和U无关。这个哈密顿量描述了粒子在任意中心势U作用下在任意ND球对称弯曲空间（其度规由函数f指定）上的运动，并且同时包括一个抛物型贡献以及N个打破球对称的离心项。此外，我们表明，两个适当的选择U提供的“本征”振荡器和KC潜力，这些弯曲的流形。作为一个副产品，MIC-Kepler，Taub-NUT和所谓的多重开普勒系统被证明属于这类超可积哈密顿量，并得到新的推广。讨论了四个达布曲面的N维推广的开普勒势和振子势。
2008-12-10 math-ph math.MP nlin.SI
The anisotropic oscillator on curved spaces: A new exactly solvable model
我们提出了一个新的精确可解（经典和量子）模型，可以解释为推广到二维球和双曲空间的二维各向异性振子与任何对频率$ω_x$和$ω_y$。新的弯曲哈密顿量${H}_κ$依赖于底层空间的曲率$κ$作为变形/收缩参数，而${H}_κ$的Liouville可积性依赖于它在测地平行坐标下的可分性，这推广了平面的笛卡尔坐标。此外，该系统被证明是superintegrable相称的频率$ω_x: ω_y$，从而模仿的行为的平坦的欧几里德的情况下，这是总是恢复在$κ\to 0$限制。在公度情况下的附加运动常数，正如预期的那样，在动量中是高阶的，并且可以通过对哈密顿量进行经典因式分解来明确推导。已知的$1:1$和$2:1$各向异性曲振子被恢复为${H}_κ$的特例，而其余的$ω_x: ω_y$曲振子定义了新的超可积系统.此外，量子哈密顿量$\hat {H}_κ$的充分建设和研究以下量子因式分解的方法。在公度频率的情况下，证明了哈密顿量$\hat {H}_κ$是量子超可积的，从而得到了一个新的精确可解量子模型。其相应的频谱，表现出最大的简并性，明确给出作为一个分析变形的欧几里德本征值的曲率$κ$和普朗克常数$\hbar$。事实上，这样的谱是作为两个一维（三角或双曲）Pösch-Teller特征值集的合成而获得的。
2016-05-08 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable potentials on 3D Riemannian and Lorentzian spaces with non-constant curvature
在三维弯曲空间上构造了一个量子sl（2，R）余代数，这类超可积势包括球面空间、双曲空间和（反）de Sitter空间的非常曲率类似物.通过在两个不同的相空间上工作，充分研究了这些“变形”空间的连接和曲率张量。前者直接来自变形余代数的3D辛实现，而后者是通过映射到球型相空间而获得的。在这个框架中，非变形极限与导致欧几里得和闵可夫斯基空间/势的平坦收缩相一致。由此产生的哈密顿总是承认，至少有三个功能独立的运动常数来自余代数结构。此外，确定了这种非常曲率的黎曼和洛伦兹空间上的内禀振子和开普勒势，并明确给出了几个例子。
2008-12-22 math-ph math.MP nlin.SI
The anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
给出了$H=1/2(p_1^2+p_2^2)+ δq_1^2+(δ+ Ω)q_2^2 +\frac{λ_1}{q_1^2}+\frac{λ_2}{q_2^2}$给出的具有“离心”项的欧氏各向异性振子哈密顿量在二维球面S^2和双曲平面H^2上的可积推广.由此得到的广义哈密顿量H_κ显式地依赖于基础空间的常高斯曲率κ，使得这里给出的所有结果对S^2（κ>0），H^2（κ<0）和E^2（κ=0）同时成立。此外，还证明了H_κ对参数δ，Ω，λ_1和λ_2的任意值都是可积的.因此，H_κ也可以解释为弯曲Higgs振子的各向异性推广，即恢复为H_κ的各向同性极限Ω=0。此外，还对H_κ的一些轨迹进行了数值积分，并着重讨论了弯曲背景的引入所引起的动力学特征。讨论了H_κ的超可积性问题，重点讨论了Ω=3δ的情形，这是已知欧几里德哈密顿量H是超可积的情形之一（1：2振子）.数值结果表明，当Ω=3δ时，弯曲哈密顿量H_κ呈现非周期有界轨线，这似乎表明H_κ是H的一个非超可积推广.我们将这个结果与已知的1：2欧几里德振子的超可积曲线模拟H '_κ作了比较，表明H_κ的Ω=3δ特化与H'_κ不一致.最后，还详细讨论了H_κ中出现的弯曲“离心”项的几何解释。
2013-02-08 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable systems in curved spaces via coalgebras and deformed Racah algebras
Imperial College London（帝国理工学院）；La Trobe University（拉筹伯大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
该研究在抽象代数层面推导未变形与非标准q变形𝔰𝔩(2)余代数的泊松代数，构造弯曲空间超可积系统，证明相关恒等式并补充Stäckel模型的最大超可积性。
2026-10-14 math-ph math.MP
On two superintegrable nonlinear oscillators in N dimensions
我们考虑由$H=T+U={p^2}/{2(1+λq^2)}+{ω^2 q^2}/{2(1+λq^2)}$给出的经典超可积Hamilton系统，其中U是由动能项T确定的，参数化为λ的非常曲率达布空间上的“内禀”振子势.我们证明了H是Stackel等价于自由欧几里得运动，这一事实直接提供了H的运动常数的弯曲的Fradkin张量。此外，我们还分析了由T提供测地运动的三种不同的底层流形。因此，我们发现，H包括三个不同的非线性物理模型，通过构建其径向有效势，被证明是两个不同的非线性振子和无限势垒。这两个振荡器的量子化及其与球形约束模型的连接进行了简要讨论。
2010-10-16 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable systems, polynomial algebra structures and exact derivations of spectra
超可积系统是一类具有比自由度更多守恒量的物理系统。对这些系统的研究有着悠久的历史，并继续引起国际上的极大关注。本文研究了具有标量势和矢量势的有限维量子超可积系统。在欧氏空间中引入了新的具有非中心项和双奇异谐振子的$N$维超可积Kepler-Coulomb系统族，在平坦和弯曲的Taub-NUT空间中引入了新的超可积Kepler、MIC-谐振子和与Yang-Coulomb磁单极相互作用的变形Kepler系统族.我们证明了它们的多重可分性，并得到了它们在不同坐标系中的薛定谔波函数。我们证明了波函数由（例外）正交多项式和Painlevé超越（超几何型）给出。我们通过直接的和构造性的方法构造了系统的高阶代数独立运动积分。这些积分形式（高阶）多项式代数的结构常数涉及某些李代数的卡西米尔算子。我们得到了多项式代数的有限维酉表示，并给出了这些系统的退化能谱的代数导子。最后，我们利用例外正交多项式给出了一个广义超可积Kepler-Coulomb模型，并利用分离变量法和代数方法得到了它的能谱.
2018-02-23 math-ph math.MP
Factorization Way to Symmetries of Systems on Curved Spaces
本文将因子化方法推广至常曲率空间，以弯曲 Kepler-Coulomb、Harmonic Oscillator、SW 及 Evans 系统为例，求解超可积系统的对称性。
2024-07-26 math-ph math.MP
The Quantum Geometric Tensor in a Parameter Dependent Curved Space
在度量依赖于参数的弯曲空间中引入量子几何张量，它包含量子度量张量作为对称部分和对应于反对称部分的Berry曲率.这个依赖于参数的度规修改了通常的内积，通过增加与度规行列式参数的导数成比例的项，导致量子度规张量和Berry曲率的修改。量子度规张量的计算方法有两种：一种是利用依赖于参数的弯曲空间中两态之间的无穷小距离的定义，另一种是利用保真度磁化率方法。通常的Berry联络获得了一个附加项，利用这个附加项，曲内积将Berry联络转换为一个对象，该对象变换为一个联络和权密度1。最后，我们提供了三个例子，在一维与非平凡的度量：一个非谐振子，Morse的潜力，和一个广义的非谐振子;和一个在两个维度：耦合非谐振子在弯曲的空间。
2022-09-16 math-ph math.MP quant-ph
Integrable and Superintegrable Potentials of 2d Autonomous Conservative Dynamical Systems
我们考虑一般的二次第一积分（QFI）的形式$I=K_{ab}(t,q)\dot{q}^{a}\dot{q}^{b}+K_{a}(t,q)\dot{q}^{a}+K(t,q)$和要求的条件$dI/dt=0$。后者的结果在一个系统的偏微分方程，其中涉及张量$K_{ab}(t,q)$，$K_{a}(t,q)$，$K(t,q)$和动力学方程的动力学量。这些方程可分为两组。第一组只涉及配置空间的几何量，第二组包含这些量与动态场的相互作用。提出了一个定理，它提供了一个系统的解决方案的方程组的动力学度量的配置空间中的直射。这个解决方案是几何和协变的，适用于更高的维度和弯曲空间。结果适用于简单但有趣的情况下，二维（2d）自治保守牛顿势。发现二维可积势有两类，两类中均存在超可积势。我们恢复大多数主要的先前的结果，这已经得到了各种方法，在一个单一的和系统的方式。
2020-10-10 math-ph math.MP
Maximal superintegrability of the generalized Kepler--Coulomb system on N-dimensional curved spaces
最近，通过找到一个附加的（隐藏的）动量四次积分，在三维欧几里得空间上叠加有三个离心项的开普勒-库仑势被证明是最大超可积的[Verrier P E and Evans N W 2008 J. Math. Phys. 49 022902]。在本文中，我们提出的推广，这一结果的ND球面，双曲和欧几里德空间，利用统一的对称性的方法，利用曲率参数。由此产生的哈密顿量，形成的（弯曲）开普勒-库仑势连同N离心条款，被赋予（2N-1）功能独立的运动积分：其中一个是四次和其余的是二次。从适当的开普勒-库仑势，其相关的二次Laplace-Runge-Lenz N-向量，广义系统的过渡得到了充分的描述。在所有这些系统中的球形，非线性（立方），和余代数对称性的作用是突出的。
2009-03-13 math-ph math.MP nlin.SI
Integrable geodesic motion on 3D curved spaces from non-standard quantum deformations
3D空间（一般来说，非常数）曲率和量子变形之间的联系。它示出了如何sl（2）泊松余代数的非标准变形生成一族可积的Hamilton算子，其表示具有非恒定曲率的3D流形上的测地线运动，该曲率是变形参数z的函数。定义在同一变形余代数上的一个不同的Hamilton算子也可以在截面曲率均为常数且等于z的3D黎曼空间和（2+1）维相对论空间上产生一个极大超可积测地运动.这种方法可以推广到任意维度。
2005-08-19 math-ph math.MP math.QA
Superintegrability on Three-Dimensional Riemannian and Relativistic Spaces of Constant Curvature
本文构造了一类依赖于任意径向函数的经典超可积Hamilton算子，它们定义在三维球面、欧氏和双曲空间以及（2+1）维反de Sitter、Minkowski和de Sitter时空上.这样的系统承认三个积分的运动（除了汉密尔顿），这是明确给出的环境和测地极坐标。由此产生的表达式以统一的方式覆盖了六个空间，因为这些空间由两个收缩参数化，这两个收缩参数控制每个空间上的曲率和度量签名。接下来的两个最大超可积哈密顿量确定在初始超可积家庭找到其余的运动常数。前一个势是一个（弯曲的）中心谐振子与其他三个谐振子或离心屏障（取决于每个特定的空间）的叠加，因此这推广了Smorodinsky-Winternitz系统。后者是Kepler-Coulomb势与另外两个振子或离心垒的叠加。作为一个副产品，Laplace-Runge-Lenz向量为这些空间推导。此外，这两种潜力进行了详细分析，为每个特定的空间。最后对它们推广到任意维的情况提出了一些看法。
2006-01-27 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on the Dunkl oscillator model in three-Dimensional spaces of constant curvature
本文研究了三维Dunkl振子模型，将超可积欧氏哈密顿系统推广到曲面系统。这些模型定义的基础上弯曲的哈密尔顿算子，这取决于变形参数的基础空间，并涉及反射算子。利用一维Dunkl振子的动力学$sl_{-1}(2)$代数的生成和湮灭算子，通过Cayley-Klein正交代数族中的Jordan-Schwinger表示，得到了它们的对称性.由此产生的代数是$so_{κ_1κ_2}(4)$的变形与反射，这是已知的约旦-Schwinger-Dunkl代数$jsd_{κ_1κ_2}(4)$。因此，这个模型被证明是最大超可积的。另一方面，从因子分解方法的角度研究了三维Dunkl振子模型的超可积性。该系统的频谱是通过分离变量在测地极坐标系中，并由此产生的本征函数的雅可比多项式代数给出。
2021-12-27 math-ph math.MP math.QA
${\cal N}{=}\,4$ supersymmetric mechanics on curved spaces
我们提出了${\cal N}{=}\,4$超对称力学的$n$维黎曼流形内构造的哈密顿方法。进入超荷和哈密顿量的结构函数服从修改后的协变常数方程，以及修改后的Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程指定的流形的曲率张量的存在。在平坦空间中定义${\cal N}{=}\,4$超共形力学的原始Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程和相关的预势的解可以提升到$so(n)$ -不变的黎曼流形.对于哈密顿量，这个提升产生了一个额外的势项，在球面和（双叶）双曲面上，它变成了希格斯振子势。特别是，一维共形力学的$n$副本之和导致希格斯振子的特定超可积变形。
2018-04-07 hep-th math-ph math.MP
Quantum mechanics on spaces of nonconstant curvature: the oscillator problem and superintegrability
严格求出了N维非常曲率空间上非线性振子的量子态的全谱和本征函数，由于其下的曲率空间产生了依赖于位置的动能，在量子化后必须保持系统的最大超可积性的条件下，给出了三种不同的量子化公式.通过适当的相似变换，详细描述了这三个薛定谔问题之间的关系。这三种方法被用来说明N维弯曲空间的量子化问题的不同特点，或者，位置相关的质量量子哈密顿。据我们所知，这个量子振子是在具有非常数曲率的N维空间上的最大超可积量子系统的第一个例子。
2011-02-27 math-ph math.MP nlin.SI
Lax pairs and $r$-matrices for some two-dimensional isotropic oscillators
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；Bhabha Atomic Research Centre（巴哈原子研究中心）；Indian Institute of Science Education and Research Tirupati（印度科学教育与研究学院提鲁帕蒂分校）
研究二维圆对称谐波、福克 - 达尔文型和四次非谐波振子的拉克斯对，发现二维各向同性谐波振子的相关情况，构建二次 + 四次各向同性非谐波振子等的拉克斯对和r矩阵，通过变量变换还适用于拉杰夫 - 兰肯模型。
2026-07-24 math-ph math.DS math.MP
Superintegrability on sl(2)-coalgebra spaces
我们回顾了最近推出的一套N维拟极大超可积哈密顿系统描述测地线运动，可用于产生“动态”一个大家庭的弯曲空间。从代数的观点出发，通过定义在sl（2）Poisson余代数或其量子变形上的动能Hamilton算子得到了这样的空间，并在这些空间上引入了某些势，赋予了相同的基本余代数对称性，从而保持了整个系统的超可积性.几个新的N=2的例子，这种建设明确给出，并强调特定的哈密顿导致空间的非常曲率。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Geometry and integrability in $\mathcal{N}=8$ supersymmetric mechanics
构造了位形空间为刚性型特殊Kähler流形的带势项的$\mathcal{N}=8$超对称力学，并证明了它可以看作是与“弯曲WDVV方程”相关的$\mathcal{N}=4$力学的Kähler对应体.然后，我们考虑了具有非零势项的超对称力学的特殊情形，该势项定义在$U(1)$ -不变的一维（复）特殊Kähler度量族上.这些系统的玻色子部分包括受扰二维振子和库仑系统的超可积变形。
2019-08-18 hep-th math-ph math.MP
A new exactly solvable quantum model in N dimensions
考虑由弯曲动力学项和本征振子势形成的N维位置相关质量Hamilton（取决于参数λ）。结果表明，对于参数λ的任何实正值，这样的哈密顿量都是精确可解的.在代数上，这个哈密顿量可以看作是N维各向同性振子的一个新的极大超可积λ-变形，从几何上看，这个系统就是具有非常曲率的N维双曲空间上的内禀振子势.该模型的谱是类氢的，通过适当地变形N维谐振子的对称性，得到了它们的本征值和本征函数。设想对这种构造进行进一步推广，从而产生新的精确可解模型。
2011-02-27 math-ph math.MP nlin.SI
A Family of Exactly Solvable Radial Quantum Systems on Space of Non-Constant Curvature with Accidental Degeneracy in the Spectrum
提出了一类新的弯曲空间上的精确可解量子系统。该族是经典Perlick族的量子版本，它包括所有具有球对称性的最大超可积3维Hamilton系统。经典系统所表现出的大量对称性（几何和动力学）在量子系统的光谱中有一个对应的偶然简并。这一系列的量子问题是完全解决的技术的超对称量子力学。我们还详细分析了经典哈密顿量的动力学项的量子化中出现的排序问题，强调了两个物理意义的量子化之间存在的联系：几何量子化和位置相关的质量量子化。
2010-12-15 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability in a two-dimensional space of non-constant curvature
一个具有两个自由度的哈密顿量被称为超可积的，如果它允许三个函数独立的运动积分。这个性质已被广泛研究的情况下，二维空间的常数（可能为零）曲率时，所有的独立积分是二次或线性的典范动量。在这篇文章中的第一个步骤是采取解决问题的超可积性的这种类型的任意弯曲流形在二维。这是通过详细研究G.柯尼希斯我们确定，基本上有三个不同的潜力时，添加到自由哈密顿空间具有这种类型的超可积性。讨论了相应的Hamilton-Jacobi方程和Schroedinger方程的分离变量问题。与这些潜在的经典和量子二次代数的确定。
2001-08-21 math-ph math.MP nlin.SI
The harmonic oscillator on Riemannian and Lorentzian configuration spaces of constant curvature
谐振子作为一种特殊的动力系统，不仅可以定义在欧几里得平面上，也可以定义在球面和双曲平面上，更一般地说，可以定义在任何具有常曲率和任何特征的度量的位形空间上，无论是黎曼（正定）还是洛伦兹（不定）。在本文中，我们使用Cayley-Klein（CK）型方法，同时研究了这些“弯曲"谐振子在任何这样的位形空间上的主要性质，其中两个自由参数$\ki, \kii$完全对应于曲率和签名类型的可能值：常曲率一般黎曼空间和洛伦兹空间（球面${\bf S}^2$，双曲平面${\bf H}^2$，AntiDeSitter球面${\bf AdS}^{\unomasuno}$和DeSitter球面${\bf dS}^{\unomasuno}$）出现在这个家族中，欧氏空间和闵可夫斯基空间作为平坦极限。我们解决的运动方程的“弯曲”谐振子，并获得明确的表达的轨道，通过使用三种不同的方法：第一，通过直接积分，第二，通过获得一般CK版本的比奈方程和第三，由于其superintegrable字符。轨道是二次曲线，其中心在任何CK空间的潜在原点，从而将这一众所周知的欧几里得性质推广到任何常曲率配置空间。文章的最后一部分，有更多的几何性质，提出了这些结果的理论二次曲线的空间常曲率这是相关的。
2007-09-17 math-ph math.DG math.MP
