Explicit estimates for solutions to higher order elliptic PDEs via Morse index
本文利用Morse指标建立了一类多调和椭圆型方程解的$L^{\infty}$和$L^{p}$估计.据我们所知，这似乎是第一次对多调和问题获得如此明确的估计。
2015-11-16 math.AP
Reflected BSDEs and obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍物的问题有一个唯一的解决方案，我们提供了它的随机表示反映落后的随机微分方程。我们还证明了正则性和逼近结果的解决方案的问题。
2018-10-08 math.AP
Classification and Liouville-type theorems for semilinear elliptic equations in unbounded domains
本文对维数不超过10的欧几里得空间或无界区域上的一般半线性椭圆型方程的稳定解和有限Morse指数解进行了分类。
2019-12-25 math.AP
Inverse problems for semilinear elliptic PDE with measurements at a single point
利用Dirichlet-to-Neumann映射的知识，研究了半线性椭圆型方程中势函数的反问题.对于有界欧几里得整环，我们证明了位势是由在单个边界点上测得的Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定的，或者是对固定测度积分的.这个结果是有效的，即使狄利克雷数据只给出了一个小的边界子集。我们也给出了黎曼流形上的相关唯一性结果。
2022-02-21 math.AP
On bifurcation for semilinear elliptic Dirichlet problems and the Morse-Smale index theorem
研究了星形区域上半线性椭圆型Dirichlet边值问题平凡解分支的分歧，其中分歧参数是通过收缩区域引入的.在证明我们的主要定理时，我们还得到了由S.斯梅尔
2013-06-28 math.AP math.FA math.SP
A note on the complete rotational invariance of biradial solutions to semilinear elliptic equations
我们研究了$$ -Δu = \frac{a}{|x|^2} u + f(|x|, u)$$形式的方程在R^N中的解的对称性，对于$N \geq 4$，最多具有临界非线性。通过使用几何参数，我们证明了低莫尔斯指数（即0或1），这是双径向（即不变的作用下的复曲面旋转组）的解决方案，实际上是完全径向的。对于球面上的半线性Laplace-Beltrami方程也有类似的结果。此外，我们证明了Morse指数的条件是尖锐的。最后应用所得结果估计了具有不同对称性约束的Sobolev型不等式的最佳常数。
2010-07-19 math.AP
A study of second order semilinear elliptic PDE involving measures
本文研究了一般的二阶半线性椭圆型方程在有限全变差条件下的含$L^1$函数或Radon测度的边值问题.研究了给定$L^1$函数的边值问题的“{ \it very weak}”解的存在唯一性.然而，当一个$L^1$函数被替换为一个测度时，“{ \it非常弱}”解不需要存在，由于该测度，已经找到了相应的约化极限，因此该问题在“{ \it非常弱}”意义上允许一个解。
2018-08-21 math.AP
Symmetry and monotonicity results for solutions of semilinear PDEs in sector-like domains
在这篇手稿中，我们考虑半线性偏微分方程，具有凸非线性，在一个扇形域。利用柱面坐标$(r, θ, z)$，我们研究了在$θ$中导数在边界处为零的解的形状。我们证明了Morse指数小于2的任何解要么独立于$θ$，要么关于$θ$严格单调.在平面区域的特殊情况下，该结果不仅适用于圆环域，也适用于圆域，而且还可以推广到矩形区域。相应的问题在更高的维度也被认为是，以及扩展到无界域。证明是基于一个平面参数：一个方便的流形，以避免重叠的域与其反射图像的情况下，当其开口大于$π$。
2022-01-28 math.AP
Multiple solutions for a class of semilinear elliptic equations
利用截断技巧、极小化方法和莫尔斯理论，得到了一类半线性椭圆型方程的三个非平凡解.
2020-11-07 math.AP math.FA
Symmetry of solutions of semilinear PDEs on Riemannian domains
研究了黎曼域上含半线性偏微分方程的狄利克雷问题解的对称性。我们将提出一个相当一般的框架，对称性问题可以制定和提供一些证据，这个框架是完全自然的，指出一些稳定的解决方案的结果。流形的密度和相应的加权拉普拉斯算子的情况，从一开始就被插入到图片中。
2022-06-06 math.AP math.DG
Multiplicity results and qualitative properties for semilinear elliptic problems with Neumann boundary conditions
本文研究了一类具有渐近线性光滑非线性项的半线性椭圆型边值问题解的多解性态和定性性态。我们提供了充分条件的特征值的数量的非线性导数交叉，以保证存在至少五个非平凡的解决方案。我们使用的技术是一个组合的最小化，勒雷-绍德尔度，莫尔斯理论和减少方法一la Castro-Lazer。
2018-01-05 math.AP
Mixed Boundary Value Problems of Semilinear Elliptic PDEs and BSDEs with Singular Coefficients
本文证明了一类具有奇异系数的二阶半线性椭圆型偏微分方程的混合边值问题存在唯一弱解。我们的方法是概率性的。Dirichlet型和无穷时域奇异系数倒向随机微分方程的理论起着至关重要的作用。
2011-12-14 math.AP math.PR
Symmetry breaking and instability for semilinear elliptic equations in spherical sectors and cones
本文研究了锥内球面扇区中半线性椭圆方程，通过分析径向正解的Morse指数及其对单位球面区域的依赖性，证明了Gidas-Ni-Nirenberg型径向对称性结果在一般非凸锥中不成立，并发现无界锥中标准bubbles解在非凸锥中会变得不稳定。
2023-05-17 math.AP
Global convergence of $W^{1,\infty}$-steepest descent for PDE constrained shape optimisation with semilinear elliptic equations in function space
Otto-von-Guericke-University Magdeburg（奥托·冯·古里克马格德堡大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Koblenz（科布伦茨大学）
本文研究了PDE约束形状优化中半线性椭圆方程的$W^{1,\infty}$-最陡下降法的全局收敛性，证明了在函数空间中的收敛性及二维空间中的条件收敛结果。
2026-03-03 math.AP math.OC
Inverse problems for semilinear elliptic PDE with a general nonlinearity $a(x,u)$
Aarhus University（奥胡斯大学）；Lappeenranta-Lahti University of Technology（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）
本文研究通过边界测量恢复椭圆方程中非线性项的问题，改进了基于一阶和高阶线性化的方法，证明一般非线性项在固定解附近唯一确定。
2026-05-07 math.AP
Reflected BSDEs and continuous solutions of parabolic obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍，一个唯一的连续的解决方案的问题承认一个随机表示的反射向后随机微分方程。我们还得到了解的一些正则性，并证明了一些有用的逼近结果。
2009-12-11 math.AP math.PR
A Reduction Method for Semilinear Elliptic Equations and Solutions Concentrating on Spheres
我们证明了在R^2m ;m >1中的环A中的任何一般的具有Dirichlet或Neumann边界条件的半线性椭圆问题，在某个对称群的作用下是不变的，可以归结为在R^（m+1）中的环D中的非齐次类似问题，在另一个相关的对称下是不变的。我们应用这个结果证明了A中一个集中在一个或两个（m-1）维球面上的奇摄动椭圆问题正解和变号解的存在性。我们还证明了这些解决方案的Morse指数趋于无穷的浓度参数趋于无穷大。
2012-10-02 math.AP
A Necessary and Suffcient Condition for Uniqueness of the Trivial Solution in Semilinear Parabolic Equations
在他们1968年的论文藤田和渡边认为问题的唯一性平凡的解决方案的半线性抛物型方程方面的类有界，非负的解决方案。特别是，他们表明，如果潜在的常微分方程有非唯一的解决方案（通过奥斯古德型条件）{ \em和}的非线性$f$满足一个条件，那么抛物型PDE也继承了非唯一性。这一假设一直保持在地方或隐式或显式在所有随后的工作在文献中有关这个和其他类似的，非唯一性现象的抛物型方程。在本文中，我们提供了一个初步的证明，不需要任何这样的假设$f$上的PDE的非唯一性。我们的结果的一个重要后果是，平凡解的PDE的唯一性是等价于平凡解的唯一性相应的常微分方程，这反过来又是已知的$f$上的Osgood型积分条件。
2017-01-17 math.AP
About semilinear low dimension Bessel PDEs
本文研究低维 $0<\delta<1$ 下由 Bessel 型生成元驱动的半线性 PDE，并在漂移仅为 Schwartz 分布时，于 $L^2$ 对偶弱意义下证明了解的存在唯一性。
2024-04-04 math.AP math.PR
Abstract nonlinear sensitivity and turnpike analysis and an application to semilinear parabolic PDEs
我们分析了非线性最优控制问题的一阶必要最优性条件所引起的极值方程对动力学和初始数据扰动的敏感性。为此，我们提出了一个抽象的隐函数方法与缩放空间。我们将把这种抽象方法应用于由半线性偏微分方程控制的问题。在这种情况下，我们证明了一个指数收费公路的结果，并表明，扰动的极值方程的动态，例如，离散化误差随时间呈指数衰减。后者可以用于非常有效的离散化计划在模型预测控制器，其中只有一部分的解决方案需要准确计算。我们展示的理论结果，通过两个例子与一个非线性热方程的二维区域。
2022-03-01 math.AP math.OC
A bilinear pointwise tracking optimal control problem for a semilinear elliptic PDE
本文研究了半线性椭圆PDE的双线性点跟踪最优控制问题，推导了最优解的存在性，并证明了局部最优控制的正则性性质。
2025-12-14 math.AP math.OC
Morse index computation for radial solutions of the {Hé}non problem in the disk
我们计算半线性问题的任意径向解$u_{p}$的Morse指数$\textsf{m}(u_{p})$：\begin{equation} \label{problemaAbstract}\tag{P} \left\{ \begin{array}{lr} -Δu=|x|^α|u|^{p-1}u & \mbox{in } B\\ u=0 & \mbox{ on }\partial B \end{array} \right. \end{equation}其中$B$是以原点为中心的$\mathbb R^{2}$的单位球，$α\geq 0$是固定的，并且$p>1$足够大.在$α=0$的情况下，即对于\emph{Lane-Emden problem}，这导致对于足够大的$p$的以下莫尔斯指数公式\[\textsf{m}(u_{p}) = 4m^{2}-m-2, \]，其中$m$是$u$的节点域的数目。
2021-02-26 math.AP
On the mixed problem for the semilinear Darcy-Forchheimer-Brinkman PDE system in Besov spaces on creased Lipschitz domains
研究半线性Darcy-Forchheimer-Brinkman方程组在${\mathbb R}^3$中有界Lipschitz区域上基于$L_p$的Besov空间中的混合Dirichlet-Neumann边值问题，其中$p$在$2$的邻域中.该系统是通过将半线性项$|{\bf u}|{\bf u}$添加到线性Brinkman方程而获得的。{首先，我们给出了Gagliardo迹与非切迹之间，以及弱正则余法向导数与非切余法向导数之间的等价性。给出了线性Brinkman系统位势理论中某些积分算子的各种映射和可逆性质，以及${\mathbb R}^n$（$n\geq 3$）中有界Lipschitz域上基于$L_p$的Besov空间中Dirichlet和Neumann问题的适定性结果.然后，利用积分势算子，证明了${\mathbb R}^n$ $(n\geq 3)$中有界Lipschitz域上线性Brinkman系统的Dirichlet-Neumann型混合问题在基于$L_2$的Sobolev空间中的适定性.进一步，利用Fredholm的稳定性结果和可逆性性质，并探讨了相应的Neumann-to-Dirichlet算子的可逆性，将适定性性质推广到基于$L_p$的Sobolev空间.然后利用线性情形下的适定性结果结合不动点定理证明了半线性Darcy-Forchheimer-Brinkman方程组…
2017-08-20 math.AP
Partial data inverse problems for semilinear elliptic equations with gradient nonlinearities
证明了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$上调和函数梯度的标量积在边界的闭真子集上为零的集合的线性跨距在$L^1(Ω)$中是稠密的.我们应用这个密度结果求解了一类带二次梯度项的半线性椭圆型偏微分方程的部分数据反边值问题。
2019-09-17 math.AP
A Morse index formula for radial solutions of Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题：\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}其中$B$是以原点为中心的$\mathbb R^N$，$N\geq3$和$1<p<p_S$，$p_S=\frac{N+2}{N-2}$的单位球.本文证明了对于具有$m$节点域的\eqref{problemAbstract}的任意径向解$u_p$，若$p$充分接近于$p_S$，则其Morse指标$\mathsf{m}(u_p)$由公式\[\mathsf{m}(u_p)=m+N(m-1)\]给出.
2016-05-11 math.AP
Morse index and uniqueness of positive solutions of the Lane-Emden problem in planar domains
计算了半线性椭圆型问题\begin{equation}\label{abstr} \tag{$\mathcal P_p$} \begin{cases} -Δu= u^p & \text{in $Ω$} \\ u=0 & \text{on $\partialΩ$} \\ u>0 & \text{in $Ω$.} \end{cases} \end{equation}的$1$ -spike解的Morse指标，其中$Ω\subset \mathbb{R}^2$是光滑有界区域，且$p>1$足够大.当$Ω$是凸的时，我们的结果，结合[22]中的特征，[41]中的一个结果和最近\cite{Sirakov}中的一致估计，给出了$p$大时\eqref{abstr}解的唯一性.这证明了，在二维和$p$大，一个猜想吉达斯-尼-尼伦伯格[29]。
2018-04-10 math.AP
A note on well-posedness of semilinear reaction-diffusion problem with singular initial data
讨论了具有Dirichlet边界条件的标量反应扩散方程$u_{t}=Δu+f(u)$的适定性条件，其中初值是无界的.标准生长条件与保证相关ODE $\dot u=f(u)$的全局解的无爆破条件$\int_{1}^{\infty}1/f(s) \d s=\infty$并列。我们研究了玩具PDE $u_{t}=f(u)$在$L^{p}$中的适定性。给出了一个源项$f$和初始条件$ψ\in L^{2}(0,1)$的例子，使得当反应扩散方程在$L^{2}(0,1)$中整体适定时，$\int_{1}^{\infty}1/f(s)\d s=\infty$和玩具PDE瞬间爆破.
2011-03-24 math.AP
Fluctuations around a homogenised semilinear random PDE
考虑一类半线性抛物型偏微分方程在$\mathbf{R}_+\times [0,1]^d$中的解，其中$d=1, 2$或$3$具有高振荡随机势和齐次Dirichlet或Neumann边界条件.如果振荡的振幅与其典型的时空尺度相比具有正确的大小，则我们方程的解收敛于确定性均匀抛物偏微分方程的解，这是大数定律的一种形式。我们的主要兴趣是在相关的中心极限定理。也就是说，我们研究了一个适当的重新标度的初始随机解和它的LLN极限之间的差异的限制。在维度$d=1$中，重新标度的差异收敛于一个中心的Ornstein-Uhlenbeck过程。然而，在维度$d=2$中，极限是一个非中心高斯过程，而在维度$d=3$中，在取CLT极限之前，我们需要在中间尺度上减去确定性抛物线PDE的解，服从（在Neumann边界条件的情况下）非齐次Neumann边界条件。我们的证明利用正则性结构的理论，特别是最近开发的方法，允许在该理论内的边界条件处理抛物型偏微分方程。
2021-05-05 math.AP math.PR
Morse index and sign changing bubble towers for Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{ \begin{array}{lr} -Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }Ω\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial Ω\end{array} \right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$p>1$和$Ω$是$\mathbb R^2$的光滑有界对称区域.我们表明，对于家庭$(u_p)$的符号变化对称解决方案的\eqref{problemAbstract}的莫尔斯指数的上限意味着浓度的积极和消极的一部分，$u_p^\pm$，在同一点上，作为$p\to+\infty$。然后对$u_p^+$和$u_p^-$的渐近分析表明，$(u_p)$的渐近轮廓，如$p\to+\infty$，是两个不同的气泡的塔。
2014-06-16 math.AP
Semilinear elliptic PDE's with biharmonic operator and a singular potential
本文研究了一类问题：\begin{equation}\tag{$P_λ$} \begin{cases} Δ^2u-μa(x)u=f(u)+λb(x)\quad\textrm{in $Ω$,}\\ u>0 \quad\textrm{in $Ω$,}\\ u=0=Δu \quad\textrm{on $\partialΩ$,} \end{cases} \end{equation}正解的存在性与不存在性，其中$Ω$是$\mathbb R^N$中的光滑有界区域，$N\geq 5$，$a, b, f$是满足一定假设的非负函数，我们将在后面说明. $μ,λ$是正常数。在函数$a, b, f$和常数$μ$的适当条件下，证明了存在$λ^*>0$，使得当$0<λ<λ^*$，（$P_λ$）在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中有解时，$λ>λ^*$在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中无解.而且作为$λ\uparrowλ^*$，（$P_λ$）的极小正解在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中收敛到（$P_{λ^*}$）的解.我们还证明了存在$\tildeλ^*<\infty$使得$λ^*\leq\tildeλ^*$和对于$λ>\tildeλ^*$，上述问题（$P_λ$）甚至在分布意义/很弱意义下也没有任何解，并且存在完全{\it b…
2015-09-13 math.AP
A monotonicity result under symmetry and Morse index constraints in the plane
本文研究了\[ \left\{\begin{array}{ll} -Δu = f(|x|, u) \qquad & \text{ in } Ω, \\ u= 0 & \text{ on } \partial Ω, \end{array} \right. \]型半线性椭圆型方程的解，其中$Ω$是平面上的径向对称区域，可以是有界的，也可以是无界的.我们考虑的解决方案$u$是不变的旋转一定的角度$θ$，并有一个界限，其莫尔斯指数在空间中的功能不变，这些旋转。我们可以证明，或者$u$是径向的，或者，存在方向$e\in \mathcal S$，使得$u$关于$e$是对称的，并且它在角度$\fracθ2$的扇区中的角度变量是严格单调的。结果适用于最小能量和节点最小能量的解决方案，在空间中的功能不变的旋转，并产生多重结果。
2019-04-08 math.AP
Asymptotic Stability of POD based Model Predictive Control for a semilinear parabolic PDE
University of Hamburg（汉堡大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）
本文利用非线性模型预测控制方法，结合POD降阶策略，对半线性抛物型PDE进行稳定反馈控制设计，并通过数值实验验证了算法的渐近稳定性。
2014-09-27 cs.NA math.AP math.NA
Exact Morse index computation for nodal radial solutions of Lane-Emden problems
本文考虑半线性Lane-Emden问题\begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$B$是$\mathbb R^N$，$N\geq2$和$1<p<p_S$的单位球，若$N=2$为$p_S=+\infty$，若$N\geq3$为$p_S=\frac{N+2}{N-2}$.我们的主要结果是证明了在维数$N=2$上，当$p$足够大时，\eqref{problemAbstract}的最小能量变号径向解$u_p$的Morse指数恰为$12$.作为一个中间步骤，我们明确计算的第一个特征值的极限加权问题在$\mathbb R^N$在任何尺寸$N\geq2$。
2016-02-22 math.AP
A dynamical approach to semilinear elliptic equations
利用无限维动力系统给出了$\mathbb{R}^n$中有界区域上半线性椭圆型偏微分方程的一个特征.动力系统位于PDE的边界数据空间上。这是一种新的方法，椭圆问题，使动力系统工具的使用，在研究相应的偏微分方程。动力系统是不适定的，这意味着对于一般的初始数据，在时间上不存在向前或向后的解。我们提供了一个框架，在这个不适定的系统可以进行分析。这可以被看作是空间动力学理论的推广，该理论适用于无限圆柱形区域的情况。
2020-07-13 math.AP math.CA math.DS
Stabilization of semilinear PDE's, and uniform decay under discretization
这些笔记是作者于2015年6月在Chamb{é}ry的暑期学校开设的短期课程中发布的。我们考虑一般的半线性偏微分方程，我们解决了以下两个问题：1）如何设计一个有效的反馈控制局部稳定的方程渐近到0？2)如何从近似方案构造这样的稳定反馈？为了解决这些问题，我们区分抛物和双曲半线性偏微分方程。抛物的意思是系统下的线性算子生成一个解析半群。通过双曲，我们的意思是这个算子是斜伴随的。我们首先回顾一般的结果，允许一个考虑的非线性项作为一个扰动，可以被吸收时，能够构建一个李雅普诺夫函数的线性部分。我们回顾特别是一些已知的结果借用黎卡提理论。然而，由于Riccati算子的数值实现是计算上的要求，我们专注于能够设计“简单”的反馈的问题。对于抛物型方程，我们描述了一种方法，包括设计一个稳定的反馈，基于一个小的有限维（谱）近似的整个系统。对于双曲型方程，我们专注于简单的线性或非线性反馈，我们调查的问题，获得尖锐的衰减结果。当考虑离散化方案时，在连续模型中获得的衰减一般不能保留为离散模型，我们解决了在数值方案中添加适当的粘性项的问题，以恢复均匀的衰减。我们认为空间，时间，然后充分离散化，我们特别报告在文献中获得的最新结果。最后，我们描述了几个开放的问题和议题。
2015-06-19 math.AP math.OC
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
Morse index versus radial symmetry for fractional Dirichlet problems
在这项工作中，我们提供了一个估计的Morse指数的径向对称的符号变化的有界弱解$u$的半线性分数Dirichlet问题$$ (-Δ)^su = f(u)\qquad \text{ in $\mathcal{B}$},\qquad \qquad u = 0\qquad \text{in $\quad\mathbb{R}^{N}\setminus \mathcal{B}$,} $$其中$s\in(0,1)$，$\mathcal{B}\subset \mathbb{R}^N$是单位球中心在零和非线性$f$是类$C^1$。证明了对于$s\in(1/2,1)$，上述问题的任意径向对称变号解的Morse指数大于或等于$N+1$ .如果是$s\in (0,1/2],$，则在对$f$的附加假设下，相同的结论也成立。特别是，我们的结果适用于Dirichlet特征值问题的运营商$(-Δ)^s$在$\mathcal{B}$的所有$s\in (0,1)$，它意味着对应于第二Dirichlet特征值在$\mathcal{B}$的特征函数是反对称的。这解决了Bañuelos和Kulczycki的一个猜想。
2021-03-24 math.AP
A modulation technique for the blow-up profile of the vector-valued semilinear wave equation
考虑一维空间中具有幂非线性项的半线性波动方程（这是一个偏微分方程组）的值在$\mathbb{R}^m$中的向量值爆破解。我们首先将相关平稳问题的所有解刻画为一个m参数族。然后，我们证明了自相似变量的解在非特征情况下，在能量范数下逼近某个特定的平稳解。我们的分析不仅仅是对已经处理过的真实或复杂案例的简单改编。特别地，有一个新的结构的一组平稳的解决方案。
2017-06-20 math.AP
A Morse-Smale index theorem for indefinite elliptic systems and bifurcation
将半黎曼Morse指标定理推广到星形区域上的椭圆型偏微分方程组.此外，我们将定理应用于半线性系统平凡解分支的分支，其中分支参数是通过将区域收缩到一个点来引入的。这推广了作者最近关于标量方程的结果。
2015-11-01 math.AP math.DG math.DS
Multiplicity of solutions for semilinear subelliptic Dirichlet problem
本文研究由满足 Hörmander 条件的向量场生成的半线性次椭圆狄利克雷问题，结合对称性扰动、特征值估计与 Morse 指数方法，证明多弱解的存在性，并揭示退化情形下两类方法的差异及其与经典椭圆情形的本质不同。
2023-11-29 math.AP
A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory
该研究提出结合半群理论与计算机辅助证明的构造性方法，通过切比雪夫级数展开与压缩不动点定理实现半线性抛物PDE解的严格验证，还应用于Swift-Hohenberg等方程证明全局存在性。
2025-01-20 cs.NA math.AP math.DS
Singular perturbations to semilinear stochastic heat equations
考虑了随机热方程或其半线性变分的一类奇异扰动。这些扰动的有趣特征是，当小参数ε趋于零时，它们的解收敛到“错误”的极限，即它们不收敛到通过简单地设置ε = 0获得的解。类似的效果也观察到一些（正式）小的随机扰动的确定性半线性抛物型偏微分方程。我们的证明是基于对方程的空间粗糙分量的详细分析，结合高斯浓度不等式的明智使用。
2010-09-18 math.AP math.PR
Deep neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear partial differential equations
我们证明了深度神经网络能够在梯度无关，Lipschitz连续非线性的情况下近似半线性Kolmogorov PDE的解，而网络中所需的参数数量在维度$d \in \mathbb{N}$和规定的倒数精度$\varepsilon$上最多以多项式方式增长。以前，这只在半线性热方程的情况下被证明。
2022-05-28 cs.NA math.AP math.NA
Generalized Solutions to Semilinear Elliptic PDE with Applications to the Lichnerowicz Equation
本文研究一类带分布系数的半线性椭圆型偏微分方程解的存在性。我们考虑的问题是一个推广的Lichnerowicz方程，在研究广义相对论中的约束方程。我们解决这个问题的方法包括解决一个网络的正则化，半线性问题的数据，通过平滑原始的分布系数。为了解决这些正则化的问题，我们开发了一个先验的逐点界和子和超级解决方案，然后应用一个不动点参数保序映射。然后，我们表明，通过这一过程获得的解决方案的网络满足一定的衰减估计确定估计的子和超级解决方案，并利用经典的，先验的椭圆估计。这个网络的解决方案的估计允许我们把这个集合的功能作为一个解决方案的Colombeau型代数。我们激励这个Colombeau代数框架，首先解决一个不适定的临界指数问题。为了解决这个不适定的问题，我们使用一组光滑的“近似”问题，然后使用所得的解序列和紧性参数来获得原始问题的解。这种方法是仿照更一般的Colombeau框架，我们开发，它传达了在这些抽象空间的解决方案，获得经典解不适定的非线性问题的不规则数据的潜力。
2013-03-18 gr-qc math-ph math.AP
Symmetry and Automated Branch Following for a Semilinear Elliptic PDE on a Fractal Region
Northern Arizona University（北亚利桑那大学）
应用梯度-牛顿-伽辽金算法（GNGA）结合对称性分析和分岔图，自动跟踪Koch雪花区域上半线性椭圆Dirichlet问题的解分支。
2010-10-06 cs.NA math.AP math.DS
Invariant Measures for Stochastic PDE's in Unbounded Domains
本文研究随机强迫的Ginzburg-Landau型半线性抛物型偏微分方程。所考虑的强迫在时间上是白噪声，在空间上是有色光滑噪声。证明了$L^\infty$中动力学的存在性以及不变测度的存在性。我们还证明了解在绕实轴的带状区域内是高概率解析的，并给出了该带状区域宽度的估计。
2000-03-28 math.AP nlin.CD
Secondary bifurcations in semilinear ordinary differential equations
本文考虑了方程$u_{xx}+λf(u)=0$在删余区间$(-1,1) \setminus \{0\}$上的Neumann问题，其中$λ>0$是分歧参数，$f(u)=u-u^3$ .在$x=0$中，我们对恒定的$a>0$施加条件$u(-0)+au_x(-0)=u(+0)-au_x(+0)$和$u_x(-0)=u_x(+0)$（符号$+0$和$-0$代表单侧极限）。该问题表现为一个半线性椭圆型方程在一个高维区域收缩到$(-1,1)$区间的极限方程。首先，我们证明了奇解和偶解分别形成分支族$\{ \mathcal{C}^o_k\}_{k \in \mathbb{N}}$和$\{ \mathcal{C}^e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$。$\mathcal{C}^o_k$和$\mathcal{C}^e_k$都从平凡解$u=0$分叉。然后，我们表明，$\mathcal{C}^e_k$不包含其他分歧点，而$\mathcal{C}^o_k$包含两个点，二次分叉发生。最后确定了分支上解的Morse指数。$f(u)$的一般条件相同的断言举行。
2022-03-07 math.AP math.CA
