Dominance complexes and vertex cover numbers of graphs
Takahiro Matsushita
单图$G = (V,E)$的控制复形$D(G)$是由$V$的子集组成的单纯复形，其补图是控制图。我们证明了$D(G)$加上$2$的连通性是$G$的顶点覆盖数$τ(G)$的下界.
The dominance complex $D(G)$ of a simple graph $G = (V,E)$ is the simplicial complex consisting of the subsets of $V$ whose complements are dominating. We show that the connectivity of $D(G)$ plus $2$ is a lower bound for the vertex cover number $τ(G)$ of $G$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dominance complexes, neighborhood complexes and combinatorial Alexander duals
该研究揭示图的支配复形与补图邻域复形的组合Alexander对偶的一致性，建立色数与支配复形同调群的关联，提出用独立复形计算支配复形同调群的新方法，并确定了特定网格图支配复形的同调群。
Matching trees for simplicial complexes and homotopy type of devoid complexes of graphs
本文将图的独立复形的同伦计算方法如分裂和匹配树推广到任意的单纯复形，并证明了它们在图的无参数化的单纯复形即单纯复形上的有效性.此外，我们还计算了弦图的控制复形的同伦类型。
Vertex-Minimal Triangulation of Complexes with Homology
研究了具有非平凡同调的复杂体的最小顶点数，并在强连通性约束下提出新的解决方法。
Vertex colorings of simplicial complexes
我们定义了抽象单纯复形的（r，s）-染色是用r个顶点的颜色染色，使得在任意单纯形中至多s个顶点具有相同的颜色。我们将寻找给定单形的（r，s）-着色问题转化为拓扑问题和环论问题。拓扑形式涉及Davis-Januszkiewicz空间上的向量丛，代数形式涉及Stanley-Reisner环上的因子分解。
Cores of simplicial complexes
本文介绍一种方法，将对单纯复形拓扑的研究简化为对一个简单复形的研究。我们给出了这种方法的一些应用程序所产生的复杂的图。因此，我们回答了[R. Ehrborg，G.Hetyei，European J.Combin.27（2006），no.6，906-923]中提出的关于独立情结和支配情结的一些问题。所使用的技术主要来自单项理想理论。
Threshold graphs, shifted complexes, and graphical complexes
我们考虑了阈值图，移位复合物，和单纯复形自然形成的图形之间的各种连接。这些图形复合体包括独立集、邻域和优势复合体。我们提出了一些结构性的结果和它们之间的关系，包括新的阈值图类的特征。
Vertex decomposability of complexes associated to forests
在这篇文章中，我们讨论了三个研究得很好的单纯复形森林的顶点可分解性。特别地，我们证明了森林的有界度复形和多重森林的有向树复形是顶点可分解的。然后，我们证明了森林的非覆盖复形是可收缩的或同伦等价于一个球体。最后，我们提供了一个完整的表征森林的非覆盖复形是顶点可分解的。
Bounded degree complexes of forests
给定任意非负整数序列$\vecλ=(λ_1,\dots,λ_n)$和具有顶点集$\{v_1,\dots,v_n\}$的图$G$，记为$\text{BD}^{\vecλ}(G)$的有界度复形是其面是子集$H\subseteq E(G)$的单纯复形，使得对于每个$i \in \{1,\dots,n\}$，导出子图$G[H]$中的顶点$v_i$的度至多为$λ_i$ .当$λ_i=k$对于所有$i$，有界度复形$\text{BD}^{\vecλ}(G)$称为$k$ -匹配复形，记为$M_k(G)$ .本文确定了森林的有界度复形的同伦类型。特别地，我们证明了对于所有的$k\geq 1$，毛毛虫图的$k$ -匹配复形要么是可收缩的，要么是同伦等价于球的楔形，从而证明了Julianne Vega \cite [猜想7.3]{Vega 19}的一个猜想.我们还给出了非叶点与至少一个叶点相邻的毛毛虫图的有界度复形的同伦类型的一个封闭公式。
Vertex decompositions of two-dimensional complexes and graphs
我们研究了二维单纯复形的顶点分解定义的家庭。它们包括nonevasive复合物，Barmak和Miniam的强烈可塌缩复合物以及Harary和Palmer的2-树的类似物。我们调查的复杂性，这些家庭和他们的一些组合性质的识别问题。某些结果遵循类似的图的分解技术。例如，我们证明了它是NP-完全的决定，如果一个图可以减少到一个离散图的一系列删除度为3的顶点。
Complexes of Directed Trees and Independence Complexes
复形理论的有向树是由科兹洛夫开始回答一个问题的斯坦利，后来，结果从理论所使用的巴布森和科兹洛夫在其证明的洛瓦兹猜想。我们发展了这一理论，证明了有向无圈图上的复形是可壳的。一个相关的概念是独立复形：在一个图的顶点集上构造一个单纯复形，通过包含每个独立的顶点集作为一个单纯形。证明了两个定理用于破断和胶合这样的复合物，并应用于推广Kozlov的结果。一个富有成效的限制是反Rips复形：一个度量空间的子集P是复形的顶点集，我们把P的每个子集都作为一个单纯形，其中没有一对点在距离r内。对于\mathbb{R}的任意有限子集P，反Rips复形的同伦类型是确定的.
Ample simplicial complexes
本文研究 $r$-ample 单纯复形，证明了其连通性与顶点数下界，利用概率方法确立存在性，并构造了具有近最优顶点数的 iterated Paley 单纯复形。
Discrete Morse theory for moment-angle complexes of pairs (D^n,S^{n-1})
对于有限单纯复形K和CW-对（X，A），存在一个相应的CW-复形Z_K（X，A），称为多面体积。本文将离散的莫尔斯理论应用于n维球矩角复形Z_K（D^{n}，S^{n-1}）上的一个特殊CW结构。对于顶点可分解的n维单纯复形，证明了n维球矩角复形具有球楔的同伦型.作为一个推论，我们表明，一个足够高的悬挂的任何限制的单纯复形与顶点可分解的对偶同伦等价的楔形球。
Vertex orders in higher dimensions
本文研究了单位区间复形和区间复形的高维推广，证明了强连通单位区间复形在单位区间序诱导下可壳化且顶点可分解，同时给出了高维中不可壳化的强连通区间复形实例。
Vertex numbers of simplicial complexes with free abelian fundamental group
证明了具有基本群$\mathbb{Z}^{n}$的单纯复形的最小顶点数至多为$O(n)$且至少为$Ω(n^{3/4})$ .对于上界，我们使用$K_{2n}$的正交1-因子分解的结果。对于下界，我们使用分数Sylvester-Gallai结果。我们还证明了任何组表示$\langle S | R\rangle \cong \mathbb{Z}^{n}$，其关系的形式$g^{a}h^{b}i^{c}$为$g, h, i \in S$至少有$Ω(n^{3/2})$生成元。
Differentials on Graph Complexes III - Deleting a Vertex
证明了具有额外微分的毛图复形几乎是无圈的。这证明了利用瀑布机制构造毛图上同调类的合理性。论文中使用的主要思想是一种新的微分，删除一个顶点。我们希望新的微分能在图上同调的研究中有进一步的应用。
Enumerating the class of minimally path connected simplicial complexes
卡莱在1983年证明了一个令人难以置信的概括凯莱公式的数目树的标记顶点集的公式一类$r$维单纯复形。这些单纯复形通过同调$\Bbb Q$ -非循环来推广树。在本文中，我们考虑一个不同的推广树类的纯维单纯复形，\textit{minimally connect a vertex set}（在这个意义上说，删除任何顶维面断开复杂）。我们的主要结果提供了一个上限和下界的数量，这些极小连通复形的标记顶点集。我们还证明，他们是潜在的更广泛的拓扑复杂性比一般化的卡莱。作为我们的界限的应用，我们计算的阈值概率的连通性的随机单纯复形。
Vertex decomposable complexes of directed forests, conflict graphs and chordality
本文研究了有向森林的顶点可分解复形，通过构造冲突图并应用独立复形理论，得出了保证复形顶点可分解、壳性和序列Cohen-Macaulay性质的图论准则，并给出了相关多重有向图的分类。
Two-dimensional Golod complexes
我们的特点二维Golod复合体组合的顶点断裂性和拓扑的脂肪楔过滤的多面体产品。应用的特征，我们考虑了不同的Golodness领域和环，这使我们能够给一个二维简单的Golod复杂的任何领域，使相应的时刻角复杂的是不是一个悬浮液。
Partial coloring, vertex decomposability, and sequentially Cohen-Macaulay simplicial complexes
在试图理解组合修改如何改变单项式理想的代数性质时，一些作者研究了向图添加“须”的过程。本文研究了由$Δ$的顶点子集的着色$χ$构造单纯复形$Δ_χ$的类似构造，并给出了该构造产生顶点可分解单纯复形的充要条件.我们应用这一工作，加强并给出新的证明序列Cohen-Macaulay边理想的图。
A short proof of a conjecture on the higher connectivity of graph coloring complexes
Hom-complex是由Lovasz为了研究图着色的拓扑障碍而引入的。Hom（G，K_n）是（n-d-2）-连通的，其中d是G的顶点的最大度，这是由Babson和Kozlov提出的，Cukic和Kozlov证明了这一点.我们给出了一个简短的证明的猜想。
Spectral bounds for vertex-weighted Laplacians of simplicial complexes
本文研究顶点加权简单复形的谱性质，推导了谱半径、谱间隙及剩余特征值的下界，并揭示了复形与子复形间的谱关系。
Independence Complexes of Stable Kneser Graphs
对于整数\geq 1，\geq 0，稳定Kneser图SG_{n,k}（也称为Schrijver图）具有[2n+k]的稳定n-子集作为顶点集，具有n-子集的不相交边对，其中稳定n-子集是不包含任何形式为{i，i+1}或{1，2n+k}的2-子集的子集。自20世纪70年代后期A. Schrijver确定了它们是一个点临界图类，其色数为色数k+2。本文研究了n和k较小时SG_{n,k}的独立复形。我们的贡献是双重的：首先，我们发现，同伦类型的独立复杂的SG_{2,k}是一个楔形领域的二维。其次，我们确定了某些与SG_{n,2}有关的图的独立复形的同伦类型。
On a complete characterization of path-free complexes associated with complete multipartite graphs
研究完全多部图的\(t -\)无路径复形，得到其明确结构分解，据此指出\(t\leq2n_{m - 1}-2\)时非序列Cohen - Macaulay，\(t\geq2n_{m - 1}-1\)时顶点可分解等，还通过谱序列分析拓扑。
Independence complexes of well-covered circulant graphs
我们研究了Boros-Gurvich-Milaniovich，Brown-Hoshino和Moussi发现的良好覆盖循环图族的独立复形。由于这些图是完全覆盖的，所以它们的独立复形是纯单纯复形。我们确定当这些纯复合物有额外的组合（如顶点可分解，可壳）或拓扑（如科恩-麦考利，Buchsbaum）结构。我们还提供了一个16个或更少顶点的所有覆盖良好的循环图的表，并为每个这样的图，确定它是否是顶点可分解，可壳，Cohen-Macaulay和/或Buchsbaum。这个搜索的一个亮点是一个图的例子，其独立复合体是可壳的，但不是顶点可分解的。
Balanced vertex decomposable simplicial complexes and their h-vectors
给定任意有限单纯复形Δ，我们证明了如何构造一个新的平衡的顶点可分解的单纯复形Δ x.此外，我们还证明了单纯复形Δ x的h-向量恰好是原复形Δ的f-向量，记为f（Δ）.我们将f（Δ）与Δ x的Alexander对偶的分次贝蒂数联系起来，推出了这个结果.我们的构造推广了Villarreal、Cook和Nagel的“whiskering”构造。作为我们工作的一个推论，我们增加了一个新的等价陈述Björner，Frankl和Stanley的定理，分类的f-向量的单纯复形。我们还证明了库克和Nagel，Constantinescu和Varbaro关于旗复形的h-向量的猜想的一个特例。
Vertex Dismissibility and Scalability of Simplicial Complexe
本文研究了单纯复形的顶点可弃性和可扩展性，揭示了其严格层次结构及代数结构，通过拓扑与同调视角统一了经典结果。
Minimal examples of Cohen-Macaulay independence complexes that fail to be shellable or vertex decomposable
通过对 11 个顶点上所有连通图的穷举普查，找到了独立复形为 Cohen-Macaulay 但不可壳化或可壳化但不可顶点分解的最小图例子。
On the Vertex Decomposability of $r$-Independence Complexes of Trees
本文证明了对于任意树 $T$ 和整数 $r \ge 1$，$r$-独立复形 $\Ind_r(T)$ 是顶点可分解的，从而解决了 Abdelmalek 等人的一个猜想。
Filtered matchings and simplicial complexes
对于任何有限的单纯复形X，我们从Chari和Joswig的离散Morse复形开始，并邻接X的匹配复形，关联一个自然过滤。这种结构导致几个同调论的定义，我们计算了一些例子。我们还完全确定了分级对象相关的过滤方面的同源性较简单的复合物。这最后一个结果提供了一些连接到顶点不相交圈的图的数量。
Vietoris-Rips complexes of Platonic solids
本文确定了柏拉图立体顶点集的 Vietoris-Rips 复形的同伦类型，发现当参数介于组合距离 3 和 4 之间时，十二面体的复形为九个 3-球面的楔。
Vertex cover ideals of simplicial complexes
本文构造新单纯复形并给出超图顶点可分解性检验程序，证明所得复形的关联超图可顶点分解且覆盖理想的所有符号幂分量线性，推广了已有图论结果。
A recursive construction of an acyclic matching on the independence complex of a graph with a simplicial vertex
本文提出一种递归方法，用于构建图的独立复形上的无环匹配，应用离散Morse理论确定了几种图类的同调类型，并为高效同调计算提供预处理框架。
Completing and extending shellings of vertex decomposable complexes
本文证明顶点可分解复形满足 Simon 猜想中的剥壳可补全性质，并给出通过按反字典序添加缺失子集保持顶点可分解性的构造方法，同时探讨其在拟阵、移位复形及小顶点数情形下的应用与等价关系。
Local Finiteness of Infinite Neighbor Complexes
我们证明，如果邻复形，如H.~若$\Z^n$的无限子集的Scarf有有限维数，则每个顶点有n个邻点.
Probabilistic values for simplicial complexes
本文定义并研究了单纯复形上合作对策的概率值。受Weber“博弈的概率值”工作的启发，我们按照经典公理化的方法，即利用线性公理、哑公理等，逐步建立了新的理论，并进一步定义了单纯复形上的Shapley值，推广了文献中的经典概念.值得注意的是，Shapley值的传统公理化可以扩展到一个相当有趣的复形类，推广了顶点传递图和顶点齐次单纯复形的概念。由于复杂性理论中对规避猜想的研究，这些组合对象在文献中非常流行。
Connectivity of ample, conic and random simplicial complexes
一个单纯复形是$r$ -圆锥的，如果至多有$r$顶点的每个子复形都包含在一个顶点的星中.一个$4$ -圆锥复形是单连通的.证明了$8$ -圆锥复形是$2$ -连通的.一般来说，$(2n+1)$ -圆锥复合体不需要是$n$ -连通的，但$6^n$ -圆锥复合体是$n$ -连通的.这扩展了Even-Zohar，Farber和Mead关于充分复形的结果，并回答了他们论文中提出的两个问题。我们的结果和他们的结果一起意味着当顶点数趋于$\infty$时，复形是$n$ -连通的概率趋于$1$。我们这里的模型是中间状态。
Collapsibility of Random Clique Complexes
我们证明了一个充分条件，有限团复杂的$k$维复杂的崩溃，并使用此展示阈值的$(k+1)$ -可扩展性在稀疏随机团复杂。特别地，如果团复形$X$的每个强连通的纯$(k+1)$维子复形的顶点次数至多为$2k+1$，则$X$是$(k+1)$ -可塌缩的。在Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$的团复形的随机模型$X(n,p)$中，我们证明了对于任何固定的$k\geq 0$，如果$p=n^{-α}$对于固定的$1/(k+1) < α< 1/k$，那么团复形$X\overset{dist}{=} X(n,p)$是$(k+1)$ -可塌缩的概率很高.
Standard graded vertex cover algebras, cycles and leaves
刻画了具有标准分次顶点覆盖代数的单纯复形。这个性质对于定义这些代数的无平方单项式理想有几个很好的结果。结果表明，这种单纯复形与一系列超图密切相关，这些超图推广了二部图和树。这些关系使我们能够获得非常普遍的结果，标准的分次顶点覆盖代数覆盖以前的主要成果Rees代数的squarefree单项理想。
Linear colorings of simplicial complexes and collapsing
单纯复形$Δ$的顶点着色称为线性着色，如果它满足这样的性质：对于$Δ$的每对小平面$(F_1, F_2)$，不存在具有相同颜色的顶点对$(v_1, v_2)$使得$v_1\in F_1\backslash F_2$和$v_2\in F_2\backslash F_1$ .证明了每一个用$k$颜色线性着色的单纯复形$Δ$都包含一个具有$k$顶点的子复形$Δ'$，使得$Δ'$是$Δ$的强形变收缩核.我们还证明了这种变形是一种非回避的约化，特别是一种坍缩。
Triconed Graphs, weighted forests, and h-vectors of matroid complexes
Stanley的一个著名猜想是拟阵的h-向量是纯O-序列。关于这个猜想已经有许多部分进展的论文，但它仍然是开放的。特别是对于以图的生成树为基的图拟阵，该猜想大多未解。在图论中，如果一个顶点集的每一个其他顶点都与所选集合中的某个顶点相邻，则该顶点集被称为控制顶点集。Kook证明了锥图的Stanley猜想，锥图是由一个顶点控制的一类图。Cranford等人将该结果扩展到双锥图，这是一类由单条边控制的图。在本文中，我们将这一结果推广到三锥图，一类图的长度为2的道路占主导地位。
A note on large torsion in $\mathbb{Q}$-acyclic complexes
该研究为$\mathbb{Q}$-无环单纯复形的挠群大小提供了仅依赖顶点度序列和维数的新上界。
Closed neighborhood complexes of graphs
研究图的闭邻域复形与其在拓扑学中的性质，揭示其与独立复形及路径同调的关系。
Skeleton Chordalities
研究图弦性新的高维类似物，给出单纯复形相关主要结果，如骨架 - E - 弦性、顶点可分解性、团弦性等之间的蕴含关系及等价关系，还包括复形分解、单纯顶点等性质，扩展了相关工作。
On the homotopy and strong homotopy type of complexes of discrete Morse functions
本文通过研究控制点或强塌缩，确定了某些单纯复形集合的Morse复形的同伦类型。我们证明了如果$K$包含两个叶共享一个共同的顶点，则Morse复形是强可塌缩的，因此具有点的同伦类型。我们还表明，纯莫尔斯复杂的树是强可折叠的，从而恢复作为一个推论的结果Ayala等人。此外，我们证明了莫尔斯复杂的不相交的联盟$K\sqcup L$是莫尔斯复杂的加入$K*L$。这一结果是用来计算同伦类型的莫尔斯复杂的一些家庭的图形，包括卡特彼勒图，以及自同构群的不相交的工会的一个大的集合不相交的复杂。
On Vietoris--Rips complexes of hypercube graphs
本文描述了超立方体图的Vietoris-Rips复形在小尺度参数下的同伦类型。更详细地，令$Q_n$是具有$2^n$顶点的超立方体图的顶点集，配备有最短路径度量。等价地，$Q_n$是长度为$n$的所有二进制字符串的集合，配备了汉明距离。$Q_n$在尺度参数为0时的Vietoris-Rips复形是$2^n$点，尺度参数为1时的$Q_n$的Vietoris-Rips复形是超立方体图，它同伦等价于一个楔形圆和.证明了$Q_n$的Vietoris-Rips复形在尺度参数为2时同伦等价于3-球的楔形和，并给出了3-球个数的计算公式.关于$Q_n$在较大尺度参数下的Vietoris-Rips复合体的许多问题仍然是开放的。
Large simplicial complexes: Universality, Randomness, and Ampleness
本文综述了大单纯复形的几何、拓扑和组合性质的研究进展，主要集中在丰富性、连通性和普适性方面。在本文的第一部分中，我们集中在$r$ -示例单纯复形，这是高维类似物的$r$ -e. c。最初由Erd \H os和Réniy引入的图。$r$ -样本复形的类对于应用是有用的，因为这些复形允许以所有可能的方式扩展某些类型的子复形;此外，$r$ -样本复形表现出显著的鲁棒性。我们讨论的结果存在的$r$ -充足的复合物，并描述其概率和确定性的建设。随机单纯复形在中间区域的性质对于本文的讨论是重要的，因为这些复形在一定范围内是丰富的。证明了随机单纯复形在中间区域的拓扑复杂性满足${\sf TC}(X)\le 4$，概率趋于$1$为$n\to\infty$ .在可数顶点集上存在唯一的（直到同构）$\infty$ -充分复形（Rado复形），本文第二部分综述了关于该复形的普适性、齐性、不可破坏性等重要性质的结果。附录由J.A.编写。Barmak讨论了圆锥曲线和充足复形的连通性。
Simplicial complexes with many facets are vertex decomposable
本文改进 Terai–Yoshida 定理，证明面数达到 $\inom{n}{c}-2c+1$ 的纯单纯复形不仅是 Cohen–Macaulay，更是顶点可分解的，并证明界最优。
Not all simplicial polytopes are weakly vertex-decomposable
1980年Provan和Billera定义了纯单纯复形的弱$k$ -可分解性的概念。他们证明了弱$k$ -可分解单纯复形$Δ$的直径由$Δ$中的$k$ -面数及其维数的多项式函数上界。对于弱0-可分解复形，这个界在顶点数和维数上是线性的。在本文中，我们展示了第一个例子的非弱0-可分解的单纯多面体。
Relating CAT(0) cubical complexes and flag simplicial complexes
给定一个有限的CAT（0）立方复形，我们定义一个与之相关的旗形单纯复形，称为交叉复形。我们表明，交叉复杂的原始立方复杂的组合信息：例如，在立方复杂的超平面对应于顶点链接的交叉复杂，和交叉复杂是平衡的，当且仅当立方复杂是立方平衡的。最有意义的结果是CAT（0）立方复形和旗形单纯复形的$f$ -向量集在可逆线性变换下是相等的。
Relation between combinatorial Ricci curvature and Lin-Lu-Yau's Ricci Curvature on cell complexes
本文比较了胞腔复形上的组合里奇曲率和图上定义的LLY-里奇曲率。一个胞腔复形对应于一个图，使得顶点是细胞，边是胞腔复形上的向量。利用耦合对偶和Kantrovich对偶对这两种里奇曲率进行了比较。
Betti numbers are testable
证明了顶点度有界的单纯复形的贝蒂数在常数时间内是可检验的。
Cohen-Macaulay graphs and face vectors of flag complexes
我们介绍了一个建设的标志复杂，通过修改相关的图，产生一个新的标志复杂的$h$ -因子是原来的复杂的面向量。这个构造产生了一个顶点可分解的复形，因此是科恩-麦考利复形。由此我们得到了旗形复合体的面向量的一个（非数值的）特征，并且还推导出旗形复合体的面向量是某个顶点可分解旗形复合体的$h$ -向量。我们推测后者的逆命题为真，并通过显式构造的方式，对于由二部图产生的科恩-麦考利标志复形的$h$ -向量证明了这一点。我们还给出了具有Cohen-Macaulay或Buchsbaum独立复形的二部图的几个新的刻画。
Higher matching complexes of complete graphs and complete bipartite graphs
对于$r\geq 1$，图$G$的$r$ -匹配复形，记作$M_r(G)$，是一个单纯复形，它的面是$G$的边集的子集$H \subseteq E(G)$，使得导出子图$G[H]$中任何顶点的度至多为$r$ .本文给出了完全图的$(n-2)$ -匹配复形在$n$顶点上的同伦类型的一个封闭形式公式。我们还证明了完全二部图$K_{n,n}$的$(n-1)$ -匹配复形同伦等价于一个维数为$(n-1)^2-1$的球面.
Chordal graphs, higher independence and vertex decomposable complexes
该研究推广独立复形提出$r$-独立复形，证明树的$r$-独立复形可剥壳、毛虫图的$r$-独立复形顶点可分解，还构造出$r$-独立复形非序列Cohen-Macaulay的弦图，推动了弦图与拓扑复形性质的交叉研究。
Extremal problems related to Betti numbers of flag complexes
研究了单纯复形的最大贝蒂数问题。证明了任意n-顶点旗复形的贝蒂数和的上界为1.32 ^n，无三角形图的独立复形的上界为1.25 ^n.这些发现意味着上界的贝蒂数的各种相关类别的空间，包括一个图的邻域复。我们还提出了一些相关的意见。
On Connectivity of the Facet Graphs of Simplicial Complexes
本文研究了具有组合意义的单纯复形的刻面图的连通性。特别地，证明了$d$ -圈、$d$ -超树和$d$ -超割的刻面图分别是$(d+1)$、$d$和$(n-d-1)$ -顶点连通的.它还表明，一个$d$ -循环的刻面图不能被分裂成多个$s$连接组件通过删除最多$s$顶点。此外，本文还讨论了各种相关问题，以及扩展到细胞复合体。
Generations of random hypergraphs and random simplicial complexes by the map algebra
本文考虑有限顶点集上的随机超图，通过随机独立地选取每一个顶点集作为超边。利用随机单纯复形和Erdös-Rényi型随机独立超图的概率分布，给出了随机超图的（下）相伴单纯复形和（下）相伴独立超图的概率分布.我们明确地构造了映射代数的一种分次结构，并给出了生成随机超图和随机单纯复形的算法。
Random Recursive Simplicial Complexes
本文研究随机递归单纯复形的生长规律，证明特定条件下单纯形数量为渐近自平均随机变量，探究度分布、极端结果概率及首顶点特征，确定单纯形数量平均值的渐近生长律。
Generalized Macaulay representations and the flag $f$-vectors of generalized colored complexes
$\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)$型着色复形是顶点集$V$上的单纯复形$Δ$，连同$V$的有序划分$(V_1, \dots, V_n)$，使得$Δ$的每个面$F$满足$|F \cap V_i| \leq a_i$。对于每个$\mathbf{b} = (b_1, \dots, b_n) \leq \mathbf{a}$，令$f_{\mathbf{b}}$为$Δ$的面$F$的数量，使得$|F \cap V_i| = b_i$。整数数组$\{f_{\mathbf{b}}\}_{\mathbf{b} \leq \mathbf{a}}$称为$Δ$的精细$f$ -向量，它是$Δ$的$f$ -向量的细化.本文推广了Macaulay表示的概念，并给出了任意类型有色复形的精细$f$ -向量的数值刻画.作为证明的一部分，我们引入了单纯复形的$\mathbf{a}$ -Macaulay可分解性的性质，这意味着顶点可分解性，并且我们证明了每一个$\mathbf{a}$型的纯色移平衡复形$Δ$都是$\mathbf{a}$ -Macaulay可分解的.结合以前已知的结果，我们还获得了完全平衡的Cohen-Macaulay复合物的标志$f$ -向量的数值表征。
Fröberg's Theorem, vertex splittability and higher independence complexes
该研究将Fröberg定理推广至高次无平方单项式理想，通过r-独立构造r-均匀超图，证明共弦图对应边理想具顶点可分裂性，计算了分次Betti数，并给出线性消解存在性的拓扑证明。
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