Local Finiteness of Infinite Neighbor Complexes
James J. Madden
我们证明，如果邻复形，如H.~若$\Z^n$的无限子集的Scarf有有限维数，则每个顶点有n个邻点.
We show that if the neighbor complex, as defined by H.~Scarf, of an infinite subset of $\Z^n$ has finite dimension, then each vertex has finitely many neighbors.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Finiteness theorems for matroid complexes with prescribed topology
已知有许多具有给定顶点数的单纯复形（直到同构）。翻译成$h$ -向量的语言，对于任何自然数$k$，都有许多具有$h_1=k$的有界维数的单纯复形。在本文中，我们研究的问题，在另一端的$h$ -向量：是否只有许多$(d-1)$维单纯复形与$h_d=k$，任何给定的$k$？如果我们考虑一般的复形，答案是否定的，但是当我们关注来自拟阵的三种情况时：（i）独立复形，（ii）断路复形，和（iii）几何格的序复形。我们证明答案是肯定的情况下（i）和（iii）和猜想它也是真实的情况下（ii）。
Neighborhood Complexes of Kneser Graphs, $KG_{3,k}$
本文证明了Kneser图$KG_{3,k}$的邻域复形与维数为$k$的$\frac{(k+1)(k+3)(k+4)(k+6)}{4}+1$球楔的邻域复形同伦类型相同.我们构造了$KG_{3,k}$的极大子图$S_{3,k}$，它的邻域复形变收缩核到$SG_{3,k}$的邻域复上.
Homotopy type of Neighborhood Complexes of Kneser graphs, $KG_{2,k}$
Schrijver确定了Kneser图的一族顶点临界子图，称为稳定Kneser图$SG_{n,k}$。Björner和de Longueville证明了稳定Kneser图$SG_{n,k}$的邻域复形同伦等价于一个$k-$球面。本文证明了Kneser图$KG_{2,k}$的邻域复形的同伦型是一个由$k$维的$(k+4)(k+1)+1$球面构成的楔形图.构造了$KG_{2,k}$的极大子图$S_{2,k}$，它的邻域复形同伦等价于$SG_{2,k}$的邻域复形.进一步证明了$S_{2,k}$形变的邻域复形收缩到$SG_{2,k}$的邻域复形上。
Deformation Retracts of Neighborhood Complexes of Stable Kneser Graphs
2003年，A. Bjorner和M. de Longueville证明了稳定Kneser图SG_{n,k}的邻域复形同伦等价于k-球面.此外，对于n=2，他们表明，附近的复杂形变收缩核的子复杂同构的associahedron。他们接着问，对于所有的n和k，SG_{n,k}的邻域复形是否包含单纯多面体的边界复形作为形变收缩核。我们的目的是在k=2的情况下对这个问题给出肯定的回答。我们还发现，在这种情况下，部分细分后的邻域复杂的，所产生的复杂形变收缩核到一个子复杂的多面体边界球，是不变的作用下引起的自同构群的SG_{n,2}。
Generalization of neighborhood complexes
我们引入了正整数r的r-邻域复形的概念，它是Lovasz邻域复形的自然推广.这些复形的拓扑结构给图映射的存在性带来了障碍。我们应用这些复形证明了Kneser图的图映射的不存在性。证明了r-邻域复形的基本群与作者在前一篇文章中定义的（2 r）-基本群密切相关.
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
Simple homotopy types of Hom-complexes, neighborhood complexes, Lovász complexes, and atom crosscut complexes
在本文中，我们提供了具体的组合形式变形算法，即序列的基本崩溃和扩张，涉及各种以前广泛研究的家庭组合定义的多面体复合体。首先，我们给出了一个从邻域复形的重心重分到图的Lovász复形的初等坍缩序列。然后，对于任意格点${\mathcal L}$，我们描述了原子横切复形$Γ({\mathcal L})$的重心重分到其序复形$Δ(\bar{\mathcal L})$的形式变形。我们继续证明，从下面${\mathcal J}({\mathcal L})$有界的集合的复形也可以折叠到$Δ(\bar{\mathcal L})$。最后，作为我们项目的一个顶峰，我们将所有这些结果应用于某些图复合体。即通过描述一个显式的形式变形，证明了对任意图$G$，邻域复形${\mathcal N}(G)$和多面体复形$\text{\tt Hom}(K_2,G)$在Whitehead意义下具有相同的简单同伦类型.
Tangling and Braiding the Chessboard Complex
我们描述了一系列与辫群相关的复形，就像匹配复形与对称群相关一样。一个修改后的结构也适用于其他复杂的基础上边集的图。我们表明，我们的结构将产生科恩-麦考利复合物提供的基础复合物是科恩-麦考利。最后，我们讨论了一系列相关的复形，为F. Degenhartt，是一系列具有线性增加的有限长度的群，就像（未编织的）Houghton群一样。
Box complexes, neighborhood complexes, and the chromatic number
Lovasz的显着证明Kneser的猜想从1978年使用Borsuk-乌拉姆定理提供了一个下界的色数的一个图。我们引入了单纯复形的Shore剖分，并用它来表示这个拓扑下界的一个上界，并构造了从盒复形（Matousek和Ziegler的版本）到Lovasz复形的一个强Z_2-形变收缩.在这个过程中，我们分析和澄清所涉及的复合物的组合学，并通过几个“中间体”复合物连接它们的结构。
Dominance complexes, neighborhood complexes and combinatorial Alexander duals
该研究揭示图的支配复形与补图邻域复形的组合Alexander对偶的一致性，建立色数与支配复形同调群的关联，提出用独立复形计算支配复形同调群的新方法，并确定了特定网格图支配复形的同调群。
Closed neighborhood complexes of graphs
研究图的闭邻域复形与其在拓扑学中的性质，揭示其与独立复形及路径同调的关系。
From Erdos-Renyi graphs to Linial-Meshulam complexes via the multineighbor construction
研究Erdos-Renyi随机图的$m$-邻居复形，发现其以高概率呈现特定维数和面分布，并猜想该测度与Linial-Meshulam测度在总变差下收敛。
Neighborhood complexes and Kronecker double coverings
邻域复形$N(G)$是一个赋给图$G$的单纯复形，它的连通性给出了图$G$的色数的下界.证明了如果图的Kronecker双覆盖同构，则它们的邻域复形同构。作为应用，对于大于2的整数$m$和$n$，我们构造连通图$G$和$H$，使得$N(G) \cong N(H)$但$χ(G) = m$和$χ(H) = n$。我们还构造了一个图$KG_{n,k}'$，使得$KG_{n,k}'$与Kneser图$KG_{n,k}$不同构，但它们的Kronecker双覆盖同构.
Neighborhood complexes and generating functions for affine semigroups
给定a_1，a_2，. a_n在Z^d中，我们考察这些a_i的所有非负整数组合的集合G。特别地，我们研究生成函数f（z）= \sum_{b\in G} z^b。我们证明了，可以使用Z^n中特定格上的邻域复形（有时称为极大无格体复形或斯卡夫复形）将该生成函数写成有理函数。在一般情况下，这是由D.拜耳和B.斯特姆费尔斯在这里，我们证明它的几何在所有情况下，我们检查一个推广涉及的邻域复杂的任意格。
Hajós-Type Constructions and Neighborhood Complexes
任何具有色数$k$的图$G$都可以通过对以$K_k$开始的图序列迭代地执行某些图操作来构造，从而导致$G$的各种Hajós型构造。对于给定的图或图族，找到这样的构造是一项具有挑战性的任务。我们表明，在这些Hajós型建设的基本步骤经常导致在所得到的图的邻域复杂的$S^1$ -楔形和项的存在。我们的结果意味着，对于一个图$G$与一个高连通的邻域复杂的，建设序列的结束行为是相当有限的，我们调查这些限制的细节。我们还介绍了两种基于不同的Hajós型结构的图构造算法，并使用这些进行计算实验。
Fundamental groups of neighborhood complexes
图的邻域复形是由Lovász在Kneser猜想的证明中引入的。他表明，一定的拓扑性质的$N(G)$给出了下界的色数$G$。本文研究了邻域复形的基本群的组合刻画。对于正整数$r$，我们引入了基图$(G,v)$的$r$ -基本群$π_1^r(G,v)$和$G$的$r$ -邻域复形$N_r(G)$. $1$ -邻域复合体是邻域复合体。证明了如果$v$不是孤立的，则$π_1^{2r}(G,v)$的指数为1或2的子群$π_1^{2r}(G,v)_{ev}$的偶数部分同构于$(N_r(G),v)$的基本群.我们可以用$r$ -基本群来证明图同态的不存在性。例如，我们证明了$π_1^3(KG_{2k+1,k})$同构于$\mathbb{Z} /2$，这意味着没有从$KG_{2k+1,k}$到5圈图$C_5$的图同态。讨论了$r$ -基本群的覆盖映射。
Eigenvalue bounds for combinatorial Laplacians and an application to random complexes
该研究通过矩阵论方法推导单纯复形组合拉普拉斯的新特征值界，拓展了旗复形与一般复形的相关结论，并将其应用于改进随机图邻域复形的上同调与连通性结果。
Hom complexes of graphs of diameter $1$
给定一个有限单纯复形$X$和一个直径为$1$的连通图$T$，Dochtermann在\cite{anton}中证明了$\text{Hom}(T,G_{1,X})$同伦等价于$X$ .这里，$G_{1, X}$是通过取$X$的第一重心细分的$1$ -骨架并在每个顶点处添加环而获得的自反图。Dochtermann和Schultz在\cite{ds12}中证明了这一点。在这篇文章中，我们通过理解Hom $(K_n,G_{1,X})$的细胞结构给出了这个结果的另一个证明，其中$K_n$是$n$顶点上的完全图。证明了对于每个$n\geq 3$，$G_{1,X}$的邻域复形同伦等价于$X$和Hom $(K_n,G_{1,X})\simeq $ Hom $(K_{n-1},G_{1,X})$.
Homomorphism complexes, reconfiguration, and homotopy for directed graphs
本文系统建立有向图 Hom 复形理论，研究其拓扑性质、图运算、邻域复形、同调消没及同态重配置，并定义相关有向同伦。
A Complete Classification of 2-Linear Neighborhood Complexes
本文刻画了图G的Stanley-Reisner环k[N(G)]何时具有2-线性分解，等价于G是邻域共形且其公共邻域图是弦图，即G是仅含4-圈作为诱导圈的二分图，并由此得到Katzman下界等号成立条件及Cohen-Macaulay支配复形的分类。
On the homology of independence complexes
图$G$的独立复形$\mathrm{Ind}(G)$是由它的独立集构成的单纯复形。本文介绍了$\mathrm{Ind}(G)$的单纯边界映射的一种变形，这种变形产生了具有平凡同调的二重复形。在正确的方向上过滤这个二重复形会产生一个谱序列，该谱序列收敛到零，并且在其第一页上包含$G$的独立复形和$G$的各种子图的同源性，这些子图是通过从$G$中移除独立集及其邻域而获得的。结果表明，该谱序列可用于研究$\mathrm{Ind}(G)$的同源性。此外，仔细调查的序列的第一页展示了在$G$的极大独立集的基数和消失的某些同源群的独立复合体的$G$的一些子图之间的关系。这种关系被证明适用于所有的路径和循环图。
Spectral gap bounds for the simplicial Laplacian and an application to random complexes
本文给出了一般单纯复形的约化拉普拉斯算子的两个谱间隙界。我们的两个界限证明比较单纯复形在两个不同的方式与一个更大的复杂和相应的团复杂。这两个界都推广了Aharoni等人（2005）\cite{ABM}的结果，该结果仅对团复形有效。作为应用，我们研究了Erdös-Rényi随机图的邻域复形的上同调消失的阈值。我们使用我们的谱间隙边界通过对数因子改进了Kahle（2007）\cite{kahle}中导出的上界，并且我们还通过比Kahle（2007）\cite{kahle}中更精细的概率估计改进了下界。
The asymptotic topology of the multineighbor complex of a random graph
引入了图的多邻复形，它是一个单纯复形，其中单纯形是图的一个子集，具有足够多的相互邻居。我们研究了Erdos-Renyi随机图的这类复形的渐近同调性质，得到了一些零和非零的结果。我们使用这种结构进行拓扑数据分析分类的噪声合成点云获得良好的精度，通过标准方法获得。当有一个单一的邻居的情况下已经研究了早期的马修Kahle。
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