Generalised Darboux-Koenigs Metrics and 3-Dimensional Superintegrable Systems
二维Darboux-Koenigs度量是一类重要的共形平坦的、具有单个Killing向量和一对二次Killing张量的非常曲率度量。在[arXiv：1804.06904]中，展示了如何通过使用2D欧几里得度量的共形对称来导出这些。在本文中，我们考虑的共形对称的3D欧氏度量和类似的推导出一个大家庭的共形平坦的度量拥有1和3之间的Killing向量（因此不是常曲率），连同一些二次Killing张量。我们把这些称为广义达布-柯尼希斯度量。从而构造了三自由度超可积系统的多参数族。限制参数增加等距代数，这使得我们能够完全确定第一积分的泊松代数。这个更大的代数的等距然后被用来减少从3到2自由度，获得达布-柯尼希斯动能与潜在的功能，这是特定的情况下，已知的超可积的潜力。
2019-05-05 math-ph math.MP nlin.SI
Bôcher Contractions of Conformally Superintegrable Laplace Equations
量子超可积系统的显式可解性是由于对称性，但对称性往往是“隐藏的”。二维二阶超可积系统的对称生成元在对易下闭合，从而定义了二次代数，这是李代数的推广。常曲率空间上的不同系统通过几何极限联系起来，这些几何极限由基础空间的对称代数的广义Inönü-Wigner李代数压缩引起。这些都有物理/几何的影响，如超几何正交多项式的Askey计划。然而，极限没有令人满意的李代数压缩解释的基础空间的1-或0-维李代数。我们表明，这些系统可以最好地理解他们的拉普拉斯共形超可积系统，与平坦的空间共形对称群${\rm SO}(4,{\mathbb C})$，并使用的想法介绍了在1894年的论文Bôcher研究可分离的解决方案的波动方程的根的二次型。我们表明，Bôcher的处方合并这些形式的根诱导收缩的共形代数$\mathfrak{so}(4,{\mathbb C})$本身，并产生一个机制，分类所有亥姆霍兹超可积系统及其限制。在论文[Acta Polytechnica，to appear，arXiv：1510.09067]中，我们宣布了我们的主要发现。本文提供了证据和更多的细节。
2016-04-19 math-ph math.MP
Adding Potentials to Superintegrable Systems with Symmetry
在以前的工作中，我们已经考虑了与三维共形平坦空间相关联的Hamilton算子，这些空间具有2，3和4维等距代数。以前我们的哈密顿量代表自由运动，但在这里我们考虑的问题，增加潜在的功能存在的对称性。对于Darboux-Koenigs哈密顿量，三维空间中的可分离势可化为3或4参数势。其他3D坐标系揭示了Darboux-Koenigs和其他著名的超可积哈密顿量之间的联系，如开普勒问题和各向同性振子。
2020-09-22 math-ph math.MP nlin.SI
Contractions of Degenerate Quadratic Algebras, Abstract and Geometric
二次代数是李代数的推广，它包括二维二阶超可积系统的对称代数作为特例。超可积系统是经典力学和量子力学中精确可解的物理系统。不同的超可积系统和它们的二次代数可以通过共形李代数$\mathfrak{so}(4,\mathbb {C})$对自身的Bôcher压缩所诱导的几何压缩来联系。二维二次代数有两种，非退化的和退化的。在几何的情况下，这些对应于3参数和1参数的潜力，分别。在前一篇文章中，我们用标准型对所有抽象的无参数非退化二次代数进行了分类，并确定了哪些抽象的无参数非退化二次代数可以实现为常曲率空间和Darboux空间上的二维非退化超可积系统的二次代数，研究了这些系统的Bôcher压缩与自由二次代数的抽象压缩之间的关系.在这里，我们进行了一个类似的研究抽象参数自由退化二次代数及其可能的几何实现。我们证明了在相空间中唯一可以构造的自由退化二次代数是由超可积性产生的。我们分类所有的Bôcher压缩有关退化超可积系统，并分别，所有的抽象压缩有关自由退化二次代数。我们指出少数例外抽象的压缩不能实现的几何Bôcher压缩。
2017-12-31 math-ph math.MP
Superintegrable systems in non-Euclidean plane: hidden symmetries leading to linearity
十九个经典的超可积系统在二维非欧空间具有隐藏的对称性，导致其线性化。这两个系统是Perlick系统[A. Ballesteros，A. Enciso、F.J. Herranz和O.拉格尼斯科同学们量子重力25，165005（2008）]、Taub-NUT系统[A. Ballesteros，A. Enciso，F.J. Herranz，O. Ragnisco和D. Riglioni，SIGMA 7，048（2011）]，以及[E.G. Kalnins，J.M.克雷斯，W. Miller，P. Winternitz，J.Math.Phys.44，5811- 5848（2003）]。
2021-01-13 math-ph math.MP
Bôcher and Abstract Contractions of 2nd Order Quadratic Algebras
二次代数是李代数的推广，它包括二维二阶超可积系统的对称代数作为特例。超可积系统是经典力学和量子力学中精确可解的物理系统。不同的超可积系统和它们的二次代数可以通过共形李代数${\mathfrak{so}}(4,\mathbb {C})$对自身的Bôcher压缩所诱导的几何压缩来联系。在本文中，我们给出了Bôcher压缩的精确定义，并说明了如何对它们进行分类。它们继承了${\mathfrak{e}}(2,\mathbb {C})$和${\mathfrak{so}}(3,\mathbb {C})$的著名压缩，并具有重要的物理和几何意义，如推导出用于获得所有超几何正交多项式作为Racah/Wilson多项式极限的Askey方案。我们还分类抽象的非退化二次代数的不变量，我们称之为一个典型的形式。我们描述了一个算法，找到这样的代数的标准型。我们明确计算了常曲率空间和达布空间上二维非退化超可积系统的二次代数的所有标准形。我们进一步讨论了二次代数的压缩，重点是那些来自超可积系统。
2017-03-06 math-ph math.MP
Contractions of 2D 2nd Order Quantum Superintegrable Systems and the Askey Scheme for Hypergeometric Orthogonal Polynomials
我们明确地表明，所有的2阶超可积系统在2维是一个单一的系统的极限情况：一般的3参数的潜力2球，在我们的清单中S9。我们将李代数压缩的Wigner-Inönü方法推广到二次代数的压缩，并证明了这些系统的所有二次对称代数都是S9的压缩.令人惊讶的是，这些超可积系统在平坦空间和球面上的所有相关压缩都是由著名的李代数压缩e（2）和so（3）唯一诱导的。通过将S9代数的不可约表示的函数空间实现（给出Racah/Wilson多项式的结构方程）收缩到其它超可积系统，并利用Wigner的"节省"表示的思想，得到了超几何正交多项式的完整Askey格式.这种关系直接将多项式及其结构方程与物理现象联系起来。它是更一般的，因为它适用于通过分离变量从这些系统中产生的所有特殊函数，而不仅仅是那些超几何类型的函数，并且它扩展到更高的维度。
2013-10-02 math-ph math.MP nlin.SI
Toward a classification of semidegenerate 3D superintegrable systems
具有三参数势的三维二阶超可积系统是一个有趣的研究对象。在非退化4参数势系统旁边，它们允许最大数量的对称算子，但它们的对称代数在交换下不闭合，并且对它们的结构没有足够的了解来给出完整的分类。已知的一些例子中，三参数系统可以扩展到一个四阶超可积系统与一个四参数的潜力和6个线性无关的对称生成元。在本文中，我们使用保形李代数$so(5,C)$到自身的Bôcher压缩来生成一个大的3参数系统族，这些系统在各种流形上具有4阶扩展，并且全部来自3-球面上的单个“一般”系统的Bôcher压缩。我们给出了一个与这些系统相关的收缩方案。结果有无数的应用，为量子和经典系统寻找明确的解决方案。
2016-11-09 math-ph math.MP
Laplace equations, conformal superintegrability and Bôcher contractions
量子超可积系统是可解的本征值问题。它们的可解性是由于对称性，但对称性往往是“隐藏的”。二维二阶超可积系统的对称生成元在对易下闭合，从而定义了二次代数，这是李代数的推广。不同的系统和它们的代数通过几何极限联系在一起，这些几何极限由基础空间的对称代数的广义Inönü-Wigner李代数压缩引起。这些都有物理/几何的影响，如超几何正交多项式的Askey计划。该系统可以最好地理解他们转化为拉普拉斯共形超可积系统和使用的想法介绍了在1894年论文的Bôcher研究可分离的解决方案的波动方程。这些压缩可以归入共形代数$so(4,C)$到自身的压缩。在这里，我们宣布了主要的发现，详细的分类正在准备中的论文。
2015-10-30 math-ph math.MP
Superintegrable Systems on 3 Dimensional Conformally Flat Spaces
我们考虑与3维共形平坦空间相联系的Hamilton算子，这些空间具有2维、3维和4维等距代数。利用共形代数构造了附加的{ \em二次}第一积分，从而构造了一大类超可积系统和第一积分的完备Poisson代数.然后，我们使用等距线将系统减少到2个自由度。对于每一个等距代数，我们给出了相应的广义哈密顿量的{ \em泛}约化.超可积特化以这种方式简化为达布-柯尼希斯型系统，其积分是三维系统的积分的简化。
2019-10-19 math-ph math.MP nlin.SI
The classical Darboux III oscillator: factorization, Spectrum Generating Algebra and solution to the equations of motion
在最近的一篇论文中，所谓的谱生成代数（SGA）技术已被应用到N维Taub-NUT系统，一个最大超可积的哈密顿系统，它可以被解释为一个单参数变形的开普勒-库仑系统。这样的哈密尔顿算子与一个特定的非常曲率的伯特兰空间相关联。SGA程序揭示了哈密顿系统的对称代数基础，而且，使人们能够求解运动方程。在这里，我们将遵循同样的路径来处理达布III系统，另一个极大超可积系统，它确实可以被视为各向同性谐振子的自然变形，其中平坦的欧几里得空间再次被另一个非常曲率空间所取代。
2015-11-28 math-ph math.MP nlin.SI
Wilson polynomials/functions and intertwining operators for the generic quantum superintegrable system on the 2-sphere
自2007年以来，人们已经知道威尔逊和拉卡多项式可以被表征为2-球面上的量子超可积系统的二次对称代数的不可约表示的基函数，$HΨ=EΨ$，具有一般的3参数势。显然，多项式是$H$的对称算子$L_1$的一个本征基关于另一个对称算子$L_2$的本征基的展开系数，但确切的关系似乎没有明确表示。我们工作的细节展开显示，明确地，如何多项式出现，以及如何这些功能的主要属性：措施，3项递归关系，二阶差分方程，这些关系的对偶性，排列对称性，交织运营商和威尔逊函数的替代推导-遵循这个量子系统的对称性。具有一般势的$n$ -球面上的多变量Wilson多项式与量子超可积系统之间的关系一直是人们关注的热点，这些结果有助于推广.将这个二次代数的不可约表示的函数空间实现收缩到其它超可积系统上，可以得到正交超几何多项式的完整Askey方案。所有这些超可积系统的压缩都是由$so(3, C )$和$e(2, C)$的Wigner李代数压缩唯一诱导的.所有产生的多项式都可以解释为量子展开系数。重要的是将这个过程扩展到更高的维度。
2015-01-09 math-ph math.MP
Superintegrable Oscillator and Kepler Systems on Spaces of Nonconstant Curvature via the Stäckel Transform
通过谐振子和Kepler-Coloumb势，将Stäckel变换应用于欧氏空间上的测地线运动，得到了N维非常曲率黎曼空间上的极大超可积经典系统.一方面，谐振子势导致了两个超可积系统族，它们被解释为双曲空间上的内禀Kepler-Coloumb系统和所谓的Darboux III振子。另一方面，Kepler-Coloumb势在球面弯曲空间上产生了一个振子系统以及Taub-NUT振子。明确给出了它们的运动积分。（平/曲）弗拉德金张量和拉普拉斯-龙格-伦茨N-向量的所有这些哈密顿的作用是突出整个文件。给出了相应的量子极大超可积系统。
2011-05-14 math-ph math.MP nlin.SI
The Bannai-Ito algebra and a superintegrable system with reflections on the 2-sphere
引入了一个在二维球上具有反射的量子超可积模型。它的两个代数独立的运动常数产生的Bannai-伊藤代数的中心扩展。给出了球坐标系下薛定谔方程的分离式及其精确解。进一步观察到，系统的哈密顿量是由sl_{-1}（2）代数（一维抛物声振子的动力学代数）的三个表示相加而产生的.从双球面到欧几里得平面的收缩产生了二维的Dunkl振子及其Schwinger-Dunkl对称代数sd（2）。
2014-04-02 math-ph math.MP
New superintegrable models with position-dependent mass from Bertrand's Theorem on curved spaces
给出了球对称曲面空间上Bertrand定理的一个推广形式。这个结果是基于（3+1）维（洛伦兹）Bertrand时空的分类，这产生了两个定义在某些3维（黎曼）空间上的哈密顿系统族。这两个系统被证明是相应的Bertrand空间上的Kepler势或振子势，并且它们都是极大超可积的。之后，这种Bertrand哈密顿量和位置相关的质量系统之间的关系被明确地建立。这些结果通过Bertrand-Darboux空间上的超可积（非线性）振子的例子来说明，其量子化和物理特征也被简要地讨论。
2010-11-02 math-ph math.MP nlin.SI
Examples of Complete Solvability of 2D Classical Superintegrable Systems
在$n$维中的经典（极大）超可积系统是具有$2n-1$独立运动常数的哈密顿系统，全局定义，可能的最大数目。它们非常特殊，因为它们可以用代数方法求解。在本文中，我们明确地表明，主要是通过2阶超可积系统在2维的例子，如何可以确定的轨迹，而基本的代数，几何和分析的方法，适用于封闭的二次代数的对称性的系统的详细。我们对待一个家庭的二阶退化系统：达布，非零常曲率，平坦的空间，通过收缩相互关联的振荡器类比，并遵守开普勒定律。然后，我们处理两个二阶非退化系统，一个类比的笼库仑问题的2球和它的收缩到一个欧几里德空间笼库仑问题。在所有情况下，对称代数结构提供了关于轨迹的详细信息。一个有趣的例子是“节拍器轨道”的出现，轨道被限制在一个弧线而不是一个环，这是从结构方程清楚地表明，但可能会被忽视使用更传统的方法。我们还处理后Winternitz系统，一个例子，一个经典的4阶超可积系统，不能使用分离变量来解决。最后，我们处理一个超可积系统，涉及到椭圆函数的加法定理，它的运动常数只有合理的动量，一个特别感兴趣的系统，因为它的运动常数产生一个封闭的多项式代数。本文包含许多新的结果，但我们试图提出的大多数材料的时尚，是很容易获得的非专家，以提供入口superintegrablity理论。
2015-11-03 math-ph math.MP
(Quasi)-exact-solvability on the sphere $S^n$
综述了球$S^n$上的精确可解（ES）势，发现并研究了与之相关的准精确可解（QES）势.将球面映射到一个单形上，发现常曲率的度量是多项式形式的，ES和QES势都是有理函数。它们的隐代数是作用于$RP^n$的一阶微分算子实现的有限维表示中的$gl_n$。它表明，薛定谔本征值方程中的变量可以分离在球坐标和一些积分的二阶存在，确保完全可积性。QES系统对$n=2$是完全可积的，对$n\ge 3$是非极大超可积的.不存在可分离的坐标系，在该坐标系中它是精确可解的。我们指出，通过对超可积系统进行压缩，例如由Wigner-Inönü李代数压缩引起的压缩，我们可以找到其他的QES超可积系统，并且我们通过将我们的$S^n$系统压缩为欧氏空间$E^n$上的QES非极大超可积系统来说明这一点，该系统是Smorodinsky-Winternitz势的扩展。
2014-11-08 math-ph math.MP
Superintegrable anharmonic oscillators on N-dimensional curved spaces
从sl（2）-Poisson余代数对称性的角度重新讨论了N维常曲率空间中内禀谐振子势的极大超可积性。它示出了如何这种代数方法导致一个简单的定义一个新的大家庭的准极大超可积扰动的内在振荡器在这样的空间。此外，还将这种构造推广到了具有sl（2）-余代数对称性的非常曲率的N维空间.作为后一类系统的第一个例子，我们构造了N维Darboux空间上的振子势及其拟极大超可积非调和扰动族.
2008-05-14 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on N-dimensional spaces of constant curvature from so(N+1) and its contractions
利用Lie-Poisson代数so（N+1）和它的某些压缩算子，在ND球面空间、欧氏空间、双曲空间、Minkowski空间和（反）de Sitter空间上构造了一族超可积Hamilton算子.首先给出了一个任意中心势与N个任意离心项的叠加的哈密顿量。这样的系统是准极大超可积的，因为它被赋予了2N-3个函数独立的运动常数（加上哈密顿量）。其次，我们通过选择一个特定的中心势，同时找到剩余的积分，确定了两个最大超可积的哈密顿量。前者是Smorodinsky-Winternitz系统在上述六种空间上的推广，后者是Kepler-Coulomb势的推广，并给出了它的Laplace-Runge-Lenz N-向量.所有的系统和常数的运动明确表示在一个统一的形式，在环境和极坐标，因为它们是参数化的两个收缩参数（曲率和签名的度量）。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
New families of superintegrable systems from k-step rational extensions, polynomial algebras and degeneracies
利用谐振子和径向振子的k步延拓构造了四类新的二维量子超可积系统。它们的波函数与III型Hermite和Laguerre异常正交多项式（EOP）有关。我们表明，阶梯运营商从替代建设的基础上组合的超荷在克莱因-阿德勒和达布Crum（或状态删除和创建）的方法可以用来生成一组运动的积分和相应的多项式代数，提供了一个代数推导的全谱和总数量的退化。这样的推导是基于有限维酉表示（unirreps），并不适用于从超对称量子力学（SUSYQM）中的标准梯形算子构建的积分，因为它们包含从激发态隔离的单线态。在本文中，我们还依赖于一种新的方法来获得有限维unirreps的基础上的行动的运动积分的波函数，这些EOP。我们比较的结果与Daskaloyannis方法和变形振子代数的1步扩展的情况下的一个新的家庭方面的实现。本文是对近期作品的回顾。
2014-12-01 math-ph math.MP
Separation equations for 2D superintegrable systems on constant curvature spaces
二维二阶共形量子超可积系统是流形上的Laplace方程，它带有附加的标势和$3$独立的二阶共形对称算子.它们以一种有效的方式编码了关于二维亥姆霍兹或时间无关薛定谔超可积系统的所有信息：这些系统中的每一个都允许一个二次对称代数（通常不是李代数），并且是多可分的。我们研究的分离方程的系统作为一个家庭，而不是单独的情况。我们表明，分离方程包括所有的各种类型的超几何和Heun方程在充分的一般性。特别是，它们产生了所有与Heun算子相关的一维薛定谔精确可解（ES）和准精确可解（QES）系统。我们专注于复杂的常曲率空间，并明确表明，有8对拉普拉斯分离类型，这些类型占所有可分离的坐标上的20平坦空间和9个2球Helmholtz超可积系统，包括那些为常势的情况。不同的系统通过Stäckel变换、对称代数和共形代数so（4，C）到自身的Böcher压缩联系起来，这使得所有系统都可以从一个单一的系统导出：复2-球面上的一般势。这种方法有利于特殊函数理论的统一观点，将超几何和Heun函数在充分的一般性。
2017-06-15 math-ph math.MP
Integrable and Superintegrable Extensions of the Rational Calogero-Moser Model in 3 Dimensions
我们考虑一类3自由度的Hamilton系统，具有一种特殊类型的二次积分，其中包括有理Calogero-Moser系统作为一个特殊情况。对于一般类，我们引入分离坐标来找到一般的可分（因此刘维尔可积）系统，有两个二次积分。这给出了一个耦合的Calogero-Moser系统与一大类的潜力，概括了一系列的潜力是可分离的抛物线坐标。特殊情况是{ \em superintegrable}，包括开普勒和共振振荡器。本文的初始计算涉及的是平坦（笛卡尔型）动能，但在\ref{sec:conflat-general}部分，我们引入了一个{ \em保形因子} $φ$到$H$，并将两个二次积分推广到这种情况。所有以前的结果推广到这种情况。然后，我们引入了一些二维和三维对称代数的动能（Killing向量），限制共形因子。这使我们能够减少我们的系统从3到2自由度，从而产生了许多有趣的系统，包括开普勒型和Hénon-Heiles型的潜力达布-柯尼希斯$D_2$的背景。
2021-11-30 math-ph math.MP nlin.SI
N-dimensional sl(2)-coalgebra spaces with non-constant curvature
引入了一类具有sl（2）-余代数对称性的ND空间.对于所有这些空间，测地流都是超可积的，并且它们的公共积分集的显式形式可以从底层的sl（2）-余代数结构中获得。特别地，具有欧氏签名的ND球对称空间被证明是sl（2）-余代数空间。作为这个建设的副产品，我们提出了ND推广的经典达布曲面，从而获得显着的超可积ND空间的非常曲率。
2007-07-02 hep-th math-ph math.MP
Embedding of the Racah Algebra R($\boldsymbol{n}$) and Superintegrability
秩- $1$ Racah代数$R(3)$在超可积系统理论中起着举足轻重的作用.它表现为$3$ -参数系统在$2$ -球面上的对称代数，由此通过适当的极限和压缩可以得到$2$ D中的所有二阶共形平坦超可积模型. $R(3)$的一个高阶推广，即所谓的秩$n-2$ Racah代数$R(n)$，最近被认为是$(n-1)$ -球面上一般超可积模型的对称代数.在目前的工作中，我们表明，这样的代数结构自然会出现嵌入一个更大的二次代数表征$n$ D超可积模型与非中心条款。这在经典力学和量子力学中都可以通过拉卡和其他生成元的适当（辛或微分）实现来证明。在主要结果中，我们给出了两类$n$维极大超可积模型Smorodinsky-Winternitz系统和广义Kepler-Coulomb系统的完全对称代数的显式构造.对于这两个族，基本对称代数是包含Racah代数$R(n)$作为子代数的高阶二次代数。在经典框架和量子框架下，得到了全二次代数生成元之间的高阶代数关系。这些结果将为在超可积系统的背景下进一步理解二次代数的结构提供新的线索。
2020-10-24 math-ph math.MP
Superintegrable potentials on 3D Riemannian and Lorentzian spaces with non-constant curvature
在三维弯曲空间上构造了一个量子sl（2，R）余代数，这类超可积势包括球面空间、双曲空间和（反）de Sitter空间的非常曲率类似物.通过在两个不同的相空间上工作，充分研究了这些“变形”空间的连接和曲率张量。前者直接来自变形余代数的3D辛实现，而后者是通过映射到球型相空间而获得的。在这个框架中，非变形极限与导致欧几里得和闵可夫斯基空间/势的平坦收缩相一致。由此产生的哈密顿总是承认，至少有三个功能独立的运动常数来自余代数结构。此外，确定了这种非常曲率的黎曼和洛伦兹空间上的内禀振子和开普勒势，并明确给出了几个例子。
2008-12-22 math-ph math.MP nlin.SI
Infinite dimensional representations of cubic and quintic algebras and special functions
本文提出一种类似李代数诱导模的实用方法，用于构造二维 Darboux 空间中量子超可积系统所对应三次与五次多项式代数的无限维表示，并借助 Airy、Bessel 和 Whittaker 函数显式构造了大量超出变量分离法可达范围的态。
2023-02-28 math-ph math.MP math.RT
Algebraic structures and Hamiltonians from the equivalence classes of 2D conformal algebras
本文提出基于二维共形代数子代数的代数方法，分类中心化子并构造具有代数积分的哈密顿量，揭示其对称代数为六维二次代数，并提供Casimir不变量，为Darboux空间超可积系统研究提供新视角。
2025-03-21 math-ph math.MP
A new integrable anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
本文将具有Rosochatius（离心）项的二维欧氏各向异性振子哈密顿量推广到二维球面$S^2$和双曲空间$H^2$，并证明其运动的曲积分是动量平方的.为了构造这样一个新的可积哈密顿量$H_κ$，我们将利用群论的方法，其中的曲率$κ$的基础空间将被视为一个额外的（收缩）参数，我们将广泛使用的射影坐标和它们相关的相空间。结果表明，当振子参数$Ω_1$和$Ω_2$满足$Ω_2=4Ω_1$时，系统是$S^2$和$H^2$上著名的超可积1：2振子.然而，数值积分的轨迹$H_κ$表明，其他值的参数$Ω_1$和$Ω_2$的系统是不是超可积。通过这种方式，我们支持这样的猜想，即对于每个相称的（因此是超可积的）$m:n$欧几里德振子，存在一个双参数族的弯曲可积（但不是超可积的）振子，只有当参数被调谐到$m:n$可积性条件时才是超可积的。
2014-10-27 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrability on Three-Dimensional Riemannian and Relativistic Spaces of Constant Curvature
本文构造了一类依赖于任意径向函数的经典超可积Hamilton算子，它们定义在三维球面、欧氏和双曲空间以及（2+1）维反de Sitter、Minkowski和de Sitter时空上.这样的系统承认三个积分的运动（除了汉密尔顿），这是明确给出的环境和测地极坐标。由此产生的表达式以统一的方式覆盖了六个空间，因为这些空间由两个收缩参数化，这两个收缩参数控制每个空间上的曲率和度量签名。接下来的两个最大超可积哈密顿量确定在初始超可积家庭找到其余的运动常数。前一个势是一个（弯曲的）中心谐振子与其他三个谐振子或离心屏障（取决于每个特定的空间）的叠加，因此这推广了Smorodinsky-Winternitz系统。后者是Kepler-Coulomb势与另外两个振子或离心垒的叠加。作为一个副产品，Laplace-Runge-Lenz向量为这些空间推导。此外，这两种潜力进行了详细分析，为每个特定的空间。最后对它们推广到任意维的情况提出了一些看法。
2006-01-27 math-ph math.MP nlin.SI
Classical Multiseparable Hamiltonian Systems, Superintegrability and Haantjes Geometry
我们表明，理论的经典哈密顿系统承认分离变量可以制定的背景下（$ω, \mathscr{H}$）结构。它们是赋有相容Haantjes代数$\mathscr{H}$的辛流形，即Haantjes挠率为零的（1，1）-张量场代数.一类特殊的坐标，称为达布-汉杰斯坐标，将从与可分系统相关的汉杰斯代数构造。这些坐标使相应的哈密尔顿-雅可比方程的变量的加法分离。我们将证明一个多可分系统允许与分离坐标系一样多的$ω\mathscr{H}$结构。特别是，我们将证明，一个大类的多可分，超可积系统，包括Smorodinsky-Winternitz系统和一些物理相关的系统与三个自由度，具有多个Haantjes结构。
2022-01-02 math-ph math.MP nlin.SI
Polynomial algebras from $su(3)$ and the generic model on the two sphere
基于李代数的超可积系统的构造已经被引入了很多年。然而，这些方法依赖于底层李代数的显式实现，例如作为微分算子。这也是他们相关的对称代数的建设情况下，通常采取的形式，一个二次生成的二次代数。这些代数往往显示结构常数取决于中心元素，特别是对哈密尔顿。在本文中，我们开发了一种新的方法重新检查的情况下，一般的超可积系统的2-球面上的对称代数是已知的Racah代数$R(3)$。这样的模型与共形平坦空间上的59个$2D$超可积系统及其12个等价类有关。我们证明了在$su(3)$的包络代数中使用另外的2、3和4次多项式，可以生成一个仅基于$su(3)$李代数的抽象对易关系的代数，而不需要对表示或实现的显式约束.这种构造依赖于极大阿贝尔子代数，也称为MASA，它是Cartan生成元及其交换子。我们得到了一个新的6维三次代数，其中的结构常数是从一个四次代数减少的整数，其结构常数依赖于Cartan生成元和Casimir不变量。利用$su(3)$的二次和三次Casimir不变量，给出了对称代数的其它形式.只有当使用显式实现时，它才能简化为已知的二次Racah代数$R(3)$。这种代数结构描述了2球面上一般超可积系统的对称性。我们还给出了一个对应于Smorodinsky-Winternitz模型的对称代数的6维三次代数的收缩。
2020-07-22 hep-th math-ph math.MP
The Kepler problem on 3D spaces of variable and constant curvature from quantum algebras
在变曲率和常曲率的三维空间上，利用量子sl（2，R）余代数（带变形参数z）构造了超可积的Kepler势，其中包括经典的球面、双曲和（反）de Sitter空间以及它们的非常曲率类似空间.在这种情况下，非变形极限z = 0与导致适当的欧几里得和闵可夫斯基空间/势的平坦收缩相一致。相应的哈密顿量承认运动的三个常数来自余代数结构。此外，开普勒势在常曲率空间上的最大超可积性是通过找到一个额外的运动常数来明确显示的，该运动常数来自于一个额外的对称性，而这个对称性是不能从量子代数中推导出来的。由此导出了这类空间的Laplace-Runge-Lenz向量，并分析了它的代数性质。
2006-04-05 math-ph math.MP
