点传递三次部分立方体的分类

洗牌立方体的对称性质与两种变体

Symmetric properties and two variants of shuffle-cubes

本文证明洗牌立方体$SQ_{n}$对所有$n>2$不具有顶点传递性，并提出简化洗牌立方体$SSQ_{n}$和平衡洗牌立方体$BSQ_{n}$两种顶点传递变体，给出其路由算法并证明其具有哈密顿圈嵌入性质。

三维立方体是唯一具有完美状态转移的周期连通立方体图

The 3-dimensional cube is the only periodic, connected cubic graph with perfect state transfer

如果一个单激发能在图的两个顶点之间保真度地传播，那么在图的两个顶点之间就存在完美的态转移。当激励回到初始位置时，对于所有位置同时，该图被称为周期性的。一个图是立方的，如果它的每个顶点都有一个大小正好为3的邻域。我们证明了三维立方体是唯一具有完美状态转移的周期连通立方体图。我们猜想这也是唯一一个具有完美状态转移的连通三次图。

关于AT-free图和圆弧图的立方性

On the cubicity of AT-free graphs and circular-arc graphs

$k$维中的单位立方体（$k$ -立方体）被定义为笛卡尔积$R_1\times R_2\times...\times R_k$，其中$R_i$（对于$1\leq i\leq k$）是实数线上形式为$[a_i,a_i+1]$的闭区间。如果$G$的每个顶点都可以映射到一个$k$ -立方体上，使得当且仅当它们对应的$k$-立方体有一个非空的交集时，两个顶点在$G$中相邻，则称$G$在$n$节点上的图$G$可表示为$k$-立方体的交集（$k$维中的立方体表示）。表示为$\cubi(G)$的$G$的\emph{cubicity}是最小$k$，对于该最小$k$，$G$可以表示为$k$ -立方体的交集。我们给出了一个$O(bw\cdot n)$算法来计算一般图$G$在$bw+1$维上的立方体表示，其中$bw$是$G$的\emph{bandwidth}.作为结果，我们得到了许多著名的图类，如AT-自由图，圆弧图和共同可比图的$O(Δ)$带宽的立方度的$O(Δ)$上界。因此我们有：1）$\cubi(G)\leq 3Δ-1$，如果$G$是一个AT-自由图。2)$\cubi(G)\leq 2Δ+1$，如果$G$是圆弧图。3)$\cubi(G)\leq 2Δ$，如果$G$是协同可比性图。同样对于这些图形类，存在用于带宽计算的常数因子近似算法，其生成具有$O(Δ)$宽度的顶点的排序。因此，我们可以在多项式时…

三次图与系统发育网络的无传递弧定向

Orientations without transitive arcs for cubic graphs and phylogenetic networks

本文证明三次图不含传递弧的$st$-定向问题为NP完全，解决了Binucci等人的开放问题，并将该结论推广至系统发育网络领域，关联了两个不同的定向研究方向。

Cubicity, Degeneracy, and Crossing Number

A $k$-box $B=(R_1,...,R_k)$, where each $R_i$ is a closed interval on the real line, is defined to be the Cartesian product $R_1\times R_2\times ...\times R_k$. If each $R_i$ is a unit length interval, we call $B$ a $k$-cube. Boxicity of a graph $G$, denoted as $\boxi(G)$, is the minimum integer $k$ such that $G$ is an intersection graph of $k$-boxes. Similarly, the cubicity of $G$, denoted as $\cubi(G)$, is the minimum integer $k$ such that $G$ is an intersection graph of $k$-cubes. It was shown in [L. Sunil Chandran, Mathew C. Francis, and Naveen Sivadasan: Representing graphs as the interse…

近似树的立方性

Approximating the Cubicity of Trees

图$G$的立方度是最小维数$d$，对于$G$，在$l^\infty$度量下，$G$是${\mathbb{R}}^d$中的单位圆盘图，即$G$可以表示为$d$维（轴平行）单位超立方体的交图。我们称这样的交集表示为$G$的$d$维立方体表示.已知计算立方度在多项式时间内是不可近似的，在任何$ε>0$的$O(n^{1-ε})$因子内，除非NP = ZPP。在本文中，我们提出了一个随机算法，运行在多项式时间和计算立方体表示的树，尺寸内的一个常数因子的最佳。研究还表明，如果不需要计算立方体表示，则树的立方度可以在确定性多项式时间中在一个常数因子内近似。据我们所知，这是第一个计算树的立方度的常因子近似算法。目前还不清楚计算树的立方是否是NP难的。