Connectivity of chamber graphs of buildings and related complexes
设Δ是一个有限的建筑物（或者更一般地说，是一个厚的球形的局部有限的建筑物）。腔室图G（Δ）的边是Δ中相邻腔室的对，已知G（Δ）对一定的数q=q（Δ）是q-正则的.我们的主要结果是G（Δ）在图论意义下是q-连通的.对Coxeter复形的腔室图和几何格的序复形也证明了类似的结果。
2009-07-02 math.CO
Face ring multiplicity via CM-connectivity sequences
Herzog，Huneke和Srinivasan的重数猜想在以下几类单纯复形的面环上得到了验证：拟阵复形，一维和二维复形，以及最多四维的Gorenstein复形.对于所有1-骨架连通度不超过余维加1的双Cohen-Macaulay复形的面环以及所有（d-1）维d-Cohen-Macaulay复形，也建立了该猜想的下界部分.证明的主要成分是一个新的解释的最小的变化，通过复杂的骨架的科恩-麦考利连接的分辨率的面环。
2006-06-10 math.AC math.CO
The word problem and the Aharoni-Berger-Ziv conjecture on the connectivity of independence complexes
对于每个有限单图$G$，Aharoni，Berger和Ziv考虑了一个递归定义的数$ψ(G) \in \mathbb{Z}\cup \{+ \infty \}$，它给出了独立复形$I_G$的拓扑连通性的下界.他们猜想，这个界限对每个图都是最优的。我们利用递归论的一个结果对这一论断给出了一个简短的反证。
2010-09-20 math.AT math.CO math.LO
Homological connectivity of random k-dimensional complexes
令Delta_{n-1}表示（n-1）维单纯形。设Y是Delta_{n-1}的一个随机k维子复形，它是从Delta_{n-1}的全（k-1）维骨架开始，然后以概率p独立地将每个k-单形相加而得到的。设H_{k-1}（Y;R）表示Y的系数在有限阿贝尔群R中的（k-1）维约化同调群。设R和k \geq 1是固定的。证明了p=（\log n）/n是H_{k-1}（Y;R）为零的一个锐阈值.
2006-09-27 math.CO
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
2018-02-22 math.CO math.PR
Connectivity of ample, conic and random simplicial complexes
一个单纯复形是$r$ -圆锥的，如果至多有$r$顶点的每个子复形都包含在一个顶点的星中.一个$4$ -圆锥复形是单连通的.证明了$8$ -圆锥复形是$2$ -连通的.一般来说，$(2n+1)$ -圆锥复合体不需要是$n$ -连通的，但$6^n$ -圆锥复合体是$n$ -连通的.这扩展了Even-Zohar，Farber和Mead关于充分复形的结果，并回答了他们论文中提出的两个问题。我们的结果和他们的结果一起意味着当顶点数趋于$\infty$时，复形是$n$ -连通的概率趋于$1$。我们这里的模型是中间状态。
2021-03-05 math.AT math.CO
Higher connectivity of graph coloring complexes
本文的主要结果是证明了Babson & Kozlov的猜想：定理。设G是一个最大度为d的图，则复形Hom（G，Kn）至少是（n-d-2）-连通的.这里Hom（-，-）表示由Lovász为了研究图的色数的拓扑下界而引入的多面体复形。作为主要定理的推论，我们还证明了复Hom（C_{2r+1}，K_n）对于$n\geq 3$是（n-4）-连通的.
2005-01-31 math.AT math.CO
Multiple chessboard complexes and the colored Tverberg problem
在D. B。Karaguezian，V. Reiner和M.L. Wachs（Matching Complexes，Bounded Degree Graph Complexes，and权空间of $GL$ -Complexes，Journal of Algebra 2001）研究了多棋盘复形的连通度和可壳性。我们的中心新的结果（定理3.2和4.4）提供了尖锐的连接边界Tverberg型问题中的应用，其中重点相同的颜色是允许的。这些结果也为Tverberg-van Kampen-Flores类型的新结果提供了基础，如arXiv：1502.05290 [math.CO]中所宣布的。
2015-10-19 math.CO
Shellability and higher Cohen-Macaulay connectivity of generalized cluster complexes
设$Φ$是秩为$n$的有限根系，$m$是非负整数.广义簇合物$Δ^m (Φ)$是由S. Fomin和N.阅读这些作者证实了$Δ^m (Φ)$是可壳的，V. Reiner证实了它是$(m+1)$ -Cohen-Macaulay，在Baclawski的意义上。本文证明了这些说法。对于$Δ^m (Φ)$的正部分$Δ^m_+ (Φ)$，类似的陈述也成立。本文给出了$Δ^m_+ (Φ)$与广义非交叉划分偏序集之间的同伦等价性。阿姆斯特朗
2007-03-15 math.CO math.RT
Independence complexes of claw-free graphs
研究了无爪图的独立复形类。主要定理给出了这些复形的连通性的良好界，给出了同一类的几个子复形的界。两个应用程序。首先证明了最大度为d的n阶无爪图的独立复形是（cn/d+ n）-连通的，其中c=2/3.这可以与Szabo和Tardos的结果进行比较，即c=1/2是最优的，对图没有限制。其次，我们计算了Babson和Kozlov证明Lovasz猜想中的复形族的连通性。
2005-12-17 math.CO
Warmth and connectivity of neighborhood complexes of graphs
本文研究了图$G$的一对数值参数。一方面，我们可以构造$\text{Hom}(K_2, G)$，一个从边$K_2$到$G$的同态空间，并研究它的（拓扑）连通性。这种方法可以追溯到Lovász在Kneser猜想的证明中引入的邻域复形。在另一个方向Brightwell和温克勒介绍了一个图形参数称为温暖$ζ(G)$的图形$G$，基于渐近行为的$d$ -分支走在$G$和启发的建设统计物理。$G$的温暖性和$\text{Hom}(K_2,G)$的连通性都提供了$G$的色数的下界。在这里，我们试图将这两个结构，特别是我们提供的证据猜想，图$G$的温暖总是小于3加上连接的$\text{Hom}(K_2, G)$。我们成功地建立了第一个非平凡的情况下的猜想，表明$ζ(G) \leq 3$，如果$\text{Hom}(K_2,G)$有一个无限的第一个同调群。我们还计算温暖的家庭的“扭曲的环形”图的背景下，$\text{Hom}$复杂的是重要的极值的例子。最后证明了如果图$G$对于$a+b=n$不具有完全二部图$K_{a,b}$，则$ζ(G) \leq n-1$是完全二部图.这为$\text{Hom}$复合物的类似结果提供了类似物。
2021-02-23 math-ph math.AT math.CO
Random Čech Complexes on Riemannian Manifolds
本文研究了紧致黎曼流形M中由齐次泊松过程生成的随机Cech复形的同调性。特别是，我们专注于“同调连通性”的相变的同源性的复杂变得同构的M。本文给出的结果是[7]的重要推广，从平坦环面推广到一般紧黎曼流形。除了证明与同调连通性相关的陈述外，本文中开发的方法可以作为一个框架，用于将随机几何图和复形的结果从欧几里得设置转换为更一般的黎曼设置。
2017-04-24 math.AT math.CO math.DG
Vanishing of cohomology groups of random simplicial complexes
本文研究了由二项随机$(k+1)$ -一致超图通过取下闭包生成的$k$ -维随机单纯复形，其中$k\geq 2$ .对于每个$1\leq j \leq k-1$，我们确定当所有上同调群的系数在$\mathbb{F}_2$从一维到$j$消失，第零个上同调群是同构的$\mathbb{F}_2$。这个属性是不确定性单调的随机复合物的这个模型，但尽管如此，我们表明，它有一个单一的尖锐的阈值。此外，我们证明了一个首中时的结果，这些上同调群的消失，最后的最小障碍的消失。我们还研究了临界窗内$j$ -次上同调群维数的渐近分布。作为推论，我们推导出[Linial and Meshulam，Combinatorica，2006]中引入的随机单纯复形的不同模型的首中时结果，该结果以前仅针对二维[Kahle and Pittel，Random Structures Algorithms，2016]。
2018-06-12 math.CO math.GT math.PR
Matching complexes of trees and applications of the matching tree algorithm
单图$G$的匹配复形是具有由$G$的匹配给出的面的单纯复形。匹配复形的拓扑结构是神秘的;很少有图的同伦类型是已知的。Marietti和Testa证明了森林的匹配复合体是可收缩的，或者同伦等价于球体的楔形。我们研究了两个特殊的树木家族。对于毛毛虫图，我们给出了明确的公式，在每个维度上的球的数量和完美的二叉树，我们找到了一个严格的连接界。我们还使用离散莫尔斯理论中的一个工具，称为\textit{Matching Tree Algorithm}来研究蜂窝图的连通性，部分回答了Jonsson提出的一个问题。
2021-01-28 math.AT math.CO
On the Connectivity of the Vietoris-Rips Complex of a Hypercube Graph
本文利用独立复形和全控制集技术，为任意 n 维超立方体图的 Vietoris-Rips 复形在所有尺度参数下建立连通性下界，并反驳了 Shukla 的 r 连通猜想。
2023-11-10 math.AT math.CO
Matching complexes of polygonal line tilings
单图$G$的匹配复形是由$G$上的匹配组成的单纯复形。Jelić Milutinović等人研究了折线拼接的匹配复形，给出了折线拼接的匹配复形的连通性的下界.本文递归地确定了折线拼接的匹配复形的同伦类型，并确定了它们的连通性。
2022-06-16 math.CO
The fundamental group of random 2-complexes
我们研究了Linial-Meshulam随机2-复形，它是Erdens-Rényi随机图的二维类似物.我们发现简单连通性的阈值为p = n^{-1/2}。这与第一个同调群消失的阈值形成对比，Linial和Meshulam早先证明第一个同调群消失的阈值是p = 2 log（n）/n。我们利用Gromov局部到整体定理的一个变体证明了当p = O（n^{-1/2 -ε}）时，基本群是字双曲的.在此过程中，我们对稀疏二维单纯复形的同伦类型进行了分类，并建立了此类复形的等周不等式。这些中间结果不涉及随机性，并且可能具有独立的兴趣。
2011-05-10 math.CO math.GR math.GT
Large simplicial complexes: Universality, Randomness, and Ampleness
本文综述了大单纯复形的几何、拓扑和组合性质的研究进展，主要集中在丰富性、连通性和普适性方面。在本文的第一部分中，我们集中在$r$ -示例单纯复形，这是高维类似物的$r$ -e. c。最初由Erd \H os和Réniy引入的图。$r$ -样本复形的类对于应用是有用的，因为这些复形允许以所有可能的方式扩展某些类型的子复形;此外，$r$ -样本复形表现出显著的鲁棒性。我们讨论的结果存在的$r$ -充足的复合物，并描述其概率和确定性的建设。随机单纯复形在中间区域的性质对于本文的讨论是重要的，因为这些复形在一定范围内是丰富的。证明了随机单纯复形在中间区域的拓扑复杂性满足${\sf TC}(X)\le 4$，概率趋于$1$为$n\to\infty$ .在可数顶点集上存在唯一的（直到同构）$\infty$ -充分复形（Rado复形），本文第二部分综述了关于该复形的普适性、齐性、不可破坏性等重要性质的结果。附录由J.A.编写。Barmak讨论了圆锥曲线和充足复形的连通性。
2023-01-18 math.AT math.CO
Erratum: Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes
本文修正了“随机单纯复形贝蒂数的极限定理“中主要定理的证明。
2015-01-15 math.AT math.CO math.PR
Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes
最近有几篇文章研究各种类型的随机单纯复形的同调。有几个定理涉及到同调消失的阈值，以及在某些情况下对贝蒂数的期望。然而，迄今为止，人们对随机贝蒂数的极限分布知之甚少。在这篇文章中，我们建立了不同类型的随机单纯复形的贝蒂数的Poisson和正规逼近定理：Erdens-Rényi随机团复形，随机Vietoris-Rips复形，和随机Čech复形。这些结果可能在拓扑数据分析中具有实际意义。
2011-01-18 math.AT math.CO math.PR
Generalized Random Simplicial Complexes
我们考虑一个随机构造单纯复形的多参数模型。该模型在随机团复合体和Linial-Meshulam随机$k$维复合体之间插值，这两种模型已经被广泛研究。虽然这些模型渐近表现出非平凡的上同调只有一个或两个维度，我们表明，在这种广义的设置非平凡的上同调可以同时发生在几个维度。我们建立上限和下限阈值的外观非平凡的上同调在一个特定的维度，并在某些情况下，在临界状态下的行为特征。
2015-06-02 math.AT math.CO math.PR
The threshold for collapsibility in random complexes
本文确定了$d$ -维单纯复形的概率模型$X_d(n,p)$的可解性阈值。在\cite{ALLM}中确定了该阈值$p=\frac{c_d}{n}$的下界。在这里，我们证明这确实是正确的阈值。也就是说，对于每一个$c>c_d$，从$X_d(n,\frac{c}{n})$得到的复形几乎肯定是渐近不可塌缩的。
2013-07-10 math.CO math.PR
Topological connectivity of random permutation complexes
本文研究了随机置换复形的拓扑连通性，证明了其非拓扑 $r$-连通的概率 $p_r(n)$ 被 $\frac{(\log n)^r}{n}$ 和 $\frac{(\log n)^{2r}}{n}$ 型函数双向界定的渐近估计。
2024-06-27 math.CO
Topology of random 2-dimensional cubical complexes
我们研究了随机二维立方复形的自然模型，它是一个n维立方体的子复形，并且其中每个可能的正方形$2$ -面都以概率p独立地包含在内。我们的主要结果是，作为$n \to \infty$，其同调消失有一个尖锐的阈值p=1/2。这是一个二维模拟的Burtin和Erdwords-Spencer定理表征连通性阈值的随机立方图。我们的主要结果也可以看作是随机二维单纯复形的Linial-Meshulam定理的一个立体对应。然而，这些模型表现出截然不同的行为。我们证明了，如果$p > 1 - \sqrt{1/2} \approx 0.2929$，那么高概率的基本群是一个自由群，每个最大的$1$维面有一个生成元。作为推论，即使在强“击中时首中时“意义下，同源消失和简单连通性也具有相同的阈值。这与单纯情况相反，单纯情况下阈值相距很远。证明依赖于一个迭代算法的收缩周期-我们表明，具有高概率的算法迅速，大大简化了基本群，收敛后，只有几个步骤。
2020-09-17 math.AT math.CO math.PR
Random complexes with free involution
我们引入了一个新的随机单纯复形模型，它以很高的概率生成一个复形，有一个单连通的双重覆盖。因此，我们建立了一个具有基本群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的随机单纯复形模型。我们建立这些复杂的典型渐近拓扑的结果。作为结果，我们给出了维数$d$的界，使得从双覆盖到$\mathbb{R}^d$的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -等变映射有高概率的零点，从而建立了随机Borsuk-Ulam定理.我们应用这一点，得到一个结构的结果对不相邻的团在Erdens-Rényi随机图。
2022-10-20 math.AT math.CO math.PR
A Model for Random Chain Complexes
我们引入了一个有限域上随机链复形的模型。在我们的复杂性的随机性来自选择在矩阵中的条目，表示边界映射均匀在$\mathbb{F}_q$，条件是确保连续的边界映射的组合是零映射。然后我们研究了这个随机链复形的组合和同调性质。
2019-01-04 math.AC math.CO math.PR
Dominance complexes and vertex cover numbers of graphs
单图$G = (V,E)$的控制复形$D(G)$是由$V$的子集组成的单纯复形，其补图是控制图。我们证明了$D(G)$加上$2$的连通性是$G$的顶点覆盖数$τ(G)$的下界.
2022-12-05 math.AT math.CO
Dynamical Models for Random Simplicial Complexes
本文研究了随机动力学单纯复形的一般模型，导出了渐近度分布的公式。这个渐近公式包含了许多现有模型的结果，包括随机阿波罗网络和加权随机递归树。它还证实了在$d > 2$维度上的复杂量子网络流形的无标度性质的结果，以及Bianconi，Rahmede [ $\mathit{Sci. Rep.} \; \mathbf{5},\text{ 13979 (2015) and }\mathit{Phys. Rev. E} \; \mathbf{93},\text{ 032315 (2016)}$ ]在物理文献中研究的具有风味模型的特殊类型的网络几何。
2022-03-21 math.CO math.PR
Eigenvalue confinement and spectral gap for random simplicial complexes
我们考虑$n$顶点上随机单纯复形的Linial-Meshulam模型的邻接算子，其中每个$d$ -胞以概率$p$独立地添加到完整的$(d-1)$ -骨架上.在$np(1-p) \gg \log^4 n$的假设下，我们证明了$\binom{n-1}{d}$最小特征值和其余的$\binom{n-1}{d-1}$特征值之间的谱间隙很可能是$np - 2\sqrt{dnp(1-p)} \, (1 + o(1))$.这个估计来自于本征值限制的更一般的结果。此外，我们还证明了特征值的全局分布是由周期律渐近给出的。证明的主要成分是随机单纯复形的Füredi-Komlós型论证，它可以被视为具有相关项的稀疏随机矩阵模型。
2015-09-07 math.CO math.PR
Random Walks on Simplicial Complexes and Harmonics
本文引入了单纯复形上具有吸收状态的随机游动。给定一个$d$维的单纯复形，定义了一个具有吸收状态的随机游动，它与$1 \leq k \leq d$的$d$维Laplacian的谱有关，并且与范涌定义的图上的局部随机游动有关.我们还研究了随机游动在单纯复形的半监督学习问题的应用。具体来说，我们考虑一个标签传播算法的定向边缘，这适用于推广的部分标记分类问题的图。
2013-10-18 math.CO math.PR math.SP
Enumerating the class of minimally path connected simplicial complexes
卡莱在1983年证明了一个令人难以置信的概括凯莱公式的数目树的标记顶点集的公式一类$r$维单纯复形。这些单纯复形通过同调$\Bbb Q$ -非循环来推广树。在本文中，我们考虑一个不同的推广树类的纯维单纯复形，\textit{minimally connect a vertex set}（在这个意义上说，删除任何顶维面断开复杂）。我们的主要结果提供了一个上限和下界的数量，这些极小连通复形的标记顶点集。我们还证明，他们是潜在的更广泛的拓扑复杂性比一般化的卡莱。作为我们的界限的应用，我们计算的阈值概率的连通性的随机单纯复形。
2019-12-04 math.AT math.CO math.PR
Random Abstract Simplicial Complexes Reduction
随机抽象单纯复形表示提供了无线网络及其拓扑结构的数学描述。为了减少这种类型的网络中的能量消耗，我们打算在不修改网络的连接性和覆盖范围的情况下减少网络节点的数量。在本文中，我们提出了一个约简算法，降低了一个抽象的单纯复形的最佳顺序，同时保持其拓扑结构的点的数量。然后，我们研究了这样的算法的复杂性的二项式点过程模拟的网络和表示的Vietoris-Rips复杂。
2017-09-04 cs.NI math.CO math.PR
Covariance matrices of volume power functionals of random simplicial complexes -- an asymptotic analysis
Osnabrück University（奥斯纳布吕克大学）
本文研究随机Vietoris-Rips复形体积幂泛函协方差矩阵的渐近性质，推广随机图结论，在三个区域给出秩、正定性等代数结果并应用于随机向量。
2026-09-21 math.CO math.PR
Topology of random simplicial complexes: a survey
这篇临时文章是基于斯坦福代数拓扑研讨会的演讲：应用和新方向，为纪念Gunnar Carlsson，Ralph Cohen和Ib Madsen而举行。
2013-10-23 math.AT math.CO math.PR
Law of large numbers for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes
Linial-Meshulam复合模型是Erdens-Rényi图模型的自然高维模拟。近年来，Linial和Peled建立了Linial-Meshulam复形的贝蒂数的一个极限定理，该定理具有适当的参数尺度.本文旨在将这一结果推广到更一般的随机单纯复形模型。引入了一类齐次且空间独立的随机单纯复形，包括Linial-Meshulam复形模型和随机团复形模型，并研究了它们的贝蒂数的渐近性质.此外，我们还得到了它们的拉普拉斯算子的经验谱分布的收敛性。论证中的一个关键要素是单纯复形的局部弱收敛。受Linial和Peled工作的启发，我们建立了齐次空间独立随机单纯复形的局部弱极限定理。
2021-01-22 math.AT math.CO math.PR
Local Shellings of Broken-Circuit Complexes via Boundary States and the Chromatic Specialization of the Negami Polynomial
Chiba Keizai University Affiliated High School（千叶经纶大学附属高中）
本文针对沿边界相交的图，构造NBC面的相对壳化，实现Negami分裂恒等式的色特征化，并给出Gröbner基粘合公式及状态多胞体对线性块序的障碍描述。
2026-10-05 math.CO
Random walks, arrangements, cell complexes, greedoids, and self-organizing libraries
出发点是已知的事实，即一些研究的随机游动的排列，如Tsetlin库，产生于真正的超平面安排行走。本文探讨了复超平面安排上的相似游动。这是通过使某些胞腔复形自然地与排列相关联来实现的。在一个特定的情况下，这导致在具有多个书架的图书馆上行走。我们还表明，区间广义拟阵产生属于同一个一般家庭的随机游动。这个族的马尔可夫链的成员，基于某些半群，具有的性质，所有的特征值的转移阵是非负实的，并通过一个简单的组合公式。背景材料需要了解步行相当详细的审查。
2008-05-01 math.CO math.PR
Gigantic random simplicial complexes
通过对欧几里得空间中的Poisson点过程应用标准构造，得到了一个随机单纯复形.它是巨大的，因为-直到同伦等价-它几乎必然包含每一个紧致拓扑流形的无限多个副本，无论是孤立的还是渗透的。
2017-12-02 math.AT math.CO math.PR
Connectivity of pseudomanifold graphs from an algebraic point of view
单纯复形和多面体复形图的连通性是一个经典的课题，至少可以追溯到斯坦尼茨，这个课题已经被许多作者研究过，包括Balinski，Barnette，Athanasiadis和Bjorner。在本文中，我们提供了一个统一的方法，使我们能够获得更一般的结果。此外，我们提供了一个关系到交换代数有关的连通性问题，分次贝蒂数的相关的斯坦利-Reisner环。
2014-11-11 math.AC math.CO
Topology of medial regime random simplicial complexes
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
该研究分析中间 regime 随机单纯复形的拓扑，证明其具高度连通性与迭代悬挂同伦型，提出更灵活的高连通性组合判据，确定其拓扑复杂度上界为2且齐次类几乎必然等于2。
2026-08-11 math.AT math.CO
Integral homology of random simplicial complexes
随机$2$维单纯复形过程开始于$n$顶点上的完全图，并且在每一步中添加均匀随机选择的新的$2$维面。证明了当概率趋于$1$为$n\to\infty$时，当$\mathbb Z$上的所有边被三角面覆盖时，第一同调群为零.
2016-07-24 math.AT math.CO math.PR
Eigenvalues and spectral gap in sparse random simplicial complexes
我们考虑$n$顶点上随机$d-$维单纯复形的Linial-Meshulam模型$X(d,n,p)$的邻接算子$A$，其中每个$d-$单元以概率$p\in[0,1]$独立地添加到完整的$(d-1)$ -骨架中.我们考虑稀疏随机矩阵$H$，这是广义的中心和规范化的邻接矩阵$\mathcal{A}:=(np(1-p))^{-1/2}\cdot(A-\mathbb{E}\left[A\right])$，通过替换伯努利$(p)$随机变量用于构建$A$与任意有界分布$Z$。我们得到的预期Schatten规范的$H$，这使我们能够证明结果的特征值限制，特别是$\left\Vert H\right\Vert _{2}$收敛到$2\sqrt{d}$的期望和$\mathbb{P}-$几乎肯定$n\to\infty$，只要$\mathrm{Var}(Z)\gg\frac{\log n}{n}$。证明中的主要成分是将[LVHY 18，定理4.8]推广到高维单纯复形的上下文中，高维单纯复形可以被视为具有相关项的稀疏随机矩阵模型。
2022-02-01 math.CO math.PR
On the Vanishing of Homology in Random Čech Complexes
我们计算了d维环面上齐次泊松过程上的随机Čech复形的同调，并粗略地证明了存在两个相变。第一个转变类似于Erdens-Rényi相变，其中Čech复合体变得连接。第二个转变是所有其他的同调群都被正确计算（几乎同时）。我们的计算还提出了一个更精细的尺度测量，其中有一个进一步的细化，这张照片和不同的同调群之间的分离。
2016-03-23 math.AT math.CO math.PR
Uniform random colored complexes
本文给出了具有固定顶点数$2p$的$(D+1)$ -边着色二部图上的广义过程。这些图是$D$维可定向有色复形的对偶图。我们研究与这些随机图相关的量的行为，例如它们的连通分支数或它们的对偶复形的顶点数，作为$p \to \infty$。研究这些量的技巧也给出了$p$阶均匀映射的亏格的中心极限定理，如$p \to \infty$。
2018-12-03 math-ph math.CO math.MP
Generations of random hypergraphs and random simplicial complexes by the map algebra
本文考虑有限顶点集上的随机超图，通过随机独立地选取每一个顶点集作为超边。利用随机单纯复形和Erdös-Rényi型随机独立超图的概率分布，给出了随机超图的（下）相伴单纯复形和（下）相伴独立超图的概率分布.我们明确地构造了映射代数的一种分次结构，并给出了生成随机超图和随机单纯复形的算法。
2022-11-07 math.CO
Linear embeddings of random complexes
该研究针对多参数随机单纯复形模型，推导得出复形可线性嵌入$\mathbb{R}^{2d}$时参数$α_i$需满足的充要严格不等式，完善了随机复形线性嵌入的参数判据。
2023-10-03 math.CO math.GT
Random simplicial complexes
随机形状在许多情况下自然出现。这种物体的拓扑和几何结构本身就很有趣，也很有应用价值。例如，在物理学中，这样的物体在量子引力、材料科学和其他环境中自然产生。随机拓扑也可以被认为是用于拓扑数据分析的原假设。在本章中，我们概述了随机拓扑的组合方面。我们主要研究随机单纯复形的拓扑和几何性质。我们将在第23.1节中介绍一些基本模型。我们在23.2节中回顾了随机复形的高维展开子性质。我们在23.3节讨论阈值行为和相变，在23.4节讨论贝蒂数和持久同调。
2016-07-24 math.AT math.CO math.PR
The threshold for integer homology in random d-complexes
设Y ~ Y_d（n，p）表示Bernoulli随机d维单纯复形。我们回答了Linial和Meshulam在2003年提出的一个问题，证明了同源性H_{d-1}（Y; Z）消失的阈值是小于80 d log n / n.这个界是紧的，直到一个常数因子。
2014-04-10 math.AT math.CO math.PR
Fundamental Groups of Random Clique Complexes
证明了边概率介于$n^{-{1\over 3}}$和$n^{-{1\over 2}}$之间的Erdens-Rényi随机图的团复形是非单连通的.这需要表明，一个连接的二维单纯复形的每一个子复形有少于三倍的边缘作为顶点必须有同伦类型的楔形圆，两个领域和真正的射影平面。注意，$n^{-{1\over 3}}$是简单连接性的阈值，而$n^{-{1\over 2}}$是第一$\F_2$同源性消失的阈值。
2013-02-18 math.CO math.GR
Random geometric complexes in the thermodynamic regime
本文研究了具有随机点过程的顶点和由顶点间距离关系确定的面的单纯复形的拓扑。特别是，我们研究了这些复杂的贝蒂数的顶点数变得很大，得到的极限定理的手段，强法律，浓度不等式和中心极限定理。作为反对大多数以前的文件处理随机复合物，我们的工作限制是在所谓的“热力学”制度（其中包括渗流阈值），其中的复合物变得非常大和复杂，复杂的同源性，其特征在于由发散贝蒂数。证明结合概率参数的理论稳定的泛函点过程和拓扑参数利用Mayer-Vietoris确切序列的属性。迈耶-维托里斯的论证是至关重要的，因为一般的同调，特别是贝蒂数，是全局的而不是局部的现象，大多数标准的概率论证都是基于局部性的结果而产生的泛函的可加性。
2015-09-09 math.AT math.CO math.PR
Tutte polynomials and random-cluster models in Bernoulli cell complexes
本文从持续同调、Tutte多项式和随机簇模型的角度研究了Bernoulli胞腔复形。在文献[9]的基础上，我们首先给出了$\ell$ -立方格上Bernoulli胞腔复形过程的持久同调的期望寿命和的渐近阶.然后，使用Tutte多项式的期望寿命和的显式公式推导。此外，我们研究了由Edwards-Sokal型耦合导出的随机簇模型的高维推广，并给出了一些基本结果，如正关联和与Tutte多项式的关系。
2016-02-15 math.AT math.CO math.PR
Homological connectivity of random hypergraphs
考虑了由二项式随机3-一致超图通过取下闭包生成的单纯复形。我们确定当这个单纯复形是同调连通的，这意味着它的第零和第一个同调群的系数在$\mathbb{F}_2$消失。虽然这不是本质上是一个单调的属性，我们表明，它仍然有一个单一的尖锐的阈值，并证明了一个首中时的结果有关的连通性的消失，最后的最小障碍。
2016-04-04 math.CO
Random Uniform and Pure Random Simplicial Complexes
本文介绍一种研究随机均匀单纯复形性质的方法。也就是说，我们分配相同的概率，所有单纯复形与一个给定的顶点数，然后考虑在此措施下的一个复杂的性质。我们能够确定或目前的一些拓扑和组合性质的界限。我们还研究了随机纯单纯复形的尺寸$d$，通过让任何子集的大小$d+1$的一组$n$顶点是一个方面的概率$p$，并考虑这些方面产生的单纯复形。我们比较了这些模型的行为，适当的值$d$和$p$。最后利用单纯复形与单调布尔函数的等价性研究了典型布尔函数的性质。具体来说，我们证明了大多数单调布尔函数是回避的，因此证明了著名的回避猜想是一般真实的单调布尔函数没有对称性假设。
2020-01-07 math.AT math.CO math.PR
On the phase transition in random simplicial complexes
众所周知，随机图的$G(n,p)$模型在$p=\frac 1n$附近发生了剧烈的变化。正是在这里，随机图几乎可以肯定不再是森林，并且在这里它首先获得一个巨人（即，阶$Ω(n)$）连通分量。几年前，Linial和Meshulam引入了$X_d(n,p)$模型，$n$ -顶点$d$ -维单纯复形的概率空间，其中$X_1(n,p)$与$G(n,p)$重合。在这个模型中，我们证明了这些图论现象的自然$d$维模拟。具体来说，我们确定了确切的阈值为非零的真正的$d$ -th同源性的复合物从$X_d(n,p)$。我们还计算了$p=c/n$的$X_d(n,p)$的实Betti数。最后，我们建立了在这个阈值上的巨大阴影的出现。(For $d=1$（巨阴影和巨分量是等价的）。与图的情况不同，对于$d\ge 2$，巨影的出现是一级相变。
2016-09-18 math.CO math.PR
