One of the major results of [N. Robertson and P. D. Seymour. Graph minors. XIII. The disjoint paths problem. J. Combin. Theory Ser. B, 63(1):65--110, 1995], also known as the weak structure theorem, revealed the local structure of graphs excluding some graph as a minor: each such graph $G$ either has small treewidth or contains the subdivision of a wall that can be arranged "bidimensionally" inside $G$, given that some small set of vertices are removed. We prove an optimized version of that theorem where (i) the relation between the treewidth of the graph and the height of the wall is linear (thus best possible) and (ii) the number of vertices to be removed is minimized.
University of Ottawa（渥太华大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；École Normale Supérieure, CNRS, PSL University（巴黎高等师范学院、法国国家科学研究中心、巴黎文理研究大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；Monash University（蒙纳士大学）
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学校、克洛德·贝尔纳里昂大学）；Département d’Informatique, Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学信息学系）
Max Independent Set Remains NP-hard when Excluding a Planar Induced Minor (and More)
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、里昂第一大学、LIP联合研究实验室）；Department of Mathematics, Hanyang University（汉阳大学数学系）
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
图$H$的“极值函数”$c(H)$是不包含$H$作为子图的图的密度的上确界，其中图$G$的“密度”是边数与顶点数的比率。Myers and Mesason（2005），Norin，Reed，Mesason and Wood（2020），Mesason and Wales（2019）确定了所有多项式稠密图$H$以及几乎所有常密度图$H$的$c(H)$的渐近行为。我们探讨的极值函数的渐近行为的制度，不包括上述结果，除了具有恒定的密度图$H$是在一个图形类承认强次线性分离器。我们在许多情况下建立渐近紧界。例如，我们证明了对于每个可平面图$H$，$$c(H) = (1+o(1))\cdot\max\left\{\frac{|V(H)|}{2},|V(H)| - α(H)\right\},$$扩展了Haslegrave，Kim和Liu（2020）的最近结果。我们还证明了Haslegrave，Kim和Liu（2020）提出的次闭族中图的极值函数的渐近紧界等价于Hadwiger猜想的一个经过充分研究的开放弱化。
Characterizations of monadically dependent tree-ordered weakly sparse structures
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息与随机研究所）；Centre d'Analyse et de Mathématique Sociales CNRS UMR 8557（社会分析与数学中心）；Southeast University（东南大学）；Computer Science Institute of Charles University (IUUK)（查理大学计算机科学研究所）；University of Bremen（不来梅大学）
