A rainbow connectivity threshold for random graph families
给定一个公共顶点集$X$上的图族$\mathcal G$，如果对于每个顶点对$u,v \in X$，都存在一条从$u$到$v$的路，该路最多使用$\mathcal G$中每个图的一条边，则称$\mathcal G$是彩虹连通的.我们考虑的情况下，$\mathcal G$包含$s$图，每一个随机抽样$G(n,p)$，$n = |X|$和$p = \frac{c \log n}{sn}$，其中$c > 1$是一个常数。我们证明了当$s$足够大时，$\mathcal G$是a.a.s.彩虹连接，并且当$s$足够小时，$\mathcal G$是a.a.s.没有彩虹连接。我们还计算了$\mathcal G$的彩虹连接的$s$的阈值，我们表明，这个阈值是集中在最多三个值，这是由约$\frac{\log n}{(\log \log n)^2}$大于$\mathcal G$的工会的直径。同样的结果也适用于更传统的随机彩虹设置，其中我们取一个随机图$G\in G(n,p)$与$p=\frac{c \log n}{n}$（$c>1$），并用从$s$颜色集合$[s]$中随机均匀选择的颜色对$G$的每条边进行着色。
2021-07-14 math.CO
The Exact Degree Threshold for Complement Connectivity
Bilkent University（比尔肯特大学）
针对图的补图连通性问题，引入补连通容许对概念，定义并证明了保证图或其补图k-连通的精确最小度阈值，还推导了相关Nordhaus-Gaddum型乘积条件并证明不存在仅依赖特定参数的类似乘积条件。
2026-10-14 math.CO
Connectivity of Old and New Models of Friends-and-Strangers Graphs
本文研究朋友与陌生人图的连通性，改进随机图阈值概率的上下界，否证两个猜想，并推广该概念至顶点带多重性的情形。
2023-09-07 math.CO
Sharp threshold functions for the random intersection graph via coupling method?
我们将提出一种新的方法，使我们能够找到门限函数的许多性质的随机交图。该方法将被用于建立随机交图中k-连通、完美匹配包含和Hamilton圈包含的尖锐门限函数。
2009-11-24 math.CO
Connectivity threshold for Bluetooth graphs
我们研究了随机蓝牙图模型某些“ad hoc”无线网络的连通性。这些图是作为著名的随机几何图模型的“灌溉子图”获得的。有两个参数控制模型：半径$r$，它确定每个节点的“可见邻居”;以及每个节点允许发送到这些邻居的边的数量$c$。随机性来自空间中数据点的潜在分布以及每个顶点的选择。我们证明，没有连接可以发生高概率的参数范围$r, c$和完全表征的连通性阈值（在$c$）的值$r$接近临界值的连接在底层的随机几何图形。
2011-03-02 cs.DM cs.NI math.CO
Distribution of components in the k-nearest neighbour random geometric graph for k below the connectivity threshold
设S_{n,k}表示按强度为1的Poisson点过程在面积为n的正方形内放置点，并将每个点连接到该过程中最靠近它的k=k（n）个点所得到的随机几何图。本文证明，如果Pr（S_{n,k} connected）> n^{-γ_1}则S_{n,k}包含一对彼此“接近”的“小”分量的概率为o（n^{-c_1}）（在“小”和“接近”的精确意义上），对于某些绝对常数γ_1>0和c_1 >0。这回答了沃尔特斯的一个问题。（类似的结果是由Balister独立获得的。作为我们的结果的一个应用，我们证明了S_{n,k}的连通分量的分布低于连通阈值是渐近泊松。
2013-09-17 math.CO math.PR
Rainbow connectivity Maker-Breaker game
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）；Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Sciences, University of Novi Sad（诺维萨德大学理学院数学与信息学系）
本文研究了在图系统上的彩虹连通性制造-破坏游戏，确定了阈值偏置并推翻了相关猜想。
2026-03-10 math.CO
Connectivity of the k-out Hypercube
本文研究了由$k$ -out模型生成的$n$ -立方体的随机子图的连通性，记为$Q^n(k)$。令$k$为整数$1\leq k \leq n-1$。我们让$Q^n(k)$是通过独立地包括每个$v\in V(Q^n)$的一组$k$不同的边缘，从所有的$\binom{n}{k}$集的不同的边缘，是事件$v$均匀选择生成的图。我们研究了当$k$变化时，$Q^n(k)$的连通性.我们发现，w. h. p. $Q^n(1)$不包含一个巨大的组成部分，即一个组件，跨越$Ω(2^n)$顶点。此后，我们表明，这样的组件出现时$k=2$。此外，巨分量跨越除了$o(2^n)$之外的所有顶点，因此它是唯一的。然后，我们建立在$k_0= \log_2 n -2\log_2\log_2 n $上找到的连接阈值。阈值是尖锐的意义上说，$Q^n(\lfloor k_0\rfloor )$是断开的，但$Q^n(\lceil k_0\rceil+1)$连接w. h. p.此外，我们表明，w. h. p. $Q^n(k)$是$k$ -连接的每一个$k\geq \lceil k_0\rceil+1$。
2017-06-11 math.CO
Homological connectivity of random hypergraphs
考虑了由二项式随机3-一致超图通过取下闭包生成的单纯复形。我们确定当这个单纯复形是同调连通的，这意味着它的第零和第一个同调群的系数在$\mathbb{F}_2$消失。虽然这不是本质上是一个单调的属性，我们表明，它仍然有一个单一的尖锐的阈值，并证明了一个首中时的结果有关的连通性的消失，最后的最小障碍。
2016-04-04 math.CO
Connectivity Thresholds for Bounded Size Rules
在Achlioptas过程中，从一个有n个顶点且没有边的图开始，在每一轮中随机均匀地绘制$d \geq 1$边，并使用某种规则选择其中之一并添加到演化图中。对于类Achlioptas进程，我们调查有多少影响的规则上的一个最基本的属性图：连通性。我们的主要结果是双重的。首先，我们研究了著名的一类有界大小规则，它根据顶点的分量大小来选择要添加的边，平等地对待大于某个常数的所有大小。对于这样的规则，我们提供了一个很好的分析，暴露了有限的分布轮数，直到图得到连接，我们给出了一个详细的图片的动态形成的单个组件从较小的组件。其次，我们的研究结果使我们能够研究所有Achlioptas过程的连接过渡，在这个意义上，我们确定了一个过程，尽可能加快它。
2014-10-13 math.CO math.PR
On simple connectivity of random 2-complexes
$2$维线性-Meshulam随机单纯复形$Y_2(n,p)$的基本群首先由Babson，Hoffman和Kahle研究。他们证明了$Y_2(n,p)$的简单连通性的阈值概率约为$p\approx n^{-1/2}$。在本文中，我们证明了这个阈值概率至多是$p\le (γn)^{-1/2}$，其中$γ= 4^4/3^3$，并推测这个阈值是尖锐的。事实上，我们表明，$p=(γn)^{-1/2}$是一个尖锐的阈值概率为较强的性能，每个周期的长度$3$是边界的子复杂的$Y_2(n,p)$是同胚的磁盘。我们的证明使用泊松范式，并依赖于一个经典的结果Tutte的枚举的平面三角剖分。
2018-06-08 math.CO math.GT math.PR
Homological connectivity of random k-dimensional complexes
令Delta_{n-1}表示（n-1）维单纯形。设Y是Delta_{n-1}的一个随机k维子复形，它是从Delta_{n-1}的全（k-1）维骨架开始，然后以概率p独立地将每个k-单形相加而得到的。设H_{k-1}（Y;R）表示Y的系数在有限阿贝尔群R中的（k-1）维约化同调群。设R和k \geq 1是固定的。证明了p=（\log n）/n是H_{k-1}（Y;R）为零的一个锐阈值.
2006-09-27 math.CO
Connectivity of random hypergraphs with a given hyperedge size distribution
本文研究超边大小分布为重尾且允许超大边的随机超图，证明其连通性阈值主要由平均超边大小决定，对分布形状和高阶矩不敏感，并将结果推广到随机交集图模型。
2024-06-03 math.CO math.PR
On the connectivity threshold for colorings of random graphs and hypergraphs
设$Ω_q=Ω_q(H)$表示超图$H$的真$[q]$ -染色集.设$Γ_q$是顶点集为$Ω_q$，边为${σ,τ\}$的图，其中$σ,τ$是着色当且仅当$h(σ,τ)=1$ .这里$h(σ,τ)$是汉明距离$|\{v\in V(H):σ(v)\neqτ(v)\}|$。本文证明了：如果$H=H_{n,m;k},\,k\geq 2$，随机$k$ -一致超图$V=[n]$和$m=dn/k$是连通的，那么当$d$足够大且$q\gtrsim (d/\log d)^{1/(k-1)}$足够大时w. h. p. $Γ_q$是连通的.
2018-03-28 cs.DM math.CO math.PR
The threshold of symmetry in random graphs with specified degree sequences
给出了具有指定度序列的随机图是对称图或非对称图的充分条件。在有界度序列的情况下，我们的刻画捕捉随机图的对称性的相变。这种相变与图的连通性相一致。然而，当最大度是随着顶点数趋于无穷大而增长的函数时，我们的结果表明，这两个阈值不再重合
2020-04-03 math.CO
Rainbow $k$-connectivity of random bipartite graphs
边着色图$G$中的路径称为彩虹路径，如果路径的两条边都不是相同着色的。对$G$的边着色使得每对顶点至少由$k$内部顶点不相交的彩虹路径连接所需的最小颜色数被称为图$G$的彩虹$k$ -连通性，由$rc_k(G)$表示。对于随机图$G(n,p)$，He和Liang得到了性质$rc_k(G(n,p))\leq d$的一个尖锐的门限函数.本文将这一结果推广到随机二部图$G(m,n,p)$的情形。
2012-12-26 math.CO
Colorful monochromatic connectivity of random graphs
一个连通图$G$的边染色称为{\it单色连通染色}（简称MC-染色），由Caro和Yuster提出，如果图$G$的任意两个顶点之间有一条单色路连接.令$mc(G)$表示图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。注意，如果$G$不连通，则MC-着色不存在，在这种情况下，我们简单地让$mc(G)=0$。我们使用$G(n,p)$来表示Erdös-Rényi随机图模型，其中每个$\binom{n}{2}$顶点对以概率$p$独立于其他顶点对的方式出现为边。对于任何函数$f(n)$满足$1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$，我们表明，如果$\ell n \log n\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$其中$\ell\in \mathbb{R}^+$，那么$p=\frac{f(n)+n\log\log n}{n^2}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$;如果$f(n)=o(n\log n)$，那么$p=\frac{\log n}{n}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$。
2014-12-31 math.CO
Sharp connectivity thresholds for mixed rigidity packings and improved bounds for highly connected orientations of graphs
Shandong University（山东大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文证明了一个统一定理，给出混合刚性生成子图填充的尖锐连通性阈值，并改进了高度连通定向的二次上界，解决了两个猜想并降低了首项系数。
2026-09-22 math.CO
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
2018-02-22 math.CO math.PR
Connectivity threshold for superpositions of Bernoulli random graphs. II
本文研究了独立伯努利随机图叠加后的连通性阈值，给出了在特定条件下并图连通概率趋于 $e^{-e^c}$ 的极限定理，并推广至非同分布情形。
2023-11-15 math.CO math.PR
On the Mixing Time of Geographical Threshold Graphs
本文研究了随机几何图（RGG）的推广--地理阈值图（GTG）模型生成的$d$ -维环面单位立方体$[0,1]^d$中随机图的混合时间。在GTG中，节点分布在欧几里得空间中，并且根据涉及节点之间的距离以及从某种分布中随机选择的节点权重的门限函数来分配边。GTG的连通性阈值与RGG的连通性阈值相当，基本上对应于$r=(\log n/n)^{1/d}$的连通性半径。然而，在这个阈值下的度分布是完全不同的：在RGG中，度基本上是均匀的，而RGG具有依赖于权重分布的异质度。本文研究了$d$维GTG上随机游动在$d \geq 2$连通性阈值附近的混合时间.如果对于任意小的常数$ν>0$，权重分布函数以$\mathbb{P}[W \geq x] = O(1/x^{d+ν})$衰减，则GTG的混合时间为$\mixbound$。这与$d$维RGG的已知混合边界相匹配。
2011-09-20 cs.DM math.CO math.PR
Asymptotically Optimal Threshold Bias for the $(a : b)$ Maker-Breaker Minimum Degree, Connectivity and Hamiltonicity Games
本文研究完全图上的 $(a:b)$ Maker-Breaker 最小度、连通性与哈密顿性博弈，通过 Maker 与 Breaker 策略确定渐近最优阈值偏置。
2024-06-16 math.CO
On Connectivity Thresholds in the Intersection of Random Key Graphs on Random Geometric Graphs
在$n$节点的随机密钥图（RKG）中，每个节点被随机分配来自$P_n$密钥池的$K_n$密码密钥的密钥环。如果两个节点在它们的密钥环中至少有一个公共密钥，则它们可以直接通信。我们假设$n$节点均匀分布在$[0,1]^2.$中。除了公共密钥要求之外，我们还要求两个节点也在彼此的$r_n$内，以便能够具有直接边。因此，我们有一个随机图，其中RKG是叠加在熟悉的随机几何图（RGG）。对于这样一个随机图，我们得到了使图渐近几乎必然连通的$K_n,$ $P_n$和$r_n$之间关系的紧界.
2013-05-01 cs.IT math.CO math.IT
Thresholds in random motif graphs
我们介绍了一个自然的推广的Erdens-Rényi随机图模型，其中一个固定的主题的随机实例独立添加。二项式随机基序图$G(H,n,p)$是通过以概率$p$独立地将固定图$H$的实例添加到$n$顶点上的完全图中的$H$的每个副本上而获得的随机（多）图。我们建立了每个单调属性有一个阈值在这个模型中，并确定阈值的连通性，哈密尔顿性，存在一个完美的匹配，和子图的外观。此外，在前三种情况下，我们给出了类似的首中时结果;在高概率情况下，随机模体图过程中具有最小度1（或2）的第一个图是连通的，并且包含完美匹配（或分别为Hamilton）。
2019-07-28 math.CO
The evolution of random subgraphs of the permutahedron
Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算科学学院）；RobotDreams GmbH（RobotDreams有限公司）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）
本文研究了置换体的渗透和连通性阈值，开发了新的图探索技术，并探讨了置换体的等周性质。
2026-10-26 math.CO
On the pedant tree-connectivity of graphs
Hager在1985年提出了树连通性的概念。对于图$G=(V,E)$和至少有两个顶点的集合$S\subseteq V(G)$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称为\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，它是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S$ -Steiner树，如果$S$中每个顶点的度都等于1，则此树称为\emph{pedant $S$-Steiner tree}。两个pedant $S$-Steiner树$T$和$T'$被称为\emph{internally disjoint}，如果$E(T)\cap E(T')=\varnothing$和$V(T)\cap V(T')=S$ .对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{local pedant-tree connectivity} $τ_G(S)$是$G$中内部不相交的$S$-Steiner树的最大数目.对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，\emph{$k$-pedant tree-connectivity}定义为$τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。本文首先研究…
2015-08-28 math.CO
Connectivity threshold for superpositions of Bernoulli random graphs
该研究探讨多个独立伯努利随机子图并集的连通性阈值，证明阈值由相关混合矩刻画，给出连通概率趋于1或0的条件，并指出该二分法成立的混合矩约束。
2023-11-07 math.CO math.PR
The generalized 3-connectivity of random graphs
图$G$的广义连通度是由Chartrand等人提出的，设$S$是$G$的一个非空顶点集，$κ(S)$定义为$G$中连接$S$的最大内部不交树数$T_1, T_2, \cdots, T_k$.则对于具有$2 \leq r \leq n$的整数$r$，$G$的{ \it广义$r$ -连通性} $κ_r(G)$是$S$在$G$的顶点集的所有$r$ -子集上运行的最小$κ(S)$。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的顶点连通度，因此广义连通度是顶点连通度的自然推广。类似地，令$λ(S)$表示连接$G$中的$S$的成对边不相交树$T_1, T_2, \ldots, T_k$的最大数目$k$。然后定义$G$的{ \it广义$r$ -边连通度} $λ_r(G)$为$S$遍历$G$顶点集的所有$r$ -子集的最小$λ(S)$。很明显，是$λ_2(G) = λ(G)$。本文研究了随机图的广义3-连通度，证明了对任意固定整数$k\geq 1$，$$p=\frac{\log n+(k+1)\log \log n -\log \log \log n}{n}$$是$κ_3(G(n, p)) \geq k$性质的一个锐阈值函数，它可以看作是Bollobás和Pastason关于点连通度的结果的对应.此外，我们还得到了$δ(G(n,p)) - 1 = λ(G(n,p)) - 1 = κ(G(n,p)) -…
2013-03-21 math.CO
Fixed points of competitive threshold-linear networks
线性保持网络（TLN）是神经网络的模型，其由简单的、类似感知器的神经元组成，并且表现出由网络的连接性确定的非线性动态。TLN的不动点，包括稳定和不稳定的平衡，在塑造其涌现动力学中发挥着关键作用。在这项工作中，我们提供了两个新的刻画的竞争TLN的不动点集：第一个是在一个简单的符号条件，而第二个依赖于控制的概念。我们将这些结果应用到一个特殊的家庭的TLN，称为组合阈值线性网络（CTLN），其连接矩阵定义从有向图。这导致我们证明了一系列的图形规则，使一个确定不动点的CTLN通过分析底层图。此外，我们研究了由较小的“积木”子网络组成的较大的网络，并证明了几个定理有关的不动点的完整的网络，其组件。我们的研究结果提供了一种“图形演算”的基础来推断网络的连接动态的功能。
2018-08-03 cs.DM math.CO q-bio.NC
Connectivity of inhomogeneous random graphs
本文给出了具有中等密度的非齐次随机图的连通性条件。我们的结果推广了G（n，p）的经典结果，当p = clogn/n时.在可分的度量空间上，从一般分布中抽取n个独立点X_i，使它们的指数构成图的顶点集。以概率min（1，\K（X_i，X_j）log n/n）添加边（i，j），其中\K \ge 0是固定核。我们表明，在合理的弱假设下，模型的连通性阈值可以确定。
2012-10-23 math.CO math.PR
On Rainbow-$k$-Connectivity of Random Graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的所有边都有两两不同的颜色.对于$k\geq 1$，图$G$的\emph{rainbow-$k$-connectivity}，表示为$rc_k(G)$，是以每两个不同的顶点至少由$k$内部不相交的彩虹路径连接的方式对$G$的边着色所需的最小颜色数。本文研究了随机图的彩虹-PDMATHAMR-连通性.我们证明了对于每个固定整数$d\geq 2$和每个$k\leq O(\log n)$，$p=\frac{(\log n)^{1/d}}{n^{(d-1)/d}}$是一个尖锐的阈值函数的属性$rc_k(G(n,p))\leq d$。这基本上概括了Caro等人的结果，说明$p=\sqrt{\frac{\log n}{n}}$是属性$rc_1(G(n,p))\leq 2$的锐阈值函数。作为一个副产品，我们得到一个多项式时间算法，使$G(n,p)$彩虹$k$ -连接使用最多一个比最佳的颜色数概率$1-o(1)$，对于所有$k\leq O(\log n)$和$p=n^{-ε(1\pm o(1))}$为一些常数$ε\in[0,1)$。
2012-03-05 cs.DM math.CO
A curious gap in one-dimensional geometric random graphs between connectivity and the absence of isolated node
一维几何随机图是通过在单位间隔上均匀且独立地分布$n$节点，然后在具有至多$r_n$的距离的任何两个节点之间分配无向边来构造的。这些图已经收到了很大的兴趣，并被用于各种应用，包括无线网络。用于连接性的$r_n$的阈值在文献中被称为$r_n^{*} = \frac{\ln n}{n}$。在本文中，我们证明了不存在孤立节点的$r_n$的阈值是$\frac{\ln n}{2 n}$（即，阈值$r_n^{*}$的一半）。我们的结果表明，在一维几何随机图中，连通性阈值和孤立节点的不存在之间存在一个奇怪的差距;特别是，当$r_n$等于$\frac{c\ln n}{ n}$时，对于常数$c \in( \frac{1}{2}, 1)$，一维几何随机图没有孤立节点，但不连通。一维几何随机图中的这个奇怪的间隙与许多其他随机图中的普遍现象形成鲜明对比，如二维几何随机图、Erdens-Rényi图和随机相交图，所有这些图在渐近意义上只要没有孤立节点就变得连通。
2015-02-19 cs.DM cs.SI math.CO
Small components in k-nearest neighbour graphs
令$G=G_{n,k}$表示通过根据密度为1的泊松过程将点放置在面积为$n$的正方形中并将每个点与其$k$最近的邻居连接而形成的图。Balister、Bollobás、Sarkar和Walters证明了，如果是$k<0.3043\log n$，那么$G$连通的概率趋于0，而如果是$k>0.5139\log n$，那么$G$连通的概率趋于1。我们证明，在连通性的阈值附近，所有的顶点附近的边界的广场的一部分（唯一的）巨人组成部分。这表明，关于$G$连通性的论点不需要考虑“边界”效应。我们还改进了$G$到$k=0.4125\log n$的连通性阈值的上界。
2011-01-13 cs.CG math.CO math.PR
Connectivity and giant component in random distance graphs
已经提出了各种不同的随机图模型，其中图的顶点被视为度量空间的成员，并且顶点之间的边被确定为对应度量空间元素之间的距离的函数。我们在这里提出了一个模型$G=G(X, f)$，其中$(X, d)$是一个度量空间，$V(G)=X$，和$\mathbb{P}(u\sim v) = f(d(u, v))$，其中$f$是一个递减函数的可能的距离在$X$。我们考虑的情况下，$X$是$n\times n \times \dots\times n$整数格的尺寸$r$，与$d$的$\ell_1$度量，和$f(d) = \frac{1}{n^βd}$，并确定了一个阈值的出现巨组件和连接在这个模型。我们比较这个模型与传统的Waxman图。此外，我们详细讨论了2维节点的期望度。
2015-09-11 math.CO math.PR
Rainbow Connectivity of Sparse Random Graphs
一个边着色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连通性，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文研究了二项随机图在连通度阈值$p=\frac{\log n+\om}{n}$下的彩虹连通性，其中$\om=\om(n)\to\infty$和${\om}=o(\log{n})$是连通图，以及随机$r$ -正则图在连通度阈值下的彩虹连通性，其中$r \geq 3$是固定整数.具体地说，我们证明了彩虹连接$G=G(n,p)$ $rc(G)$满足$rc(G) \sim \max\set{Z_1,diameter(G)}$与高概率（\whp）。这里$Z_1$是$G$中度等于1的顶点数，并且$G$的直径渐近等于$\diam$ \whp。最后证明了随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通度$rc(G)$满足$rc(G) =O(\log^2{n})$ \whp .
2012-10-02 cs.DM cs.DS math.CO
Sharp thresholds, hitting times and the power of choice for random geometric graphs
本文研究了随机几何图中连通性、哈密顿性和$k$-连通性的到达时间及选择力量，证明在离线2选择过程中这些属性可更快实现，且使用更少点数。
2025-12-09 math.CO math.PR
Topology of random 2-dimensional cubical complexes
我们研究了随机二维立方复形的自然模型，它是一个n维立方体的子复形，并且其中每个可能的正方形$2$ -面都以概率p独立地包含在内。我们的主要结果是，作为$n \to \infty$，其同调消失有一个尖锐的阈值p=1/2。这是一个二维模拟的Burtin和Erdwords-Spencer定理表征连通性阈值的随机立方图。我们的主要结果也可以看作是随机二维单纯复形的Linial-Meshulam定理的一个立体对应。然而，这些模型表现出截然不同的行为。我们证明了，如果$p > 1 - \sqrt{1/2} \approx 0.2929$，那么高概率的基本群是一个自由群，每个最大的$1$维面有一个生成元。作为推论，即使在强“击中时首中时“意义下，同源消失和简单连通性也具有相同的阈值。这与单纯情况相反，单纯情况下阈值相距很远。证明依赖于一个迭代算法的收缩周期-我们表明，具有高概率的算法迅速，大大简化了基本群，收敛后，只有几个步骤。
2020-09-17 math.AT math.CO math.PR
