Monotonicity of the Morse index of radial solutions of the Hénon equation in dimension two
考虑方程\[ -Δu = |x|^α |u|^{p-1}u, \ \ x \in B, \ \ u=0 \quad \text{on} \ \ \partial B, \]，其中$B \subset {\mathbb R}^2$是以原点为中心的单位球，$α\geq0$，$p>1$，证明了径向解的Morse指数的一些结果.本文的贡献是双重的。首先，固定解$u_{α,n}$的节点集$n\geq1$，证明了Morse指标$m(u_{α,n})$关于$α$单调非减.其次，我们给出了Morse指数$m(u_{α, n})$的下界，证明了$m(u_{α, n}) \to +\infty$为$α\to + \infty$。
2018-12-07 math.AP
Morse index computation for radial solutions of the {Hé}non problem in the disk
我们计算半线性问题的任意径向解$u_{p}$的Morse指数$\textsf{m}(u_{p})$：\begin{equation} \label{problemaAbstract}\tag{P} \left\{ \begin{array}{lr} -Δu=|x|^α|u|^{p-1}u & \mbox{in } B\\ u=0 & \mbox{ on }\partial B \end{array} \right. \end{equation}其中$B$是以原点为中心的$\mathbb R^{2}$的单位球，$α\geq 0$是固定的，并且$p>1$足够大.在$α=0$的情况下，即对于\emph{Lane-Emden problem}，这导致对于足够大的$p$的以下莫尔斯指数公式\[\textsf{m}(u_{p}) = 4m^{2}-m-2, \]，其中$m$是$u$的节点域的数目。
2021-02-26 math.AP
Some remarks about the Morse index for convex Hamiltonians systems
该研究聚焦凸哈密顿系统的变号径向解，针对强耦合系统刻画径向解形态并估计其线性化Morse指标，为相关哈密顿系统解的稳定性分析提供参考。
2024-05-21 math.AP
A Morse index formula for radial solutions of Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题：\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}其中$B$是以原点为中心的$\mathbb R^N$，$N\geq3$和$1<p<p_S$，$p_S=\frac{N+2}{N-2}$的单位球.本文证明了对于具有$m$节点域的\eqref{problemAbstract}的任意径向解$u_p$，若$p$充分接近于$p_S$，则其Morse指标$\mathsf{m}(u_p)$由公式\[\mathsf{m}(u_p)=m+N(m-1)\]给出.
2016-05-11 math.AP
On a singular eigenvalue problem and its applications in computing the Morse index of solutions to semilinear PDE's
研究了\[\begin{cases}-Δu = f(|x|,u) \qquad & \text{ in } Ω, \newline u= 0 & \text{ on } \partial Ω, \end{cases} \]型半线性问题的节点径向解，其中$Ω$是$\mathbb R^N$（$N\ge 2$）的有界径向对称区域，$f$是实函数.我们刻画的Morse指数和退化的奇异一维本征值问题，这是在充分详细的研究。所提出的方法还描述了本征函数的对称性。这一特征使得在即将到来的工作中，给莫尔斯指数的下界。
2019-06-02 math.AP
Asymptotic profile and Morse index of the radial solutions of the Hénon equation
考虑Hénon方程\begin{equation}\label{alphab} -Δu = |x|^α|u|^{p-1}u \ \ \textrm{in} \ \ B^N, \quad u = 0 \ \ \textrm{on}\ \ \partial B^N, \tag{$P_α$} \end{equation}，其中$B^N\subset \mathbb{R}^N$是以原点为中心的开单位球，$N\geq 3$，$p>1$和$α> 0$是参数.我们表明，经过适当的重新标度，二维Lane-Emden方程\[ -Δw = |w|^{p-1}w\quad \text{in}\ B^2,\quad w=0\quad \text{on}\ \partial B^2, \]，其中$B^2 \subset \mathbb{R}^2$是开放的单位球，是极限问题的\eqref{alphab}，作为$α\to \infty$，在径向解决方案的框架。我们利用这一事实证明了几个定性结果的径向解决方案的\eqref{alphab}与任何固定数量的节点集：渐近估计Morse指数随着其单调性相对于$α$ ;渐近收敛的零点;爆破的局部极值和紧集的$B^N$。所有这些结果都证明了正解和节点解。
2021-01-14 math.AP
Morse index versus radial symmetry for fractional Dirichlet problems
在这项工作中，我们提供了一个估计的Morse指数的径向对称的符号变化的有界弱解$u$的半线性分数Dirichlet问题$$ (-Δ)^su = f(u)\qquad \text{ in $\mathcal{B}$},\qquad \qquad u = 0\qquad \text{in $\quad\mathbb{R}^{N}\setminus \mathcal{B}$,} $$其中$s\in(0,1)$，$\mathcal{B}\subset \mathbb{R}^N$是单位球中心在零和非线性$f$是类$C^1$。证明了对于$s\in(1/2,1)$，上述问题的任意径向对称变号解的Morse指数大于或等于$N+1$ .如果是$s\in (0,1/2],$，则在对$f$的附加假设下，相同的结论也成立。特别是，我们的结果适用于Dirichlet特征值问题的运营商$(-Δ)^s$在$\mathcal{B}$的所有$s\in (0,1)$，它意味着对应于第二Dirichlet特征值在$\mathcal{B}$的特征函数是反对称的。这解决了Bañuelos和Kulczycki的一个猜想。
2021-03-24 math.AP
k-ended $O(m) times O(n)$ invariant solutions to the Allen-Cahn equation with infinite Morse index
本文研究了Allen-Cahn方程$Delta u+u(1-u^2)=0$在$m+n ge 8$中的$O(m) times O(n)$不变解的存在性、渐近性态和稳定性。我们展示了四个家庭的解决方案，其节点集是光滑的对数修正的劳森锥和无限的莫尔斯指数。这项工作补充了Pacard和Wei（关于稳定解）以及Agudelo，Kowalczyk和Rizzi（关于2个终止解）开始的研究。
2021-11-19 math.AP
Constant sign and nodal solutions for nonhomogeneous Robin boundary value problems with asymmetric reactions
研究了一类非线性非齐次椭圆型方程，方程中的非对称反应项依赖于一个正参数，并带有Robin边界条件。在对主导微分算子和反应的适当假设下，证明了当参数足够小时，该问题至少有四个非平凡解：两个正解，一个负解和一个变号解.我们的方法是变分的，基于临界点理论，莫尔斯理论，截断技术。
2017-10-19 math.AP
Blow-up analysis for nodal radial solutions in Moser-Trudinger critical equations in $R^2$
本文考虑了问题\[ \begin{cases} -Δu=λue^{u^2+|u|^{1+ε}}&\text{ in }B,\\ u=0&\text{ on }\partial B. \end{cases} \]的节点径向解$u_ε$，并研究了它们的渐近行为为$ε\searrow0$，$ε>0$ .我们证明了当$u_ε$具有$k$内部零点时，它在第一个$k$节点集中表现出多重爆破行为，而在第$(k+1)$节点集中收敛到具有$ε=0$的问题的最小能量解.我们还证明了，在每个浓度集，与适当的缩放，$u_ε$收敛到经典的刘维问题的解决方案，在$R^2$。
2017-07-01 math.AP
Radial Nodal Dirichlet Solutions of Singular Elliptic Equations: Global Branches, Endpoint Asymptotics, and Morse Indices
School of Mathematics and Statistics, Southwest University（西南大学数学与统计学院）
本文通过有限球射击分类，证明了对数及次线性奇异椭圆方程径向节点Dirichlet解的唯一性、全局分支、端点渐近与Morse指标，并给出显式Bessel积分常数。
2026-09-15 math.AP
A complete scenario on nodal radial solutions to the Brezis Nirenberg problem in low dimensions
在本文中，我们考虑问题$$ \begin{cases} -Δu=|u|^{2^*-2}u+λu&\text{ in }B,\\ u=0&\text{ on }\partial B \end{cases} $$的节点径向解，其中带有$3\le N\le6$的$2^*=\frac{2N}{N-2}$和$B$是$\R^N$的单位球。我们计算的解决方案$u$以及$||u||_\infty$，它的第一个零和其他相关的数量$ł$去一个临界值$\barł$的渐近。所有病例均出现$ł-\barł$征。这完成了[EGPV]中给出的$N\ge7$的类似分析。
2020-10-23 math.AP
Quasi-radial nodal solutions for the Lane-Emden problem in the ball
考虑半线性椭圆问题\begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$B$是$\mathbb R^2$和$p\in (1,+\infty)$的以原点为中心的单位球.我们证明了\eqref{problemAbstract}的非径向符号变化的解决方案，\emph{quasi-radial}，即解决方案的节点线是一个有限数量的不相交的简单封闭曲线，这是嵌套域的边界包含在$B$的工会。特别地，这些解的节点线不接触$\partial B$。\\通过两种不同的方法获得结果：通过在$p$的某些值处从\eqref{problemAbstract}的最小能量符号变化径向解$u_p$的非径向分支并通过研究定性性质，对于大的$p$，的最低能量节点的解决方案，在空间的功能不变的行动二面角群所产生的反射相对于$x$ -轴和围绕角度原点的旋转$\frac{2π}{k}$（对于合适的整数$k$）。\\我们还证明了，对于某些整数$k$的最低能量节点的解决方案，在这些空间…
2017-09-11 math.AP
A monotonicity result under symmetry and Morse index constraints in the plane
本文研究了\[ \left\{\begin{array}{ll} -Δu = f(|x|, u) \qquad & \text{ in } Ω, \\ u= 0 & \text{ on } \partial Ω, \end{array} \right. \]型半线性椭圆型方程的解，其中$Ω$是平面上的径向对称区域，可以是有界的，也可以是无界的.我们考虑的解决方案$u$是不变的旋转一定的角度$θ$，并有一个界限，其莫尔斯指数在空间中的功能不变，这些旋转。我们可以证明，或者$u$是径向的，或者，存在方向$e\in \mathcal S$，使得$u$关于$e$是对称的，并且它在角度$\fracθ2$的扇区中的角度变量是严格单调的。结果适用于最小能量和节点最小能量的解决方案，在空间中的功能不变的旋转，并产生多重结果。
2019-04-08 math.AP
The Hénon problem with large exponent in the disc
本文考虑单位圆盘上Dirichlet边界条件下的Hénon问题.我们研究了最小能量和节点最小能量径向解的渐近分布，然后推导出其Morse指数的精确计算，作为此计算的结果，得到了正解和节点解的多重性。
2019-04-11 math.AP
On the structure of the nodal set and asymptotics of least energy sign-changing radial solutions of the fractional Brezis-Nirenberg problem
本文研究了球$\mathbb{R}^n$中s-Laplacian控制的分数阶Brezis-Nirenberg问题的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，当$s \in (0,1)$和$n > 6s$ .通常，$λ$是$u$中线性部分的（正）参数，我们认为$λ$接近于零。我们证明，如果这样的解决方案消失在球的中心，然后他们消失无处不在，我们建立了一个边界上的符号变化的数量，当$s$接近$1$，对于一个合适的值的参数$λ$，这样的解决方案改变符号正好一次。此外，对于任何$s \in (0,1)$和$λ$足够小，我们证明了连接组件的节点集的补数对应的符号变化的数量加一。此外，对于任意$s \in (\frac{1}{2},1)$，我们证明了符号只改变一次的最小能量节点解具有“气泡塔”的极限轮廓，如$λ\to 0^+$，即正负部分以不同的集中速度集中在同一点（球的中心）.
2018-07-04 math.AP
Sign-changing radial solutions for the Schrödinger-Poisson-Slater problem
考虑$\R^3$中的Schrödinger-Poisson-Slater（SPS）方程组和$\mathbb R^3$中球上的非局部SPS型方程，并考虑Dirichlet边界条件.我们表明，对于每一个$k\in\mathbb N$考虑每个问题承认一个节点的径向对称的解决方案，改变符号精确$k$倍的径向变量。当区域是$\mathbb R^3$的球时，我们得到了在任何时刻具有$k+1$节点区域的非局部抛物问题径向整体解的存在性.
2011-08-13 math.AP
A Courant nodal domain theorem for linearized mean field type equations
该研究针对平均场型方程及其非局部线性化算子，分析径向本征函数的节点域数量与相关唯一性，推进了相关非局部算子谱理论的研究。
2023-01-22 math.AP
Spectral asymptotics of radial solutions and nonradial bifurcation for the Hénon equation
我们研究了节点的谱渐近性（即，符号改变）问题\begin{equation*} (H) \qquad \qquad \left \{ \begin{aligned} -Δu &=|x|^α|u|^{p-2}u&&\qquad \text{in ${\bf B}$,} \\ u&=0&&\qquad \text{on $\partial {\bf B}$,} \end{aligned} \right. \end{equation*}在单位球${\bf B} \subset \mathbb{R}^N,N\geq 3$中的解，$p>2$在极限$α\to +\infty$中的解。更确切地说，对于一个给定的正整数$K$，我们推导出渐近$C^1$ -展开的线性化的唯一径向解决方案$u_α$的$(H)$的负特征值精确$K$节点域和$u_α(0)>0$。作为应用，我们得到了径向解分支$α\mapsto (α,u_α)$上的一个无界分岔点序列的存在性，这些分岔点都引起了非径向解的分岔，这些非径向解的节点集保持同胚于同心球的不相交并集.
2019-01-02 math.AP
Nodal Solutions for sublinear-type problems with Dirichlet boundary conditions
考虑\[ -Δu=f(u) \text{ in } Ω, \qquad u=0 \text{ on } \partial Ω, \]型非线性二阶椭圆问题，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$中的一个开$C^{1,1}$ -域，在一些一般的非线性假设下，包括次线性纯幂$f(s)=|s|^{p-1}s$和$0<p<1$的情况，以及Allen-Cahn型$f(s)=λ(s-|s|^{p-1}s)$和$p>1$和$λ>λ_2(Ω)$（Laplacian的第二Dirichlet特征值）的情况.我们证明了存在一个最小的能量节点（即符号变化）的解决方案，并通过山型的节点解决方案。然后，我们给出明确的例子域的相关水平不一致。对于$Ω$是一个球或环和$f$是类$C^1$的情况下，我们证明，而不是水平一致，最少的能量节点的解决方案是非径向，但轴对称的功能。最后，我们提供了更强的Allen-Cahn型的非线性$Ω$的情况下，无论是一个球或一个正方形的结果。特别是，我们给出了一个完整的描述的解决方案集$λ\sim λ_2(Ω)$，计算莫尔斯指数的解决方案。
2020-03-30 math.AP
Multiple nodal solutions of nonlinear Choquard equations
本文研究了非线性Choquard方程\begin{equation*} \ \ \ \ (P)\ \ \ \ \begin{cases} -Δu+u=(|x|^{-1}\ast|u|^p)|u|^{p-2}u \ \ \ \text{in}\ \mathbb{R}^3, \ \ \ \ \\ u\in H^1(\mathbb{R}^3),\\ \end{cases} \end{equation*}的多节点解的存在性，其中$p\in (\frac{5}{2},5)$ .我们证明了对于任何正整数$k$，问题$(P)$至少有一个径向对称的解决方案改变符号正好$k$倍。
2017-04-14 math.AP
Level Spacings and Nodal Sets at Infinity for Radial Perturbations of the Harmonic Oscillator
本文研究了谐振子径向微扰的高频本征函数和准模的节集性质。特别是，我们认为节点集上的领域的大半径（在经典的禁止区域）的准模式的能量位于一个固定的能量$E$周围的间隔。对于精心选择的间隔，我们表明，这些节点集表现出定量不同的行为相比，未扰动的谐振子。这些能量区间的定义通过仔细分析的扰动算子的本征值间距，基于解析扰动理论和线性化公式的Laguerre多项式。
2017-08-21 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Dirichlet problems with unilateral growth on the reaction
考虑一类由$p$ -Laplace微分算子驱动的非线性狄利克雷问题，其中反应只具有从上到下的次临界增长限制.我们证明了两个多重性定理产生三个非平凡的解决方案，两个常数符号和第三个节点。这两个重数定理在原点附近的几何上是不同的。在半线性情况下（即，$p=2$），使用莫尔斯理论（临界群），我们产生了第二个节点的解决方案，共四个非平凡的解决方案。作为一个例子，我们表明，我们的研究结果纳入并显着扩展的多重性结果存在的一类参数，强制性狄利克雷问题。
2019-03-12 math.AP
Finite inverse nodal problems for singular weighted Sturm--Liouville equations: variational selection and spectral matching
School of Mathematica and Information Science, Henan Polytechnic University（河南理工大学数学与信息科学学院）；School of Mathematical Science, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学系）；School of Mathematics, Foshan University（佛山大学数学学院）
本文针对球中Schrödinger算子建立有限径向逆节点理论，通过变分选择最小化加权距离，并证明节点约束集的谱正则性与有限余维流形结构，指出无变分选择时势无法唯一确定。
2026-09-18 math.AP math.CA
Symmetry breaking and Morse index of solutions of nonlinear elliptic problems in the plane
本文研究问题-Δu = \left（\frac{2+α}{2} \right）^2 \abs{x}^α f（λ，u），& \hbox{in} B_1 \\ u > 0，& \hbox{in} B_1 u = 0，& \hbox{on} \partial B_1其中$B_1$是$\R^2$的单位球，$f$是光滑非线性项，$\a$，$ł$是具有$\a>0$的实数.通过对线性化算子的仔细研究，我们计算了\eqref{i0}的一些径向解的Morse指数.此外，利用分支理论，我们证明了非径向解的分支的存在性，适当的值的正参数$ł$。病例$f(λ,u)=łe^u$提供了更详细的信息。
2015-03-26 math.AP
Existence results for fully nonlinear equations in radial domains
考虑完全非线性问题\begin{equation*} \begin{cases} -F(x,D^2u)=|u|^{p-1}u & \text{in $Ω$}\\ u=0 & \text{on $\partialΩ$} \end{cases} \end{equation*}，其中$F$是一致椭圆的，$p>1$和$Ω$是$\Rn$中的环或球，$n\geq2$ .本文证明了如下结果：当$Ω$是环时，\item [i）]对每个指数$p>1$存在正/负径向解;当$Ω$是环时，\item [ii）]对每个$p>1$存在无穷多个变号径向解，其特征在于节点区域的个数; \item [iii）]存在无穷多个以节点区域数为特征的变号径向解，如果$F$是Pucci算子之一，$Ω$是球，$p$是次临界的.
2016-07-28 math.AP
A nodal solution of the scalar field equation at the second minimax level
证明了在势接近无穷远的慢衰减条件下，标量场方程本征值问题在第二极小极大水平上的变号本征函数的存在性。证明涉及到构建一个由符号变化函数组成的集合，该集合与第二个极大极小类是对偶的。当势为径向势时，我们还得到了该能级上的非径向变号本征函数。
2014-02-11 math.AP
Positive and nodal limiting profiles for a semilinear elliptic equation with a shrinking region of attraction
该研究针对带任意形状收缩自聚焦核的薛定谔方程，分析其正解与结点解的存在性和集中性，通过尺度变换得到对应非自治半线性椭圆方程的极限轮廓，并刻画了最小能量极限轮廓的对称性与衰减特性。
2024-10-07 math.AP
On the asymptotically linear Hénon problem
本文考虑了球上具有Dirichlet边界条件的Hénon问题.研究了径向解的渐近分布，并在指数$p$与$1$接近时，给出了径向解Morse指数的精确计算.接下来，我们专注于平面的情况下，并描述的渐近轮廓的一些解决方案，最大限度地减少功能之间的能量是不变的反射和旋转的一个给定的角度$2π/n$。通过基于Morse指数的考虑，我们看到，根据$α$和$n$的值，这样的最小能量解可以是径向的，也可以是非径向的，并且彼此不同。
2019-06-02 math.AP
Radial and cylindrical symmetry of solutions to the Cahn-Hilliard equation
该论文致力于对Cahn-Hilliard方程$-Δu = u-u^3-δ$在$\R^N$中的整体解进行分类，特别关注节点集有界或包含在圆柱体中的那些解。其目的是证明径向或圆柱对称，在适当的假设。
2019-02-01 math.AP
Stable solutions and finite Morse index solutions of nonlinear elliptic equations with Hardy potential
研究了具有Hardy势的非线性椭圆型方程\begin{displaymath} Δu+\dfracμ{|x|^2}u+|x|^l |u|^{p-1}u=0 \qquad \textrm{in}\ \ Ω, \end{displaymath}的稳定解和有限Morse指数解的Liouville型结果，其中$Ω=\RN$，$\RN\setminus\{0\}$为$N\geq3$，$p>1$，$l>-2$和$μ<(N-2)^2/4$ .我们的结果依赖于一个新的临界指数$p=p_c(l,μ)$和Hardy项中的参数$μ$。证明了$1<p<p_c(l,μ)$不存在非平凡稳定解和有限Morse指标解.我们还观察到的范围内的指数$p$大于$p_c(l,μ)$满足我们的方程承认一个积极的径向稳定的解决方案。
2013-05-11 math.AP
Asymptotic analysis for radial sign-changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem in low dimensions
考虑$\mathbb{R}^N$，$N\geq 3$的单位球上的经典Brezis-Nirenberg问题，分析了低维$N=3,4,5,6$中节点径向解的渐近行为，当参数收敛到某个极限值时，该极限值自然产生于对相关的常微分方程的研究.
2014-11-04 math.AP
Sharp Liouville thresholds and endpoint rigidity for finite Morse index solutions of the $p$-Laplace Lane--Emden equation
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University（越南国家大学）
本文证明$p$-Laplace Lane--Emden方程在超临界范围内无径向对称假设的Liouville定理，给出尖锐阈值并解决Aubin--Talenti极值的Morse指标问题。
2026-10-05 math.AP
Symmetry breaking via Morse index for equations and systems of Hénon-Schrödinger type
考虑单位球$Ω\subset \mathbb{R}^N, N\geq 2$中Schrödinger-Hénon系统$$ -Δu + μ_1 u = |x|^α\partial_u F(u,v),\quad \qquad -Δv + μ_2 v = |x|^α\partial_v F(u,v) $$的Dirichlet问题，其中$α>-1$是参数，$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$是$p$ -齐次$C^2$ -函数，对于某些$p>2$，$F(u,v)>0$是$(u,v) \not = (0,0)$ .我们表明，作为$α\to \infty$，Morse指数的非平凡的径向解决方案，这个问题（正或符号变化）趋于无穷大。这一结果是新的，甚至相应的标量Hénon方程和推广以前的结果Moreira dos Santos和Pacella的情况下$N=2$。特别是，结果意味着对称性破缺的基态解决方案，但也为其他解决方案所获得的$α$ -独立变分极大极小原理。
2018-03-07 math.AP
Multiple Non-radial Solutions for Coupled Schrödinger Equations
本文研究 $N$-耦合非线性椭圆系统，在排斥情形及特定结构条件下，证明了在每个旋转对称子空间中存在无穷多个非径向正解和结点解。
2023-09-10 math.AP
Bubbling nodal solutions for a large perturbation of the Moser-Trudinger equation on planar domains
本文研究了问题$$ -Δu = λu e^{u^2+|u|^p} \text{ in }Ω, \; u = 0 \text{ on }\partial Ω, $$的节点解的存在性，其中$Ω\subseteq \mathbb R^2$是有界光滑区域，$p\to 1^+$ .如果$Ω$是球，它是已知的情况下$p=1$定义了一个临界阈值之间的存在和不存在的径向对称的符号变化的解决方案。当$Ω$是任意区域且$λ$足够小时，我们构造了一类问题$p\to 1^+$的节点解的爆破族.据我们所知，这是第一次在非对称区域上构造Moser-Trudinger临界方程的变号解。
2019-03-05 math.AP
Existence, unique continuation and symmetry of least energy nodal solutions to sublinear Neumann problems
考虑次线性问题\begin {equation*} \left \{ \begin{array}{r c l c} -Δu & = &|u|^{q-2}u & \textrm{in }Ω, \\ u_n & = & 0 & \textrm{on }\partialΩ,\end{array} \right .其中\end是有界域，以及$1 \leq q < 2$。对于$q=1$，$|u|^{q-2}u$将用$\sgn(u)$标识。建立了最小能量节点解的变分原理，并研究了其定性性质。特别是，我们表明，他们满足一个独特的连续性（他们的零集是勒贝格忽略不计）。此外，如果$Ω$是径向的，那么最小能量节点解是叶状Schwarz对称的，而当$Ω$是球时，它们是非径向的。$q=1$的情况下，需要特殊的处理，因为正式相关的能量泛函是不可微的，许多参数必须进行调整。
2015-02-03 math.AP
Multiple nodal solutions of planar Stein-Weiss equations
本文研究含 Trudinger-Moser 次临界或临界增长非线性项的平面 Stein-Weiss 问题，结合粘合方法与 Nehari 流形论证，证明对任意正整数 k 存在恰好变号 k 次的径向对称基态节点解。
2025-02-06 math.AP
Symmetry breaking and instability for semilinear elliptic equations in spherical sectors and cones
本文研究了锥内球面扇区中半线性椭圆方程，通过分析径向正解的Morse指数及其对单位球面区域的依赖性，证明了Gidas-Ni-Nirenberg型径向对称性结果在一般非凸锥中不成立，并发现无界锥中标准bubbles解在非凸锥中会变得不稳定。
2023-05-17 math.AP
Four solutions for fractional p-Laplacian equations with asymmetric reactions
我们考虑一个Dirichlet型问题的非线性，非局部方程驱动的退化分数p-Laplacian，其反应结合了一个次线性项依赖于一个正参数和一个非对称扰动（超线性在正无穷大，在负无穷大的线性）。利用临界点理论和莫尔斯理论，证明了当参数足够小时，该问题至少存在四个非平凡解：两个正解，一个负解和一个节点解.作为一种工具，我们证明了Brezis-Oswald型比较结果。
2021-05-11 math.AP
New concentration phenomena for a class of radial fully nonlinear equations
研究了一类球内的完全非线性椭圆型狄利克雷问题的径向变号解，该问题由极值Pucci算子驱动，且带有幂非线性项.我们首先确定一个新的临界指数有关的存在或不存在这样的解决方案。然后，我们分析了径向节点解的渐近行为的指数接近临界值，表明新的集中现象的发生。最后，我们定义了一个合适的加权能量，并计算其极限值。
2019-12-02 math.AP
Multiple existence and qualitative property of nodal solutions for coupled elliptic equations
本文研究了有界径向域上耦合非线性椭圆方程在排斥区域的结点解，证明了具有预定结点数据的解的多重存在性，并给出了解分量间差值结点数的上下界定性估计。
2025-04-03 math.AP
Multiple nodal solutions having shared componentwise nodal numbers for coupled Schrödinger equations
本文研究了排斥耦合区域中耦合非线性薛定谔方程节点解的结构。在其他的结果中，对于下面的耦合系统的$N$方程，我们证明了存在无穷多个节点的解决方案，共享相同的组件指定的节点数\begin{equation}\label{ab} \left\{ \begin{array}{lr} -Δu_{j}+λu_{j}=μu^{3}_{j}+\sum_{i\neq j}βu_{j}u_{i}^{2} \,\,\,\,\,\,\, in\ \W , u_{j}\in H_{0,r}^{1}(\W), \,\,\,\,\,\,\,\,j=1,\dots,N, \end{array} \right. \end{equation}其中$\W$是一个径向域在$\mathbb R^n$的$n\leq 3$，$λ>0$，$μ>0$，和$β<0$。更准确地说，让$p$是$N$的素因子，并写为$N=pB$。假设为$β\leq-\fracμ{p-1}$。则对于任何给定的非负整数$P_{1},P_{2},\dots,P_{B}$，（\ref{ab}）有无穷多个解$(u_{1},\dots,u_{N})$，使得这些解中的每一个都满足相同的性质：对于$b=1,...,B$，对于$i=1,...,p$，$u_{pb-p+i}$精确地改变符号$P_b$次.结果揭示了由于溶液组分间的分离而导致的排斥耦合体系中溶液结构的复杂性。我…
2020-07-04 math.AP
Finite-data inverse nodal optimization in angular-momentum sectors of Schrödinger operators
Hubei University of Automotive Technology（湖北汽车工业学院）；China University of Geosciences（中国地质大学）
本文针对径向薛定谔算子在角动量扇区中的有限数据逆节点优化问题，证明了节点半径的连续可微性、最小距离势的存在性及临界方程，并给出局部重构与唯一性结果。
2026-09-25 math.AP math.CA
Manifold decompositions and indices of Schrödinger operators
利用Maslov指标计算了紧致流形上薛定谔算子不同边值问题的谱。主要结果是流形$M$的谱分解公式，该流形被分离超曲面$Σ$分成分量$Ω_1$和$Ω_2$。同伦变元将$M$上的二阶椭圆算子的谱与其在$Ω_1$和$Ω_2$上的狄利克雷谱和诺伊曼谱联系起来，差值由拉格朗日子空间的路径的马斯洛夫指数给出。这个Maslov指数可以用$Σ$上Dirichlet-to-Neumann映射的Morse指数来表示。应用于二重构造、周期边界条件和节点域的计数。特别地，给出了Courant节域定理的一个新的证明，并给出了节亏的一个显式公式。
2016-01-12 math.AP math.SP
Collapse and saturation for radial nodal solutions of a Lorentz--Minkowski mean curvature equation
Università di Torino（都灵大学）
研究Lorentz--Minkowski平均曲率方程径向结点解的渐近行为，证明解的坍塌与饱和二分法，并构造小解与大解分别收敛于零和饱和轮廓。
2026-10-08 math.AP math.CA
Nodal solutions for quasilinear Schrödinger equations with asymptotically 3-linear nonlinearity
本文研究拟线性薛定谔方程\begin{equation*} -Δu+V(x)u-uΔ(u^2)=g(u),\ \ x\in \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}，其中$N\geq3$，$V$是径向对称非负的，$g$在无穷远处是渐近3-线性的.在$\inf_{\mathbb{R}^N}V>0$的情况下，我们证明了存在一个最小能量的符号变化的解决方案，恰好一个节点，并对任何整数$k>0$，有一对符号变化的解决方案，$k$节点。此外，在$\inf_{\mathbb{R}^N}V=0$的情况下，上面的问题允许恰好一个节点的最小能量符号改变解。证明是基于变分方法。特别地，为了克服渐近3-线性非线性的出现所带来的困难，引入了一些新的技巧和依赖于适当约束集的变号Nehari流形的方法.
2022-05-30 math.AP
Least energy radial sign-changing solution for the Schröinger-Poisson system in r3 under an asymptotically cubic nonlinearity
本文考虑在整个$\mathbb R^{3}$中的Schrödinger-Poisson系统，\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -Δu+u+ λϕu=f(u) &\text{ in } \mathbb R^3, -Δϕ= u^2 &\text{ in } \mathbb R^3, \end{array} \right. \end{equation*}，其中$λ>0$和非线性项$f$在无穷远处是“渐近立方的”.这意味着非局部项$ϕu$和非线性项$f(u)$在某种意义上是严格竞争的。我们发现，系统承认一个最小的能量符号变化和径向的解决方案，通过最小化的能量泛函上的所谓的（节点Nehari集）。
2018-05-01 math.AP
Nodal solutions for Logarithmic weighted $N$-Laplacian problem with exponential nonlinearities
本文研究单位球上带对数奇异权与指数型次临界或临界非线性项的 $N$-Laplacian 方程，利用 Nehari 约束极小化、定量形变引理及度理论证明节点解存在。
2022-06-20 math.AP
Sharp asymptotic behavior of radial solutions of some planar semilinear elliptic problems
我们考虑方程$-Δu= |x|^α|u|^{p-1}u$对任何$α\geq 0$，无论是在$\mathbb R^2$或在单位球$B$的$\mathbb R^2$中心在原点与Dirichlet或Neumann边界条件。我们给出了这些问题的径向解的渐近行为的一个尖锐的描述为$p\rightarrow +\infty$。特别是，我们表明，有没有统一的先验界（$p$）节点的解决方案下诺依曼或狄利克雷边界条件。这与最近证明的事实，即正解具有一致的先验界的$α=0$和Dirichlet边界条件。
2019-08-28 math.AP
Global structure of radial sign-changing solutions for the prescribed mean curvature problem in a ball
本文研究了边值问题$$\text{div}\big(ϕ_{N}(\nabla v)\big)+λf(|x|, v)=0 ~~~\text{in} ~~B(R), ~~~ v=0 ~~~\text{on} ~~\partial B(R), $$的径向解的整体结构，其中$ϕ_{N}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-|y|^{2}}},\; y\in \mathbb{R}^{N}$，$λ$是正参数，$B(R)=\{x\in \mathbb{R}^{N} :|x|<R\}$，$|\cdot|$表示$\mathbb{R}^{N}$中的欧几里德范数.所有的结果，依赖于非线性项$f$的行为在0附近，得到使用全局分岔技术。
2014-09-18 math.AP
A note on the complete rotational invariance of biradial solutions to semilinear elliptic equations
我们研究了$$ -Δu = \frac{a}{|x|^2} u + f(|x|, u)$$形式的方程在R^N中的解的对称性，对于$N \geq 4$，最多具有临界非线性。通过使用几何参数，我们证明了低莫尔斯指数（即0或1），这是双径向（即不变的作用下的复曲面旋转组）的解决方案，实际上是完全径向的。对于球面上的半线性Laplace-Beltrami方程也有类似的结果。此外，我们证明了Morse指数的条件是尖锐的。最后应用所得结果估计了具有不同对称性约束的Sobolev型不等式的最佳常数。
2010-07-19 math.AP
A priori estimates of stable and finite Morse index solutions to elliptic equations that arise in Physics
University of Granada（格拉纳达大学）
本研究探讨了椭圆方程中稳定和有限Morse指数解的先验估计，挑战了正则性猜想，并建立了非自治Hardy-Hénon方程的最优正则性结果。
2026-01-27 math-ph math.AP math.MP
Existence and symmetry of least energy nodal solutions for Hamiltonian elliptic systems
本文证明了带Hénon-type权的Hamilton椭圆型方程组\[ -Δu = |x|^β |v|^{q-1}v, \quad -Δv =|x|^α|u|^{p-1}u\quad { in } Ω, \qquad u=v=0 { on } \partial Ω, \]最小能量节点解的存在性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 1$，$α, β\geq 0$中的有界光滑区域，非线性项是超线性和次临界的，即\[ 1> \frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}> \frac{N-2}{N}. \]当$Ω$是以原点为中心的球或环，$N \geq 2$，我们表明，这些解决方案显示所谓的叶状Schwarz对称。人们很自然地猜想这些解不是径向对称的。我们提供了这样一个对称性破缺的参数范围内的解决方案的系统表现得像一个单一的方程的解决方案。我们对上述系统的结果是新的，即使在Lane-Emden系统的情况下（即没有重量）。据我们所知，这是第一篇关于强耦合椭圆型方程组的最小能量节点解及其对称性的结果。
2015-02-25 math.AP
