Saddle solutions for the fractional Choquard equation
研究了分数阶Choquard方程\begin{align*} (-Δ)^{s}u+ u=(K_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u, \quad x\in \mathbb{R}^N \end{align*}的鞍型解，其中$s\in(0,1)$，$N\geq 3$和$K_α$为$α\in (0,N)$阶里斯位势.对于每个具有秩$1\leq k\leq N$和$p\in[2,\frac{N+α}{N-2s})$的Coxeter群$G$，我们构造了一个具有指定对称节点配置的$G$ -鞍解.这是一个对应的分数Choquard方程的鞍解Choquard方程，并进一步完成了非径向符号变化的解决方案，这个双重非局部方程的存在性。
2021-05-26 math.AP
Existence of solutions for fractional p-Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities
在这篇文章中，我们在不假设Ambrosetti-Rabinowitz条件的情况下，建立了具有广义Choquard非线性的分数阶$p-$ Kirchhoff型方程解的存在性。
2018-08-24 math.AP
Existence of solutions for a class of nonlinear Choquard equations with critical growth
本文考虑了一类具有临界增长的非线性Choquard方程，证明了方程解的存在性。此外，我们考虑了相应的极小化问题，并证明了极小值的存在性。
2016-09-19 math.AP
Singular Fractional Choquard Equation with a Critical Nonlinearity and a Radon measure
本文讨论了一类具有分数阶Laplacian幂和临界Hardy势的奇异临界Choquard问题的正SOLA（Solutions Obtained as Limits of Approximations）解的存在性.
2020-06-05 math.AP
Quasilinear Choquard equations involving N-Laplacian and critical exponential nonlinearity
该研究聚焦于含N-Laplacian与临界指数非线性项的拟线性Choquard方程，主要探讨了这类方程正解的存在性问题。
2022-01-25 math.AP
Multi-peak solutions for nonlinear Choquard equation with a general nonlinearity
本文研究了一类含有一般非线性项的非线性Choquard型方程.利用惩罚论证的方法，证明了存在一族具有多个浓度区域的解，这些浓度区域集中在位势$V$的极小点处。此外，不需要$f(s)/s$的单调性和所谓的Ambrosetti-Rabinowitz条件。
2016-04-16 math.AP
Nonlocal Pertubations of Fractional Choquard Equation
我们研究了方程\begin{equation} (-Δ)^{s}u+V(x)u= (I_α*|u|^{p})|u|^{p-2}u+λ(I_β*|u|^{q})|u|^{q-2}u \quad\mbox{ in } \R^{N}, \end{equation}，其中$I_γ(x)=|x|^{-γ}$对任何$γ\in (0,N)$，$p, q >0$，$α,β\in (0,N)$，$N\geq 3$和$ λ\in R$ .首先，利用极小化方法得到了相应Nehari流形上基态解的存在性。其次，考虑Nehari节点集，研究了最小能量变号解的存在性。
2017-05-16 math.AP
Positive bound states to nonlinear Choquard equations in the presence of nonsymmetric potentials
证明了一类具有无穷大正极限势的Choquard方程正解的存在性，该势可能自上而下或振荡。我们的结果包括物理的情况下，不需要任何对称性假设的潜力。
2021-07-19 math.AP
Nonlinear Choquard equations: doubly critical case
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*F(u))F'(u) \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文证明了当$F$是双临界的，即$F(u) = \frac{N}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N}}+\frac{N-2}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N-2}}$时，若$N \geq 5$和$α+ 4 < N$，则非线性Choquard方程存在非平凡解.
2017-07-25 math.AP
Limit profiles and uniqueness of ground states to the nonlinear Choquard equations
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文研究了一类非线性Choquard方程$α\to 0$和$α\to N$的基态极限轮廓.当$α$足够接近$0$或接近$N$时，这导致基态的唯一性和非简并性。
2018-02-06 math.AP
On fractional Choquard equations
研究了一类具有广义Choquard非线性项和分数阶扩散的非线性Schrodinger方程.我们得到了正则性、存在性、不存在性、对称性以及衰减性。
2014-11-27 math.AP
Groundstates for nonlinear fractional Choquard equations with general nonlinearities
研究了由分数阶Laplacian驱动的非线性Choquard方程：具有$N\geq3$，$s\in(0,1)$和$μ\in(0,N)$的$$ (-Δ)^{s}u+ u =(|x|^{-μ}\ast F(u))f(u)|{4.14mm}{in}|{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$.在假定非线性项满足一般Berestycki-Lions型条件\cite{BL}的条件下，利用变分方法证明了该方程基态的存在性.
2015-01-07 math.AP
Existence of groundstates for a class of nonlinear Choquard equations in the plane
本文证明了一类非线性Choquard方程$$ -Δu+u=(I_α*F(u))F'(u)\qquad\text{in }\mathbb{R}^2, $$在非线性$F \in C^1 (\mathbb{R},\mathbb{R})$的一般非平凡性、增长性和亚临界性下非平凡基态解的存在性，其中$$ -Δu+u=(I_α*F(u))F'(u)\qquad\text{in }\mathbb{R}^2, $$是平面$\mathbb{R}^2$上$α$阶的里斯位势.
2017-01-11 math.AP
Symmetric positive solutions to nonlinear Choquard equations with potentials
建立了一类具位势的Choquard方程解的存在性结果。势在无穷远处有一个极限，并且在$\mathbb{R}^N$的线性等距的闭子群的作用下取不变。因此，所找到的正解在相同的作用下是不变的。将处理指数大于等于2或小于2的幂非线性。我们的结果包括物理的情况。
2021-07-25 math.AP
n-Kirchhoff Choquard equations with exponenetial nonlinearity
本文研究了具有Choquard型指数非线性项的Kirchhoff方程（见下面的$(KC)$）。利用变分方法和Moser-Trudinger不等式证明了$(KC)$弱解的存在性.此外，通过分析Nehari流形上的映射和极小化能量泛函，我们证明了下面的凸-凹问题$(\mathcal{P}_{\la,M})$弱解的存在性和多解性.
2018-10-01 math.AP
Scattering for the non-radial focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger-Choquard equation
本文研究了Schrödinger-Choquard方程$$i\partial_tu+Δu=-(I_α\ast|\cdot|^b|u|^{p})|\cdot|^b|u|^{p-2}u.$$整体解的长时间行为。受Murphy关于非径向非均匀NLS散射的简单证明的启发，我们在能量空间中证明了亚临界情形下基态以下的散射理论，而没有径向假设。
2021-04-20 math.AP
On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity
Netaji Subhash University of Technology（印度国立苏哈斯大学）
研究具有临界Choquard非线性的m-调和方程，通过探讨极小值建立精细估计，证明在不同次临界扰动下该方程存在非平凡解，是处理多重调和方程和此类型非线性的首篇文章，结果新颖。
2026-07-08 math.AP
Normalized solutions for the Choquard equation with mass supercritical nonlinearity
本文考虑非线性Choquard方程$$\begin{cases} & - Δu = (I_α\ast F(u))F'(u) -μu \ \text{in}\ \mathbb{R}^N, & u \in \ H^1(\mathbb{R}^N), \ \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx=m, \end{cases} $$，其中$α\in(0,N)$，$m>0$是给定的，$μ\in \mathbb{R}$是Lagarange乘子，$I_α$是里斯位势.在一般的非线性条件下，证明了非线性方程$F,$正规解的存在性和多重性.
2022-12-27 math.AP
The Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential growth
在目前的工作中，我们关注的Choquard对数方程$-Δu + au + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{2})u = f(u)$在$\mathbb{R}^2$，为$ a>0 $，$ λ>0 $和非线性$f$指数临界增长。我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解的存在性。此外，我们提供了这些结果下的对称设置，考虑到分组的$ O(2) $。
2020-11-02 math.AP
Existence of groundstates for a class of nonlinear Choquard equations
本文利用Berestycki和Lions的思想，证明了非线性Choquard方程[- Δu + u = \bigl（I_α \ast F（u）\bigr）F'（u）\quad \text{in (\R^N),} ]在非线性项（F）的几乎必要条件下存在非平凡解（\in H ^1（\R^N））.这个解是基态;而且如果（F）在（（0，\infty））上是偶数和单调的，则（u）是常号的和径向对称的。
2012-12-10 math.AP
Critical growth elliptic problems with Choquard type nonlinearity:A survey
本文综述了Choquard方程的最新研究进展和结果，重点讨论了具有卷积型非线性项的偏微分方程解的存在性和多解性。由于其性质，这些方程被归类为非局部问题。我们简要介绍了在这方面已经做的工作，然后说明了我们解决的问题。借助于变分方法和渐近估计，我们证明了我们的主要结果。
2018-11-11 math.AP
On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation
建立了非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$的Brezis-Nirenberg型问题解的存在性结果，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$的有界区域，具有Lipschitz边界，$λ$是实参数，$N\geq3$，$2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.
2016-06-21 math.AP
The existence and convergence of solutions for the nonlinear Choquard equations on groups of polynomial growth
本文研究了齐维数为$N\geq 2$的多项式增长的离散群的Cayley图上的非线性Choquard方程\begin{eqnarray*} Δ^{2}u-Δu+(1+λa(x))u=(R_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u \end{eqnarray*}，其中$α\in(0,N),\,p>\frac{N+α}{N},\,λ$为正参数，$R_α$表示与里斯位势具有相同渐近性的离散分数拉普拉斯算子的格林函数.在对$a(x)$的一些假设下，利用Nehari流形方法，建立了非线性Choquard方程基态解的存在性和渐近性态.
2022-07-30 math.AP
Groundstates for a local nonlinear perturbation of the Choquard equations with lower critical exponent
利用变分方法证明了具有非线性扰动\[ -Δu+ u=\big(I_α*|u|^{\fracα{N}+1}\big)|u|^{\fracα{N}-1}u+f(x,u)\qquad \text{ in } \mathbb{R}^N \]的非线性Choquard方程基态解的存在性，其中$N\geq 1$，$I_α$是$α\in (0, N)$阶里斯位势，指数$\fracα{N}+1$对于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是临界的，非线性扰动$f$满足适当的增长和结构假设.
2017-10-11 math.AP
Soliton dynamics for the generalized Choquard equation
研究了一类具有非局域非线性项的非线性薛定谔方程的孤子动力学.特别地，我们考虑我们称之为{ \em广义Choquard方程}的非线性项是$(|x|^{θ-N} * |u|^p)|u|^{p-2}u$。这个问题是特别有趣的，因为基态解决方案是不知道是唯一的或非退化。
2013-10-11 math.AP
Ground state of a magnetic nonlinear Choquard equation
本文考虑定常磁非线性Choquard方程\[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u=\bigg(\frac{1}{|x|^α}*F(|u|)\bigg)\frac{f(|u|)}{|u|}{u},\]，其中$A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$是矢量势，$V$是标量势，$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$和$F$是$f$的基元.在温和的假设下，我们证明了这个问题的基态解的存在性。我们还证明了一个简单的多重性结果，通过应用Ljusternik-Schnirelmann方法。
2018-05-16 math.AP
Weighted Choquard equation perturbed with weighted nonlocal term
我们研究了以下问题$$ -{\rm div}(v(x)|\nabla u|^{m-2}\nabla u)+V(x)|u|^{m-2}u= \Big(|x|^{-θ}*\frac{|u|^{b}}{|x|^α}\Big)\frac{|u|^{b-2}}{|x|^α}u+λ\Big(|x|^{-γ}*\frac{|u|^{c}}{|x|^β}\Big)\frac{|u|^{c-2}}{|x|^β}u \quad\mbox{ in }\R^{N}, $$其中$b, c, α, β>0$，$θ,γ\in (0,N)$，$N\geq 3$，$2\leq m< \infty$和$λ\in \R$ .在这里，我们关注的是基态解和最小能量符号变化的解决方案，并将通过使用相关的Nehari流形和Nehari节点集分别最小化技术来完成。
2020-05-25 math.AP
Ground states and semiclassical states of nonlinear Choquard equations involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical growth
研究了一类具有Hardy-Littlewood-Sobolev临界非线性项的非线性Choquard方程基态解的存在性。我们的结果补充了Moroz和Van Schaftingen以前的结果，其中考虑了亚临界情况。然后，我们专注于半经典状态的存在性，并通过使用截断参数的方法，我们建立的存在性和浓度的单峰解决方案集中在薛定谔电位的最小值，普朗克常数为零。结果是鲁棒的意义上，非线性不需要满足单调性条件，也不是Ambrosetti-Rabinowitz条件。
2016-11-09 math.AP
Choquard equations with critical exponential nonlinearities in the zero mass case
本文研究零质量情形下由加权N-Laplace算子驱动且具有多项式核的Choquard方程，在Sobolev嵌入极限设定下允许非线性项增长至临界指数，并用变分方法证明正解存在性，完善了对数核情形的已有分析。
2024-04-24 math.AP
Ground state solutions for a nonlinear Choquard equation
本文讨论了Choquard方程$$-Δu=(I_α*F(u))F'(u)\quad\quad\quad\text{in }\mathbb R^N.$$基态解的存在性，在一般假设下证明了解的存在性，特别是研究了齐次非线性方程$F(u)=\frac{|u|^p}p$的情形. $N=2$和$N\ge3$病例在某些步骤中的处理方式不同。通过一个变分的山路策略的解决方案。所呈现的结果包含在arXiv ID 1212.2027和1604.03294的论文中
2017-09-30 math.AP
Nonlinear Schrödinger equations with critical Hardy potential and Choquard nonlinearity
Masaryk University（马萨里克大学）
本文研究带临界Hardy势与Choquard非线性项的非线性Schrödinger方程Cauchy问题，通过插值不等式极值子与Pohožaev恒等式得到基态存在与不存在性，给出能量次临界下全局存在及爆破准则，并刻画最小质量爆破解。
2026-04-06 math.AP
Mixed local and nonlocal semilinear elliptic equation with strongly singular and critical Choquard nonlinearity
本文研究混合局部与非局部椭圆方程，结合奇异与临界非线性，通过变分方法证明正解的存在性与多重性。
2023-10-11 math.AP
Existence of solutions for a nonlinear Choquard equation with potential vanishing at infinity
研究了一类非线性Choquard方程$$ -Δu +V(x)u =\Big( \frac{1}{|x|^μ}\ast F(u)\Big)f(u) \quad \mbox{in} \quad \R^N, $$，其中$0<μ<N$，$N \geq 3$，$V$是连续实函数，$F$是$f$的原函数.在对势$V$（包括$V(\infty)=0$，即$V(x)\to 0$为$|x|\to +\infty$）的适当假设下，利用罚函数法证明了上述方程非平凡解的存在性.
2015-11-14 math.AP
The Choquard logarithmic equation involving fractional Laplacian operator and a nonlinearity with exponential critical growth
本文研究了Choquard对数方程$(-Δ)^{\frac{1}{2}} u + au + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{2})u = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}$，$ a>0 $，$ λ>0 $和一类指数临界增长的非线性方程$f$非平凡解的存在性和多重性.我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和一个非平凡的基态解指数临界和亚临界增长。此外，当$ f $有亚临界增长，我们保证存在无穷多个解决方案，通过亏格理论。
2020-12-18 math.AP
Positive solutions for nonlinear Choquard equation with singular nonlinearity
本文研究了具有奇异非线性项\begin{equation*} \quad -\De u = \la u^{-q} + \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}\mathrm{d}y \right)|u|^{2^*_μ-2}u, \quad u>0 \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{on}\; \partial\Om, \end{equation*}的非线性Choquard方程，其中$\Om$是$\mb{R}^n$中的有界区域，具有光滑边界$\partial \Om$，$n > 2,\; \la >0,\; 0 < q < 1, \; 0<μ<n$和$2^*_μ=\frac{2n-μ}{n-2}$ .利用变分方法和相应的Nehari流形结构，证明了当$\la$小于某个正常数时，上述问题正弱解的存在性和多解性.我们还研究了这些弱解的正则性。
2016-11-02 math.AP
Groundstates of nonlinear Choquard equations: existence, qualitative properties and decay asymptotics
考虑半线性椭圆问题[- Δu + u =（I_α \ast \abs{u}^p）\abs{u}^{p - 2} \quad \text{in (\mathbb{R}^N),} ]，其中（I_α）是里斯位势，（p>1）.这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。对于最佳的参数范围，我们证明了方程正基态解的存在性。我们还建立了基态的正则性和正性，并证明了所有正基态都是径向对称的，并且关于某点单调衰减。最后，我们得到了基态在无穷远处的衰减渐近性。
2013-04-22 math.AP
The semirelativistic Choquard equation with a local nonlinear term
我们提出了半相对论Choquard方程的局部非线性$\mathbb{R}^N$ \begin{equation*} \sqrt{\strut -Δ+ m^2} u - mu + V(x)u = \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(y)|^p}{|x-y|^{N-α}} \, dy \right) |u|^{p-2}u - Γ(x) |u|^{q-2}u, \end{equation*}的存在性结果，其中$m > 0$和潜在的$V$被分解为一个$\mathbb{Z}^N$ -周期项和一个有界项，在无穷远衰减的总和。用变分方法证明了半空间$\mathbb{R}_{+}^{N+1}$上的一个辅助问题。
2018-05-15 math.AP
Symmetry of Positive Solutions for the Fractional Schr$ \ddot{\textrm{o}}$dinger Equations with Choquard-type Nonlinearities
本文研究了具有Choquard型非线性项\begin{equation*} \left\{\begin{array}{r@{\ \ }c@{\ \ }ll} (-Δ)^{\fracα{2}}u + u - C_{n,-β} \,(|x|^{β-n}\ast u^{p})\, u^{p-1}& = &0 & \mbox{in}\ \ \mathbb{R}^{n}\,, \\[0.05cm] u & > & 0 & \mbox{on}\ \ \mathbb{R}^{n}, \end{array}\right. \end{equation*}的分数阶Schr $ \ddot{\textrm{o}}$ dinger方程，其中$ 0< α,β< 2, 1\leq p <\infty \,\,and\,\, n\geq 2. $首先我们构造了相关方程在无穷远处的衰减结果和窄区原理.然后利用广义运动平面直接法建立了上述方程正解的径向对称性。
2019-06-06 math.AP
Choquard equations under confining external potentials
考虑非线性Choquard方程$$ -Δu+V u=(I_α\ast \vert u\vert ^p)\vert u\vert ^{p-2}u \qquad \text{ in } \mathbb{R}^N $$，其中$N\geq 1$，$I_α$分别是$α\in (0, N)$和$p > 1$阶Riesz积分算子.当势$ V \in C (\mathbb{R}^N; [0,+\infty)) $满足约束条件$$ \liminf\limits_{\vert x\vert \to +\infty}\frac{V(x)}{1+\vert x\vert ^{\frac{N+α}{p}-N}}=+\infty, $$和$\frac{1}{p} > \frac{N - 2}{N + α}$时，我们证明了基态的存在性，无限能量解序列的存在性，以及当$p \ge 2$满足约束条件时，最小能量节点解的存在性.构造是基于适当的加权紧嵌入定理。鉴于我们建立的Pohožaev恒等式，增长假设是尖锐的。
2016-07-01 math.AP
Coron problem for nonlocal equations invloving Choquard nonlinearity
研究了\[ -\De u = \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2^*_μ-2}u, \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om , \]问题，其中$\Om$是$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$，$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$中的光滑有界区域.证明了在内孔充分小时，在环形区域上上述问题正解的存在性。
2019-05-17 math.AP
Standing waves with a critical frequency for nonlinear Choquard equations
本文研究了非局部Choquard方程$$ -\varepsilon^2 Δu_\varepsilon + V u_\varepsilon= (I_α* |u_\varepsilon|^p)|u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon $$，其中$N\geq 1$，$I_α$为$α\in (0, N)$阶里斯位势，$\varepsilon>0$为参数.当非负势$V\in C (\mathbb{R}^N)$达到$0$的齐次行为或封闭的一个开集，但仍然有界远离$0$在无穷远，我们显示的基态解的存在性小$\varepsilon>0$和表现出浓度行为为$\varepsilon\to 0$。
2016-11-28 math.AP
Semirelativistic Choquard equations with singular potentials and general nonlinearities arising from Hartree-Fock theory
我们感兴趣的是一般Choquard方程\begin{multline*} \sqrt{\strut -Δ+ m^2} \ u - mu + V(x)u - \fracμ{|x|} u = \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{N-α}} \, dy \right) f(x,u) - K (x) |u|^{q-2}u \end{multline*}在适当的假设下的有界势\(V\)和非线性\(f\)。我们的分析扩展了第二和第三作者最近的结果与$μ= 0$和纯功率非线性$f(x,u)=|u|^{p-2}u$的问题。我们表明，在适当的假设下的潜力，无论基态是否存在。最后，我们研究了基态$μ\to 0^+$的渐近行为。
2021-02-03 math.AP
Fractional Choquard Equation with Critical Nonlinearities
本文研究了含分数Laplacian算子\[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{μ,s}}}{|x-y|^μ}\mathrm{d}y \right)|u|^{2^*_{μ,s}-2}u +\la u \; \text{in } \Om,\]的非线性Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$\Om $是$\mathbb R^n$中具有Lipschitz边界的有界区域，$\la $是实参数，$s \in (0,1)$，$n >2s$和$2^*_{μ,s}= (2n-μ)/(n-2s)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.利用变分方法得到了上述方程解的存在性、多解性、正则性和不存在性结果。
2016-06-07 math.AP
An elliptic problem involving critical Choquard and singular discontinuous nonlinearity
本文研究结合临界Hartree型与奇异间断非线性的椭圆问题，应用变分方法和广义梯度证明了弱解的存在性与多重性，并通过$L^\infty$估计确立了其正则性。
2023-09-14 math.AP
Choquard equations with critical nonlinearities
本文研究了$\mathbb{R}^N$ \begin{equation*} -Δu+u=(I_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u+λ|u|^{q-2}u \quad \mathrm{in}\ \mathbb{R}^N, \end{equation*}中Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$N\geq 3,\ α\in(0,N)$，$λ>0$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$p=\frac{N+α}{N}$或$\frac{N+α}{N-2}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数，$I_α$是里斯位势.基于亚临界问题的结果，利用亚临界近似和Pohožaev约束方法，在$H^1(\mathbb{R}^N)$中得到了该问题的正的径向非增基态解.最后，得到了一般Choquard方程解的正则性和Pohožaev恒等式.
2018-08-17 math.AP
Nonlinear Choquard equations involving nonlocal operators
本文研究非线性Choquard方程\begin{equation}\label{eq 1a1-} (-Δ+id)^{\frac{1}{2}}u=(I_α*{|u|^p})|u|^{p-2}u\ \ {\rm in} \ \ \mathbb{R}^N, \ \ \ u\in H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^N), \end{equation}，其中$(-Δ+id)^\frac{1}{2}$是非局部算子，$p>0$，$N\geq2$和$I_α$是$α\in(0,N)$阶Riesz势.我们证明了如果是$\frac{N+α}{N}<p<\frac{N+α}{N-1}$，则上述问题有基态解，如果是$0<p\leq\frac{N+α}{N+1}$或$p\geq\frac{N+α}{N-1}$，则无解.当$p$满足$\frac{N+α}{N}<p<\frac{N+α}{N-1}$时，进一步讨论了上述问题无穷多解的存在性.
2017-06-02 math.AP
Nonexistence and optimal decay of supersolutions to Choquard equations in exterior domains
考虑一类半线性椭圆问题，其非线性项为幂与幂的里斯位势的乘积。这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。我们证明了对于某些参数值，方程在外部区域不存在非平凡的非负上解。当存在上解时，同样的技术产生最优的衰减率。
2012-03-14 math.AP
Choquard equations via nonlinear Rayleigh quotient for concave-convex nonlinearities
建立了考虑凹凸非线性项的Choquard方程基态解和束缚态解的存在性，其形式为$$ \begin{array}{rcl} -Δu +V(x) u &=& (I_α* |u|^p)|u|^{p-2}u+ λ|u|^{q-2}u, \, u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), \end{array} $$其中$λ> 0, N \geq 3, α\in (0, N)$ .势$V$是一个连续函数，$I_α$表示标准Riesz势。还假设$1 < q < 2,~2_α < p < 2^*_α$，其中$2_α=(N+α)/N$，$2_α=(N+α)/(N-2)$。我们的主要贡献是考虑一个特定的条件下的参数$λ> 0$考虑到非线性瑞利商。更确切地说，存在$λ_n > 0$，使得我们的主要问题对于每个$λ\in (0, λ_n]$至少有两个正解。为了做到这一点，我们结合Nehari方法与非线性瑞利商的精细分析。参数$λ_n > 0$在某种意义上是最优的，这允许我们应用Nehari方法。
2021-02-22 math.AP
Existence and multiplicity of solutions for the fractional $p$-Laplacian Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical and subcritical growth
本文得到了Choquard对数方程$(-Δ)_{p}^{s}u + |u|^{p-2}u + (\ln|\cdot|\ast |u|^{p})|u|^{p-2}u = f(u) \textrm{ \ in \ } \mathbb{R}^N $非平凡解的存在性和多重性，其中$ N=sp $，$ s\in (0, 1) $，$ p>2 $，$ a>0 $，$ λ>0 $和$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $是具有指数临界和亚临界增长的连续非线性方程.我们保证在山口水平和临界和亚临界增长下的非平凡基态解的存在性。此外，当$ f $有次临界增长时，我们利用亏格理论证明了无穷多个解的存在性。
2020-12-23 math.AP
Multiple solutions to a magnetic nonlinear Choquard equation
考虑定常非线性磁Choquard方程[（- \mathrm{i} \nabla +A（x））^{2}u+V（x）u=（\frac{1}{|x|^α} \ast |u| ^{p}）|u| ^{p-2}u，\quad x \in \mathbb{R}^{N} %]其中$A\ $是实值矢量势，$V$是实值标量势$,$ $N\geq3$，$α\in(0,N)$和$2-(α/N) <p<(2N-α)/(N-2)$ .我们假定$A$和$V$都与$\mathbb{R}^{N}$的线性等距群$G$的作用相容.我们建立了该方程满足对称条件\[ u(gx)=τ(g)u(x)\text{\ \ \ for all}g\in G,\text{}x\in\mathbb{R}^{N}, \]的多个复值解的存在性，其中$τ:G\rightarrow\mathbb{S}^{1}$是到单位复数的给定群同态。
2011-09-07 math.AP
On the study of $(p, Q)$-Laplace Choquard equations with critical Trudinger-Moser nonlinearity in $\mathbb{H}^N$
本文研究Heisenberg群上具有临界Trudinger-Moser非线性与Stein-Weiss反应的(p,Q)-Laplace Choquard方程解的存在性与多重性，结合变分原理与全新Brézis-Lieb引理证明。
2024-07-23 math.AP
Fractional p-Kirchhoff equation with Sobolev and Choquard singular nonlinearities
本文研究全空间上含双重非线性项与临界奇异权重的分数阶p-Kirchhoff方程，利用Cerami条件克服慢增长非线性项带来的紧性证明困难，得到非平凡弱解的存在性结果。
2024-10-07 math.AP
$ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity
目前的工作是关注以下版本的Choquard对数方程$ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}^N $，其中$ a, b, λ>0 $，$ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $，$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $是连续函数，表现得像$ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $在无穷远，$ α>0 $，并有多项式增长，分别和$ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$。我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解的存在性。此外，使用对称山路定理的一个版本，我们得到无穷多个解决方案。
2021-05-24 math.AP
Positive and sign changing solutions to a nonlinear Choquard equation
考虑问题\[-Δu + W(x)u = ((1/{|x|^α} * |u|^{p}) |u|^{p-2}u, u \in H_{0}^{1}(Ω)\]，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的外部区域，$N\geq3,$ $α\in(0,N)$，$p\in[2,(2N-α)/(N-2)$，$W$是连续的，当$|x|$趋于无穷大时，$\inf_{\mathbb{R}^{N}}W>0,$和$W(x)$趋于正常数.在对$Ω$和$W$的有限对称性假设和对$W$在无穷远处衰减的一些假设下，我们建立了该问题的正解和多个变号解的存在性，具有小的能量.
2012-11-25 math.AP
