Strichartz Estimates for the Schroedinger Equation with Time-Periodic L^{n/2} Potentials
我们证明了Schroedinger算子$H = -Δ+ V(t,x)$在$n \ge 3$维上具有属于标度临界空间$L^{n/2}_x L^\infty_t$的时间周期复位势$V$的Schroedinger算子$H = -Δ+ V(t,x)$的Schrohartz估计.这是直接从估计的预解式，而不是使用分散的界限，因为后者通常需要一个更强的正则性条件比上面所说的。在典型的方式中，我们投影到算子的连续谱上，并且必须假设不存在共振。本征值是允许在任何位置的频谱，包括在阈值能量，只要相关的本征函数衰减足够快。
2007-11-03 math-ph math.AP math.MP
On the standing waves of the Schroedinger equation with concentrated nonlinearity
我们研究了由分数拉普拉斯算子$(-Δ)^s, s>\frac{n}{2}$驱动的具有幂次非线性的${\mathbf R^n}$上的集中NLS。我们明确地构造孤波，在一个最佳的参数范围内，使它们属于自然的能量空间$H^s$。接下来，我们提供了一个完整的分类，他们的光谱稳定性。最后，我们证明了波是非退化的，因此轨道稳定，只要他们是谱稳定的。顺便说一句，我们的建设表明，孤子的配置文件，集中NLS实际上是精确的最小值的Sobolev嵌入$H^s({\mathbf R^n})\hookrightarrow L^\infty({\mathbf R^n})$，这提供了一个替代的计算和理由，这些不等式中的尖锐常数。
2020-09-15 math-ph math.AP math.MP
Dispersive estimates for the three-dimensional Schroedinger equation with rough potentials
证明了三维线性Schroedinger方程的L^1 --> L^ \infty估计.假设势属于某些L^p空间，但不需要逐点衰减估计，也不需要额外的正则性。
2004-07-19 math.AP
Strong coupling asymptotics for a singular Schroedinger operator with an interaction supported by an open arc
我们考虑$L^2(\mathbb{R}^2)$中的奇异薛定谔算子，形式上记为$-Δ- βδ(x-γ)$，其中$γ$是$\mathbb{R}^2$中的$C^4$光滑开弧，长度为$L$，端点规则.证明了在强耦合极限$β\to +\infty$中，该算子的$j$次负特征值渐近地表现为\[ E_j(β)=-\frac{β^2}{4} +μ_j +\mathcal{O}\Big(\dfrac{\logβ}β\Big), \]，其中$μ_j$是该算子\[ -\frac{d^2}{ds^2} -\frac{κ(s)^2}{4}\, \]在$L^2(0,L)$上的$j$次Dirichlet特征值，$κ(s)$是$γ$在点$s\in(0,L)$的符号曲率.
2014-10-31 math-ph math.AP math.MP
Boundedness of Schroedinger type propagators on modulation spaces
已知在求解薛定谔型算子时产生的傅里叶积分算子在调制空间$\cM^{p,q}$上有界，对于$1\leq p=q\leq\infty$，只要它们的符号属于Sjöstrand类$M^{\infty,1}$。但是，对于$p\not=q$，它们通常不能在$\cM^{p,q}$上绑定。在本文中，我们研究了几个额外的条件，施加在相位或符号，保证$\cM^{p,q}$上的有界性$p\not=q$，和之间的$\cM^{p,q}\to\cM^{q,p}$，$1\leq q< p\leq\infty$。我们还研究了类似的问题，运营商的Wiener汞齐空间，夺回，特别是最近的一些结果为metaplectic运营商。我们的论证大量使用了测不准原理。
2009-08-28 math.AP math.FA
Solutions for a Nonhomogeneous Nonlinear Schroedinger Equation with Double Power Nonlinearity
本文考虑RN中的问题-Δu+V（x）u = f '（u）+g（x），假设limx \rightarrow \infty V（x）= 0，非线性项f具有双幂行为.当g充分小且V < 0时，我们证明了两个解的存在性.
2010-12-27 math.AP
Linear restriction estimates for Schroedinger equation on metric cones
本文研究了Schroedinger算子在度量锥$M$上产生的动力学的一些修正的线性约束估计，其中度量锥$M$的形式为$M=(0,\infty)_r\timesΣ$，截面$Σ$是一个紧的$(n-1)$维黎曼流形$(Σ,h)$，所配度量为$g=\mathrm{d}r^2+r^2h$ .假设初始数据在角度变量$θ\inΣ$中具有额外的正则性，我们给出了解的线性约束估计。作为应用，我们得到了径向初始数据的时间上的全局Eschhartz估计，并给出了二维度规锥上质量临界非线性Schroedinger方程的小初始数据散射理论.
2014-03-19 math.AP
Lane Emden problems: asymptotic behavior of low energy nodal solutions
研究了Lane Emden Dirichlet问题$-Δu = |u|^{p-1}u with DBC on a smooth bounded domain $ Ω $ in $ \IR^2 $ and where $ p>1 $. We consider solutions $ u_p $ satisfying $ p \int_Ω \abs{\nabla u_p}^2 \to 16πe \quad \hbox{as} p \rightarrow + \infty \qquad（*）$ and we are interested in the shape and the asymptotic behavior as $ p \rightarrow + \infty $. First we prove that (*) holds for least energy nodal solutions. Then we obtain some estimates and the asymptotic profile of this kind of solutions. Finally, in some cases, we prove that $ pu_p $ can be characterized as the difference of two Green's functions …
2012-06-18 math.AP
Measure upper bounds of nodal sets of solutions to Dirichlet problem of Schrödinger equations
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文研究了Schrödinger方程Dirichlet问题解节点集的测度上界估计，通过精细的分步迭代方法，得出了节点集的(n-1)维Hausdorff测度上界，并在V为解析函数时给出了具体表达式。
2026-04-16 math.AP math.DG
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
2015-10-08 math.AP math.SP
Nodal solutions for Lane-Emden problems in almost-annular domains
本文证明了问题$$\left\{\begin{array}{ll} -Δu = |u|^{p-1} u \qquad & \text{in} Ω, \\ u= 0 & \text{on} \partialΩ, \end{array} \right. $$的一个存在性结果，其中$Ω$是环的扰动${\mathbb R}^{N}$中的有界区域.则存在序列$p_1<p_2<..$和$\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}p_k=+\infty$使得对于任何实数$p>1$和$p\ne p_k$至少存在一个解和$m$节点区.在这样做的时候，我们还研究了径向节点的解决方案在一个环：我们提供了一个估计其莫尔斯指数和分析的渐近行为为$p\to 1$。关键词：半线性椭圆型方程，节点解，超临界问题。
2016-05-27 math.AP
An Agmon-Allegretto-Piepenbrink principle for Schroedinger operators
本文证明了薛定谔算子的Agmon-Allegretto-Piepenbrink原理，揭示了Borel函数诱导的定义域分解与非负超解存在性及二次型非负性之间的关联。
2021-11-10 math.AP math.FA
Global existence and scattering for rough solutions of a nonlinear Schroedinger equation on R^3
证明了在$H^s(\rr^3)$中的散焦三次非线性薛定谔方程对$s > {4/5}$的整体解的存在性和散射性.主要的新估计的论点是一个Morawetz型不等式的解决方案$ϕ$。这个估计限制了$\|ϕ(x,t)\|_{L^4_{x,t}(\rr^3 \times \rr)}$，而著名的Lin-Strauss的Morawetz型估计控制了$ \int_0^{\infty} \int_{\rr^3} \frac{(ϕ(x,t))^4}{|x|} dx dt
2004-04-06 math.AP
Endpoint maximal and smoothing estimates for Schroedinger equations
对于$α>1$，我们考虑色散方程$i\partial_t u +(-Δ)^{α/2} u= 0$的初值问题。本文证明了在$L^p$ -索伯列夫空间中具有初始值的极大函数$\sup_{t\in[0,1]}|u(\cdot,t)|$的端点$L^p$不等式，对于$p\in(2+4/(d+1),\infty)$ .这加强了固定时间的估计，由于Febriman和斯坦，和Miyachi。作为一个重要的工具，我们建立了尖锐的$L^p$时空估计（当地的时间）相同的范围内的$p$。
2009-05-21 math.AP math.CA
Sharp estimates and non-degeneracy of low energy nodal solutions for the Lane-Emden equation in dimension two
研究二维 Lane-Emden 方程低能节点解的尖锐估计与非退化性，并证明最小能量节点解满足可比条件，证实了相关猜想。
2023-06-23 math.AP
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
2023-11-03 math.AP
Multiplicity of multi-bump type nodal solutions for a class of elliptic problems with exponential critical growth in $\mathbb{R}^2$
本文证明了以下问题$$ -Δu+(λV(x)+1)u=f(u),~~\mbox{in}~~\mathbb{R}^2, $$多凸节点解的存在性和多重性，其中$λ\in(0,\infty)$，$f$是指数临界增长的连续函数，$V:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$是连续函数，并验证了一些假设.
2014-12-13 math.AP
On Schroedinger type operators with unbounded coefficients: Generation and heat kernel estimates
我们考虑薛定谔型算子${\mathcal A}=(1+|x|^α)Δ-|x|^β$，对于$α\in [0,2]$和$β\ge 0$ .证明了对任意$p\in (1,\infty)$，算子${\mathcal A}$在$L^p(\R^N)$中的极小实现生成强连续解析半群$(T_p(t))_{t\ge 0}$ .对于$α\in [0,2)$和$β\ge 2$，我们证明了半群$(T_p(t))_{t\ge 0}$的热核$k$的一些上估计.因此，我们得到了估计大$|x|$的本征函数的${\mathcal A}$。最后，我们将这样的估计推广到一类散度型椭圆算子。
2012-03-04 math.AP
Intrinsic Ultracontractivity for a class of Schroedinger Semigroups in $\mathrm{L}^{2}\left( \mathbb{R}^{n} \right)$ using Log-Sobolev-inequalities and duality arguments
University of Rostock（罗斯托克大学）；Cadi Ayyad University（卡迪阿亚德国立大学）
本文利用对数 Sobolev 不等式和对偶性论证，研究了在 $ \mathrm{L}^{2}\left( \mathbb{R}^{n} \right) $ 中一类 Schrödinger 半群的内在超收缩性，通过严格正的基态函数推导出超收缩性估计。
2026-02-04 math-ph math.AP math.FA
Morse index of radial nodal solutions of Hénon type equations in dimension two
考虑\[ -Δu = |x|^α f(u), \ \ x \in Ω, \ \ u=0 \quad \text{on} \ \ \partial Ω, \]型非自治半线性椭圆方程，其中$Ω\subset {\mathbb R}^2$是以原点为中心的球或环，$α>0$和$f: {\mathbb R}\ \rightarrow {\mathbb R}$是${\mathbb R}$的有界集上的$C^{1, β}$.我们解决的问题，估计莫尔斯指数$m(u)$的符号变化的径向解决方案$u$。我们证明了$m(u) \geq 3$对每个$α>0$和$m(u)\geq α+ 3$，如果$α$是偶数。如果$f$是超线性的，则先前的估计分别变为$m(u) \geq n(u)+2$和$m(u) \geq α+ n(u)+2$，其中$n(u)$表示$u$的节点集的数目，即$\{ x\in Ω; u(x) \neq 0\}$的连通分量的数目。因此，每个最小能量节点解$u_α$不是径向对称的，并且$m(u_α) \rightarrow + \infty$是沿着偶数指数序列$α$的$α\rightarrow + \infty$。
2015-03-10 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials
1956年$Å$。Pleijel给他著名的定理表明，不平等的柯朗定理的数目节点域是严格的大特征值的拉普拉斯算子。这是一个后果的一个更强的结果，给出了一个渐近上界的本征函数的节点域的数目的本征值趋于$+\infty$。对于Schr”\odinger算子，自然会出现类似的问题。第一作者最近在谐振子方面得到了第一个有意义的结果。本文的目的是考虑更一般的径向势。我们将分析势趋于$+\infty$的情况和势为负且趋于零的情况，其中所考虑的本征函数与低于本质谱的本征值相关联。
2016-04-28 math-ph math.AP math.MP
Equilibria with a nontrivial nodal set and the dynamics of parabolic equations on symmetric domains
考虑有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的Dirichlet问题u_t &= Δu + f（x，u，\nabla u）+ h（x，t），& \qquad &（x，t）\in Ω \times（0，\infty），u &= 0，& \qquad &（x，t）\in \partial Ω \times（0，\infty）.假设区域和非线性$f$在关于$x_1$ -轴的反射下是不变的，并且函数$h$考虑非对称衰减扰动：$h(\cdot, t)\to 0$为$t\to\infty$。在我们的一个主要定理中，我们证明了每一个有界正解$u$的渐近对称性。这个结果的新颖之处在于，渐近对称性的建立，即使是解决方案，并不假定一致积极的。特别是，一些平衡的极限时间自治问题（问题与$h\equiv 0$）与非平凡的节点集可能会出现在$ω$ -极限集的$u$和这防止一个应用常见的技术的基础上的方法移动超平面。我们的第二个主要定理的目的是分类的时间自治问题的正整体解。我们证明，如果$U$是一个正的整体解决方案，那么以下之一适用：（i）对于每个$t\in \mathbb{R}$，$U(\cdot,t)$在$x_1$中是偶数并且在$x_1>0$中是递减的，（ii）$U$是平衡，（iii）$U$是从具有非平凡节点集的平衡到由在$x_1$中是偶数并且在$x_1>0$中是递减的函数组成的集合的连接…
2013-11-27 math.AP math.DS
Bi- and trilinear Schroedinger estimates in one space dimension with applications to cubic NLS and DNLS
一维空间中自由薛定谔方程的两个相应的三个解的乘积的傅里叶变换以混合的且在第一种情况下加权的L^p -范数进行估计。将这些估计插入到Fourier限制范数方法的一个适当的变体中，证明了具有数据u_0的三次非线性Schroedinger（NLS）方程在函数空间^L^r：=^H^r_0中Cauchy问题的局部适定性，其中对于s \in R，空间^H^r_s由范数定义||u_0||_{^H^r_s}：=||联系我们||_{L^r'_n}，1/r + 1/r'=1。类似的论点，结合规范变换，导致局部适定性的微分非线性薛定谔（DNLS）方程的数据u_0 \in ^H^ r_{1/2}的柯西问题。在三次NLS的局部结果中，参数r在整个亚临界范围1<r< \infty中是允许的，而对于DNLS，我们假设1<r \le 2。在r=2的特殊情况下，这两个结果都与H^s尺度上的最优结果一致.此外，关于三次NLS方程，它是由一个分解参数表明，局部解扩展的整体，提供2 \ge r > 5/3。
2005-05-22 math.AP
A complete scenario on nodal radial solutions to the Brezis Nirenberg problem in low dimensions
在本文中，我们考虑问题$$ \begin{cases} -Δu=|u|^{2^*-2}u+λu&\text{ in }B,\\ u=0&\text{ on }\partial B \end{cases} $$的节点径向解，其中带有$3\le N\le6$的$2^*=\frac{2N}{N-2}$和$B$是$\R^N$的单位球。我们计算的解决方案$u$以及$||u||_\infty$，它的第一个零和其他相关的数量$ł$去一个临界值$\barł$的渐近。所有病例均出现$ł-\barł$征。这完成了[EGPV]中给出的$N\ge7$的类似分析。
2020-10-23 math.AP
Multiplicity of nodal solutions to the Yamabe problem
给定一个维数为$m\geq 3$的无边界紧致黎曼流形$(M,g)$，在一定的对称性假设下，我们建立了Yamabe型方程$$-div_{g}(a\nabla u)+bu=c|u|^{2^{\ast}-2}u\quad on\ M$$的一个正解和多个节点解的存在性，其中$a,b,c\in C^{\infty}(M)$，$a$和$c$都是正的，$-div_{g}(a\nabla)+b$是强制的，$2^{\ast}=\frac{2m}{m-2}$是临界Sobolev指数.特别是，如果$R_{g}$表示的标量曲率的$(M,g)$，我们给出的条件，保证Yamabe问题$$Δ_{g}u+\frac{m-2}{4(m-1} R_{g}u=κu^{2^{\ast}-2}\quad on\ M$$承认一个规定数量的节点的解决方案。
2017-07-18 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: proof of Nadirashvili's conjecture and of the lower bound in Yau's conjecture
设$u$是单位球$B(0,1) \subset \mathbb{R}^n$，$n \geq 3$中的调和函数，使得$u(0)=0$ . Nadirashvili解释说，存在一个正常数$c$，仅取决于$n$的尺寸，因此$H^{n-1}(\{u=0 \}\cap B) \geq c$。证明了Nadirashvili猜想及其在$C^\infty$ -光滑黎曼流形上的对应猜想.后者给出了丘氏猜想的下界。也就是说，我们证明了，对于任何紧凑的$C^\infty$ -光滑黎曼流形$M$（无边界）的尺寸$n$存在$c>0$，使任何拉普拉斯特征函数$φ_λ$上$M$，它对应于本征值$λ$，以下不等式成立：$c \sqrt λ\leq H^{n-1}(\{φ_λ=0\})$。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
L^p Boundedness of the Scattering Wave Operators of Schroedinger Dynamics with Time-dependent Potentials and applications
本文通过新的消去引理证明了含时位势线性薛定谔方程波算子的L^p有界性，并应用于非线性色散方程，得到Hartree方程全局存在性及自由通道波算子的存在性。
2025-01-23 math.AP
Asymptotic behavior of least energy nodal solutions for biharmonic Lane-Emden problems in dimension four
本文研究四维有界区域中双调和 Lane-Emden 方程最小能量节点解在 $p\to\infty$ 时的极限，证明其经 $p$ 缩放后收敛为两个 Green 函数之差，并推广且无需可比性条件即可另证二维结果。
2023-06-07 math.AP
Positive and nodal single-layered solutions to supercritical elliptic problems above the higher critical exponents
我们研究问题%\[ -Δv+λv=| v| ^{p-2}v\text{ in }Ω,\text{\qquad}v=0\text{ on $\partialΩ$},\text{ }% \]的$λ\in\mathbb{R}$和超临界指数$p,$域的形式%\[ Ω:=\{(y,z)\in\mathbb{R}^{N-m-1}\times\mathbb{R}^{m+1}:(y,| z| )\inΘ\}, \]其中$m\geq1,$ $N-m\geq3,$和$Θ$是一个有界域的$\mathbb{R}% ^{N-m}$，其封闭包含在$\mathbb{R}^{N-m-1}\times(0,\infty)$。在对$Θ$的一些对称性假设下，证明了在包含$[0,\infty)$和$p>2$的区间内，对于每个$λ$，该问题有无穷多个解，直到某个大于$(m+1)^{st}$临界指数$2_{N,m}^{\ast}:=\frac{2(N-m)}{N-m-2}$的数.我们还展示了域与收缩孔，其中有一个积极的和一个节点的解决方案，集中在一个领域，开发一个单一的层，吹在$m$维领域包含在边界的$Ω,$孔收缩和$p\rightarrow2_{N,m}^{\ast}$从上面。正解的极限分布在浓度球的横向上是标准气泡的重新标度，而节点解的极限分布是问题%\[ -Δu=| u| ^{2_{n}^{\ast}-2}u,\tex…
2017-03-07 math.AP
Number of nodal domains of eigenfunctions on non-positively curved surfaces with concave boundary
证明在黎曼流形$(M, g)$上存在一列$Δ_g$ -特征函数$ϕ_{j_k}$，使得节点域的个数$N(ϕ_{j_k}) $随着特征值趋于无穷大，这是一个普遍的公开问题.我们的主要结果是：如果$(M, g)$是一个具有凹边界的非正曲面，即广义Sinai台球或Lorentz台球，则$N(ϕ_{j_k}) \to \infty$沿密度$1$的一个特征值子序列.不像最近密切相关的工作Ghosh Reznikov Sarnak和作者的节点域计数问题，表面不需要有任何对称性。
2014-11-20 math.AP math.SP
On a singular eigenvalue problem and its applications in computing the Morse index of solutions to semilinear PDE's, Part II
利用Morse指数的一个特征和奇异一维本征值问题的退化性，给出了Hénon型问题\[ \left\{\begin{array}{ll} -Δu = |x|^αf(u) \qquad & \text{ in } Ω, u= 0 & \text{ on } \partial Ω, \end{array} \right. \]径向解的Morse指数的一个下界，其中$Ω$是$\mathbb R^N$（$N\ge 2$）的有界径向对称区域，$α>0$和$f$是实函数.从这个估计，我们得到该问题的节点径向解的Morse指数作为$α\to \infty$进入$\infty$。对于实Hénon问题$f(u)= |u|^{p-1}u$，我们证明了径向非退化性，证明了径向Morse指数等于节点区域的个数，并得到了最小能量节点解不是径向的.
2019-06-02 math.AP
Nodal properties of eigenfunctions of a generalized buckling problem on balls
在本文中，我们感兴趣的四阶本征值问题来自液体衬底上的薄膜的屈曲：\begin{equation*} \begin{cases} Δ^2 u+ κ^2 u=-λΔu &\text{in } B_1,\newline u=\partial_r u= 0 &\text{on } \partial B_1, \end{cases} \end{equation*}其中$B_1$是单位球$\mathbb{R}^N$。当$κ> 0$是小的，我们表明，第一本征值是简单的，第一本征函数，这给了小位移的膜的形状，是积极的。然而，当$κ$增加时，我们建立第一特征值并不总是简单的，第一特征函数可能改变符号。更精确地说，对于任何$κ\in (0,+\infty)$，我们给出了第一本征值的确切重数和第一本征函数的节点区域的数目。
2014-08-26 math.AP
Collapse and saturation for radial nodal solutions of a Lorentz--Minkowski mean curvature equation
Università di Torino（都灵大学）
研究Lorentz--Minkowski平均曲率方程径向结点解的渐近行为，证明解的坍塌与饱和二分法，并构造小解与大解分别收敛于零和饱和轮廓。
2026-10-08 math.AP math.CA
Radial Nodal Dirichlet Solutions of Singular Elliptic Equations: Global Branches, Endpoint Asymptotics, and Morse Indices
School of Mathematics and Statistics, Southwest University（西南大学数学与统计学院）
本文通过有限球射击分类，证明了对数及次线性奇异椭圆方程径向节点Dirichlet解的唯一性、全局分支、端点渐近与Morse指标，并给出显式Bessel积分常数。
2026-09-15 math.AP
Exact Morse index computation for nodal radial solutions of Lane-Emden problems
本文考虑半线性Lane-Emden问题\begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$B$是$\mathbb R^N$，$N\geq2$和$1<p<p_S$的单位球，若$N=2$为$p_S=+\infty$，若$N\geq3$为$p_S=\frac{N+2}{N-2}$.我们的主要结果是证明了在维数$N=2$上，当$p$足够大时，\eqref{problemAbstract}的最小能量变号径向解$u_p$的Morse指数恰为$12$.作为一个中间步骤，我们明确计算的第一个特征值的极限加权问题在$\mathbb R^N$在任何尺寸$N\geq2$。
2016-02-22 math.AP
Quasi-radial nodal solutions for the Lane-Emden problem in the ball
考虑半线性椭圆问题\begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$B$是$\mathbb R^2$和$p\in (1,+\infty)$的以原点为中心的单位球.我们证明了\eqref{problemAbstract}的非径向符号变化的解决方案，\emph{quasi-radial}，即解决方案的节点线是一个有限数量的不相交的简单封闭曲线，这是嵌套域的边界包含在$B$的工会。特别地，这些解的节点线不接触$\partial B$。\\通过两种不同的方法获得结果：通过在$p$的某些值处从\eqref{problemAbstract}的最小能量符号变化径向解$u_p$的非径向分支并通过研究定性性质，对于大的$p$，的最低能量节点的解决方案，在空间的功能不变的行动二面角群所产生的反射相对于$x$ -轴和围绕角度原点的旋转$\frac{2π}{k}$（对于合适的整数$k$）。\\我们还证明了，对于某些整数$k$的最低能量节点的解决方案，在这些空间…
2017-09-11 math.AP
Dispersive estimates for Schrodinger operators in dimensions one and three
证明了一维和三维线性Schroedinger方程的L^1 --> L^ \infty估计.势只需要满足一些温和的衰变假设。没有规则性的潜在的假设。
2004-03-19 math.AP
Yamabe systems, optimal partitions, and nodal solutions to the Yamabe equation
本文给出了闭黎曼流形$(M,g)$上Yamabe方程具有任意个数$\ell\geq 2$的正则最优剖分的存在条件.为此，我们研究了一类与Yamabe方程相关的弱耦合竞争椭圆型$\ell$方程组.我们证明了这个系统有一个最小能量的解决方案，如果$\dim M\geq 10$，$(M,g)$不是局部共形平坦的，并满足一个额外的几何假设，每当$\dim M=10$。此外，我们表明，极限配置文件的解决方案的组件空间分离的竞争参数去$-\infty$，从而产生一个最佳的分区。我们表明，这种分区耗尽整个流形，我们证明了两个接口和极限配置文件的规律性，连同一个自由边界条件。对于$\ell=2$的最佳分区得到的Yamabe方程的能量最小的符号变化的解决方案，正好有两个节点域。
2021-06-01 math.AP math.DG
Weighted $\infty$-Willmore Spheres
本文研究球面上固定面积约束下加权平均曲率 $L^\infty$ 范数的极小化问题，证明低能量解满足二阶PDE系统，并揭示平均曲率至多取三个值，刻画了曲面几何行为。
2024-03-20 math.AP math.DG
Infinitely many sign-changing and semi-nodal solutions for a nonlinear Schrodinger system
我们研究以下耦合薛定谔方程，它们作为数学物理的几个模型出现：{display math} {cases}-Δu_1 + \la_1 u_1 = μ_1 u_1^3+βu_1 u_2^2，\quad x \in Ω，-Δu_2 + \la_2 u_2 =μ_2 u_2^3+βu_1^2 u_2，\quad x \in \Om，u_1=u_2=0\，\hbox{on \,$\partial\Om$} . {cases}{playmath}这里$\Om$是$\R^N (N=2, 3)$或$\Om=\RN$中的光滑有界域，$\la_1,\, \la_2$、$μ_1,\,μ_2$均为正常数，耦合常数为$\bb<0$。我们证明了这个系统有无穷多个变号解。我们还得到了无穷多个半节点解在以下意义下：一个分量改变符号，另一个是积极的。我们的证明的关键思想，这从来没有被用于这个系统之前，是转向研究一个新的问题，有两个约束。最后，当$\Om$是有界区域时，我们证明了该系统存在一个能量最小变号解，且该解的两个分量恰好有两个节点区域，并且我们还研究了解作为$β\to -\infty$的渐近性态以及相分离.
2014-09-24 math.AP
Asymptotically linear solutions in H^1 of the 2-d defocusing nonlinear Schroedinger and Hartree equations
在二维情形下，给出线性薛定谔方程$i\partial_t v +Δv =0$的$H^1$解$v(t)$，证明了证明了对于非线性幂$2<p<3$，离焦非线性薛定谔（NLS）方程$i\partial_t u + Δu -|u|^{p-1}u=0$的$H^1$解$u(t)$的存在性（但不是唯一性），以及对于相互作用幂$1<γ<2$，离焦哈特里方程$i\partial_t u + Δu -(|x|^{-γ}\star|u|^{2})u=0$的$H^1$解$u(t)$的存在性，使得$\|u(t)-v(t)\|_{H^1} \to 0$为$t\to +\infty$ .这是对这些方程的定义良好的连续波算子$H^1 \to H^1$的存在性的部分结果。对于二维NLS，已知这种波算子对于$p\geq 3$是存在的，而对于$p\leq 2$是不存在的。二维的哈特里方程只对$0<γ<2$有意义，以前已知$0<γ\leq 1$不存在波算子，而在$1<γ<2$范围内以前没有结果。我们在NLS情况下的证明将Colliander-Grillakis-Tzirakis（2008）的新估计应用于Nakanishi（2001）设计的策略。对于Hartree方程，我们根据Colliander-Grillakis-Tzirakis（2008）的方法证明了一个新的相关估计。
2009-07-03 math.AP
A sharp condition for scattering of the radial 3d cubic nonlinear Schroedinger equation
考虑了聚焦三维三次非线性薛定谔方程（NLS）$i\partial_t u + Δu + |u|^2u=0$的径向有限能量$H^1$（finite energy）解散射，即线性薛定谔方程的解近似为$t\to \pm \infty$的尖锐判据的确定问题.该准则用标度不变量$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2}$和$M[u]E[u]$表示，其中$u_0$表示初始数据，而$M[u]$和$E[u]$表示相应解$u(t)$的（时间上守恒的）质量和能量。聚焦NLS具有孤子解$e^{it}Q(x)$，其中$Q$是非线性椭圆方程的基态解，并且证明了如果$M[u]E[u]<M[Q]E[Q]$和$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2} < \|Q\|_{L^2}\|\nabla Q\|_{L^2}$满足，则解$u(t)$是全局适定的且是散射的.这个条件是尖锐的意义上的孤子解决方案$e^{it}Q(x)$，其中在这些条件中获得的平等，是全球性的，但不分散。进一步证明了如果$M[u]E[u]<M[Q]E[Q]$和$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2} > \|Q\|_{L^2}\|\nabla Q\|_{L^2}$满足，则解在有限时间内爆破.所采用的技术与Kenig-Merle \cite{KM06a}在研究能量临界NL…
2008-02-06 math.AP
Lane Emden problems with large exponents and singular Liouville equations
考虑Lane-Emden Dirichlet问题-Δu = \abs{u}^{p-1} u，在B中，u =0，在\partial B上，其中$p>1$和$B$表示$\IR^2$中的单位球.本文研究了最小能量节点径向解$u_p$的渐近行为，即$p\rightarrow +\infty$。假设w.l.o.g.证明了在$u_p(0) < 0$中对负部分$u_p^-$进行适当的尺度变换，收敛于$\IR^2$中Liouville方程的唯一正则解，而对正部分$u_p^+$进行适当的尺度变换，收敛于$\IR^2$中奇异Liouville方程的（奇异）解.我们还得到了$u_p^-$和$u_p^+$的$L^\infty$ -范数的精确渐近值，以及能量的渐近估计。最后，我们有节线$\N_p:={x\in B : \abs{x}= r_p}$收缩到一个点，我们计算$r_p$的收敛速度。
2013-02-07 math.AP
On the nodal set of solutions to a class of nonlocal parabolic equations
研究了Muckenhoupt-Neumann型抛物问题解的局部性质，包括节点集和节点性质：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_t \overline{u} - y^{-a} \nabla \cdot(y^a \nabla \overline{u}) = 0 \quad &\text{ in } \mathbb{B}_1^+ \times (-1,0) \\ -\partial_y^a \overline{u} = q(x,t)u \quad &\text{ on } B_1 \times \{0\} \times (-1,0), \end{cases} \end{equation*}其中$a\in(-1,1)$是固定参数，$\mathbb{B}_1^+\subset \mathbb{R}^{N+1}$是上单位半球，$B_1$是$\mathbb{R}^N$中的单位球.我们的主要动机来自于它的关系与一类非局部的抛物型方程涉及的热算子的分数幂\begin{equation*} H^su(x,t) = \frac{1}{|Γ(-s)|} \int_{-\infty}^t \int_{\mathbb{R}^N} \left[u(x,t) - u(z,τ)\right] \frac{G_N(x-z,t-τ)}{(t-τ)^{1+s}} dzdτ. …
2020-03-27 math.AP
Spectral asymptotics of radial solutions and nonradial bifurcation for the Hénon equation
我们研究了节点的谱渐近性（即，符号改变）问题\begin{equation*} (H) \qquad \qquad \left \{ \begin{aligned} -Δu &=|x|^α|u|^{p-2}u&&\qquad \text{in ${\bf B}$,} \\ u&=0&&\qquad \text{on $\partial {\bf B}$,} \end{aligned} \right. \end{equation*}在单位球${\bf B} \subset \mathbb{R}^N,N\geq 3$中的解，$p>2$在极限$α\to +\infty$中的解。更确切地说，对于一个给定的正整数$K$，我们推导出渐近$C^1$ -展开的线性化的唯一径向解决方案$u_α$的$(H)$的负特征值精确$K$节点域和$u_α(0)>0$。作为应用，我们得到了径向解分支$α\mapsto (α,u_α)$上的一个无界分岔点序列的存在性，这些分岔点都引起了非径向解的分岔，这些非径向解的节点集保持同胚于同心球的不相交并集.
2019-01-02 math.AP
Nodal solutions to Paneitz-type equations
该研究在带恰当等参函数的闭黎曼流形上，针对Paneitz型四阶椭圆方程，通过先建立正f-不变解的C0估计、再构造任意大能量山路解的方法，证明了当非线性指标满足1<q<q_f时方程存在无穷多f-不变结点解。
2024-03-13 math.AP math.DG
Positive and nodal solutions for the Minkowski mean curvature equation: multiplicity and asymptotics
Dipartimento di Matematica Università di Torino（都灵大学数学系）
研究闵可夫斯基空间中平均曲率算子狄利克雷问题，通过Szulkin方法等，探讨参数λ、μ对解多重性的影响，给出解的极限轮廓、不存在性准则，在球域中用打靶法证明存在任意多个节点径向解。
2026-07-20 math.AP
A nonrelativistic limit for AdS perturbations
熟悉的$c\rightarrow \infty$非相对论极限将闵可夫斯基时空中的克莱因-戈登方程转换为自由薛定谔方程，而将没有宇宙学常数的爱因斯坦-质量-标量系统转换为薛定谔-牛顿（SN）方程。在这篇文章中，受Anti-de Sitter（AdS）时空稳定性问题的启发，我们研究了负宇宙学常数$Λ$的存在如何影响这个极限。假设的一致性，产品$Λc^2$趋于一个负常数为$c\rightarrow \infty$，我们表明，相应的非相对论性的限制是由SN系统，我们称之为薛定谔-牛顿-胡克（SNH）系统与外部的谐波势。然后，我们推导出共振近似，它捕捉了SNH系统小振幅球对称解的动力学。这个共振系统比它的广义相对论版本要简单得多，这使得它适合于分析方法。具体而言，在四个空间维度，我们表明，共振系统具有一个三维不变的子空间上的动态是完全可积的，因此可以解析求解。两个最低模式的初始数据（广泛研究的情况下，为原来的广义相对论性系统）的演变，特别是，描述了这个家庭的解决方案。
2018-12-24 gr-qc math.AP
The classification of four end solutions of the Allen-Cahn equation on the plane
Allen-Cahn方程$Δu=f(u)$的完整解，其中$f$在$\pm 1$和0处正好有三个零，是平衡的和奇数的，例如$f(u)=u(u^2-1)$，如果它的节点集渐近于$2k$射线，并且如果沿着这些射线中的每一条，函数$u$看起来像一维异宿解，则称为$2k$结束解。本文考虑在$\infty$上端点几乎平行的四端点解族。我们表明，这个家庭可以参数化的两个组件户田系统的解决方案的家庭。结果得到了具有几乎平行端点的四端点解的唯一性。将这一结果与四端解的模空间中连通分量的分类相结合，我们可以对所有这类解进行分类。因此，我们表明，四个端部解决方案的形式，刚性运动，一个参数的家庭。这个家庭包含鞍解，其中的角度之间的节线是$\fracπ{2}$以及解决方案的渐近射线之间的角度的节点集是任意小（几乎平行的节点集）。
2011-09-29 math.AP
Resonances for non-analytic potentials
我们考虑R^n上的半经典Schroedinger算子，其中C^ \infty势在无穷远处多项式衰减。通常的共振理论不适用于这种非分析框架。在这里，在一些额外的条件下，我们表明，谐振不变地定义到任何权力的虚部。该理论是基于近似扭曲算子族的预解估计，这些算子具有在R^n周围的窄复扇区中全纯的势。
2008-05-12 math.AP math.SP
The Nodal Sets of Solutions to Parabolic Equations
本文研究一般抛物方程解的节点集，证明了任意维数、时间依赖且仅 Lipschitz 系数下节点集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度有限，并首次建立一般维数下节点集 Hausdorff 维数随时间不增的单调性。
2024-06-09 math.AP math.DG
Nodal solutions for the double phase problems
本文研究一类带非平衡增长的参数非自治$(p,q)$-方程，在最小条件下，利用变分方法、截断比较和临界群，证明对小参数$\lambda$存在至少三个有序且渐近消失的非平凡有界解（正、负、节点解）。
2023-09-04 math.AP
Saddle solutions for the Choquard equation with a general nonlinearity
在Berestycki和Lions的思想下，我们证明了Choquard方程\[ -Δu + u= \big(I_α\ast F(u)\big)F'(u)\qquad \text{ in }\;\mathbb{R}^N \]鞍型节点解的存在性，其中$N\geq 2$和$I_α$是$α\in (0,N)$阶里斯位势.没有任何紧凑的设置，我们构造鞍解的Choquard方程的节点域的圆锥形证明考克斯特的对称配置在$\mathbb R^N$统一的方式。此外，如果$F'$是奇数的，并且在$(0,+\infty)$上具有常数符号，则鞍解在相应Coxeter群的基本区上保持有符号，并且在任何两个相邻区域上接收相反的符号。这些结果进一步完成了变分框架在构造的Choquard方程的符号变化的解决方案，但仍然需要一个二次或超二次增长的$F$附近的起源。
2021-05-26 math.AP
