用 $d-2$ 个额外顶点完成壳化
Completing shellings with $d-2$ extra vertices
- Texas State University（德克萨斯州立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
证明西蒙猜想在允许加入 $d-2$ 个新顶点时成立，且该数目最优；对任意 $k$ 也适用于 $k$-可分解性，并构造反例说明 $d-3$ 个顶点不足。
AI中文摘要：
西蒙猜想（1994）断言：任何在 $n$ 个顶点上的纯 $d$ 维可壳复形，都可以在保持可壳性的前提下，一次一个面地扩展为 $n$ 个顶点上单纯形的 $d$-骨架。Bolognini 和 Sentinelli（2026）最近对所有 $d \geq 3$ 否证了该猜想。我们证明，一旦允许加入 $d-2$ 个新顶点，该猜想成立；并且对于任意 $k \geq 1$，用 $k$-可分解性替代可壳性时同样成立。我们还证明 $d-2$ 这个数目不能减少。对 Bolognini 和 Sentinelli 的反例进行膨胀，可对每个 $d \geq 3$ 构造一个 $1$-可分解复形，它无法仅用 $d-3$ 个新顶点以这种方式扩展，即使仅要求保持可壳性也不行。
英文摘要：
Simon's conjecture (1994) asserts that any pure $d$-dimensional shellable complex on $n$ vertices can be extended to the $d$-skeleton of the simplex on $n$ vertices, one facet at a time, while maintaining shellability. Bolognini and Sentinelli (2026) recently disproved it for every $d \geq 3$. We show that the conjecture becomes true once $d-2$ new vertices are allowed, and that the same holds with $k$-decomposability in place of shellability for any $k \geq 1$. We also show that the number $d-2$ cannot be lowered. Inflating the counterexample of Bolognini and Sentinelli gives, for every $d \geq 3$, a $1$-decomposable complex that cannot be extended in this way with only $d-3$ new vertices, even while merely maintaining shellability.
