Rational Bundles and Recursion Operators for Integrable Equations on A.III-type Symmetric Spaces
Vladimir S. Gerdjikov, Georgi G. Grahovski, Alexander V. Mikhailov, Tihomir I. Valchev
本文分析和比较了一类特殊的可积非线性微分方程的递归算子的构造方法，这些可积非线性微分方程与Cartan分类中的A. III型对称空间有关，并具有额外的约化.
We analyze and compare the methods of construction of the recursion operators for a special class of integrable nonlinear differential equations related to A.III-type symmetric spaces in Cartan's classification and having additional reductions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Recursion and Hamiltonian operators for integrable nonabelian difference equations
本文对域变量取值于结合（但非交换）代数的可积微分差分方程进行了代数研究。我们适应的哈密顿形式主义的nonabel差分洛朗多项式，并描述如何获得一个递归算子的Lax表示的可积nonabel微分差分系统。作为应用，我们提出了一类新的可积方程：非交换Narita-Itoh-Bogoyavlensky格，构造了它的递归算子和Hamilton算子，并证明了由其高度非局部递归算子生成的无穷多个交换对称的局部性.最后，我们讨论了几个可积差分系统的非交换形式，包括相对论Toda链和Ablowitz-Ladik格。
An integrable hierarchy without a recursion operator
针对 Ibragimov–Shabat 耦合二阶演化方程系统，本文构造带本质参数的零曲率表示及所属无限可积族，并证明该族不存在递推算子。
A strange recursion operator for a new integrable system of coupled Korteweg - de Vries equations
利用零曲率表示的规范不变描述方法，构造了一个新的耦合Korteweg-de Vries方程可积系统的递归算子.这个二阶递归算子的特点是它的非局部部分的不寻常的结构。
A Simple Construction of Recursion Operators for Multidimensional Dispersionless Integrable Systems
我们提出了一个简单的新的建设递归运营商的可积多维dispersionless系统，承认一个Lax对的运营商是线性的谱参数，并不涉及后者的衍生物。使用我们的技术获得的递归算子的新的例子包括{ \em除其他外}的一般天体方程，它描述了一类反自对偶的真空爱因斯坦方程的解决方案，和一个六维方程产生的系统的Ferapontov和Khusnutdinova。
Recursion Operators and Nonlocal Symmetries for Integrable rmdKP and rdDym Equations
我们发现的rmdKP和rdDym方程的可积的情况下，直接和逆递归算子。此外，我们还研究了这些算子对接触对称性的作用，并发现了这些方程的非局部对称性的影子。
Integrable differential systems of topological type and reconstruction by the topological recursion
从形式为$\hbar \partial_x Ψ= LΨ$和$\hbar \partial_t Ψ=RΨ$的$d\times d$有理拉克斯对系统出发，证明了在一定的假设（亏格$0$谱曲线和关于$R$和$L$的附加条件）下，系统满足“拓扑类型性质”.结果是其行列式的形式$\hbar$ -WKB展开满足拓扑递归。这特别适用于KP层次的所有$(p,q)$极小模型约简，或六个Painlevé系统。
Any topological recursion on a rational spectral curve is KP integrable
本文证明了对于任何零亏格谱曲线的初始数据，对应的拓扑递归相关微分是KP可积的，并进一步证明了通过ELSV型公式与扭转幂的log canonical丛的r次根相关的分区函数的KP可积性。
Integrable KdV Systems: Recursion Operators of Degree Four
给出了Drinfeld-Sokolov系统的递推算子和双Hamilton形式
Integrable discretization of recursion operators and unified bilinear forms to soliton hierarchies
本文提出利用统一双线性形式离散递归算子的方法，以 AKNS 族和 KdV 族为例推导离散递归算子，并证明其在标准极限下收敛到连续形式。
On fully-nonlinear symmetry-integrable equations with rational functions in their highest derivative: Recursion operators
本文报告了一类在1+1维下具有六阶伴随对称的二阶递推算子的对称可积三阶演化方程，并明确给出了递推算子。
Why nonlocal recursion operators produce local symmetries: new results and applications
众所周知，（1+1）维的可积族是局部的，而生成它们的递归算子通常包含非局部项。我们解决这个明显的差异，提供简单和普遍的充分条件（非局部）递归算子在（1+1）维生成一个层次的局部对称性。这些条件是满足几乎所有已知的今天递归运算符和更容易验证比那些发现在早期的工作。我们还给出了（1+1）维可积系统的高阶递归算子、Poisson结构和辛结构的非局部部分的显式表达式。利用这两个结果，在一些自然的假设下，我们证明了Maltsev-Novikov猜想：（1+1）维可积系统的高阶Hamilton算子、辛算子和递归算子是弱非局部的，即，这些算子的系数是局部的，并且这些算子在每项中最多包含一个积分算子。
Darboux transformations and Recursion operators for differential--difference equations
本文讨论了与Lax表示直接相关的两个概念：达布变换和可积系统的递归算子。然后，我们提出了一个广泛的列表，可积微分差分方程连同他们的哈密顿结构，递归算子，非平凡的广义对称性和达布-拉克斯表示。新的结果包括可积Volterra型方程的多Hamilton结构和递归算子，非线性薛定谔方程的可积离散，如Kaup-Newell格，Chen-Lee-Liu格和Ablowitz-Ramani-Segur（Gerdjikov-Ivanov）格.我们还计算了弱非局部逆递归算子。
Recursion operators for dispersionless integrable systems in any dimension
本文给出了一种新的方法来构造多维可积系统的递归算子，这些系统具有一对交换向量场的Lax型表示。以Manakov-Santini系统（N为任意自然数，N + 4为自变量，N为非独立变量的双曲系统）、第一天方程的六维推广、修正天方程和无色散广田方程为例，说明了这一方法的有效性。
Integrable equations and recursion operators related to the affine Lie algebras $A^{(1)}_{r}$
我们利用Coxeter $\mathbb{Z}_{r+1}$约化导出了一类与无扭仿射李代数$A^{(1)}_{r}$有关的方程.它们代表了与代数相关的孤子方程族的第三个成员。我们还给出了一些特殊的例子，并施加额外的减少。
Evolutionary Hirota Type (2+1)-Dimensional Equations: Lax Pairs, Recursion Operators and Bi-Hamiltonian Structures
证明了（2+1）维Hirota型发展Euler-Lagrange方程具有辛Monge-Ampère形式.我们认为这种类型的可积方程的意义上，他们承认无限多的流体动力学减少，并确定拉克斯对。对于两个七参数可积方程族，我们构造了拉格朗日量、递归算子和双Hamilton表示。我们还提出了一个六参数族的三哈密顿系统。
Recursion operators for a class of integrable third-order evolution equations
我们考虑具有$α=0$和$α=3$的$u_t=u^α u_{xxx}+n(u)u_xu_{xx}+m(u)u_x^3+ r(u)u_{xx} +p(u)u_x^2 + q(u)u_x+s(u)$，对于$m, n, p, q, r, s$的那些泛函形式，方程在无限个Lie-Bäcklund对称意义下是可积的.局部$x$ -和$t$ -独立的递归算子，产生这些无限集的对称方程。一个潜在的形式，速端变换和$x$ -广义速端变换的组合应用到所获得的方程。
Recursion operators for KP, mKP and Harry-Dym Hierarchies
本文给出了三个可积族Kadomtsev-Petviashvili（KP），modified Kadomtsev-Petviashvili（mKP）和Harry-Dym在$n$ -约化下由Lax表示的递归算子的统一构造.这显示了它们之间的一种新的内在关系。为了说明我们的结构，递归算子明确计算$2$ -约化和$3$ -约化。
Formal recursion operators of integrable nonevolutionary equations and Lagrangian systems
本文给出了非发展方程形式递归算子空间$q_{tt}=f(q,q_{x},q_t,q_{xx},q_{xt},q_{xxx},q_{xxxx})$的一般结构。这使我们能够分类可积拉格朗日系统的形式~ $\mathscr{L}=\frac12 L_2(q_{xx}, q_x, q)\,q_t^2 + L_1(q_{xx}, q_x, q)\, q_{t} + L_0(q_{xx}, q_x, q)$的高阶拉格朗日。其关键技术在于利用形式递归算子的决定方程的齐次性。这种方法使我们能够将主要结果推广到更一般的方程~ $q_{tt}=f(q,q_{x},\ldots,q_{n};q_{t},q_{xt},\ldots,q_{mt})$。
On a direct algorithm for constructing recursion operators and Lax pairs for integrable models
本文提出了一种寻找非线性可积方程递归算子的算法。据观察，递归算子$R$可以表示为形式$R=L_1^{-1}L_2$的比率，其中线性微分算子$L_1$和$L_2$以这样的方式选择，即对于参数$λ\in \textbf{C}$的任何值，常微分方程$(L_2-λL_1)U=0$与给定的非线性可积方程的线性化一致。为了构造算子$L_1$，我们使用不变流形的概念，它是对称性的推广。然后，为了搜索$L_2$，我们取一个辅助线性方程，通过达布变换与线性化方程相连。讨论了不变流形与拉克斯对及Dubrovin-Weierstrass方程的关系。
On the recursion operators for integrable equations
众所周知，递归算子是可积性的一个重要组成部分。它允许一个描述在一个紧凑的形式都是层次的广义对称性和无穷级数的局部守恒律。在文献中，我们可以找到几种构造递归算子的方法，其中一些使用Hamilton方法，另一些基于方程的Lax表示。在本文中，我们讨论了另一种方法，建议在\cite{HabKhaTMP18}，这是只与给定方程的前几个广义对称。以KdV、Krichever-Novikov和Kaup-Kupershirt方程和离散模型为例说明了该方法的有效性。
Supersymmetric Representations and Integrable Fermionic Extensions of the Burgers and Boussinesq Equations
我们构造了N=1超对称方程的新的可积耦合系统，并给出了Burgers和Boussinesq方程的可积费米子扩展.无穷多个更高的对称性的存在证明了递归算子的存在。各种代数方法适用于分析对称性，守恒律，递归算子和哈密顿结构。结合代数上的Burgers流与Burgers方程的一个费米子推广有关。本文发现了玻色超场无色散Boussinesq方程的Gardner变形，并描述了其Hamilton对称性的递归算子的特殊性质。此外，我们构建了一个三参数的超对称系统，它结合了Boussinesq方程的色散和耗散，但从来没有收回到它的任何值的参数。
Integrable Hierarchy of Multi-Component Kaup -Boussinesq Equations
利用Lax方法，我们找到了二域和三域Kaup-Boussinesq方程的可积族.然后给出了多分量Kaup-Boussinesq方程及其递推算子。最后证明了所有多分量Kaup-Boussinesq方程都是退化的Svinolupov KdV方程组。
Integrable U(1)-invariant peakon equations from the NLS hierarchy
从NLS族出发，利用三哈密顿分裂方法导出了两个可积的$U(1)$不变峰子方程。一个拉克斯对，一个递归算子，一个双哈密顿制定，和一个层次的对称性和守恒定律的峰子方程。这些方程也出现在NLS层次的潜在流量通过应用NLS递归算子产生的空间平移和$U(1)$ -相位旋转的一个潜在的变量流。这两个方程的解决方案是使用一个峰值anerodic结合振荡的时间相位。这就产生了第一个已知的峰孔通气器的例子。空间周期对应的这些解决方案也得到了。
On Construction of Recursion Operators From Lax Representation
本文发展了一种构造具有Lax表示的非线性可积方程的递归算子的一般方法。文中给出了几个新的例子。特别地，我们找到了一些KdV型可积方程的递归算子。
Recursion operators, conservation laws and integrability conditions for difference equations
本文试图给出一个适合于可积差分方程理论的一致背景和定义。我们采用递归算子的概念，差分方程，并表明，它产生一个无穷序列的对称性和典型的守恒律差分方程。类似于偏微分方程的情况，这些正则密度可以作为差分方程的可积性条件。我们已经找到了Viallet和所有ABS方程的递归算子。
Elastic null curve flows, nonlinear $C$-integrable systems, and geometric realization of Cole-Hopf transformations
研究了三维Minkowski空间中零曲线的弹性（拉伸）流。作为主要工具，本文提出了一种自然型的零曲线活动标架，它不需要伪弧长。这个新标架通过属于洛伦兹群$SO(2,1)$中包含的小群的规范变换与弗伦内零标架相关联，并提供了一个类似的哈西本变换（将欧几里德空间中曲线的平行标架与弗伦内标架相关联）。变换框架的Cartan结构方程编码一个遗传递归算子，给出Burgers方程递归算子的两分量推广，以及Cole-Hopf变换的推广.从这个递归算子的各种对称性得到三个不同的可积系统族。第一层次包含两个组件的Burgers型和非线性Airy型系统;第二层次包含新的准线性薛定谔型（NLS）系统;和第三层次包含半线性波动方程（在两个组件的系统形式）。这些可积系统中的每一个都对应于三维Minkowski空间中一族弹性零曲线的几何流。
Inverse scattering transform for the integrable fractional derivative nonlinear Schrödinger equation
利用逆散射变换研究了分数阶导数非线性薛定谔方程的可积性.首先，我们从递归算子出发，得到一个形式化的fDNLS方程。然后将逆散射问题转化为矩阵Riemann-Hilbert问题求解。随后，我们根据平方本征函数的性质，如平方本征函数是可积方程的递归算子的本征函数，给出了fDNLS方程的显式形式.本文用行列式的方法显式地导出了零边界条件下具有简单极点的无反射势。最后，对于分数阶单孤子解，我们分析了波的传播方向以及分数阶小参数$ε$对波的影响。分数阶单孤子解得到了严格的验证。此外，我们还分析了分数阶单孤子解的极限所得到的分数阶有理解。
Time Dependent Recursion Operators and Symmetries
研究了非自治的（1+1）维可积发展方程的递归算子和对称性。以前已经观察到，通过递归算子得到的可积发展方程的对称性不满足对称方程。已经有几次尝试来解决这个问题。结果表明，在依赖于时间的发展方程或依赖于时间的递归算子的情况下，失去了结合性。由于这个事实，这样的递归运算符需要修改。给出了递归算子缺项的一般公式。除了递归算子的方法来计算正确的对称性。为了说明几个例子的标量和耦合系统的方程被认为是。
Polynomial Bundles and Generalised Fourier Transforms for Integrable Equations on A.III-type Symmetric Spaces
利用逆散射方法（ISM）研究了一类与A.III型对称空间有关的具有附加约化的可积非线性微分方程.利用Dressing方法构造了两类与Lax算子相关的孤子解。其次，利用朗斯基关系，构造了势场与最小散射数据集之间的映射。此外，“平方解”（广义指数）的完整性关系。其次，得到了势的展开式及其变分。这表明逆散射方法作为广义傅里叶变换的解释是正确的。最后，简要分析了这些广义多分量海森堡铁磁（MHF）型可积模型在A. III型对称空间上的哈密顿结构。
Bi-Hamiltonian operators, integrable flows of curves using moving frames, and geometric map equations
利用各种移动标架从常曲率流形和李群流形中的非拉伸曲线的群不变流导出双Hamilton算子和相应的多分量孤子方程族.在常曲率的情况下的层次结构由来自平行框架的向量mKdV方程，来自协变常框架的向量势mKdV方程，以及由底层向量mKdV递归算子生成的高阶对应物组成。在李群的情况下，层次结构包括来自左不变框架的向量NLS方程的群不变模拟，以及由递归算子生成的高阶对应物，该递归算子类似于mKdV的平方根。相应的曲线流被发现是由几何非线性偏微分方程，特别是mKdV和群不变的类似物的薛定谔映射。在所有情况下的层次结构也包含变种的向量正弦戈登方程所产生的内核的相应的递归运算符。描述相应曲线流的几何偏微分方程被示出为波图。这些结果的全部细节在两个主要病例中给出：$S^2,S^3\simeq SU(2)$。
On integrable structures for a generalized Monge-Ampere equation
考虑一个三阶广义Monge-Ampere方程u_yyy - u_xxy^2 + u_xxx u_xyy = 0（它与二维拓扑场论中的结合性方程密切相关），并描述了与之相关的所有可积结构（即，哈密顿算子、辛算子和递归算子）。无限层次的对称性和守恒律的构造以及。
On recursion operators and nonlocal symmetries of evolution equations
考虑（1+1）维演化系统中具有特殊形式的非局部项的递归算子，并将其推广到非局部对称空间上定义良好的算子，这些非局部对称空间与这些系统上的所谓泛阿贝尔覆盖有关.扩展的递归运算符，离开这个空间不变。这些结果适用于，特别是，大多数已知的今天（1+1）维可积演化系统的递归算子。我们还提出了一些相关的结果，并描述了他们的推广和上述结果的（1+1）维系统的可转化为演化形式的偏微分方程。给出了一些实例和应用。
Lattice modified KdV hierarchy from a Lax pair expansion
通过对格点修正的KdV方程的拉克斯对系统地增加项，我们得到了一个可积方程的层次。方程组之间通过递归关系相互联系。这些递归关系明确解决，使每个方程的层次及其拉克斯对是已知的。
New Reductions of a Matrix Generalized Heisenberg Ferromagnet Equation
本文提出了1+1维非线性偏微分方程的逆散射变换可积性。所考虑的可积系统是经典的1+1维海森堡铁磁方程的矩阵推广的伪厄米特约化。我们推导出递归算子，并描述了与矩阵方程相关的可积族。
Symmetries for the Ablowitz-Ladik hierarchy: II. Integrable discrete nonlinear Schrödinger equation and discrete AKNS hierarchy
在本文中，我们继续考虑与Ablowitz-Ladik层次结构相关的对称性。我们推导出可积离散非线性薛定谔方程族和离散AKNS方程族的对称性。可积的离散非线性薛定谔族是标量形式的，它的两组对称构成一个李代数。给出了离散AKNS等谱流、非等谱流及其递归算子。在连续极限下，这些流变成连续AKNS流，递归算子变成AKNS递归算子的平方。这些离散AKNS流形成一个李代数，它在构造可积离散非线性薛定谔方程族和离散AKNS方程族的对称性及其代数结构中起着关键作用。所得代数的结构与连续情形下的无中心Kac-Moody-Virasoro型代数的结构不同。这些代数变形通过连续极限和\textit{degree}用晶格间距参数$h$来解释。
Lax pairs, recursion operators and bi-Hamiltonian representations of (3+1)-dimensional Hirota type equations
我们考虑（3+1）维二阶演化偏微分方程，其中未知的$u$只以二阶偏导数的形式进入.对于这样的方程，具有拉格朗日，我们表明，他们都有一个辛Monge-安培形式，并确定其拉格朗日。我们开发了一个演算的对称性条件转化为“斜因式分解”的形式，我们立即提取拉克斯对和对称性的递归关系，从而表明，所有这些方程是可积的传统意义上。我们将这些方程连同它们的拉格朗日量转换成两个分量的形式，并得到递归算子的$2\times 2$矩阵形式。我们利用狄拉克的约束理论将方程从拉格朗日形式转化为哈密顿形式。将递归算子与Hamilton算子组合，得到了系统的第二种Hamilton形式，从而证明了它们是Magri意义下可积的双Hamilton系统.利用这种方法，我们得到了五个新的（3+1）维双Hamilton多参数系统。
Invariant manifolds for the hyperbolic type integrable equations and their applications
我们指定某种不变流形给一个给定的可积偏微分方程（它的离散或半离散变体）。首先，我们围绕其任意解$u$线性化方程。然后，我们构造一个微分（分别，差分）方程兼容的线性方程的任何选择的$u$。这个方程定义了一个叫做广义不变流形的曲面。在某种意义上，流形推广了对称性，这也是线性化方程的解。在本文中，我们集中在连续和离散模型的双曲型。已知这类方程有两个对称族，对应于特征方向。我们已经表明，适当选择的广义不变流形允许构造递归算子，产生这些对称。令人惊讶的是，这两个递归算子都与同一不变流形的不同参数化有关。因此，知道双曲型可积方程（没有伪常数）的一个递归算子，我们可以立即找到第二个。
A unified approach to computation of integrable structures
我们暴露（没有证据）一个统一的计算方法，可积结构（包括递归，哈密顿，辛算子）的基础上的几何理论偏微分方程。我们采用了基于坐标的方法，旨在提供一个教程的计算。
Integrable Couplings of Soliton Equations by Perturbations I. A General Theory and Application to the KdV Hierarchy
利用微扰孤子方程的解周围的各种微扰，建立了一个构造孤子方程可积耦合的理论。可以采取多尺度扰动，从而更高维的可积耦合可以呈现。该理论被应用到KdV孤子族。对KdV族中的每一个孤子方程构造了无数个可积耦合，其中包括具有四重Hamilton形式和两类遗传递归算子的可积耦合，以及具有局部2+1维双Hamilton形式和随之而来的2+1维遗传递归算子的可积耦合.
A new integrable discrete generalized nonlinear Schrodinger equation and its reductions
基于差分算子的代数化，构造并研究了一个新的可积离散系统。该模型被命名为离散广义非线性薛定谔（GNLS）方程，它可以归结为经典的离散非线性薛定谔（NLS）方程。为了证明离散GNLS方程的完全可积性，得到了该方程的递推算子、对称性和守恒量。进一步给出了离散GNLS方程的所有约化方法，并通过其中一种约化方法得到了离散NLS方程。同时，连续GNLS方程的递归算子和对称性也被相应的离散GNLS方程所恢复。
Rational recursion operators for integrable differential-difference equations
本文引入了差分算子的preHamilton对，研究了它们与Nijenhuis算子的关系以及微分差分方程弱非局部逆递归算子的存在性.我们开始严格设置的问题，在斜场$Q$的有理（伪差）运营商在一个差域$F$与零特征子域常数$k\subset F$和主理想环$M_n(Q)$矩阵有理（伪差）运营商。特别地，我们给出了有理算子弱非局部的一个判别准则。一个差分算子$H$称为预Hamilton算子，如果它的像是关于$F$上李括号的李$k$ -子代数.若两个预哈密顿算子的任意$k$ -线性组合是预哈密顿算子，则它们构成预哈密顿算子对.然后，我们表明，一个preHamilton对自然导致Nijenhuis运营商，和Nijenhuis运营商可以表示的preHamilton对。这为判定有理算子是否为Nijenhuis算子提供了一个系统的方法。作为应用，我们构造了Adler \& Postnikov最近发现的微分差分方程的一个预Hamilton对，从而构造了一个Nijenhuis递归算子.得到的Nijenhuis算子不是弱非局部的。我们证明了它产生了一个无限的局部交换对称的层次。我们还说明了我们的理论上著名的例子，包括户田，Ablowitz-Ladik和Kaup-Newell微分差分方程。
On Non-Commutative Integrable Burgers Equations
利用非对易Burgers方程的Lax算子构造了其递推算子。本文研究了在更高对称性条件下左、右手Burgers方程的任意可积混合解的存在性。
Duality of positive and negative integrable hierarchies via relativistically invariant fields
本文利用相对论不变场作为对偶关系，将多种连续和离散可积正层次转化为负层次，并通过递归算子、形式级数对称方法和主对称方法揭示各维度的对偶性。
On 2nd-order fully-nonlinear equations with links to 3rd-order fully-nonlinear equations
该研究推导了完全非线性对称可积二阶演化方程及其一阶递推算子的一般条件，并借助所得命题建立了这类二阶方程与一类三阶完全非线性对称可积演化方程的关联。
Noncommutative integrability and recursion operators
分析了交换和非交换可积动力学的几何结构。他们导致一个新的表征的非交换可积性的谱性质和Nijenhuis挠不变（1，1）张量场。讨论了相容辛结构的构造。
The four-dimensional Martinez Alonso - Shabat equation: differential coverings and recursion operators
本文应用Cartan等价方法，对四维Martinez Alonso - Shabat方程的对称伪群的结构方程求出了一个接触可积的扩张。从推广中，我们得到了两个微分覆盖，包括覆盖与一个和两个不可移动的参数。然后，我们采用同样的方法来构造一个递归算子的对称性的方程研究。
Characteristic Classes and Integrable Systems. General Construction
本文研究了椭圆曲线上具有标记点的拓扑非平凡Higgs丛，并构造了相应的可积系统.在一个标记点的情况下，我们称之为修改的Calogero-Moser系统（MCM系统）。它们的相空间与具有自旋的标准CM系统的相空间具有相同的维数，但粒子数较少，自旋变量数较多。全纯丛的拓扑由它们的特征类定义。如果G有一个非平凡的中心，即经典的单连通群，$E_6$和$E_7$，则出现这样的丛。我们定义了G的共形形式CG-GL（N）对于SL（N）的一个类似物，并将特征类与CG-丛的度联系起来。从这些丛，我们构造Lax算子，二次哈密顿算子，定义相空间和泊松结构使用动态r-矩阵。为了描述系统，我们使用李代数中的一个特殊基，它推广了sl（N）的t'Hooft矩阵的基。我们发现，MCM系统包含与某些（不间断）子代数相关的标准CM系统。CM粒子的位形空间是具有非平凡特征类的全纯丛的模空间。
A strange recursion operator demystified
本文证明了Karasu（Kalalkanli）等人（arXiv：nlin.SI/0203036）研究的一个新的KdV型可积二分量系统是双Hamilton系统，其递归算子可以表示为两个相容Hamilton算子之比，该算子具有非常不寻常的非局部项结构.利用这一点，我们证明了该系统具有无穷多个局部交换广义对称和对合守恒量，并且对应于这些对称的演化系统也是双哈密顿的.我们还表明，在引入合适的非局部变量的非局部项的递归算子的研究中，可以写在通常的形式，与集成操作$D^{-1}$出现在每个术语最多一次。
Some new integrable systems of two-component fifth order equations
本文研究了具有七阶对称性的五阶可积耦合权系统$0$和$1$。我们建立了四个新的系统，在某些情况下，给出了相关的递归算子和双哈密顿公式。我们还研究了所开发的系统的可积性。
Integrable Coupled KdV Systems
给出了N-耦合KdV型方程组可积的条件.还给出了每个子类的递归算子。所有的例子N=2明确给出。
Hitchin integrable systems, deformations of spectral curves, and KP-type equations
本文确定了希钦纤维化中出现的一个有效谱曲线族。利用这个族，我们将代数曲线上稳定Higgs丛的模空间嵌入到Sato Grassmannian中。我们证明了定义在Higgs模空间上的自然代数完全可积的哈密顿系统Hitchin可积系统与KP方程是一致的。证明了这些模空间上的Serre对偶对应于作用在Grassmannian上的伪微分算子的形式伴随。从这一事实出发，我们用KP方程的约化来确定Sp（2 m）-Higgs丛的模空间上的Hitchin可积系统。我们还证明了通过取GL-Higgs丛的模空间上的李代数作用的辛商，构造了Sp（2 m）-Higgs模空间的对偶阿贝尔纤维化（SYZ镜像对偶）.
On solutions for some class of integrable difference equations
本文证明了一个常差分方程的任意解也是一族可积差分方程的解。我们还提供了一个例子，这样的解决方案是由一个二阶线性递归与2周期系数产生的序列。
Recursion operators and bi-Hamiltonian representations of cubic evolutionary (2+1)-dimensional systems
我们构造了所有的（2+1）维偏微分方程只依赖于未知的二阶导数，具有Euler-Lagrange形式，并确定相应的拉格朗日量。我们将这些方程和拉格朗日方程的两个组成部分的形式，并找到所有这些系统使用狄拉克的理论约束的哈密顿表示。我们考虑三参数可积方程是三次的偏导数未知应用我们的方法斜因式分解的对称条件。对于单分量和双分量形式，确定了对称性的拉克斯对和递归关系。对于二分量形式的三次三参数方程，我们得到了$2\times 2$矩阵形式的递归算子和双Hamilton表示，从而发现了三个新的双Hamilton（2+1）系统.
The symmetry approach to integrability: recent advances
我们提供了一个简明的介绍对称方法的可积性。综述了可积发展和发展方程组的一些结果。讨论了拟局部递归和Hamilton算子。我们进一步描述了非交换可积方程，特别是矩阵（常微分方程和偏微分方程）系统。一些非进化可积方程的研究使用正式的递归算子，可以研究非对角化系统的发展方程的制定。
Local Geometric Invariants of Integrable Evolution Equations
利用三维流体动力学局部感应方程的交换向量场的可积族及其相关的递归算子，生成了保持演化曲线或掠出曲面的局部几何不变量的可积演化方程族.
Integrable generalizations of Schrodinger maps and Heisenberg spin models from Hamiltonian flows of curves and surfaces
利用欧氏空间中非拉伸几何曲线流的移动标架公式，导出了包含海森堡铁磁自旋模型和自旋矢量形式的mKdV方程的1+1维可积SO（3）不变矢量模型.这些模型描述了孤子方程的双哈密顿结构的NLS层次的几何实现被编码在移动框架的Frenet方程。这种推导产生了一个明确的双哈密顿结构，递归算子，并为每个模型的层次结构中的运动常数。这些结果的推广几何表面流，其中的表面是非拉伸在一个方向上，而在所有的横向方向拉伸。通过运动标架的Frenet方程，这种表面流被证明是一个2+1维可积SO（3）不变矢量模型的编码，以及它们的双Hamilton结构、递归算子和运动常数，描述了2+1维双Hamilton NLS和mKdV孤子方程的几何实现.基于1+1维海森堡模型与薛定谔映射方程之间的等价性，给出了这两类1+1和2+1矢量模型的几何表示，并将它们表示为2-球面上的动力学映射.特别是，这个公式产生了一个新的可积推广的薛定谔映射方程在2+1维以及mKdV模拟这个映射方程对应的mKdV自旋模型在1+1和2+1维。
Self-dual gravity is completely integrable
我们发现了实一阶二分量形式的复Monge-Ampere方程（CMA）集的多Hamilton结构。因此，根据马格里定理，这是一个在四维实空间中完全可积系统。我们开始与拉格朗日和哈密顿密度，并获得一个辛形式和哈密顿算子，确定狄拉克括号。我们计算了二分量CMA系统的所有点对称性和对称流的哈密顿量。我们发现了两个新的实递归算子，它们与CMA系统解的对称性条件的算子可交换。这些算子构成了二元系统的两个拉克斯对。递归算子，被施加到第一个哈密顿算子，产生无穷多个真正的哈密顿结构。我们展示了如何构建一个无限的层次更高的交换流与相应的无限链的哈密顿。
On a method for constructing the Lax pairs for nonlinear integrable equations
本文提出了一种寻找非线性可积方程的拉克斯对的直接算法。它对连续和离散模型都是有效的。对应于一个给定的非线性方程的拉克斯对的第一个运营商被立即发现，符合所考虑的非线性方程的线性化。第二个是作为线性化方程的不变流形。讨论了拉克斯对的第二个算子和递归算子之间的一个令人惊讶的简单关系：递归算子可以立即从拉克斯对中找到。文章中考虑的例子是令人信服的证据，发现拉克斯对不同于经典的。这些例子还表明，所建议的对象是真正的拉克斯对，它允许建设的守恒律和更高的对称性的无穷级数。在双曲型偏微分方程的情况下，我们的算法略有修改;为了从不变流形构造拉克斯对，我们使用相应的无穷拉普拉斯序列的截断条件。该方法的效率示出的应用程序中给出的Svinolupov-Sokolov分类列表中的拉克斯对和递归算子没有被发现较早的一些方程。
Integrable classes of a family of evolution equations
解决了一类二阶非线性发展方程的对称可积分类问题。由此得到四个非等价的对称可积类，并将结果转化为文献中已知的可积方程。递归算子也给出了所有的对称可积类发现，其中一些是唯一已知的一些典型的类。
Locality of symmetries generated by nonhereditary, inhomogeneous, and time-dependent recursion operators: a new application for formal symmetries
利用形式对称理论的方法，得到了递归算子产生局部广义对称族的新的易于验证的充分条件。我们的方法的一个重要优点是，在某些温和的假设下，它允许绕过繁琐的检查遗传的递归算子的问题，这是特别有用的研究新发现的可积系统的对称性。更重要的是，与早期的工作，递归算子和对称性下的标度的同质性没有假设。给出了一个非遗传递归算子生成局部对称族的例子。
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