闵可夫斯基平均曲率方程的正解和节点解：多重性和渐近性
Positive and nodal solutions for the Minkowski mean curvature equation: multiplicity and asymptotics
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中文总结 AI 辅助
研究闵可夫斯基空间中平均曲率算子狄利克雷问题，通过Szulkin方法等，探讨参数λ、μ对解多重性的影响，给出解的极限轮廓、不存在性准则，在球域中用打靶法证明存在任意多个节点径向解。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑闵可夫斯基空间中平均曲率算子的狄利克雷问题，\[ -\operatorname{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right) = \lambda u + \mu h(x,u) \quad \text{在 } \Omega 中, \qquad u = 0 \quad \text{在 } \partial\Omega 上, \]在有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中，其中 $\lambda, \mu$ 是实参数，非线性项 $h$ 在 $u = 0$ 处是超线性的。特别地，我们研究参数 $\lambda,\,\mu$ 对解的多重性的联合影响。在一般情况下，遵循Szulkin对非光滑泛函的方法，我们证明对于不属于狄利克雷拉普拉斯谱的 $\lambda$ 和足够大的 $\mu$，存在一个全局极小化解（作用水平为负）和一个极小极大解（作用水平为正）。此外，我们刻画了这些解当 $\mu \to +\infty$ 时的极限轮廓。更准确地说，当全局极小值为正时，其极限轮廓是 $\mathrm{dist}(\cdot,\partial\Omega)$，从而在极限情况下饱和几何约束 $|\nabla u|\le1$，而极小极大解随着 $\mu\to+\infty$ 均匀地坍缩到零。还给出了对于合适的 $\lambda$ 和 $\mu$ 值的不存在性准则。最后，当域 $\Omega$ 是一个球时，使用打靶法，我们证明对于每个 $\lambda \ge 0$ 和足够大的 $\mu$，存在任意多个节点径向解。
英文摘要
We consider the Dirichlet problem for the mean curvature operator in Minkowski space, \[ -\operatorname{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right) = λu + μh(x,u) \quad \text{in } Ω, \qquad u = 0 \quad \text{on } \partialΩ, \] in a bounded domain $Ω\subset \mathbb{R}^N$, where $λ, μ$ are real parameters, and the nonlinearity $h$ is superlinear at $u = 0$. In particular, we study the combined effect of the parameters $λ,\,μ$ on the multiplicity of solutions. In the general setting, following Szulkin's approach for nonsmooth functionals, we prove the existence, for $λ$ not belonging to the spectrum of the Dirichlet Laplacian and $μ$ sufficiently large, of a global minimizing solution (with negative action level) and of a min-max solution (with positive action level). Moreover, we characterize the limiting profiles of these solutions as $μ\to +\infty$. More precisely, when the global minimizer is positive, its limit profile is $\mathrm{dist}(\cdot,\partialΩ)$, thus saturating, in the limit, the geometric constraint $|\nabla u|\le1$, while min-max solutions collapse uniformly to zero as $μ\to+\infty$. A nonexistence criterion is also given for suitable values of $λ$ and $μ$. Finally, when the domain $Ω$ is a ball, using a shooting approach, we establish the existence of arbitrarily many nodal radial solutions for every $λ\ge 0$ and for $μ$ sufficiently large.
