Graphs of Small Rank-width are Pivot-minors of Graphs of Small Tree-width
证明了秩宽$k$的图是树宽至多为$2k$的图的子图。我们还证明了图的秩宽度最多为1，等价的距离遗传图，正是顶点未成年人的树，和图的线性秩宽度最多为1的道路，正是顶点未成年人。此外，我们还证明了秩宽不大于1的二部图是树的正子图，线性秩宽不大于1的二部图是路的正子图.
2012-12-27 cs.DM math.CO
Growth rate functions of dense classes of representable matroids
对于包含所有简单$\GF(q)$-可表示拟阵的$\GF(q^2)$ -可表示拟阵的每个真小闭子类$\cM$，我们对所有大的$r$给出了$\cM$中秩$r$拟阵点数的一个紧上界，并构造了$\cM$中秩$r$拟阵使其等式成立.因此，我们给出了一个紧上界的点的数目在$\GF(q^2)$ -可表示的，秩- $r$拟阵没有$\PG(k,q^2)$ -小。
2011-05-20 math.CO
An Asymptotically Tight $t\log t$ Bound for $k$-Connected Subgraphs in Dense $K_t$-Minor-Free Graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；Fuzhou University（福州大学）
研究在稠密无 \(K_t\) 子图的图中 \(k\) - 连通子图的界，通过改进方法，将结构界从 \(O(t\log^3 t)\) 提升到 \(O(t\log^2 t)\)，优化了相关图的阶，从 \(O(t\log^4 t)\) 变为 \(O(t\log^3 t)\)。
2026-08-07 math.CO
Lollipops, dense cycles and chords
本文推广了Gupta-Kahn-Robertson定理，证明高最小度图中存在可收缩边得到高最小度的循环子式，并进一步证明最小度$O(k^2)$保证循环$K_k$-子式。
2025-10-10 math.CO
Small Complete Minors Above the Extremal Edge Density
Mader在1972年的一个基本结果是：一个高平均度的图包含一个平均度大致相同的高连通子图。我们证明了一个引理，表明可以加强马德尔的结果，取代的概念，高连通的顶点膨胀的概念。图论中的另一个著名结果是：对于任意整数t，存在最小实c（t），使得任意n-顶点图中有c（t）n条边，都包含一个K_t-子式。Fiorini，Jaret，Theis和Wood证明了：如果n-顶点图G有（c（t）+ε）n条边，则G含有阶至多为C（ε）logn的Kt-子式.本文推广了Mader定理，证明了这样一个图G必须包含一个阶至多为C（ε）lognloglogn的K_t-子式.已知的高围长图的结构表明，这一结果是紧的loglog n因子。
2013-05-19 cs.DM math.CO
The extremal function for disconnected minors
对于图$H$，令$c(H)$表示在所有不包含$H$作为子图的非空图$G$上取的$|E(G)|/|V(G)|$的上确界。我们证明了当$H$是圈的并集时，$$c(H) \leq \frac{|V(H)|+\mathrm{comp}(H)}{2}-1,$$，验证了Reed和Wood以及Harvey和Wood的结构。我们从一个定理导出了上述结果，该定理允许我们在一个足够稠密的图中找到两个具有指定密度的顶点不相交子图，这可能是独立的兴趣。
2015-09-03 math.CO
Optimizing the Graph Minors Weak Structure Theorem
[N.罗伯逊和P. D。西摩图未成年人。十三.不相交路径问题。J. Combin。Theory Ser. B，63（1）：65- 110，1995]，也被称为弱结构定理，揭示了排除某些图作为子图的图的局部结构：每个这样的图$G$要么具有小的树宽，要么包含可以在$G$内部“二维”排列的壁的细分，给定一些小的顶点集被移除。我们证明了该定理的一个优化版本，其中（i）图的树宽和墙的高度之间的关系是线性的（因此是最好的可能）和（ii）要删除的顶点数最小化。
2011-02-28 cs.DM math.CO
Directed Nowhere Dense Classes of Graphs
我们引入了浅有向未成年人的概念，并在此基础上提出了一个新的分类类的有向图，这是直径现有的有向图的分解和宽度措施在文献中提出的。然后，我们深入研究一类有向图，我们称之为无处冠。类是非常普遍的，因为它们包括，一方面，所有类的有向图的基础无向类无处稠密，如平面，有界的，和$H$ -minor-free图;另一方面，也包含类的高边缘密度的基础类不是无处稠密。然而，我们能够表明，问题，如定向支配集和许多其他成为固定参数的无处冠类的有向图的听话。这是特别感兴趣的，因为这些问题是不听话的任何现有的有向图措施稀疏类。通过证明无处冠类与一致准宽定向图类的结构等价性，建立了算法结果。这个相当令人惊讶的结果是受到奈西曲和奥萨纳·德·门德斯（2008）的启发，但还需要一个不同的、更微妙的证明，这是我们贡献的重要部分。
2011-04-19 cs.DM cs.DS math.CO
Logarithmically-small Minors and Topological Minors
Mader证明了对于每一个整数$t$，都存在一个最小的实数$c(t)$，使得任何平均度至少为$c(t)$的图都必须包含一个$K_t$ -子图. Fiorini，Jaret，Theis和Wood证明了任何具有$n$顶点且平均度至少为$c(t)+ε$的图都必须包含一个至多由$C(ε,t)\log n$顶点组成的$K_t$ -子式. Shapira和Sudakov随后证明了这样一个图包含一个至多由$C(ε,t)\log n \log\log n$顶点组成的$K_t$ -子图。在这里，我们建立在他们的方法使用图扩展，以消除$\log\log n$因素，并证明猜想。Mader还证明了对于每一个整数$t$都有一个最小的实数$s(t)$，使得任何平均度大于$s(t)$的图都必须包含一个$K_t$ -拓扑子图。我们证明了，对于足够大的$t$，图的平均度至少$(1+ε)s(t)$包含一个$K_t$ -拓扑子最多由$C(ε,t)\log n$顶点。最后，我们证明了，对于足够大的$t$，图的平均度至少$(1+ε)c(t)$包含一个$K_t$ -小组成的最多$C(ε,t)$顶点或$K_t$ -拓扑小组成的最多$C(ε,t)\log n$顶点。
2014-09-24 math.CO
On the critical densities of minor-closed classes
给定一个图的次闭类$\mathcal{A}$，用$β_{\mathcal{A}}$表示$\mathcal{A}$中所有图的边顶点比的上确界.我们调查了所有这些值$β_{\mathcal{A}}$的集合$B$，进一步采取了Eppstein开始的项目。在其他结果中，我们确定小值$B$（那些高达2），我们表明，$B$是“渐近密集”，我们回答了一些问题所提出的Eppstein。
2018-08-02 math.CO
A lower bound on the average degree forcing a minor
我们证明了，对于足够大的$d$和$t\geq d+1$，有一个图$G$与平均度$(1-\varepsilon)λt \sqrt{\ln d}$，使得几乎每个图$H$与$t$顶点和平均度$d$是不是一个小的$G$，其中$λ=0.63817\dots$是一个明确定义的常数。这推广了Myers和Myers（2005）关于完全图和一般稠密图的类似结果。它还表明，Reed和Wood（2016）的稀疏图的上界最好是常数因子。
2020-03-23 math.CO
Unavoidable pivot-minors in graphs of large rank-depth
本文证明了秩深度足够大的图必包含特定的枢轴子式（长为 t 的路或由半图连接的两个 t 团），从而解决了 Kwon 等人 2021 年提出的公开问题。
2025-07-17 math.CO
Grid Induced Minor Theorem for Graphs of Small Degree
一个图$H$是图$G$的导出子图，如果$H$可以由图$G$通过顶点删除和边收缩得到.我们证明了存在一个函数$f(k, d) = O(k^{10} + 2^{d^5})$，使得如果一个图的树宽至少为$f(k, d)$，最大度至多为$d$，则它包含一个$k \times k$ -网格作为诱导子图.这证明了Aboulker，Adler，Kim，Sintiari和Trotignon的猜想[Eur。J. Comb.，98，2021]证明了任意树宽大且最大度有界的图都含有一个大墙或大墙的线图作为诱导子图.这也意味着，对于任何固定的可平面图$H$，存在一个次指数时间算法的最大重量独立集的$H$ -诱导子-自由图。
2023-01-12 cs.DM cs.DS math.CO
Sparsity and dimension
证明了覆盖图属于具有有界扩张的固定类的有界高度偏序集具有有界维数。有界扩张（英语：Bounded expansion）是由Nešetzil和Ossona de Mendez提出的一个稀疏性模型，是一个广泛的图类自然满足的性质，从图结构理论（不包括子图或拓扑子图）到图绘制（例如有界书厚的图）。因此，我们的定理推广了一些结果，包括最近的一个覆盖图不包括一个固定的图作为拓扑子的有界高度的偏序集。我们还表明，结果是在某种意义上最好的可能，因为它不延伸到无处密集类，事实上，它已经失败的覆盖图与局部有界树宽。
2017-01-09 cs.DM math.CO
Deciding first-order properties of nowhere dense graphs
Nesetril和Ossona de Mendez引入的无处稠密的图类，形成了大量的“稀疏图”类，包括平面图类，实际上是所有排除未成年人的类，以及有界度图和有界扩展的图类。我们表明，决定性质的图形定义在一阶逻辑是固定参数听话无处密集的图形类。至少对于在取子图下闭的图类，这个结果是最优的：之前已知对于在取子图下闭的所有图类C，如果确定C中图的一阶性质是固定参数易处理的，那么C一定是无处稠密的（在合理的复杂性理论假设下）。作为副产品，我们给出了无处稠密图的稀疏邻域覆盖的算法构造。这扩展和改进了以前的结构的邻域覆盖图类排除未成年人。同时，我们的结构比那些简单得多。我们的证明是基于一个新的博弈论的无处密集的图形，允许这些类的递归版本的基于局部性的算法的特性。在逻辑方面，我们证明了一个“保秩”版本的Gaifman的局部性定理。
2014-01-27 cs.LO math.CO
Classes of binary matroids with small lists of excluded induced minors
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究在前期拟阵诱导子式相关刻画工作的基础上，确定了不含指定二元拟阵对作为诱导子式的拟阵类，并证明了用于刻画不含$M(K_4)$诱导子式拟阵类的结构引理。
2024-12-07 math.CO
Directed treewidth is closed under taking butterfly minors
本文研究有向树宽在蝴蝶子式下的封闭性，考察多种等价定义，发现并非所有定义都存在Adler指出的不封闭问题。
2025-03-31 cs.DM math.CO
Isomorphism Testing for Graphs Excluding Small Minors
本文针对排除 h 顶点子式的 n 顶点图，提出了运行时间为 n^{polylog(h)} 的图同构测试算法，改进了此前的 n^{poly(h)} 与 n^{polylog(n)} 界，核心贡献在于结合群论图同构机制新进展与新的图论论证。
2022-10-24 cs.DM cs.DS math.CO
Coloring Small $K_t$-Minor-Free Graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文利用星收缩技术改进了小规模 $K_t$-无 minors 图的着色界，并扩展到所有此类图，将 $O(t\log\log t)$ 改进为 $O(t\sqrt{\log\log t})$。
2026-09-09 math.CO
Minors, connectivity, and diameter in randomly perturbed sparse graphs
研究了稀疏图受二项式随机图随机扰动时的极值性质。已知每个$n$ -顶点图$G$包含一个$Ω(n/α(G))$阶的完全子图.我们证明了添加$ξn$随机边，其中$ξ> 0$是任意小的，但固定的，$n$ -顶点图$G$满足$α(G) \leq ζ(ξ)n$渐近几乎肯定的结果在一个图包含一个完整的未成年人的顺序$\tilde Ω\left( n/\sqrt{α(G)}\right)$，这个结果是紧到隐对数项。对于完全拓扑子式，我们证明了存在一个常数$C>0$，使得在满足$δ(G) = ω(1)$的图$G$中添加$C n$随机边，渐近几乎必然导致一个图包含一个$\tilde Ω(\min\{δ(G),\sqrt{n}\})$阶的完全拓扑子式，这个结果在隐对数项下是紧的.最后，推广了Bohman，Frieze，Krivelevich和Martin的结果，分析了随机扰动稀疏图的点连通度和直径的渐近性质.
2022-12-14 math.CO
Minors in small-set expanders
本文研究小集扩展图中的大子式，证明了小集扩展图包含阶为√(nt/log n)的完全子式以及所有具有O(n log t/log n)条边和顶点的图作为子式，并给出上界证明该结果在t=d^c情形下是最优的。
2025-08-21 math.CO
Reducing Linear Hadwiger's Conjecture to Coloring Small Graphs
本文建立不含 K_t 子式图的色数界 O(t log log t)，并通过小图密度归约证明线性 Hadwiger 猜想只需验证小规模图，还推出固定 K_r-free 情形成立。
2024-03-05 cs.DM math.CO
Shallow vertex minors, stability, and dependence
École Normale Supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）；KAIST, Daejeon（韩国科学技术院）；CNRS, Paris（法国国家科学研究中心）；Centre d’Analyse et de Mathématiques Sociales (CNRS, UMR 8557), Paris（社会分析与数学中心）；Computer Science Institute of Charles University, Praha（布拉格查理大学计算机研究所）
本文研究了浅层顶点矿石在hereditary图类中的稳定性与依赖性，提出稳定和依赖的刻画，并证明了浅层顶点矿石在保持稳定性与依赖性方面的性质。
2024-05-01 math.CO
Projective geometries in exponentially dense matroids. II
对每个正整数$a$，证明了：如果$\mathcal{M}$是一个不包含所有秩- $(a+1)$一致拟阵的次闭拟阵类，则存在一个整数$c$，使得$\mathcal{M}$中的每个秩- $r$拟阵至多能被$r^c$秩- $a$集合覆盖，或$\mathcal{M}$包含GF $(q)$ -对于某个素数幂$q$和每个秩的可表示拟阵-$\mathcal{M}$中的$r$拟阵最多可以被$cq^r$秩- $a$集合覆盖.在后一种情况下，这决定了$\mathcal{M}$中拟阵的最大密度，直到一个常数因子。
2013-06-02 math.CO
Infinitely many minimal classes of graphs of unbounded clique-width
著名的Robertson和Seymour定理指出，在小闭图类族中，存在唯一的树宽无界的极小图类，即可平面图类。在树宽的情况下，限制到子闭类是合理的，因为一个图的树宽绝不会小于它的任何子闭类的树宽。然而，这不是相对于图的宽度的情况，因为图的宽度可以比它的子图的宽度小小于。另一方面，图的cn-width永远不会小于它的任何诱导子图的cn-width，这使得我们在研究cn-width时，只能局限于遗传类（即在取诱导子图下封闭的类）。到目前为止，文献中只发现了200多个具有无界宽度的图的极小遗传类。在本文中，我们证明了这样的类的家庭是无限的。此外，我们表明，同样是真实的关于线性的candle-width。
2017-01-30 cs.DM math.CO
Projective geometries in exponentially dense matroids. I
对每个正整数$a$，我们证明了：如果$\cM$是一个不包含所有秩- $(a+1)$一致拟阵的次闭拟阵类，则存在一个整数$n$，使得$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^n$集覆盖，或者$\cM$包含某个素数幂$q$的$\GF(q)$ -可表示拟阵，并且$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^nq^r$集合覆盖.这决定了$\cM$中拟阵的最大密度，直到多项式因子。
2012-09-07 math.CO
Strong odd coloring in minor-closed classes
本文研究小闭图类中的强奇着色问题，证明其强奇色数存在常数上界，并对外平面图几乎确定了最小常数。
2025-05-05 math.CO
Small counterexamples to the fat minor conjecture
Leipzig University（莱比锡大学）；Monash University（莫纳什大学）；University of Warwick（华威大学）
通过构造更简单的反例，研究者缩小了肥细枝猜想图族与不满足该猜想图族之间的差距，并揭示了图的粗自相似性性质。
2026-01-09 math.CO math.MG
Improved bounds on the cop number when forbidding a minor
本文改进了禁止子式图中警察数的上界，尤其针对小或稀疏的$H$，并推论出对$K_{3,t}$、$K_{2,t}$子式-free图及无链环可嵌入图的上界改进。
2025-10-28 cs.DM math.CO
The extremal function for structured sparse minors
令$c(H)$为最小值，对于该最小值，$e(G)/|G|\geq c(H)$暗示$H$是$G$的子式。我们展示了一个新的上界$c(H)$，这提高了以前的边界的图形与顶点分区，其中一些对的部分有更多的边缘比其他的-例如一个完全二部图与少量的边缘放置在一个类。我们还显示了几乎所有这样的图的紧匹配下界。我们应用这些结果来显示$c(K_{ft/\log t,t}) = (0.638\dotsc+o_{f}(1))t\sqrt{f}$，对于$f = o(\log t) = ω(1)$。
2021-10-15 math.CO
Extremal functions for sparse minors
图$H$的“极值函数”$c(H)$是不包含$H$作为子图的图的密度的上确界，其中图$G$的“密度”是边数与顶点数的比率。Myers and Mesason（2005），Norin，Reed，Mesason and Wood（2020），Mesason and Wales（2019）确定了所有多项式稠密图$H$以及几乎所有常密度图$H$的$c(H)$的渐近行为。我们探讨的极值函数的渐近行为的制度，不包括上述结果，除了具有恒定的密度图$H$是在一个图形类承认强次线性分离器。我们在许多情况下建立渐近紧界。例如，我们证明了对于每个可平面图$H$，$$c(H) = (1+o(1))\cdot\max\left\{\frac{|V(H)|}{2},|V(H)| - α(H)\right\},$$扩展了Haslegrave，Kim和Liu（2020）的最近结果。我们还证明了Haslegrave，Kim和Liu（2020）提出的次闭族中图的极值函数的渐近紧界等价于Hadwiger猜想的一个经过充分研究的开放弱化。
2022-07-22 math.CO
Smaller extended formulations for spanning tree polytopes in minor-closed classes and beyond
设$G$是真小闭类$\mathcal G$中的连通$n$ -顶点图.证明了$G$的生成树多面体的扩张复杂性为$O(n^{3/2})$。这改进了Wong（1980）和Martin（1991）的工作所得出的$O(n^2)$界。它还扩展了Fiorini，Huynh，Jaret和Pashkovich（2017）的结果，他们获得了嵌入固定曲面的图的$O(n^{3/2})$界。我们的证明更普遍地适用于所有允许强次线性平衡分隔符的图类：本文证明了：对每个常数$β$和$0<β<1$，如果$\mathcal G$是一个在导出子图下闭的图类，使得$\mathcal G$中的所有$n$ -顶点图都有大小为$O(n^β)$的平衡分隔符，则$\mathcal{G}$中每个连通的$n$ -顶点图的生成树多面体的扩张复杂度为$O(n^{1+β})$ .我们实际上给出了这个结果的两个证明，一个是直接构造扩展公式，另一个是通过通信协议。使用后一种方法，我们也给出了一个简短的证明$O(n)$界平面图由于威廉姆斯（2002）。
2021-12-02 cs.DM math.CO math.OC
Towards a splitter theorem for internally 4-connected binary matroids VIII: small matroids
我们的内部4连通二元拟阵的分裂定理研究形式为（M，N）的对，其中N和M是内部4连通二元拟阵，M有一个真的N-子式，如果M'是一个内部4连通拟阵，使得M有一个真的M'-子式，M'有一个N-子式，则|E（M）|-|E（M '）|>3.分裂定理中的分析需要这样的约束，|E（M）|15岁以上。在这篇文章中，我们补充说，分析使用详尽的计算机搜索，以找到所有这样的对满足|E（M）|<16.
2016-07-12 math.CO
The Colin de Verdière parameter, excluded minors, and the spectral radius
在本文中，我们刻画了在所有Colin de Verdière参数至多为$m$的图上使邻接矩阵的谱半径最大化的图.我们还刻画了最大谱半径的图形，没有$H$作为一个次要的$H$是$K_r$或$K_{s,t}$。有趣的是，当$r$和$s$很小时，极值图匹配那些在没有$H$作为子图的所有图上最大化边数的图，但当它们较大时则不匹配。
2018-12-17 math.CO
On Detecting $H$-Induced Minors for Small $H$
Durham University（杜伦大学）；ENS de Lyon, CNRS（里昂高等师范学院，法国国家科学研究中心）
研究解决小H的诱导 minor 检测问题，通过设计算法和证明NP难性，完成五顶点H的分类并回答开放问题。
2026-04-27 cs.CC cs.DS math.CO
The Erdös-Pósa property for clique minors in highly connected graphs
本文证明了函数f：N^2 -> N的存在性，使得对于N中的所有p，k，每个（k（p-3）+14 p +14）-连通图要么有k个不相交的Kp子图，要么包含一个至多f（p，k）个顶点的集合，其删除杀死所有Kp子图.对于固定的p > 4，k（p-3）的连通性界是最小的，直到一个加法常数：如果我们假设k的连通性更小，那么就没有这样的函数f。
2010-03-20 math.CO
On Binary Matroid Minors and Applications to Data Storage over Small Fields
分布式存储系统的局部可修码近年来引起了人们的广泛兴趣，在文献中可以找到各种各样的构造方法。然而，大多数构造要么导致大的字段大小，因此对于实际实现来说计算复杂性太高，要么导致低速率转化为可用存储空间的浪费。在本文中，我们解决这个问题的发展理论对代码的存在和设计在一个给定的领域。这是通过利用最近建立的线性局部可修复码和拟阵之间的联系，并使用拟阵理论的线性小字段的characterisations。特别是，不存在性可以通过在循环平坦格中找到某些禁止的一致子式来证明。结果表明，二元拟阵的循环平坦格具有额外的结构，显着限制可能的局部性的$\mathbb{F}_{2}$ -线性存储码。此外，收集的标准，检测一致子从一个给定的拟阵的循环平坦的格，这是有趣的，在其本身的权利。
2018-02-19 cs.IT math.CO math.IT
On triangles in K_r-minor free graphs
本文研究了与小度顶点（分别为7和9）相邻的每条边属于多个三角形（分别为4和5）的图，并证明了这些图包含一个完全图（分别为K_6和K_7）作为子图。第二个案例解决了Nevo问题（Nevo，2007）。如果图的每条边都属于6个三角形，则该图含有一个K_8-子图或含有K_{2,2,2,2,2}作为诱导子图.然后，我们展示了这些结构性质的应用程序，以应力自由度和着色的图形。特别地，在Hadwiger猜想的启发下，我们证明了每个K_7-子自由图是8-可着色的，每个K_8-子自由图是10-可着色的。
2013-04-19 math.CO
Complete minors in digraphs with given dichromatic number
有向图$D$的二色数$\vecχ(D)$是允许$k$ -染色的最小$k$，其中每个色类诱导一个无圈子图。受Hadwiger关于无向图的猜想的启发，最近有几组作者研究了给定二色数的有向图中有向图子图的包含问题.在这个简短的说明中，我们改进了现有的几个边界，并证明几乎线性边界减少的问题，最近的结果波斯特尔Hadwiger猜想。
2021-01-12 math.CO
Testability and local certification of monotone properties in minor-closed classes
图属性测试领域中的主要问题是理解哪些图属性是\emph{testable}，这意味着通过对任何输入图$G$的不断的许多查询，测试者可以以良好的概率决定$G$是否满足该属性，或者远不满足该属性。可测性在稠密模型和有界度模型中得到了很好的理解，但在稀疏图类中，当图被允许具有无界度时，可测性却知之甚少。这是\emph{sparse model}的设置。我们证明了对于任何真的小闭类$\mathcal{G}$，任何单调性质（即，在取子图下封闭的任何性质）对于来自稀疏模型中的$\mathcal{G}$的图是可测试的。这推广了Czumaj和Sohler（FOCS'19）的一个结果，他们证明了它的单调性与许多禁止子图。我们的结果意味着，例如，对于任何整数$k$和$t$，$k$ -着色的$K_t$ -小自由图是可测试的稀疏模型。Elek最近证明，来自不交并下闭合的次闭类的有界度图的单调性可以通过常数时间内的近似证明标记方案来验证。我们再次证明了在他的结果中有界度的假设可以省略。
2022-05-03 cs.DS math.CO
The total coloring of $K_5$-minor-free graphs
图$G$的全$k$着色是使用$k$颜色对$V(G)\cup E(G)$着色，使得没有两个相邻或关联元素接收相同的颜色。$G$的全色数$χ"(G)$是使得$G$具有全$k$ -染色的最小整数$k$。本文证明了对任何$K_5$ -minor free图$G$，$χ''(G)\leq Δ(G)+2$，如果$Δ(G)\geq 7$ .此外，$χ"(G)=Δ(G)+1$如果$Δ(G)\geq 10$。
2021-12-26 math.CO
Graphs that are minor minimal with respect to dimension
Erdégs，Harary和Tutte定义了图$G$的维数为最小自然数$n$，使得$G$可以嵌入到$\mathbb{R}^n$中，每条边都是长度为1的直线段。自从这个定义提出以来，很少有人发表关于如何计算图的确切维数的文章，几乎没有人发表关于维数较小的图的文章。本文对这两个领域进行了研究。特别地，它（1）建立了某些条件，在这些条件下，计算图和的维数是容易的;（2）构造了三个无穷大的图类，它们的维数是次极小的。
2021-06-10 math.CO
Forbidden minor characterizations for low-rank optimal solutions to semidefinite programs over the elliptope
本文研究了一个新的几何图形参数$\egd(G)$，定义为最小整数$r\ge 1$，对于这个最小整数，任何可完备为相关矩阵的部分对称矩阵，且其元素指定在$G$的边的位置上，最多可完备为$\rank $的相关矩阵的凸包中的一个矩阵.这个图形参数的动机是它的相关性的问题，找到低秩的解决方案，半定程序的椭圆形，也由其相关性的有界秩Grothendieck常数。事实上，$\egd(G)\le r$当且仅当$G$的秩- $r$ Grothendieck常数等于1.我们证明了参数$\egd(G)$是小单调的，我们确定了$\egd(G)\le r$的几类禁止的未成年人，我们给出了充分的情况下$r=2$的特征。我们还显示了一个上限$\egd(G)$方面的一个新的树宽度一样的参数$\sla(G)$，定义为最小的$r$的$G$是一个未成年人的强产品的树和$K_r$。我们证明了，对任意2-连通图$G\ne K_{3,3}$，至少有6个结点，有$\egd(G)\le 2$当且仅当$\sla(G)\le 2$ .
2014-01-09 cs.DM math.CO math.OC
Contractible edges in 3-connected graphs that preserve a minor
设$G$是一个具有$3$ -连通（或足够小）简单子图$H$的$3$ -连通图.我们建立了$G$有一个森林$F$，它至少有$\left\lceil(|G|-|H|+1)/2\right\rceil$边，使得$G/e$是$3$ -连接的，每个$e\in E(F)$都有一个$H$ -minor。此外，我们可以挑选具有$|G|-|H|$边的$F$，只要$G$是无三角形的。这些结果是尖锐的。我们的结果推广了Ando et.例如，其建立了$3$ -连通图$G$具有至少$\left\lceil|G|/2\right\rceil$可收缩边。作为另一个结果，每个无三角形的$3$连通图具有可收缩边的生成树。我们的结果遵循一个更一般的定理图未成年人，分裂定理，这也是建立在这里。
2015-10-03 math.CO
Bipartite graphs with no $K_6$ minor
Mader的一个定理表明，每一个平均度至少为8的图都有一个$K_6$子图，如果我们用任何更小的常数替换8，这是错误的。用最小度代替平均度似乎没有什么区别：我们不知道是否所有最小度至少为7的图都有$K_6$子图，但最小度6肯定是不够的。对于每一个$c>0$，都有任意大的图，其平均度至少为$8-c$，最小度至少为6，没有$K_6$子图。但是如果我们只研究二部图呢？第一个陈述仍然成立：对于每个$c>0$，存在任意大的平均度至少为$8-c$且没有$K_6$子图的二部图。但令人惊讶的是，现在去最低程度，使一个显着的差异。我们将证明每个最小度至少为6的二部图都有一个$K_6$子图。事实上，在二分块的较大部分中的每个顶点的度至少为6就足够了。
2022-04-21 math.CO
Maximum spread of $K_r$-minor free graphs
本文研究排除团 minors 的图的 spread 问题，证明对足够大的 $n$，最大 spread 的 $n$ 顶点 $K_r$-minor free 图是团与独立集的 join，团和独立集分别有 $r-2$ 和 $n-r+2$ 个顶点。
2024-11-06 math.CO
Excluded minors for the Klein Bottle I. Low connectivity case
图是关键的（最小排除未成年人）在表面的嵌入性进行了研究。在第一部分中，我们考虑的结构图与2-顶点割是关键方面的欧拉亏格。给出了描述积木块的一般定理。这些成分，称为料斗和级联，分类的情况下，欧拉属小。因此，得到了将图嵌入到克莱因瓶中的连通性2的障碍的完整列表。这是第一个完整的结果关于障碍的可嵌入性的图在克莱因瓶，结果是有点令人惊讶的意义上说，有相当少的排除未成年人比预期的。
2020-02-01 math.CO
Superregular matrices over small finite fields
矩阵的平凡零子式是在莱布尼茨公式中所有项都等于零的子式。一个矩阵是超正则的，如果它的所有非平凡为零的子矩阵都非零。在编码理论中，有限域上的超正则矩阵与具有最佳距离性质的码有关。当一个超正则矩阵的所有元素都不为零时，它被称为全超正则矩阵，这些矩阵被用来构造最大距离可分分组码。在卷积码的上下文中，使用下三角Toeplitz超正则矩阵来构建具有最佳列距离的卷积码。虽然小域上的全超正则矩阵是已知的（例如柯西矩阵），但这些具有下三角Toeplitz结构的矩阵的几个已知的一般构造需要非常大的域尺寸。本文研究了小有限素域上的下三角Toeplitz超正则矩阵。继Hutchinson，Smarandache和Trumpf的工作之后，我们研究了这样一个矩阵所具有的不同非平凡子式的最小数目，并展示了这类超正则矩阵的具体构造.
2020-08-01 cs.IT math.CO math.IT
Densities of Minor-Closed Graph Families
定义了小闭单图族F的极限密度为使得F中的每个n-顶点图至多有kn（1+o（1））条边的最小数k，并研究了极限密度的个数.这组数是可数的、良序的和闭的;它的序型至少是ω^ω。它是密度最小图的密度集的闭包，对于这些图，没有子图具有更大的边与顶点之比。通过分析低密度的密度极小图，我们找到了极限密度集的前两个聚点1和3/2的所有极限密度。对于多重图，唯一可能的极限密度是整数和超特殊比i/（i+1）。
2010-09-28 math.CO
Improved bound for improper colorings of graphs with no odd clique minor
Gerards和Seymour在1995年进一步加强了Hadwiger猜想，证明了任何不含奇数$K_t$ -子式的图都是正常$(t-1)$ -可着色的，这就是所谓的奇数Hadwiger猜想。我们证明了上述猜想的一个放松，即我们证明了每个没有奇数$K_t$ -子图都有一个点$(2t-2)$ -染色，使得所有单色分量的大小至多为$\lceil \frac{1}{2}(t-2) \rceil$ .颜色数量的界限是最佳的，直到$2$的因子，改进了Kawarabayashi（2008），Kang和Oum（2019），Liu和Wood（2021）对同一问题的先前界限，并加强了van den Heuvel和Wood（2018）的结果，他们表明上述结论在更严格的假设下成立，即图是$K_t$ -minor free。此外，在我们的结果中的组件大小的界限是远远小于以前的结果，其中的依赖于$t$是非显式的。我们的简短证明结合了van den Heuvel和Wood对$K_t$ -minor自由图的证明方法和一些额外的思想，使得扩展到奇$K_t$ -minor自由图成为可能。
2022-03-05 math.CO
Graph minors and metric spaces
本文研究图子式与粗几何的交叉问题，证明若干小图 H 情形下无粗 H 子式的测地空间拟等距于无 H 子式图，并给出或猜想多个经典图论定理的度量版本。
2025-03-15 math.CO math.GT math.MG
A characterization of $K_{2,4}$-minor-free graphs
给出了$K_{2,4}$ -minor-free图的一个完整的结构刻画。$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图由9个最多8个顶点上的小图组成，以及一族包含$K_4$的平面图，对于每个$n \ge 5$，还包含$n$阶的$2n-8$非同构图.为了描述$2$ -连通$K_{2,4}$ -无minor图，我们使用$xy$ -外平面图，即具有Hamilton $xy$ -路的可嵌入平面的图，使得所有其它边都位于这条路的一侧。$xy$ -外平面图是没有根$K_{2,2}$的图。其中，$x$和$y$对应于$K_{2,2}$的二分区的一侧上的两个顶点。每个$2$ -连通$K_{2,4}$ -无子图则是（i）外平面图，（ii）三个$xy$ -外平面图和可能的边$xy$的并集，或（iii）通过用$x_i y_i$ -外平面图替换满足一定条件的集合$\{x_1 y_1, x_2 y_2, \ldots, x_k y_k\}$中的每个边$x_iy_i$从$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图获得.
2016-02-19 math.CO
On 1-uniqueness and dense critical graphs for tree-depth
$G$的树深度是$k$的最小值，对于该最小值，存在用来自$\{1,\dots,k\}$的元素对$G$的顶点的标记，使得连接具有相同标记的两个顶点的任何路径包含具有更高标记的顶点。图$G$是$k$ -临界的，如果它有树深度$k$，并且$G$的每个真子式都有更小的树深度。受$k$ -临界图的最大度猜想的启发，我们考虑了1-唯一性的性质，其中临界图的任何顶点都可以是最优标号中唯一接收标号1的顶点.与先前的猜想相反，我们构造的例子临界图是不是1-唯一的，并表明1-唯一的图可以有任意多的边缘比某些关键的生成子图。我们还证明了$(n-1)$ -临界图是1-唯一的，并利用1-唯一性证明了Andrásfai图是临界的。
2017-04-24 math.CO
Induced-Minor-Free Graphs: Separator Theorem, Subexponential Algorithms, and Improved Hardness of Recognition
本文证明无诱导子式图具有大小为 $O_H(\sqrt{m})$ 的平衡顶点分离器，并据此为最大独立集等问题给出次指数时间算法，同时证明存在固定树 $T$ 使诱导子式检测在 ETH 下无 $2^{o(n/\log^3 n)}$ 算法，从而解决一个开放问题。
2023-08-09 cs.DS math.CO
