发表机构
City St George’s, University of London; La Trobe University（伦敦城市圣乔治大学; 拉筹伯大学）
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研究三维共振不定动能哈密顿量的超可积性，发现多项式环含四次生成元，有理域秩四，超越不变量提升秩至五，实现最小与最大超可积，并给出量子对应。
AI 中文摘要
我们研究了一个具有不定动能和同一流的三个泊松描述的三维共振哈密顿量的经典和量子超可积性。除了三个交换的二次哈密顿量外，多项式首次积分环还包含两个本原四次生成元，$I_4^{\rm o}$ 和 $I_4^{\rm e}$，分别具有奇偶和偶动量宇称。一个单一的八次关系使得多项式不变环的超越度为四。求解完整的首次积分方程表明，每个有理首次积分都是 $H_1,H_2,H_3,I_4^{\rm o}$ 的有理函数，因此有理不变域同样具有一般的函数秩四。一个无分支的超越不变量将不变开集 $\Delta>0$ 上的一般光滑函数秩提升到五。因此，该系统在多项式和有理类中是最小超可积的，而在允许超越积分时，在该不变域上是最大超可积的。Weyl量子化在所有三个泊松实现中产生精确的高阶微分对称性。无分支的第五个经典不变量也允许一个稠密定义的非局部量子对应物，为超越完备化提供了一个具体的量子实现。
英文摘要
We study classical and quantum superintegrability of a resonant three-dimensional Hamiltonian with indefinite kinetic energy and three Poisson descriptions of the same flow. Besides three commuting quadratic Hamiltonians, the polynomial first-integral ring contains two primitive degree-four generators, $I_4^{\rm o}$ and $I_4^{\rm e}$, of odd and even momentum parity. A single octic relation leaves the polynomial invariant ring with transcendence degree four. Solving the complete first-integral equation shows that every rational first integral is a rational function of $H_1,H_2,H_3,I_4^{\rm o}$, so that the rational invariant field likewise has generic functional rank four. A branch-free transcendental invariant raises the generic smooth functional rank to five on the invariant open set $Δ>0$. The system is therefore minimally superintegrable in the polynomial and rational classes and maximally superintegrable on this invariant domain when transcendental integrals are admitted. Weyl quantisation yields exact higher-order differential symmetries in all three Poisson realisations. The branch-free fifth classical invariant also admits a densely defined nonlocal quantum counterpart, providing a concrete quantum realisation of the transcendental completion.
