顶点可分解复形的剥壳补全与延拓
Completing and extending shellings of vertex decomposable complexes
AI总结：
本文证明顶点可分解复形满足 Simon 猜想中的剥壳可补全性质，并给出通过按反字典序添加缺失子集保持顶点可分解性的构造方法，同时探讨其在拟阵、移位复形及小顶点数情形下的应用与等价关系。
摘要：
我们称一个在 n 个顶点上的纯 d 维单纯复形 Δ 是剥壳可补全的，如果 Δ 能被实现为 Δ_{n-1}^{(d)}（即 (n-1) 维单纯形的 d 维骨架）的某个剥壳的初始序列。Simon 的一个著名猜想提出：任何可剥壳复形都是剥壳可补全的。在本文中我们证明顶点可分解复形是剥壳可补全的。事实上，我们证明如果 Δ 是一个顶点可分解复形，则存在其基集 V 的一个排序，使得添加 V 中按反字典序最小的缺失 (d+1)-子集后所得复形仍然是顶点可分解的。我们探讨了在拟阵和移位复形上的应用，以及与脊弦复形和 k-可分解性的联系。我们还证明：如果 Δ 是至多 d+3 个顶点上的 d 维复形，则可剥壳、顶点可分解、剥壳可补全和可延拓剥壳这些概念全部等价。
英文摘要：
We say that a pure $d$-dimensional simplicial complex $Δ$ on $n$ vertices is \emph{shelling completable} if $Δ$ can be realized as the initial sequence of some shelling of $Δ_{n-1}^{(d)}$, the $d$-skeleton of the $(n-1)$-dimensional simplex. A well-known conjecture of Simon posits that any shellable complex is shelling completable. In this note we prove that vertex decomposable complexes are shelling completable. In fact we show that if $Δ$ is a vertex decomposable complex then there exists an ordering of its ground set $V$ such that adding the revlex smallest missing $(d+1)$-subset of $V$ results in a complex that is again vertex decomposable. We explore applications to matroids and shifted complexes, as well as connections to ridge-chordal complexes and $k$-decomposability. We also show that if $Δ$ is a $d$-dimensional complex on at most $d+3$ vertices then the notions of shellable, vertex decomposable, shelling completable, and extendably shellable are all equivalent.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
