Random graphs embeddable in order-dependent surfaces
给定一个“亏格”函数$g=g(n)$，我们设$\mathcal{E}^g$是所有图$G$的类，使得如果$G$有阶$n$（即有$n$顶点），则它最多可嵌入欧拉亏格的曲面中$g(n)$。设随机图$R_n$是从$\mathcal{E}^g$中的图在顶点集$[n]=\{1,\ldots,n\}$上均匀抽样得到的.观察到如果$g(n)$为0，则$R_n$是随机平面图，如果$g(n)$足够大，则$R_n$是二项式随机图$G(n,\tfrac12)$。我们研究了$R_n$的典型性质。我们发现，对于\emph{every}亏格函数$g$，$R_n$的最多一个分量是非平面的概率很高。相比之下，我们发现了一个过渡，例如连接：如果$g$是非递减的，$g(n) = O(n/\log n)$，那么$\liminf_{n \to \infty} \mathbb{P}(R_n \mbox{ is connected}) < 1$，如果$g(n) \gg n$，那么$R_n$有很高的概率连接。当我们分别考虑可定向曲面和不可定向曲面时，这些结果也成立.我们还调查随机图采样均匀的“遗传部分”或“小封闭”的$\mathcal{E}^g$的一部分，并简要地考虑相应的结果为无标号的图。
2021-08-17 math.CO
Excluding Pinched Spheres
该研究对不含捏缩球面$\b S^\tpl{\bigsqcup}_0$-可嵌入图作为子式的图给出结构刻画，证明其存在树分解且躯干可通过等同低二维性顶点集约化为射影平面图，结果最优并讨论了相关推论与变体。
2025-06-17 math.CO
Mirror graphs: graph theoretical characterization of reflection arrangements and finite Coxeter groups
镜像图是由Brešar等人在2004年引入的一类有趣的图：顶点传递，等距嵌入超立方体，与正则映射和多面体结构有很强的联系。在这篇文章中，我们解决镜像图的结构，通过将它们精确地表征为有限Coxeter群的Cayley图或等价地反射排列的拓扑图-很好地理解和分类的结构。我们提供了一个多项式算法，他们的识别。
2016-09-02 cs.DM math.CO
Cubic graphs and related triangulations on orientable surfaces
设$\mathbb{S}_g$是亏格$g$的可定向曲面。证明了$2n$上可嵌入的点标三次重图的个数渐近地为$c_g n^{5(g-1)/2-1}γ^{2n}(2n)!$，其中$γ$是代数常数，$c_g$是仅依赖于亏格$g$的常数.对于简单三次图和加权三次重图，我们也得到了类似的结果。证明了一个典型的可嵌入到$\mathbb{S}_g$上的三次多重图$g\ge 1$只有一个非平面分支.
2016-04-11 math.CO
Vertex Splitting, Coincident Realisations and Global Rigidity of Braced Triangulations
本文给出了Jordan和Tanigawa的一个结果的一个简短证明：一个以生成平面三角剖分为真子图的4-连通图在R^3中是一般全局刚性的。我们的证明是基于一个新的充分条件，所谓的顶点分裂操作，以保持一般的整体刚性R^d。
2022-03-21 math.CO
Zero Forcing and Vertex Independence Number on Cubic and Subcubic Graphs
本研究受TxGraffiti的猜想驱动，利用上可嵌入图的去环划分，探究三次与次三次图的零强制数和顶点独立数的关系，证明几乎所有三次图满足相关不等式，给出无限图族实例并拓展了次三次图的已知界。
2024-10-31 math.CO
Computation of small reflective and dihedral Ramsey numbers
Faculty of Electronic Engineering, University of Niš（尼什大学电子工程学院）；Faculty of Mathematics, Natural Sciences and Information Technologies, University of Primorska（普里莫尔斯卡大学数学、自然科学和信息技术学院）
研究小反射和二面体拉姆齐数的计算问题，应用基于SAT的方法，利用Kissat SAT求解器，针对特定图类得到小反射和二面体拉姆齐数的精确值与下界，并得出一般结果和提出猜想。
2026-07-14 cs.DM math.CO
Vertex energies of splitting and shadow graphs
Manipal Institute of Technology, Manipal Academy of Higher Education（马尼帕尔理工学院，马尼帕尔高等教育学院）
本文研究分裂图和影图中顶点能量的分布，推导出显式表达式并分析其与基础图行为的比较。
2026-03-20 math.CO
A universal threshold for geometric embeddings of trees
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Athens（雅典大学）
研究提出树在规范空间中嵌入的通用阈值，表明最大度数受限的树可嵌入高维空间，而完整树则无法嵌入低维空间，与谱扩张器和随机图形成对比。
2026-04-17 math.CO math.FA math.MG
On the Hilton-Zhao vertex-splitting conjecture
Hebei University of Science and Technology（河北科技大学）
本文研究了Hilton-Zhao顶点分裂猜想，证明了当图的最大度Δ(G)≥(2n-2)/3时，分裂后的图是边染色临界图。
2026-05-06 math.CO
Hardness of Vertex Splitting: Cographs, Chordal Graphs, and Beyond
Indian Institute of Science Education and Research Berhampur（印度科学教育研究所布兰普尔分校）；The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（数学科学研究所，HBNI）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦尔德印度理工学院）
研究顶点分裂操作，证明余图顶点分裂、(P_t)-自由顶点分裂、弦图顶点分裂及单位区间顶点分裂是NP完全的，结果扩展到排他和浅变体，在指数时间假设下给出这些问题不存在特定时间复杂度算法的结论。
2026-07-16 cs.DS math.CO
Extremal density for sparse minors and subdivisions
证明了有界度二部图在一个温和的可分性条件下，其极密度的渐近紧界。作为推论，我们回答了里德和伍德关于嵌入稀疏未成年人的几个问题。其中，$\bullet$ $(1+o(1))t^2$平均度足以迫使$t\times t$网格作为拓扑子图; $\bullet$ $(3/2+o(1))t$平均度迫使每个$t$ -顶点可平面图作为子图，并且常数$3/2$是最佳的，此外，令人惊讶的是，该值对于$t$ -可嵌入任何固定表面的顶点图是相同的; $\bullet$是$(2+o(1))t$在平均度上的一个泛界，它迫使任何非平凡的极小闭族中的每个$t$ -顶点图都是极小图，并且常数2是考虑给定树宽的图的最佳可能常数.
2020-12-03 math.CO
An improvement to the vertex-splitting conjecture
对于简单图$G$，分别用$n$、$Δ(G)$和$χ'(G)$表示它的阶、最大度和色指数。一个2类连通图$G$是边色临界的，如果对$G$的每条边$e$都有$χ'(G-e)<Δ(G)+1$.如果是$|E(G)|>Δ(G) \lfloor n/2 \rfloor$，则将$G$定义为过满。显然，过满图是第二类，任何从偶数阶正则图通过分裂顶点得到的图都是过满图。设$G$是一个$n$ -点连通的正则类1图，其图具有$Δ(G) >n/3$ . Hilton和Zhao在1997年证明了如果$G$的一个顶点分裂为两个顶点得到$G^*$，则$G^*$是边色临界的，并验证了关于图$G$具有$Δ(G)\ge \frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)\approx 0.82n$的猜想.图$G^*$很容易被证明是过满的，因此猜想的困难在于证明删除它的每一条边都会降低色指数。除了在2002年Song证明了猜想对一类特殊的图$G$成立，并且$Δ(G)\ge \frac{n}{2}$成立外，其他关于这个猜想的研究一直没有取得进展。本文用$Δ(G) \ge 0.75n$证明了图$G$的猜想.
2021-03-09 math.CO
Upper bounds for the bondage number of graphs on topological surfaces
图G的束缚数b（G）是指图G的最小边数，如果从图G中去掉这些边，则图G的控制数大于图G的控制数。我们证明了，对于一个顶点度为$Δ(G)$且可嵌入亏格为h的可定向曲面和亏格为k的不可定向曲面的图G，有$b(G)\le \min\{Δ(G)+h+2, Δ(G)+k+1\}$。这推广了已知的平面和环形图的上界。
2011-10-25 cs.DM math.CO
Projective plane graphs and 3-rigidity
证明了可嵌入实射影平面的单图是极小3-刚性的当且仅当它是（3，6）-紧的.此外，这类嵌入图的拓扑不可收缩是由8个嵌入图中的一个通过顶点分裂移动序列构造的。特别是最小的3-刚度的特征保持了一个三角形的莫比乌斯带。
2023-02-17 math.CO
Corrections to classical results on Independence and Covering numbers of the Splitting graph
Universidad Autónoma de Zacatecas（萨卡特卡斯自治大学）；Universidad Autónoma de Guerrero（格雷罗自治大学）
本文修正了分裂图独立数和顶点覆盖数的经典结果，通过反例和正确公式澄清了相关理论。
2026-02-24 math.CO
Local certification of graphs on surfaces
图类$\mathcal{C}$的证明标记方案是将证书分配给类$\mathcal{C}$中的任何图的顶点，使得在读取其证书及其邻居的证书时，来自图$G\in \mathcal{C}$的每个顶点接受该实例，而如果$G\not\in \mathcal{C}$，则对于证书的每个可能分配，至少一个顶点拒绝该实例。最近证明了对于任何固定曲面$Σ$，可嵌入$Σ$中的图类都有一个证明标号方案，其中$n$ -顶点图的每个顶点接收至多$O(\log n)$位的证书.证明是相当长和复杂的，严重依赖于早期的结果可平面图。在这里，我们给任何曲面一个非常简短的证明。其主要思想是在本地编码一个旋转系统，以及一个支持通过欧拉公式进行亏格本地计算的生成树。
2022-01-18 cs.DC math.CO
The bondage number of graphs on topological surfaces and Teschner's conjecture
一个图的束缚数是指它的边的最小数目，它的去除导致图具有更大的控制数。给出了拓扑曲面上图的束缚数的常数上界，改进了束缚数的上界，给出了图的最大顶点度和可定向与不可定向亏格的定义，并给出了2-胞可嵌入亏格的拓扑曲面的顶点数的紧下界.此外，我们提供了更强的上界的图没有三角形和图的顶点数大于一定的阈值方面的图的类。这解决了Teschner猜想在积极的几乎所有的图。
2012-09-06 cs.DM math.CO
A note on connectivity of splitting matroids
Fleischner提出了在一个连通图中分裂一个度至少为3的顶点的思想，并利用该操作来刻画欧拉图。拉古纳坦等将分裂操作从图推广到二元拟阵。已经研究了分裂操作，在一般情况下，可能不保持二元拟阵的连通性。有趣的是，不连通拟阵的分裂拟阵可以连通。本文刻画了分裂拟阵连通的二元不连通拟阵。
2018-09-27 math.CO
On the Sombor index and Sombor energy of m-splitting graph and m-shadow graph of regular graphs
最近，I. G. M.提出了一种基于顶点度的拓扑指数，称为n阶单图G的Sombor指数。古特曼本文给出了m-分裂图和m-阴影图的Sombor指标。同时，我们确定了k-正则图的m-分裂图和m-阴影图的能量与Sombor能量之间的关系。
2022-05-19 math.CO
Splitting the K-Terminal Reliability
设G=（V，E）是一个图，K是G的一组终端点.假设G的边以给定的概率独立失效。K-终端可靠度R（G，K）是K中所有顶点相互连接的概率。本文利用格理论的方法，给出了R（G，K）在G的一个分离点集上的一个有效分裂公式。
2011-04-18 math.CO
Random graphs from a weighted minor-closed class
最近，从一个合适的小闭类（如所有可平面图）的n-顶点图中均匀抽样的随机图引起了人们的兴趣。在这里，我们使用组合和概率的方法来研究一个更一般的模型。我们认为随机图从一个“表现良好”的一类图：这样的类的例子包括所有的小封闭类的图与2-连接排除未成年人（如森林，串-平行图和可平面图），一类的图嵌入在任何给定的表面上，和类的图与最多k个顶点不相交的循环。此外，我们给权重的边缘和组件指定的概率，使我们的随机图对应的随机集群模型，适当的条件。我们发现，早期的结果自然延伸到两个方向，一般表现良好的类的图形，并加权框架，例如结果的概率随机图连接;我们也给结果的2-核心，这是新的，即使是统一的（未加权）的情况下。
2012-10-09 math.CO
Star coloring splitting graphs of cycles
图$G$的星染色是一个真顶点染色，使得由任意一对色类导出的子图是一个星森林。$G$的星色数是星色$G$所需的最小颜色数。本文用$n \equiv 1 \pmod 3$和$n=5$确定了长度为$n$的圈的分裂图的星色数，解决了Kowsalya，Kowsalyk和Vernold Vivin的一个公开问题.
2017-10-11 math.CO
Improved bounds on the cop number when forbidding a minor
United States Naval Academy（美国海军学院）；Queen's University（女王大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文改进了禁止子式图中警察数的上界，尤其针对小或稀疏的$H$，并推论出对$K_{3,t}$、$K_{2,t}$子式-free图及无链环可嵌入图的上界改进。
2025-10-28 cs.DM math.CO
A Splitting Lemma
本文研究了定义在单图边集上的凸规划问题最优解的数值结构与图的稳定数（即两两非邻顶点子集的最大值）之间的关系。我们的分析表明，每个图G的稳定数可以分解为一个包含完美2-匹配的子图（即一个顶点不相交的奇圈和覆盖顶点集的边的系统）的稳定数加上一个多项式时间内可计算的项的和。因此，可以根据具有完美2-匹配的子图的匹配数和其他在多项式时间内可计算的量来从稳定数的上下界。我们的结果是密切相关的Lorentzen，Balinsky，斯皮尔伯格和Pulleyblank的线性松弛的顶点覆盖问题。此外，所涉及的凸规划问题在信息论和极值集合论中有重要的应用，其中，作为图容量公式，已被用来回答Renyi（L. Gargano，J. K{<$}rner，and U. Vaccaro，“Sperner capacities”，Graphs and combinatorics，9：31-46，1993）。
2003-12-05 math.CO
Splitting Planar Graphs of Girth 6 into Two Linear Forests with Short Paths
最近，Borodin，Kostochka和Yancey（On $1$ -inappropriate $2$ -coloring of sparse graphs. Discrete Mathematics，313（22），2013）示出了围长至少为$7$的每个平面图的顶点可以是$2$着色的，使得每个颜色类导出匹配的子图。我们证明了任何周长至少为$6$的平面图都允许$2$颜色的顶点着色，使得每个单色分量是长度至多为$14$的路。此外，我们显示了这个结果的列表版本。另一方面，对于每个正整数$t\geq 3$，我们构造了一个周长$4$的平面图，使得在$2$颜色的顶点的任何着色中，存在长度至少为$t$的单色路径.围长$5$的每个平面图是否允许没有长单色路的$2$ -染色仍然是开放的。
2015-07-10 cs.DM math.CO
Partitioning $H$-minor free graphs into three subgraphs with no large components
本文证明了：对于任意的图$H$，如果一个图$H$没有（奇数）$H$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以划分为三个集合$X_1$，$X_2$，$X_3$，使得对于每个$i$，在$X_i$上导出的子图没有大于$H$和$G$的最大度的函数的分支.这改进了Alon，Ding，Oporowski和Vertigan~（2003）的先前结果，即如果$G$没有$H$子式，则$V(G)$可以被划分为四个这样的集合。我们的定理推广了Esperet和Jaret ~（2014）的一个结果，他们证明了它对于可嵌入固定曲面上的图，并询问它是否对没有$H$子式的图成立。作为推论，我们证明了：对于每一个正整数$t$，如果图$G$没有$K_{t+1}$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以被划分成$3t$集$X_1,\ldots,X_{3t}$，使得对于每一个~ $i$，在$X_i$上导出的子图没有大于~ $t$的一个函数的分支.这个推论改进了Wood~（2010）的一个结果，该结果指出$V(G)$可以划分成$\lceil 3.5t+2\rceil$这样的集合。
2017-08-29 math.CO
On the Construction of Singular and Cospectral Hypergraphs
本文定义超图的邻域分裂与非邻域分裂运算及两种新连接运算，确定其邻接谱，进而构造出无限族奇异超图和无限对非正则非同构共谱超图。
2024-05-27 math.CO
Hitting Topological Minor Models in Planar Graphs is Fixed Parameter Tractable
对于图${\cal F}$的有限集合，\textsc{${\cal F}$-TM-Deletion}问题将$n$ -顶点图$G$和整数$k$作为输入，并询问是否存在具有$|S| \leq k$的集合$S \subseteq V(G)$，使得$G \setminus S$不包含${\cal F}$中的任何图作为拓扑子式。我们证明了对于每一个这样的${\cal F}$，\textsc{${\cal F}$-TM-Deletion}是平面图上可处理的固定参数。我们的算法运行在一个$2^{\mathcal{O}(k^2)}\cdot n^{2}$的时间，或者在$2^{\mathcal{O}(k)}\cdot n^{4}$的时间。我们的技术可以很容易地扩展到图，是嵌入在任何固定的表面。
2022-10-31 cs.DS math.CO
Product structure extension of the Alon--Seymour--Thomas theorem
本研究解决了Illingworth等人的公开问题，将不含K_t子式图的乘积结构树宽界降至4且保持O_t(√n)膨胀阶，平面图可降至2（最优），并推广到不含K_(3,t)子式图，涵盖固定曲面嵌入图。
2024-04-06 math.CO
Fair splittings by independent sets in sparse graphs
给定一个图的顶点集的一个划分$V_1 \sqcup V_2 \sqcup \dots \sqcup V_m$，我们感兴趣的是找到多个不相交的独立集，这些集包含每个$V_j$的顶点的正确分数。我们给出了$q$这样的独立集的独立复形的拓扑存在的条件。我们把这个问题与从独立复形到一定维数的欧几里得空间的任何连续映射的$q$ -重重合点的存在性，以及从独立复形的$q$ -重删除并到对称群的一定表示球面的等变映射的存在性联系起来.作为推论，我们推导出存在的$q$两两不相交的独立集精确地表示$V_j$在某些稀疏图的$q$一个幂的素数。
2018-09-10 math.CO
Short Brooms in Edge-chromatic Critical Graphs
Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文研究了边染色临界图中的短扫帚，证明了相关颜色缺失的性质，并验证了两个重要猜想在特定条件下的成立。
2025-12-31 math.CO
A structure theorem for strong immersions
一个图H强浸入G，如果H是通过一系列顶点分裂从G得到的（即，提升一些关联边对并移除顶点）和边移除。等价地，H的顶点被映射到G的不同顶点（分支顶点），H的边被映射到G中的成对边不相交路径，它们中的每一个连接对应于边的端点的分支顶点并且不包含任何其他分支顶点。我们描述了图的结构，避免固定的图作为一个强浸入。
2014-11-03 math.CO
Robust Contraction Decomposition for Minor-Free Graphs and its Applications
本文证明无 $H$-minor 图的鲁棒收缩分解定理，并据此为多类顶点/边删除问题给出亚指数时间参数化算法或更简算法。
2024-12-05 cs.DM cs.DS math.CO
A time-invariant random graph with splitting events
我们引入了一个过程，一个连接的有根多重图的演化分裂事件在其顶点上，随机发生在连续的时间。当一个顶点分裂时，它的传入边在它的后代之间随机分配，并且在它们之间添加泊松随机数的边。该过程由正实数$λ$参数化，它控制着极限平均度。我们证明，对于$λ$的每个值，在这种进化下都存在唯一的随机连通根多重图$M(λ)$不变量。因此，从任何有限图$G$开始，该过程几乎必然在分布上收敛到$M(λ)$，这不依赖于$G$。我们证明了这个极限具有有限的期望大小。同样的过程自然延伸到一个连接性不一定保持，我们给这个版本的连接性一个尖锐的阈值。这是我们在arXiv：1506.02697，arXiv：1703.09011中研究的进程的异步版本，从现实网络的角度来看更真实。
2021-09-01 math.CO math.PR
$Δ$-critical graphs with a vertex of degree 2
设$G$是一个简单图，其度为$Δ$的最大值. Vizing的一个经典结果表明，$G$的色指数$χ'(G)$是$Δ$或$Δ+1$。如果$χ'(G)=Δ$，我们说$G$是\emph{Class 1}的，否则是\emph{Class 2}的。一个图$G$是\emph{$Δ$-critical}，如果$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<Δ+1$对$G$的每个真子图$H$，并且是\emph{overfull}，如果$|E(G)|>Δ\lfloor (|V(G)|-1)/2 \rfloor$。显然，过满图是第二类。Hilton和Zhao在1997年证明了如果$G$是从$n$ -顶点$Δ$ -正则1类图中通过分裂一个顶点得到的，且其最大度大于$n/3$，则过满是$G$是2类图的唯一原因.这个猜想只有在$Δ\ge \frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)\approx 0.82n$ .本文将$Δ$上的界从$\frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)$改进为$0.75n$ .考虑顶点度为2的$Δ$ -临界图的结构，我们还证明了对于一个顶点度为$Δ\ge \frac{3n}{4}$的$n$ -顶点$Δ$ -临界图，如果它包含一个顶点度为2的图，则它是过满的.我们实际上得到了这个结果的一个更一般的形式，它部分地支持了Chetwynd和Hilton在1986年提出的过满猜想，即如果$G$是一个…
2020-05-25 math.CO
