Third order superintegrable systems separating in polar coordinates
在$E_2$中给出了量子和经典超可积系统的一个完整分类，它允许在极坐标中分离变量，并允许在动量中附加三阶运动积分。发现了新的量子超可积系统，其势可用第六Painlevé超越函数或Weierstrass椭圆函数表示。
2010-02-09 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable Systems with a Third Order Integrals of Motion
讨论了具有一个三阶和一个低阶运动积分的二维超可积系统。强调了具有高阶运动积分的哈密顿系统在经典力学和量子力学中是不同的。在第5节和第6节中给出了使用经典和量子三阶积分的新结果。
2008-05-19 math-ph math.MP nlin.SI
Exact Solvability of Superintegrable Systems
证明了欧几里德平面上的四个超可积量子系统具有相同的隐代数$sl(3)$ .规范旋转的哈密顿量，以及它们的运动积分，一旦在适当的坐标中重写，就保留了多项式的标志。该标志对应于由一阶微分算子实现的$sl(3)$ -代数的最高权重有限维表示。
2000-11-23 hep-th math-ph math.MP
A new approach to analysis of 2D higher order quantum superintegrable systems
我们修正了Kalnins，Kress and Miller（2010）的一种方法，该方法用于构造任意阶对称算子的薛定谔本征方程$HΨ\equiv (Δ_2 +V)Ψ=EΨ$的标准型，该方程在任意二维黎曼流形上，实的或复的，允许在某些正交坐标系中分离变量。本文的大部分时间都在描述这种方法。详情将在别处提供。作为例子，我们重新审视Tremblay和Winternitz推导的Painlevé VI潜在的3阶超可积平坦空间系统，在极坐标分离，我们表明，Painlevé VI潜在的3阶超可积系统也出现在2球分离球坐标，以及2-双曲面上的一个在球坐标下分离的3阶超可积系统和一个在horocyclic坐标下分离的3阶超可积系统。该项目的目的是开发工具，用于分析和分类任何2D黎曼空间上的高阶超可积系统，而不仅仅是欧几里得空间。
2020-06-09 math-ph math.MP nlin.SI
Heisenberg-type higher order symmetries of superintegrable systems separable in cartesian coordinates
研究了在笛卡尔坐标系下可分的经典和量子力学系统的海森堡型高阶对称性。这种类型的超可积系统的一些特殊情况已经在文献中考虑，但在这里，他们的特点是在充分的一般性与他们的可积性。这些系统中的一些仅定义在$\mathbb R^n$的区域中，并且通常它们不包括有界解。的量子对称性和潜在的减少到他们的超可积的经典类似物在$\hbar \to0$限制。
2017-03-02 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable relativistic systems in spacetime-dependent background fields
我们考虑背景电磁场中的相对论性带电粒子依赖于空间和时间。我们确定哪些对称性的字段自动生成积分（守恒量）的电荷运动，占相对论和规范不变性。利用这一点，我们提出了超可积相对论系统的新例子。这包括运动积分在正则动量中是二次或非多项式的例子。
2017-01-31 math-ph math.MP nlin.SI
Non-Hermitian superintegrable systems
本文通过非厄米 Marsden–Weinstein 约化方法在球面上构造量子 PT 对称超可积模型，并给出一维、二维实例，展示实谱与自发 PT 对称破缺。
2023-04-03 hep-th math-ph math.MP
A maximally superintegrable deformation of the N-dimensional quantum Kepler-Coulomb system
证明了$N$维量子哈密顿量$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2 {|\mathbf{q} } | }{2(η+| {\mathbf{q}} |)} {\mathbf{\nabla}}^2 - \frac{k}{η+ |{\mathbf{q}} |} $对参数$η$的任意实正值都是精确可解的.在代数上，这个哈密顿系统可以被看作是$N$维Kepler-Coulomb哈密顿系统的一个新的极大超可积$η$ -变形，而从几何的观点来看，这个超可积哈密顿系统可以被解释为一个具有非常曲率的$N$维黎曼空间上的系统.明确地获得了该模型的本征值和本征函数，并且当形变参数$η$和耦合常数$k$为正值时，该谱呈现类氢形状。
2013-10-24 math-ph math.MP nlin.SI
Contractions of 2D 2nd Order Quantum Superintegrable Systems and the Askey Scheme for Hypergeometric Orthogonal Polynomials
我们明确地表明，所有的2阶超可积系统在2维是一个单一的系统的极限情况：一般的3参数的潜力2球，在我们的清单中S9。我们将李代数压缩的Wigner-Inönü方法推广到二次代数的压缩，并证明了这些系统的所有二次对称代数都是S9的压缩.令人惊讶的是，这些超可积系统在平坦空间和球面上的所有相关压缩都是由著名的李代数压缩e（2）和so（3）唯一诱导的。通过将S9代数的不可约表示的函数空间实现（给出Racah/Wilson多项式的结构方程）收缩到其它超可积系统，并利用Wigner的"节省"表示的思想，得到了超几何正交多项式的完整Askey格式.这种关系直接将多项式及其结构方程与物理现象联系起来。它是更一般的，因为它适用于通过分离变量从这些系统中产生的所有特殊函数，而不仅仅是那些超几何类型的函数，并且它扩展到更高的维度。
2013-10-02 math-ph math.MP nlin.SI
Models for Quadratic Algebras Associated with Second Order Superintegrable Systems in 2D
有13个等价类的2D二阶量子和经典超可积系统与非平凡的潜力，每一个与二次代数的隐藏对称性。本文通过构造量子二次代数的模型，研究了量子二次代数的有限和无限不可约表示，在模型中，对称性通过微分算子或差分算子作用于单复变函数空间。在另一篇论文中，我们已经对复2-球面上的一般非退化超可积系统进行了部分分析。在这里，我们实现了2-球面上的退化超可积系统。我们指出我们的结果和位置相关的质量哈密顿研究Quesne之间的连接。我们还展示了如何导出超可积系统的经典二次代数的简单模型，然后从经典模型获得量子模型，即使经典和量子二次代数是不同的。
2008-01-18 math-ph math.MP nlin.SI
Klein-Gordonization: mapping superintegrable quantum mechanics to resonant spacetimes
我们描述了一个程序，自然地将静态弯曲时空中的相对论性Klein-Gordon方程与存在势的弯曲空间中的非相对论性量子运动联系起来。我们的程序是特别有吸引力的应用程序（通常，超可积）的问题，其能量谱是由一个二次函数的能级数，因为这样的系统的时空之一，获得拥有均匀间隔，共振频谱的频率为标量场的一定质量。这种构造是对以前研究过的希格斯振子和Anti-de Sitter时空之间的对应关系的推广，这对于理解Anti-de Sitter时空中的弱非线性动力学和希格斯振子的守恒量代数都很有用。我们的转换过程（“克莱因-戈登化”）减少到一个非线性椭圆方程密切联想到一个新兴的有关著名的Yamabe问题的微分几何。作为一个例子，我们明确地展示了如何将这个过程应用到超可积Rosochatius系统，从而产生一个大家庭的时空与共振谱的无质量波方程。
2018-01-15 gr-qc hep-th math-ph
Exact solvability of superintegrable Benenti systems
我们建立了两大类在$n$维数上具有任意大$n$的极大超可积Benenti系统的量子和经典精确可解性.也就是说，我们解决的Hamilton-Jacobi和薛定谔方程的系统的问题。所得到的结果示出的模型与立方势。
2007-04-26 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable quantum oscillator and Kepler-Coulomb systems on curved spaces
对球对称空间上的极大超可积的经典Hamitonian进行了综述。事实证明，这些系统中的每一个都可以被认为是振荡器或开普勒-库仑哈密顿量。我们表明，两种可能的量子化处方，所有这些弯曲的系统出现，如果我们施加超可积性量子化后保存，我们证明这两种可能性是规范等价的。
2013-04-16 math-ph math.MP nlin.SI
Classical ladder operators, polynomial Poisson algebras and classification of superintegrable systems
我们回顾结果一维经典和量子系统的梯形算子。我们得到了最一般的一维经典系统，它们分别具有满足多项式海森堡代数的三阶和四阶阶梯算子。这些系统是写在四次和五次方程的解决方案。我们利用这些结果提出了两个新的家庭的超可积系统和变形Lissajous的数字的轨迹的例子。
2012-03-19 math-ph math.MP nlin.SI
On the Extended-Hamiltonian Structure of Certain Superintegrable Systems on Constant-Curvature Riemannian and Pseudo-Riemannian Surfaces
我们证明了可积性和超可积性的一个家庭的自然哈密尔顿，其中包括和推广那些研究在一些文献中，最初定义在二维Minkowski空间。一些新的哈密顿量是一个完美的类比著名的超可积系统在欧几里德平面上提出的Tremblay-Turbiner-Winternitz和他们定义在闵可夫斯基空间，以及所有其他二维流形的常曲率，黎曼或伪黎曼。我们还展示了如何应用的耦合常数变态技术，使我们能够获得新的超可积哈密顿量从以前的。此外，对于Minkowski情形，我们证明了相应的量子Hamilton算子的量子超可积性，这些结果是应用与翘曲流形几何严格相关的推广Hamilton系统理论得到的.
2020-06-11 math-ph math.MP nlin.SI
Classical and Quantum Superintegrability of Stäckel Systems
本文讨论了经典Stäckel系统和量子Stäckel系统的极大超可积性。我们证明了平坦或常曲率Stäckel系统是极大超可积的一个充分条件。此外，我们证明了一个充分条件的Stäckel变换保持最大超可积性，我们把这个条件应用到我们的类Stäckel系统，这产生新的最大超可积系统的保形变形的原始系统。此外，我们演示了如何执行的程序，考虑系统的最小量子化，以产生量子超可积和量子可分系统。
2017-01-30 math-ph math.MP nlin.SI
Global structure and geodesics for Koenigs superintegrable systems
从Matveev和Shevchishin定义的框架出发，我们导出了四类超可积Koenigs度量的局部和整体结构。这些动力系统通常定义在非紧流形上，即$\,{\mb R}^2\,$和$\,{\mb H}^2$。利用它们的线性积分和二次积分，可以更容易地研究它们的测地线流。使用卡特（或最小）量子化，我们表明，形式的超可积性保持在量子水平上，在两种情况下，所有的测地线是封闭的，它甚至可以计算的离散谱的量子哈密顿量。
2015-10-28 math-ph math.MP nlin.SI
Symmetry algebras for superintegrable systems
证明了量子超可积系统的对称代数总是可以取为u（N），N为系统的自由度。
2004-08-31 nlin.SI
Quantum Deformations and Superintegrable Motions on Spaces with Variable Curvature
引入了一个拟极大超可积Hamilton算子的无穷族，该族具有运动的一个共同的（2N-3）积分集。所有这些哈密顿量的可积性是一个隐藏的非标准量子sl（2，R）泊松余代数对称性的后果。作为一个具体的应用程序，这个哈密尔顿算子之一，以产生测地线运动的某些流形上的一个非常数曲率，原来是一个函数的变形参数z。此外，在这个家庭中的另一个哈密顿示出产生黎曼和相对论空间的测地运动，所有的截面曲率是常数，等于变形参数z。利用余代数的对称性，这种方法可以推广到任意维数。
2007-02-14 math-ph math.MP math.QA
Dynamical symmetries for superintegrable quantum systems
研究了一类二维超可积系统的动力学对称性，该系统是通过基于Marsden-Weinstein约化的方法得到的，并考虑了其形状不变的缠绕算子.这些是通过推广一维系统的因式分解技术得到的。我们首先得到了一对非交换李代数$su(2)$，它们起源于代数$so(4)$ .通过考虑三个球坐标系，我们得到代数$u(3)$，它可以通过“反射”扩大为$so(6)$。有界的本征态的哈密顿层次相关联的不可约酉表示这些动力学代数。
2006-01-31 nlin.SI
An infinite family of Dunkl type superintegrable curved Hamiltonians through coalgebra symmetry: Oscillator and Kepler-Coulomb models
通过引入新的sl(2,R)微分-差分实现和余代数方法，构造了共享2N-3个量子积分的Dunkl型超可积哈密顿量无穷族，涵盖振子与Kepler-Coulomb模型及其弯曲空间推广。
2025-07-04 math-ph math.MP nlin.SI
Two families of superintegrable and isospectral potentials in two dimensions
作为纠缠算符思想的一种推广，本文介绍了一种连接超对称量子力学和量子（超）可积性的代数方法。通过在二维空间中实现该方法，得到了两个超可积等谱定常势无限族。该方法使得有可能执行达布变换在这样一种方式，除了等谱性质，他们获得超可积保持性质。对称发生器是二阶和四阶导数，所有的势都是等谱的，其中一个是Smorodinsky-Winternitz势。给出了势、势的动力学对称生成元、势所服从的代数以及势的简并谱和相应的归一化态的显式表达式。
2002-05-27 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable Systems, Multi-Hamiltonian Structures and Nambu Mechanics in an Arbitrary Dimension
对任意有限的n，证明了n维极大超可积Hamilton系统的2n-1个运动常数函数独立的一般代数条件.这使得有可能构建，在一个定义良好的通用方式，一个规范化的Nambu括号，产生正确的哈密顿时间演化。建立了任意极大超可积系统的两两相容多Hamilton结构的存在性及其显式形式。Calogero-Moser系统、带电粒子在均匀垂直磁场中的运动和Smorodinsky-Winternitz势被认为是示例性的应用，它们的对称代数以及它们的Nambu公式和替代泊松结构被提出。
2002-12-25 hep-th math-ph math.MP
Tools for Verifying Classical and Quantum Superintegrability
最近，在经典力学和量子力学中出现的许多新的n维可积系统都被证明在正则动量中存在一个函数独立的2n-1对称多项式集，因而它们实际上是超可积的.这些新发现的系统在某些坐标系中都是可分的，并且通常它们依赖于一个或多个参数，当某些参数是有理数时，系统是超可积的。迄今为止，大多数构造都是针对n=2的，但n>2的情况正在迅速增加。在这篇文章中，我们组织了一大类这样的系统，许多新的，并强调的基本机制，使这种现象发生，并证明超可积性。除了经典的超可积性的证明，我们表明，2D笼各向异性振子和Stackel变换版本的2-片双曲面是量子超可积的所有合理的相对频率，和变形的2D开普勒-库仑系统是量子超可积的所有合理值的潜在的参数k。
2010-08-18 math-ph math.MP nlin.SI
Integrable and superintegrable systems of cylindrical type in magnetic fields
本论文的目标是寻找具有磁场的可积和超可积系统。本文给出了柱坐标系中二阶运动积分的量子力学决定方程，并找到了柱坐标系中所有的二次可积系统。其中，我们寻找系统承认额外的运动积分。在经典力学和量子力学中，我们发现了所有具有附加一阶积分的系统。事实证明，所有这些系统都已经被发现，没有其他系统存在。我们还发现所有系统的额外积分的类型$L^2+\ldots$，分别为$L_y p_y-L_x p_y+\ldots$，其中大多数是新的文献。所有发现的超可积系统都承认一阶积分$L_z$，并且我们通过柱坐标中的变量分离来求解它们的Hamilton-Jacobi和薛定谔方程，对于直角坐标中的一阶系统也是如此。
2022-10-04 math-ph math.MP nlin.SI
Integrable deformations of superintegrable quantum circuits
本文研究超可积量子电路在保持可积性但破坏超可积性条件下的哈密顿量形变，证明多个具体模型存在单参数可积形变族，并特别揭示Rule54模型位于一族Yang-Baxter可积自旋链的交点上，不具有唯一可积性结构。
2024-03-20 cond-mat.stat-mech nlin.SI
Second Order Superintegrable Systems in Three Dimensions
n维黎曼流形上的经典（或量子）超可积系统是一个具有势的可积哈密顿系统，它允许2n-1个函数独立的运动常数，这些常数是动量多项式，这是可能的最大数目。如果这些运动常数都是二次的，则系统是二阶超可积的。这样的系统具有显著的特性。典型的性质是：1）它们可以以多种方式积分，并且积分方式的比较导致了关于系统的新事实，2）它们是多可分的，3）二阶对称产生了一个封闭的二次代数，并且在量子情况下，二次代数的表示理论产生了关于薛定谔算子和其他对称算子的谱分辨率的重要事实，（4）与特殊函数类的展开式以及精确可解系统和拟精确可解系统的理论有着深刻的联系。对于n=2，作者E.G. Kalnins和J. Kress已经计算出了这些系统的结构，并对所有可能的空间和势进行了分类。在这里，我讨论我们最近的工作，并宣布更困难的情况n=3的新结果。
2005-11-17 math-ph math.MP nlin.SI
On Haantjes tensors for second-order superintegrable systems
La Trobe University（拉筹伯大学）；University of Sydney（悉尼大学）；Friedrich-Schiller-Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文研究了第二阶超可积系统中Haantjes张量的消失性质及其与守恒律的关系。
2024-12-17 math-ph math.DG math.MP
Superintegrable Deformations of the Smorodinsky-Winternitz Hamiltonian
利用Poisson sl（2）余代数对称性的量子形变，给出了经典Smorodinsky-Winternitz哈密顿量的超可积形变的构造性方法.通过这个例子，分析了余代数对称性与拟极大超可积性之间的一般联系。余模代数对称性的概念也被证明是适用的，以构建新的可积变形的某些Smorodinsky-Winternitz系统。
2004-12-20 math-ph math.MP math.QA
Structure Theory for Extended Kepler-Coulomb 3D Classical Superintegrable Systems
经典的Kepler-Coulomb系统在三维空间中是二阶超可积的，其对称代数在Poisson括号下多项式闭合。这种多项式封闭对于二维的二阶超可积系统和具有非退化（4-参数）势的三维的二阶系统是典型的。然而，三维扩展Kepler-Coulomb系统的退化三参数势（也是二阶超可积的）是一个例外，因为它的二次对称代数不是多项式闭合的。推广的Kepler-Coulomb系统的三维四参数势甚至不是二阶超可积的。然而，Verrier和Evans（2008）表明它是4阶超可积的，而Tanoudis和Daskaloyannis（2011）表明在量子情况下，如果第二个4阶对称被添加到生成元，对称代数中的双对称子多项式闭合。本文基于Tremblay，Turbiner和Winternitz构造，考虑了一类无穷大的经典扩展Kepler-Coulomb三参数和四参数系统，其指标为一对有理数$(k_1,k_2)$，当$k_1=k_2=1$ .我们证明了这些系统是任意高阶超可积的，并明确地给出了由我们构造的5个基生成元所决定的对称代数的结构。我们证明了对称代数合理关闭，只有系统允许额外的离散对称多项式封闭实现。结构理论的基础是运动的升降常数的存在，而不是动量中的多项式本身，可以用来构造多项式对称性及其结构关系。
2012-06-07 math-ph math.MP nlin.SI
Classical and Quantum Superintegrability with Applications
粗略地说，超可积系统是允许运动积分多于自由度的系统。这篇评论致力于有限维经典和量子超可积系统的标量势和运动积分是多项式的动量。本文给出了二维黎曼和伪黎曼空间中二阶超可积系统的一个分类。它是基于运动积分的二次代数的研究和不同系统在耦合常数变态下的等价性。给出了实欧氏空间$E_2$中任意阶运动积分存在的判定方程，并对三阶积分部分求解.一个系统的阐述是给系统在二维和更高的维空间，允许积分的任意顺序。运动积分的代数不一定是二次的，而是多项式或有理封闭的。分析了超可积性与正交多项式分类的关系。
2013-09-10 math-ph math.MP nlin.SI
Quantum two-dimensional superintegrable systems in flat space: exact-solvability, hidden algebra, polynomial algebra of integrals
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM（墨西哥国立自治大学核科学研究所）；Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montreal（蒙特利尔大学数学研究中心）
本文研究了六个二维量子超可积系统，揭示了其精确可解性、隐藏代数结构及多项式积分代数特性。
2026-03-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Generalized classical and quantum Zernike Hamiltonians
本文提出广义经典和量子泽尼克系统的超可积扩展，揭示其更高阶积分结构及Higgs型对称代数，探讨了其在谐振子扰动中的应用与能谱特征。
2025-11-12 math-ph math.MP nlin.SI
Particle in a field of two centers in prolate spheroidal coordinates: integrability and solvability
我们分析了一个粒子，两个中心的量子问题，承认分离的变量在长椭球坐标，一个自然的限制H $_2^+$分子离子满足。对称算子被明确地构造。我们给出了详细的哈密顿约化的3D系统的2D系统与修改后的潜力，是可分离的椭圆坐标系。指出了长球坐标空间中薛定谔算符具有双周期性的势函数，包括H $_2^+$分子离子的势函数。我们研究可能的潜力，承认确切的可解性，以及我们已知的所有模型与分离方程的（准）确切的可解性。我们发现二阶超可积和共形超可积系统与这些易处理的问题之间有着深刻的联系。特别是，我们推导出一个一般的4参数表达式的模型势，总是可积的，是共形超可积的一些参数的选择。
2014-02-16 math-ph math.MP nlin.SI
The anisotropic oscillator on curved spaces: A new exactly solvable model
我们提出了一个新的精确可解（经典和量子）模型，可以解释为推广到二维球和双曲空间的二维各向异性振子与任何对频率$ω_x$和$ω_y$。新的弯曲哈密顿量${H}_κ$依赖于底层空间的曲率$κ$作为变形/收缩参数，而${H}_κ$的Liouville可积性依赖于它在测地平行坐标下的可分性，这推广了平面的笛卡尔坐标。此外，该系统被证明是superintegrable相称的频率$ω_x: ω_y$，从而模仿的行为的平坦的欧几里德的情况下，这是总是恢复在$κ\to 0$限制。在公度情况下的附加运动常数，正如预期的那样，在动量中是高阶的，并且可以通过对哈密顿量进行经典因式分解来明确推导。已知的$1:1$和$2:1$各向异性曲振子被恢复为${H}_κ$的特例，而其余的$ω_x: ω_y$曲振子定义了新的超可积系统.此外，量子哈密顿量$\hat {H}_κ$的充分建设和研究以下量子因式分解的方法。在公度频率的情况下，证明了哈密顿量$\hat {H}_κ$是量子超可积的，从而得到了一个新的精确可解量子模型。其相应的频谱，表现出最大的简并性，明确给出作为一个分析变形的欧几里德本征值的曲率$κ$和普朗克常数$\hbar$。事实上，这样的谱是作为两个一维（三角或双曲）Pösch-Teller特征值集的合成而获得的。
2016-05-08 math-ph math.MP nlin.SI
New classes of quadratically integrable systems in magnetic fields: the generalized cylindrical and spherical cases
本文研究三维磁场中具有二次运动积分的可积与超可积系统，推广柱面型和球面型积分，发现三个柱面可积系统及一个不可正交分离的最小超可积系统。
2023-02-28 math-ph math.MP nlin.SI
A Family of Exactly Solvable Radial Quantum Systems on Space of Non-Constant Curvature with Accidental Degeneracy in the Spectrum
提出了一类新的弯曲空间上的精确可解量子系统。该族是经典Perlick族的量子版本，它包括所有具有球对称性的最大超可积3维Hamilton系统。经典系统所表现出的大量对称性（几何和动力学）在量子系统的光谱中有一个对应的偶然简并。这一系列的量子问题是完全解决的技术的超对称量子力学。我们还详细分析了经典哈密顿量的动力学项的量子化中出现的排序问题，强调了两个物理意义的量子化之间存在的联系：几何量子化和位置相关的质量量子化。
2010-12-15 math-ph math.MP nlin.SI
