Spanning tree enumeration via triangular rank-one perturbations of graph Laplacians
我们提出了新的简短证明已知的生成树枚举公式的阈值和费勒斯图，通过证明这种图的拉普拉斯矩阵允许三角秩一扰动。然后，我们刻画了一组图的拉普拉斯矩阵承认三角秩1扰动的一类特殊的2-阈值图，介绍了洪，Kloks，和Villaamil。我们的工作介绍了（1）一个新的特征的特殊2-阈值图，推广了阈值图的特征的孤立和控制顶点，和（2）生成树计数公式的特殊2-阈值图，减少到上述公式的阈值和费勒斯图。我们考虑未加权和加权生成树枚举。
2021-03-25 math.CO
Universal rooted phylogenetic tree shapes and universal tanglegrams
本文研究有根二叉树和缠结图的通用结构规模，给出上下界并计算 n≤11 的最小通用树，部分结果推广到 d 叉情形。
2023-08-12 math.CO
On the existence of infinitely many universal tree-based networks
如果在$X$上的任何有根二元系统发育树都可以是它的基树，则在一组$X$的$n$叶子上的基于树的网络被称为是通用的。Francis和Steel证明了在$n=3$的情况下，$X$上存在一个通用的基于树的网络，并询问这样的网络是否普遍存在。我们解决这个问题，证明有无限多个通用的树为基础的网络的任何$n>1$。
2016-03-21 math.CO q-bio.PE
Counting Spanning Trees of Threshold Graphs
Cayley公式指出，在完全图的$n$顶点上存在$n^{n-2}$生成树;在其150年的历史中，已经用十几种不同的方法证明了这一点。完全图是阈值图的一种特殊情况，利用梅里斯定理和矩阵树定理，有一个非常简单的公式来计算阈值图中$n$顶点上的生成树的数目;它只是$i=2,3, ...,n-1$上度至少为$i$的顶点数的乘积。在这篇手稿中，我们提供了一个直接的组合证明这个公式，不使用矩阵树定理，证明是一个扩展的Joyal的凯莱公式的证明。然后，我们应用这种方法，给出了一个公式的生成树的数量在任何差异图。
2013-01-08 cs.DM math.CO
Spanning trees of bounded degree in random geometric graphs
本文确定了随机几何图中包含所有有界度生成树的尖锐阈值，提供了二项随机图结果的几何对应，证实了相关猜想，并给出了适用于有界亏格或树宽图族的算法证明。
2025-05-22 math.CO math.MG math.PR
Universal point sets for planar three-tree
对于每一个$n\in \mathbb{N}$，我们提出了一个集$S_n$的$O(n^{3/2}\log n)$点在平面上，使每一个平面3-树的$n$顶点有一个直线嵌入的平面中的顶点映射到一个子集的$S_n$。这是平面3-树、2-树类和串并行图的泛点集大小的第一个次二次上界。
2013-10-01 cs.CG math.CO
Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex II: A Tight Result
我们证明了，如果$m$是足够大的，每个图的$m+1$顶点，有一个通用的顶点和最小度至少$\lfloor \frac{2m}{3} \rfloor$包含每个树$T$与$m$作为一个子图。我们的结果证实了，对于大的$m$，一个重要的特殊情况下的猜想Havet，里德，斯坦，伍德。本文件的基础上的一个同伴的文件，我们证明了所有的树有一个顶点，是相邻的许多叶子的声明。
2022-07-20 math.CO
The Universal Post-Lie-Rinehart Algebra of Planar Aromatic Trees
Section de Mathématiques, Université de Genève（日内瓦大学数学系）
本文研究了平面芳香树的通用后李-里纳尔特代数结构，定义了其代数性质及自由对象，并探讨了其与预李-里纳尔特代数和后李叠代的关系。
2026-01-26 math.CO
Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex I: An Asymptotic Result
在本文和一个配套文件中，我们证明了，如果$m$是足够大的，每个图的$m+1$顶点，有一个通用的顶点和最小度至少$\lfloor \frac{2m}{3} \rfloor$包含每个树$T$与$m$作为一个子图。我们的结果证实了，对于大的$m$，最近由Havet，Reed，Stein和Wood猜想的一个重要特例。本文件已经包含了一个近似的版本的结果。
2022-07-20 math.CO
Universal height and width bounds for random trees
我们证明了非渐近拉伸指数尾边界的随机组合树中的随机采样节点的高度，我们用它来证明从各种模型的随机树的高度和宽度的界限。我们的结果使我们能够证明一个猜想并解决Janson的一个公开问题（https：//doi.org/10.1214/11-PS188），并且几乎证明了另一个猜想并解决了同一工作中的另一个公开问题（直到多对数因子）。我们的工作的关键工具是一个等价的法律之间的程度沿着路径的随机节点在一个随机树与给定的程度统计，和一个随机截断的大小偏置排序这样的树的程度。我们还利用了Camarri和Pitman（https：//doi.org/10.1214/EJP.v5-58）在非齐次连续随机树的上下文中引入的泊松化技巧，我们将其适应于具有固定度的随机树的设置。最后，我们提出并证明了一个改变的惯例的分支过程命名：名称“高尔顿-沃森树”应该永久退休的社区，并取代名称“Bienaymé树”。
2022-04-25 math.CO math.PR
Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs
当$k|n$时，树$\mathrm{Comb}_{n,k}$由一条包含$n/k$顶点的路组成，每个顶点都有一个从它开始的不相交路长$k-1$.我们证明了，对于任何$k=k(n)$和$ε>0$，二项式随机图$\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$几乎必然包含$\mathrm{Comb}_{n,k}$作为子图.这改进了Kahn，Lubetzky和Wormald最近的一个结果.我们证明了一个类似的声明，更一般的一类树包含这些梳和所有有界度生成树，至少有$εn/ \log^9n$不相交的裸路径长度$\lceil\log^9 n\rceil$。我们还给出了一个在二项随机图中寻找大扩张子图的有效方法。这使我们能够改善Balogh，Csaba，Pei和Samotij关于几乎生成树的结果。
2014-05-26 math.CO
Semidegree threshold for spanning trees in oriented graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）
研究证明，当有向图的最小半度数满足一定条件时，能保证包含所有具有有限最大度数的有向树。
2026-08-24 math.CO
A note on universal graphs for spanning trees
本文针对含所有n顶点树为子图的n顶点通用图的最小边数问题，改进了Chung和Graham给出的1/2 n log n边数下界，将其提升至n log n。
2023-11-06 math.CO
Fiedler Vectors and Elongation of Graphs: A Threshold Phenomenon on a Particular Class of Trees
设$G$是一个图。它的拉普拉斯矩阵$L(G)$是正的，我们考虑它的第一个非零特征值的特征向量称为Fiedler向量。由于其良好的经验性质，它们在谱分割问题中得到了广泛的应用。最近，Fiedler向量也在计算机图形学社区中流行起来，用于描述形状的伸长。用更专业的术语来说，作者推测Fiedler向量的极值可以产生图的直径。本文给出了图$G$的（FED）性质，即图的直径可以由Fiedler向量得到.我们详细研究了一个参数族的树，确实给出了一个反例，为以前的猜想，但揭示了阈值现象（FED）的财产。最后，我们详尽枚举的树与最多20个顶点（FED）是真的和一些观点。
2013-02-06 cs.DM math.CO
Expanders Are Universal for the Class of All Spanning Trees
给定一类图F，我们称图G是F的泛图，或称F-泛图，如果F中的每个H作为子图包含在G中。各种族F的稀疏泛图的构造受到了相当多的关注。人们对紧F-泛图特别感兴趣，即，图的顶点数等于F中一个图的最大顶点数。可以说，研究最多的情况是当F是某类树时。给定整数n和Δ，我们用T（n，Δ）表示所有最大度不超过Δ的n-顶点树的类。本文证明了满足某些自然扩张性质的n-顶点图是T（n，Δ）-泛图，或者说，包含最大度不超过Δ的生成树。我们的方法也适用于Δ是n的某个函数的情况。这个结果有几个非常有趣的含义。最重要的是，我们得到了随机图G（n，p）是渐近几乎必然（a.a.s.）对于所有有界度生成的类是普适的（即，n-顶点）树，条件是p \geq c n^{-1/3} \log^2 n，其中c > 0是常数。此外，对于度为pn的随机正则图，给出了相应的结果.事实上，我们证明了如果Δ满足\log n \leq Δ \leq n^{1/3}，则具有p \geq c Δn^{-1/3} \log n的随机图G（n，p）和具有r \geq cΔn^{2/3} \log n的随机r-正则n-顶点图G（n，p）是a.a.s. T（n，Δ）-泛。另一个有趣的结果是局部稀疏n-顶点T（n，Δ）-泛图的存在性。对于常数Δ，我们证明了可以（随机）构造团数不超过5的n-顶点T（n，Δ）-泛图.最后，我们在Maker-Breaker树…
2011-08-23 math.CO
Uniqueness for the 3-State Antiferromagnetic Potts Model on the Tree
反铁磁$q$ -态Potts模型可能是最典型的模型，其树上的唯一性阈值尚未被理解，主要是因为缺乏单调性。Jonasson建立了零温情况下的唯一性阈值，对应于$q$ -着色模型。在允许的情况下（温度为正），Potts模型有一个额外的参数$β\in(0,1)$，这使得分析唯一性阈值的任务更加困难，并且知之甚少。本文以$q=3$为例，通过改进Jonasson的方法，详细分析了树上的Potts模型。特别地，我们为$d\geq 2$的所有值建立了$d$ -ary树上的唯一性阈值。在$d\geq3$时，我们证明了三态反铁磁Potts模型对所有的$β\geq 1-3/(d+1)$都是唯一的.情况$d=2$是关键的，因为它涉及二叉树（$β=0$）上的3-着色模型，其具有非唯一性。然而，我们证明了Potts模型对二叉树上的所有$β\in (0,1)$都具有唯一性。这两个结果是紧密的，因为它是已知的，唯一性不成立的互补制度。我们的证明技术给出了一般$q>3$的分析条件，证明树上的两步递归的基础上的唯一性，我们猜想足以建立所有非关键情况下（$q\neq d+1$）的唯一性阈值。
2018-08-09 cond-mat.stat-mech cs.DM math.CO
A Sharp Matching-Number Threshold for Spectral-Walk Determination of Trees
College of Finance and Mathematics, West Anhui University（皖西学院金融数学学院）
本文确定树的谱游走判定的匹配数阈值：匹配数≤4的树可由邻接谱与3≤k≤8的总游走序列唯一确定，匹配数为5时存在反例，证明基于有限核约化与代数重构。
2026-08-25 math.CO
Sharp bound on the threshold metric dimension of trees
图的阈值$k$度量维数（$\mathrm{Tmd}_k$）是当传感器的测量半径为$k$时，唯一地识别图中的任何顶点所需的传感器的最小数量-顶点集的子集，仅基于其与传感器的距离。本文给出了树的$\mathrm{Tmd}_k$的一个精确下界，它只依赖于树的顶点数$n$和测量半径$k$ .这个尖锐的下界在具有首项系数$3/(k^2+4k+3+\mathbf{1}\{k\equiv 1\pmod 3\})$的$n$中线性增长，反驳了Tillquist等人在arXiv：2106.14314中的早期假设，该假设怀疑$n/(\lfloor k^2/4\rfloor +2k)$是主阶项。我们提供了一个最大的可能的树与给定的$\mathrm{Tmd}_k$值的建设。证明我们的最佳结构不能得到改善依赖于任意（次优）树与任意解析集的边缘重新布线过程，这揭示了传感器的小子集如何测量和解析树中的某些区域的结构，我们称之为这些传感器的吸引力。“传感器吸引力”的概念在树木以外的其他情况下可能有助于解决相关问题。我们还提供了一个改进的下界上的任意树的$\mathrm{Tmd}_k$，考虑到树的结构特性，特别是，简单的路径的数量和长度的度2顶点终止于叶顶点。这个界限补充了arXiv：2106.14314，其中只考虑了没有2度顶点的树，除了单一路径的简单情况。
2021-11-16 math.CO
Counting Rooted Trees: The Universal Law t(n) ~ C ρ^{-n} n^{-3/2}
使用标准多重集、序列、有向循环和循环构造及其限制的组合递归定义的组合类T具有正收敛半径的生成级数T（z）;对于其中的大多数，可以使用一个简单的测试来快速证明渐近的形式与有根树类的渐近形式相同：C ρ^{-n} n^{-3/2}其中ρ是T的收敛半径。
2006-08-09 math.CO
A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
在n阶完全图中，当每条边的权是指数随机变量时，Frieze证明了最小生成树的权趋于zeta（3）=1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/2^3 + 1/2当n趋于无穷大时。我们认为生成树的深度限制为从一个指定的根k。证明了当k > log_2 log n+omega（1）时，最小有界深度生成树的权在n ->无穷大时仍趋于zeta（3），当k < log_2 log n时，权在log_2 log n-k中是双指数大的.寻找最小有界深度生成树是NP难的，但当k < log_2 log n - omega（1）时，一个简单的贪婪算法是渐近最优的，而当k > log_2 log n+omega（1）时，一个对最小（无界深度）生成树做微小改变的算法是渐近最优的。我们证明了类似的结果，最小有界深度斯坦纳树，树必须连接一个指定的一组m个顶点，可能会或可能不会包括其他顶点。特别地，当m = const * n时，如果k > log_2 log n+omega（1），则完全图上的最小有界深度Steiner树与最小Steiner树具有渐近相同的权重，并且如果1 <= k <= log_2 log n-omega（1），权重在期望和概率上都趋于（1-2^{-k}）sqrt{8 m/n} [sqrt{2 mn}/2^k]^{1/（2^k-1）}。当直径界为2k时，同样的结果也适用于最小有界直径Stein…
2011-05-05 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
An approximate version of Sumner's universal tournament conjecture
萨姆纳的普适竞赛图猜想指出，任何$2n-2$顶点上的竞赛图都包含任何$n$顶点上的有向树的副本。我们证明了这个猜想的一个渐近版本，即$(2+o(1))n$顶点上的任何竞赛包含$n$顶点上的任何有向树的副本。此外，我们证明了一个渐近最好的可能结果，即对于任何固定的$Δ$，任何竞赛的$(1+o(1))n$顶点包含一个副本的任何有向树的最大程度上$Δ$的$n$顶点。
2010-10-21 math.CO
Universality for bounded degree spanning trees in randomly perturbed graphs
我们解决了Krivelevich，Kwan和Sudakov [SIAM Journal on Discrete Mathematics 31（2017），155-171]关于随机扰动稠密图模型中所有有界度生成树的包含阈值的问题。更准确地说，我们表明，如果我们开始与$G_α$ $n$顶点$δ(G_α)\ge αn$ $α>0$和我们添加到它的二项式随机图$G(n,C/n)$，然后以高概率的图形$G_α\cup G(n,C/n)$包含所有的最大程度的生成树的副本最多$Δ$同时，其中$C$只依赖于$α$和$Δ$。
2019-02-17 math.CO
On the hardness of sampling independent sets beyond the tree threshold
我们考虑局部马尔可夫链蒙特卡罗算法的活动$ł$，其中独立集$I$的权重是$ł^{|I|}$的独立集的加权分布的采样。最近的结果已经确定，吉布斯采样在对最大度$d$和$ł<ł_c(d)$的图的分布进行采样时快速混合，其中$ł_c(d)$是吉布斯测度的唯一性的关键活动（即，对于在独立集上的加权分布中相关性随距离的衰减）在$d$ -正则无限树上。我们发现，对于$d \geq 3$，$ł$只是以上$ł_c(d)$与高概率超过$d$ -定期二部图，任何本地马尔可夫链蒙特卡罗算法需要指数时间才接近平稳分布。我们的研究结果提供了一个严格的理由“复制”的方法。这些算法是在理论物理学中发明的，用于根据树上的吉布斯测度来推导随机图上的吉布斯测度的预测。我们推测$ł_c$实际上是这个计算问题的精确阈值，即，对于$ł>ł_c$，将上述加权和超独立集近似到图的大小的因子多项式内是NP困难的。
2007-01-17 math-ph math.CO math.MP
The Threshold Dimension of a Graph
设$G$是一个图，$u$、$v$和$w$是$G$的顶点。如果$u$和$w$之间的距离不等于$v$和$w$之间的距离，则称$w$解析$u$和$v$。$G$的度量维数，记作$β(G)$，是顶点的最小集合$W$的基数，使得$G$的每对顶点由$W$的某个顶点分解。图$G$的阈值维数，记为$τ(G)$，是以$G$为生成子图的所有图$H$中的最小度量维数。换句话说，$G$的阈值维数是通过添加边从$G$获得的所有图中的最小度量维数。如果是$β(G) = τ(G)$，则称$G$是\emph{irreducible} ;否则，我们称$G$是可约的。如果$H$是以$G$为生成子图的图，并且使得$β(H)=τ(G)$，则$H$称为$G$的阈值图。图的阈值维数表示为允许图的某种嵌入的路的最小强积数。建立了树的阈值维数的一个精确上界。它还表明，不可约树正是那些度量维数最多为2。此外，如果$T$是度量维度为3或4的树，则$T$具有阈值维度$2$。它示出，在这两种情况下，$T$的阈值图可以通过添加恰好一个或两个边缘$T$，分别获得。然而，这些结果不扩展到具有度量维度$5$的树，即，存在阈值维数超过$2$的度量维数$5$的树。
2020-01-24 math.CO
Improved Universal Graphs for Trees
LMU Munich（慕尼黑大学）；Munich, Germany（德国慕尼黑）
本文改进了树 universal 图的上界，提出了一种将树分为三部分的策略，并扩展到具有有限树宽的图。
2026-03-26 math.CO
Tree universality in positional games
本文研究获胜集为树泛图的位置博弈，证明在完全图 $K_n$ 的无偏 Maker-Breaker 及 Waiter-Client 博弈中，建设方玩家能占据包含特定最大度数生成树的图，表现优于随机图直觉并改进了已有结果。
2023-12-01 math.CO
A cube-root phase transition in tree-child networks and the enumeration threshold for galled networks
National Chengchi University（国立政治大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
该研究证明树-子网络结构在n^(1/3)处发生立方根相变，且gall网络的渐近计数公式仅在k=o(n^(1/3))范围内有效，与树-子网络等的最优适用范围形成对比。
2026-08-24 math.CO
Universal graphs with a forbidden subtree
我们表明，问题的存在与指定的禁止子图的通用图可以系统地减少到某些临界情况下，通过一个简单的修剪技术，简化了底层结构的禁止图，被视为树块。作为应用，我们刻画了树T的一个普遍可数T-自由图的存在。
2005-12-10 math.CO math.LO
On the Homomorphism Order of Oriented Paths and Trees
一个偏序是泛序，如果它包含每一个可数偏序作为一个子序。在2017年，Fiala、Hubička、Long和Nešetzil证明了图的同态序中的每个区间都是普适的，唯一的例外是平凡间隙$[K_1,K_2]$。我们考虑同态序仅限于有向路和有向树类。我们证明了高度至少为4的两条定向路或定向树之间的每一个区间都是泛区间。例外区间对于有向路径和树是一致的，并且包含在高度至多为3的有向路径类中，形成链。
2022-01-25 cs.DM math.CO
