Spanning trees at the connectivity threshold
Yahav Alon, Michael Krivelevich, Peleg Michaeli
我们提出了一个明确的连接生成结构，出现在随机图的连通性阈值以上的高概率。
We present an explicit connected spanning structure that appears in a random graph just above the connectivity threshold with high probability.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Maximum number of spanning trees and connectivity: Graphs with a fixed minimum degree and bipartite graphs
本文研究了具有固定最小度数的图和双图在最大生成树数目方面的特性，确定了具有特定连通性和阶数的图结构。
On the relation between connectivity, independence and generalized caterpillars
生成广义毛毛虫是指所有度大于2的顶点都在一条路上的生成树.本文讨论了生成广义毛毛虫的存在性与图的独立性和连通数之间的关系.本文还指出了L。Gargano等人在离散数学（2004）中的一个定理，并找出了另一个定理与生成广义毛虫的存在性之间的关系。
The super spanning connectivity of arrangement graph
图$G$的$k$ -容器$C(u, v)$是$u$和$v$之间的一组$k$内部不相交路径。$G$的$k$ -容器$C(u, v)$是$k^*$ -容器，如果它是$G$的生成子图.图$G$是$k^*$ -连通的，如果在G的任意两个不同的顶点之间存在一个$k^*$ -容器.一个$k$ -正则图$G$是超生成连通的，如果$G$是所有$1\le i\le k$的$i^*$ -容器.本文证明了如果$n\ge 4$和$n-k\ge 2$是排列图，则排列图$A_{n, k}$是超生成连通的.
Spectral radius and edge-disjoint spanning trees of graphs with edge connectivity
本文解决了Zhang与Fan提出的关于k+1≤s≤2k-1的s-边连通图的紧谱半径条件及极图刻画问题，明确了图的边不交生成树最大数目与谱半径的关联。
Connectivity, toughness, spanning trees of bounded degree, and the spectrum of regular graphs
本文给出了正则图的谱与其广义连通度、坚韧度以及有界度支撑树的存在性之间的关系的一些新结果。
Edge Connectivity, Packing Spanning Trees, and Eigenvalues of Graphs
设$\mathcal{G}$是简单图（或多重图）$G$的集合，使得对于每个$G \in \mathcal{G}$，存在至少两个非空的不相交真子集$V_{1},V_{2}\subseteq V(G)$，满足$V(G)\setminus(V_{1} \cup V_{2})\neq ϕ$和$1\leq i \leq 2$的边连通度$κ'(G)=e(V_{i},V(G)\backslash V_{i})$.多重图是一个可能有多条边但没有环的图。设$τ(G)$是图$G$的边不相交生成树的最大数目。受Seymour关于图$G$的特征值与$τ(G)$的界之间关系的问题的启发，我们主要给出了简单图和多重图$G\in\mathcal{G}$的第三大（无符号Laplacian）特征值与$κ'(G)$和$τ(G)$的界之间的关系.
Low chromatic spanning sub(di)graphs with prescribed degree or connectivity properties
推广了Erdés和Lovász的著名结果，证明了每个图$G$都包含一个具有$λ(H)\geq \lceil{}\frac{k-1}{k}λ(G)\rceil$的生成$k$ -部子图$H$，其中$λ(G)$是$G$的边连通度.特别是，连同一个众所周知的结果，由于纳什-威廉姆斯和Tutte，这意味着每一个$7$ -边连通图包含一个生成二部图，其边集分解成两个边不相交的生成树。我们证明了这是最好的可能性，因为它不适用于无限多的$6$ -边连通图。对于有向图，文献[6]证明了不存在$k$使得每个$k$ -弧连通有向图都有一个生成强二部子有向图.证明了每个强有向图都有一个生成强三部子有向图，并且每个至少6个顶点的强半完全有向图都有一个生成强二部子有向图。\jbj{We generalize this result to higher connectivities by proving}证明了，对于每个正整数$k$，每个$k$ -弧连通有向图包含一个生成$(2k+1$）-有部子图是$k$ -弧连通的，这是最佳可能的.文[18]中的一个猜想是：每个最小出度$2k-1$的有向图都包含一个最小出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.通过给出一类具有最小出度$2k-2$的有向图，证明了有界$2k-1$是最佳可能的，这类有向图不包含任何出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.证明了最小半度至少为…
On zero-sum spanning trees and zero-sum connectivity
我们考虑图$G$的边的$2$ -染色$f : E(G) \rightarrow \{ -1 ,1 \}$，图$G$的颜色为$\mathbb{Z}$中的$-1$和$1$.如果$f(H) := \sum_{e\in E(H)} f(e) =0$是$G$的零和子图，则称$G$的子图$H$在$f$下是$G$的零和子图。我们研究以下类型的问题，在几种情况下获得最好的结果：在哪些条件下，$|f(G)|$，我们可以保证存在一个零和生成树的$G$？我们考虑的$G$的类型是完全图、$K_3$ -free图、$d$ -树和极大平面图。我们还回答的问题时，任何这样的着色包含一个零和生成路径或零和生成树的直径最$3$，显示在通过的直径$3$条件是最好的可能。最后，我们给，$G = K_n$，一个尖锐的限制在$|f(K_n)|$的一个有趣的零和连通性的强制，即任何两个顶点连接的零和路径的长度最多$4$。本文的一个特点是证明了一个插值引理导致一个主定理，从许多上述结果如下，可以独立的利益。
Characterizations of minimal graphs with equal edge connectivity and spanning tree packing number
由于图被认为是许多网络设计问题的自然模型，图$G$的边连通度$κ'(G)$和边不相交生成树的最大数量$τ(G)$已经被用作对建模为图$G$的通信网络中的可靠性和强度的度量（参见\cite{Cunn85, Matula87}等）。Mader \cite{Mader71}和Matula \cite{Matula72}引入了最大子图边连通度$\overline{κ'}(G)=\max \{κ'(H): H \mbox{ is a subgraph of } G \}$。基于它们在网络设计中的应用和已建立的不等式\[ \overline{κ'}(G)\ge κ'(G) \ge τ(G), \]，本文给出了以下结果：（i）对于每个整数$k>0$，给出了具有$\overline{κ'}(G) \le k$性质的图$G$的一个特征，但对于任何不在$G$中的边$e$，$\overline{κ'}(G+e)\ge k+1$ . (ii)对任意整数$n > 0$，给出了具有$|V(G)| = n$的图$G$使得具有$|E(G)|$的$κ'(G) = τ(G)$最小化的一个刻划.
Spanning tree packing, edge-connectivity and eigenvalues of graphs with given girth
令$τ(G)$和$κ'(G)$分别表示图$G$的边连通度和生成树填充数。Liu等人在2014年证明了Cioaba和Wong提出的一个猜想，证明了对于任何具有最小度$δ\ge 2k \ge 4$的简单图$G$，如果$G$的第二大邻接特征值满足$λ_2(G) < δ- \frac{2k-1}{δ+1}$，则$τ(G) \ge k$。对$G$的Laplacian特征值和无符号Laplacian特征值也得到了类似的结果。本文找到了一个函数$f(δ, k, g)$，使得对于每一个具有最小度$δ\ge 2k \ge 4$和围长$g \ge 3$的图$G$，如果它的第二大邻接特征值满足$λ_2(G) < f(δ, k, g)$，则有$τ(G) \ge k$ .作为$f(δ, k, 3) = δ- \frac{2k-1}{δ+1}$，推广了Liu等人的上述结果，得到了描述$τ(G)$和$κ'(G)$的图的围长、Laplacian特征值和无符号Laplacian特征值的相关结果.
A sharp threshold of propagation connectivity for mixed random hypergraphs
研究了同时含有2-边和3-超边的随机超图$\mathbb{G}$的传播连通性。我们找到了$\mathbb{G}$传播连通性的一个精确阈值：如果$I_{ε,r}<-1$，则$\mathbb{G}$不是高概率传播连通的;如果$I_{ε,r}>-1$，则$\mathbb{G}$是高概率传播连通的，其中$I_{ε,r}$是一个常数，依赖于2边和3边概率的参数.
On the spanning connectivity of tournaments
设$D$是一个有向图。$k$-$u$和$v$之间的$D$的容器，$C(u,v)$，是$u$和$v$之间的一组$k$内部不相交路径。$D$的$k$ -容器$C(u,v)$是一个强（或weak）$k^{*}$ -容器，如果存在一组具有相同方向的$k$内部不相交路径（分别为允许不同的方向），并且它包含$D$的所有顶点。一个有向图$D$是$k^{*}$ -强（分别为）。$k^{*}$ -弱）连通，如果存在强（或弱）连通。弱）$k^{*}$ -任何两个不同顶点之间的容器。我们定义了强者（respp）。弱）生成连通度，$κ_{s}^{*}(D)$（分别$κ_{w}^{*}(D)$），为最大整数$k$，使得$D$为$ω^{*}$ -强（分别为$ω^{*}$ -弱）连接的所有$1\leq ω\leq k$，如果$D$是一个$1^{*}$ -强（分别）。$1^{*}$ -弱）连接。本文证明了具有$n$顶点和不规则$i(T)\leq k$的竞赛图，如果$n\geq6t+5k$ $(t\geq2)$，则$κ_{s}^{*}(T)\geq t$和$κ_{w}^{*}(T)\geq t+1$，如果$n\geq6t+5k-3$ $(t\geq2)$ .
Threshold and hitting time for high-order connectivity in random hypergraphs
考虑$k$ -一致超图的连通性定义：两个$j$ -集是$j$ -连通的，如果它们之间有一条边的行走，使得两个连续的边至少相交于$j$的顶点.确定了边概率为$p$的随机$k$ -均匀超图成为$j$ -连通的概率为高的阈值.我们还推导出一个随机超图过程的首中时结果-超图成为$j$ -连接的时刻正好是最后一个孤立的$j$ -集消失的时刻。这推广了著名的结果图。
Spectral Threshold for Extremal Cyclic Edge-Connectivity
图$G$的循环边连通度是最小的$k$，使得存在一组$k$边，去除这些边将$G$断开为组件，其中每个组件包含一个循环。我们证明了对于最小度至少为3且围长$g$至少为4的图，循环边连通度上界为$(Δ-2)g$，其中$Δ$是最大度.然后，我们证明了，如果第二特征值的邻接矩阵的$d$ -正则图的周长$g\geq4$是足够小的，那么循环边连通度是$(d-2)g$，提供了一个谱条件时，这个上界循环边连通度是紧的。
The polynomial algorithm for optimal spanning hyperforest problem
本文研究了超图连通性的一个理论，并证明了对于任意给定的加权q-一致超图，求最优生成超森林（超树）的多项式算法。
Spanning tree enumeration via triangular rank-one perturbations of graph Laplacians
我们提出了新的简短证明已知的生成树枚举公式的阈值和费勒斯图，通过证明这种图的拉普拉斯矩阵允许三角秩一扰动。然后，我们刻画了一组图的拉普拉斯矩阵承认三角秩1扰动的一类特殊的2-阈值图，介绍了洪，Kloks，和Villaamil。我们的工作介绍了（1）一个新的特征的特殊2-阈值图，推广了阈值图的特征的孤立和控制顶点，和（2）生成树计数公式的特殊2-阈值图，减少到上述公式的阈值和费勒斯图。我们考虑未加权和加权生成树枚举。
Spanning tree packing and 2-essential edge-connectivity
如果$G-X$有两个组件，每个组件至少有$r$边，则$G$的边（顶点）切割$X$是$r$-必需的。图$G$是$r$ -本质上是$k$ -边连通的（分别是$k$ -连接），如果它没有$r$ -基本边（分别顶点）切割的大小小于$k$。如果是$r=1$，我们就称之为基本的。最近，Lai和Li证明了每个$m$ -边连通本质$h$ -边连通图都包含$k$边不交生成树，其中$k,m,h$是正整数，使得$k+1\le m\le 2k-1$和$h\ge \frac{m^2}{m-k}-2$ .本文证明了每个$m$ -边连通图和$2$ -本质$h$ -边连通图，如果不是$K_5$或重数小于$k$的胖三角形，都有$k$边不交生成树，其中$k+1\le m\le 2k-1$和$$h\ge f(m,k)=\begin{cases} 2m+k-4+\frac{k(2k-1)}{2m-2k-1}, & m< k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}, \\ m+3k-4+\frac{k^2}{m-k}, & m\ge k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}. \end{cases}$$推广了Zhan的结果，我们还证明了每个3-边连通本质5-边连通和$2$ -本质8-边连通的图都有两棵边不相交的生成树。作为应用，给出了线图Hamilton连通的一个新的充分条件。在2012年，Kaiser和…
Spanning $F$-cycles in random graphs
我们最近的一个论点的卡恩，纳拉亚南和公园（会议记录的AMS，出现）的阈值出现的平方汉密尔顿循环到其他跨越结构。特别地，对于任何生成图，我们给出了一个充分条件，在此条件下我们可以确定它的阈值。作为一个应用程序，我们找到了一组循环有序的副本的$C_4$，跨越整个顶点集的阈值，使任何两个连续的副本重叠，正好在一个边缘和所有重叠的边缘是不相交的。这就回答了弗里兹的一个问题。我们还确定了边缘重叠跨越$K_r$ -循环的阈值。
Sharp thresholds for spanning regular subgraphs
本文证明了 $G(n,p)$ 中出现 Hamilton 圈平方的锐阈值，并求出了与固定 $d$-正则图同构的支撑子图阈值的精确渐近性，证实了相关猜想。
Acquaintance time of random graphs near connectivity threshold
Benjamini、Shinkar和Tsur提出了关于相识时间的猜想：对于随机图$G \in G(n,p)$，渐近几乎必然$AC(G) \le p^{-1} \log^{O(1)} n$，条件是$G$连通。最近，Kinnersley，Mitsche和第二作者向这个猜想迈出了重要的一步，他们证明了$AC(G) = O(\log n / p)$是渐近几乎必然的，只要$G$有一个哈密顿圈。在本文中，我们完成的任务，表明猜想持有的最强可能的意义上，也就是说，它持有的时间，随机图过程创建一个连通图的权利。此外，我们推广和研究的问题，随机超图。
Connectivity preserving spanning $(u,v)$-paths in $k$-connected graphs
本文证明：对于最小度至少为 (n+1)/2 的 k-连通图 G，存在哈密顿 (u,v)-路 P 使得 G-E(P) 仍 k-连通，并推广到 s 条内部不相交的生成 (u,v)-路。
A Sharp Threshold for Spanning 2-Spheres in Random 2-Complexes
图中的哈密顿圈是与圈同胚的生成子图。考虑到这一点，很自然地将d维单纯复形中的哈密顿d-球面定义为与d维球面同胚的生成子复形。考虑随机单纯复形的Linial-Meshulam模型，证明了随机$2$ -复形在$p=\sqrt{\frac{e}{γn}}$处存在一个明显的Hamilton $2$ -球的出现阈值，其中$γ= 4^4/3^3$ .
The Complexity of Mixed Arc-Disjoint Spanning Subdigraphs with Antistrong Connectivity
该研究证明了关于反强连通性的两个混合弧不交生成子图判定问题均为NP-完全，还给出了其在特定有向图类上的困难性结果，否定了多项式时间求解的可能性。
The generalized connectivity of complete bipartite graphs
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$ -子集$S$。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。此外，$κ_{n}(G)$是$G$的边不相交生成树的最大数目。本文主要研究了完全二部图PDMATHBNF的PDMATHBMO-连通性.首先，我们得到了$K_{a,b}$的边不交生成树的个数，即$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$，并具体给出了$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$边不交生成树。在此基础上，我们得到了所有$2\leq k \leq a+b$的$K_{a,b}$的$k$连通性.即，如果$k>b-a+2$和$a-b+k$是奇数，则$κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k…
On the connectivity Waiter-Client game
在这个简短的说明中，我们考虑一个变化的连接Waiter-Client游戏$WC(n,q,\mathcal{A})$上播放的$n$ -顶点图$G$，其中包括$q+1$不相交的生成树。在这个游戏中，在每一轮服务员提供客户端$q+1$边缘的$G$尚未提供。客户端选择一条边，其余的$q$边将被丢弃。Waiter的目的是迫使Client构建一个连通图。如果发生这种情况，服务员赢了。否则，客户就是赢家。我们考虑的情况下，$2 < q+1 < \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$，并表明，对于每个这样的$q$存在一个图$G$，客户端有一个获胜的策略。这个结果与$G$仅由2个生成树组成或$G$是完全图的情况相反，因为已经表明，对于这样的图，Waiter总是可以迫使Client构建连通图。
A rainbow connectivity threshold for random graph families
给定一个公共顶点集$X$上的图族$\mathcal G$，如果对于每个顶点对$u,v \in X$，都存在一条从$u$到$v$的路，该路最多使用$\mathcal G$中每个图的一条边，则称$\mathcal G$是彩虹连通的.我们考虑的情况下，$\mathcal G$包含$s$图，每一个随机抽样$G(n,p)$，$n = |X|$和$p = \frac{c \log n}{sn}$，其中$c > 1$是一个常数。我们证明了当$s$足够大时，$\mathcal G$是a.a.s.彩虹连接，并且当$s$足够小时，$\mathcal G$是a.a.s.没有彩虹连接。我们还计算了$\mathcal G$的彩虹连接的$s$的阈值，我们表明，这个阈值是集中在最多三个值，这是由约$\frac{\log n}{(\log \log n)^2}$大于$\mathcal G$的工会的直径。同样的结果也适用于更传统的随机彩虹设置，其中我们取一个随机图$G\in G(n,p)$与$p=\frac{c \log n}{n}$（$c>1$），并用从$s$颜色集合$[s]$中随机均匀选择的颜色对$G$的每条边进行着色。
Sharp connectivity thresholds for mixed rigidity packings and improved bounds for highly connected orientations of graphs
本文证明了一个统一定理，给出混合刚性生成子图填充的尖锐连通性阈值，并改进了高度连通定向的二次上界，解决了两个猜想并降低了首项系数。
Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs
当$k|n$时，树$\mathrm{Comb}_{n,k}$由一条包含$n/k$顶点的路组成，每个顶点都有一个从它开始的不相交路长$k-1$.我们证明了，对于任何$k=k(n)$和$ε>0$，二项式随机图$\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$几乎必然包含$\mathrm{Comb}_{n,k}$作为子图.这改进了Kahn，Lubetzky和Wormald最近的一个结果.我们证明了一个类似的声明，更一般的一类树包含这些梳和所有有界度生成树，至少有$εn/ \log^9n$不相交的裸路径长度$\lceil\log^9 n\rceil$。我们还给出了一个在二项随机图中寻找大扩张子图的有效方法。这使我们能够改善Balogh，Csaba，Pei和Samotij关于几乎生成树的结果。
Semidegree threshold for spanning trees in oriented graphs
研究证明，当有向图的最小半度数满足一定条件时，能保证包含所有具有有限最大度数的有向树。
Packing spanning trees and the $k$-tree protocol
本文给出了最大生成树可包装图的结构描述和不变量，即G的边连通度等于G中边不相交生成树的最大个数的图G.这些图对于Itai和Rodeh [Inform.的Comput。79（1988），43-59]。
The Exact Degree Threshold for Complement Connectivity
针对图的补图连通性问题，引入补连通容许对概念，定义并证明了保证图或其补图k-连通的精确最小度阈值，还推导了相关Nordhaus-Gaddum型乘积条件并证明不存在仅依赖特定参数的类似乘积条件。
A note on packing spanning trees in graphs and bases in matroids
我们考虑一类图的边连通度等于边不相交的生成树的最大数目，并自然推广到拟阵，其中cogirth等于不相交的基的数目。我们提供这样的图和拟阵的描述，表明这样的图（或拟阵）有一个独特的分解。在图的情况下，我们的结果是相关的某些通信协议。
Connectivity of Old and New Models of Friends-and-Strangers Graphs
本文研究朋友与陌生人图的连通性，改进随机图阈值概率的上下界，否证两个猜想，并推广该概念至顶点带多重性的情形。
Color-avoiding connected spanning subgraphs with minimum number of edges
本文研究避色连通图的最大可移除边数问题，证明其为NP难问题，提出多项式时间近似算法，确定了给定参数下避色连通图的最小边数，并将边避色连通性推广至拟阵。
Connectivity, toughness, and hamiltonicity of simplicial polytopes
针对 $d\ge4$ 的单纯多面体，构造了满足指定连通度、低坚韧度且不可迹的例子，否定了高连通度保证高维多面体哈密顿性的猜想，还得到了短度系数和指数的相关结论。
Thresholds vs. expectation thresholds for non-spanning graphs
研究构造了小图，其包含阈值与分数期望阈值的顺序不同，证明了存在常数c>0，使得对于任意m≤n，存在图H满足v_H=m且p_c(H)大于q_f(H)乘以c log^{1/2}(v_H)。
Positive co-degree thresholds for spanning structures
本文研究超图最小正余度对生成结构的保证作用，精确或渐近确定了 Berge Hamilton 圈、loose Hamilton 圈及完美匹配的相应阈值。
An Improved Degree Condition for Connectivity-Preserving Spanning $(u,v)$-Paths
本研究针对Teng和田提出的关于k-连通图中保持连通性的生成(u,v)-路径的最小度条件猜想，给出了肯定证明，同时改进了图的阶数下界要求。
Connectivity Graph-Codes
本文定义了图 $H$ 的连通性码，证明了 $d$-正则扩展图的最大连通性码基数达到上界 $2^{δ(H)}$，并指出在三次图等自然实例中该等号不成立。
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
Connectivity threshold for Bluetooth graphs
我们研究了随机蓝牙图模型某些“ad hoc”无线网络的连通性。这些图是作为著名的随机几何图模型的“灌溉子图”获得的。有两个参数控制模型：半径$r$，它确定每个节点的“可见邻居”;以及每个节点允许发送到这些邻居的边的数量$c$。随机性来自空间中数据点的潜在分布以及每个顶点的选择。我们证明，没有连接可以发生高概率的参数范围$r, c$和完全表征的连通性阈值（在$c$）的值$r$接近临界值的连接在底层的随机几何图形。
Counting Spanning Trees of Threshold Graphs
Cayley公式指出，在完全图的$n$顶点上存在$n^{n-2}$生成树;在其150年的历史中，已经用十几种不同的方法证明了这一点。完全图是阈值图的一种特殊情况，利用梅里斯定理和矩阵树定理，有一个非常简单的公式来计算阈值图中$n$顶点上的生成树的数目;它只是$i=2,3, ...,n-1$上度至少为$i$的顶点数的乘积。在这篇手稿中，我们提供了一个直接的组合证明这个公式，不使用矩阵树定理，证明是一个扩展的Joyal的凯莱公式的证明。然后，我们应用这种方法，给出了一个公式的生成树的数量在任何差异图。
Distribution of components in the k-nearest neighbour random geometric graph for k below the connectivity threshold
设S_{n,k}表示按强度为1的Poisson点过程在面积为n的正方形内放置点，并将每个点连接到该过程中最靠近它的k=k（n）个点所得到的随机几何图。本文证明，如果Pr（S_{n,k} connected）> n^{-γ_1}则S_{n,k}包含一对彼此“接近”的“小”分量的概率为o（n^{-c_1}）（在“小”和“接近”的精确意义上），对于某些绝对常数γ_1>0和c_1 >0。这回答了沃尔特斯的一个问题。（类似的结果是由Balister独立获得的。作为我们的结果的一个应用，我们证明了S_{n,k}的连通分量的分布低于连通阈值是渐近泊松。
Sharp threshold for embedding balanced spanning trees in random geometric graphs
一棵有根树是平衡的，如果一个顶点的度只取决于它到根的距离。本文确定了随机几何图$\mathcal{G}(n,r,d)$中平衡生成树出现的最小阈值。特别是，我们找到了平衡二叉树的尖锐阈值。更一般地说，我们表明，所有序列的平衡树一致有界度和高度趋于无穷大出现在一个尖锐的阈值以上，这些都没有出现在同一个值以下。我们的结果更一般的几何图满足一个温和的条件，其顶点集的分布，我们提供了一个多项式时间算法找到这样的树。
Sharp threshold functions for the random intersection graph via coupling method?
我们将提出一种新的方法，使我们能够找到门限函数的许多性质的随机交图。该方法将被用于建立随机交图中k-连通、完美匹配包含和Hamilton圈包含的尖锐门限函数。
Rainbow connectivity Maker-Breaker game
本文研究了在图系统上的彩虹连通性制造-破坏游戏，确定了阈值偏置并推翻了相关猜想。
Sharp thresholds for spanning regular graphs
设$d\geq 3$为常数，$F$为$[n]$上的$d$ -正则图，对称性不多.根据并界，同构于$F$的$G(n,p)$中存在生成子图的概率阈值至少为$p^*(n)=(1+o(1))(e/n)^{2/d}$ .我们给出了一个严格的边界上的$F$的边缘扩展，保证$F$的副本的出现的概率阈值具有相同的数量级的$p^*$。我们还证明，在这个界限的轻微加强，概率阈值是渐近等于$p^*$。特别地，它证明了Kahn，Narayanan和Park关于Hamilton圈的平方包含的尖锐阈值的猜想。这也意味着，对于$d\geq 4$和（渐近地）几乎所有的$[n]$上的$d$ -正则图$F$，$p(n)=(e/n)^{2/d}$是$F$ -包含的一个尖锐的阈值。
Connectivity Thresholds for Bounded Size Rules
在Achlioptas过程中，从一个有n个顶点且没有边的图开始，在每一轮中随机均匀地绘制$d \geq 1$边，并使用某种规则选择其中之一并添加到演化图中。对于类Achlioptas进程，我们调查有多少影响的规则上的一个最基本的属性图：连通性。我们的主要结果是双重的。首先，我们研究了著名的一类有界大小规则，它根据顶点的分量大小来选择要添加的边，平等地对待大于某个常数的所有大小。对于这样的规则，我们提供了一个很好的分析，暴露了有限的分布轮数，直到图得到连接，我们给出了一个详细的图片的动态形成的单个组件从较小的组件。其次，我们的研究结果使我们能够研究所有Achlioptas过程的连接过渡，在这个意义上，我们确定了一个过程，尽可能加快它。
Approximation and FPT Algorithms for Finding DM-Irreducible Spanning Subgraphs
本文针对与二分图Dulmage--Mendelsohn分解相关的DM-不可约生成子图推广问题，拓展了原有向图强连通生成子图问题的2-近似算法及固定参数可处理结果。
A note on spanning $K_r$-cycles in random graphs
我们发现的边缘不相交的$K_r$，形成一个循环结构，并跨越所有顶点的$G_{n,p}$的副本的集合存在的阈值。我们利用Riordan的一个最近结果给出了主要结果的两行证明。
An $O(k\log(n/k))$ Bound on Spanning Bipartite Connectivity
本文证明了任意高连通图包含生成双部 $k$-连通子图所需的最小连通度 $f(k,n)$ 满足 $f(k,n)=O(k\log(n/k))$，改进了先前结果，并部分验证了 Thomassen 猜想。
Spanning universality in random graphs
一个图称为$\mathcal{H}(n, Δ)$ -泛图，如果它包含所有在$n$顶点上的图，且最大度至多为$Δ$ .使用由Alon和Füredi、Dellamonica、Kohayakawa、Rödl和Rucibrski引入的“基于匹配的”嵌入技术，证明了随机图$G_{n,p}$是渐近几乎必然的$\mathcal{H}(n, Δ)$ -对$p = \tilde Ω(n^{-1/Δ})$是通用的-对于$Δ$顶点的每个子集都有公共邻居的属性的阈值。这个界限已成为该领域的一个基准，许多后续的结果嵌入生成结构的最大程度$Δ$在随机图证明只有到这个阈值。我们采取了一个步骤，克服以前的技术的局限性，表明$G_{n,p}$几乎肯定是$\mathcal{H}(n, Δ)$ -通用的$p = \tilde Ω(n^{- 1/(Δ-1/2)})$。
On simple connectivity of random 2-complexes
$2$维线性-Meshulam随机单纯复形$Y_2(n,p)$的基本群首先由Babson，Hoffman和Kahle研究。他们证明了$Y_2(n,p)$的简单连通性的阈值概率约为$p\approx n^{-1/2}$。在本文中，我们证明了这个阈值概率至多是$p\le (γn)^{-1/2}$，其中$γ= 4^4/3^3$，并推测这个阈值是尖锐的。事实上，我们表明，$p=(γn)^{-1/2}$是一个尖锐的阈值概率为较强的性能，每个周期的长度$3$是边界的子复杂的$Y_2(n,p)$是同胚的磁盘。我们的证明使用泊松范式，并依赖于一个经典的结果Tutte的枚举的平面三角剖分。
Homological connectivity of random hypergraphs
考虑了由二项式随机3-一致超图通过取下闭包生成的单纯复形。我们确定当这个单纯复形是同调连通的，这意味着它的第零和第一个同调群的系数在$\mathbb{F}_2$消失。虽然这不是本质上是一个单调的属性，我们表明，它仍然有一个单一的尖锐的阈值，并证明了一个首中时的结果有关的连通性的消失，最后的最小障碍。
A solution to Godsil's conjecture on the edge-connectivity of graphs in association schemes
本文通过组合学和电信网络方法证明了关联方案中图的边连通度等于其顶点度数，并展示了连通正则等arboreal图具有完美匹配的性质。
On the connectivity threshold for colorings of random graphs and hypergraphs
设$Ω_q=Ω_q(H)$表示超图$H$的真$[q]$ -染色集.设$Γ_q$是顶点集为$Ω_q$，边为${σ,τ\}$的图，其中$σ,τ$是着色当且仅当$h(σ,τ)=1$ .这里$h(σ,τ)$是汉明距离$|\{v\in V(H):σ(v)\neqτ(v)\}|$。本文证明了：如果$H=H_{n,m;k},\,k\geq 2$，随机$k$ -一致超图$V=[n]$和$m=dn/k$是连通的，那么当$d$足够大且$q\gtrsim (d/\log d)^{1/(k-1)}$足够大时w. h. p. $Γ_q$是连通的.
Spanning triangulations in random graphs
本文研究了随机图中生成k边形的生成三角化阈值，确定了在任意3≤k≤n的情况下，出现生成k边形三角化的概率阈值。
Packing of Rigid Spanning Subgraphs and Spanning Trees
证明了每个（6 k + 2l，2k）-连通简单图都含有k个刚性l个连通边不交生成子图.这蕴涵了Jackson和Jordán [4]的一个定理和Jordán [6]关于刚性生成子图的填充的一个定理。这两个结果都是Lovász和Yemini [9]的经典结果的推广，即每个6-连通图都是刚性的，我们的方法提供了一个透明的证明。我们的结果还给出了两个改进的图的连通度上界，它们具有有趣的性质：（1）每个8-连通图都有一个生成树和一个2-连通生成子图;（2）每个14-连通图都有一个2-连通定向图.
Connectivity of random hypergraphs with a given hyperedge size distribution
本文研究超边大小分布为重尾且允许超大边的随机超图，证明其连通性阈值主要由平均超边大小决定，对分布形状和高阶矩不敏感，并将结果推广到随机交集图模型。
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
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