On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
Rainbow $k$-connectivity of random bipartite graphs
边着色图$G$中的路径称为彩虹路径，如果路径的两条边都不是相同着色的。对$G$的边着色使得每对顶点至少由$k$内部顶点不相交的彩虹路径连接所需的最小颜色数被称为图$G$的彩虹$k$ -连通性，由$rc_k(G)$表示。对于随机图$G(n,p)$，He和Liang得到了性质$rc_k(G(n,p))\leq d$的一个尖锐的门限函数.本文将这一结果推广到随机二部图$G(m,n,p)$的情形。
2012-12-26 math.CO
A Note on the Rainbow Connectivity of Tournaments
一个弧色有向图$D$称为\emph{rainbow connected}，如果对于每两个顶点$u$和$v$，存在一个$uv$ -路，所有的弧具有不同的颜色。使有向图彩虹连通所需的最少颜色数称为$D$的\emph{rainbow connection number}，记作$\stackrel{\rightarrow}{rc}(D)$。在\cite{Dorbec}中证明了：若$T$是一个强竞赛图，且$n\geq 5$为顶点，则$2\leq \stackrel{\rightarrow}{rc}(T)\leq n-1$ ;对每个$n$和$k$使得$3\leq k\leq n-1$，存在一个在$n$上的竞赛图$T$使得$\stackrel{\rightarrow}{rc}(T)=k$ .本文证明了对于任意$n\ge6$，存在$n$顶点的竞赛图$T$，使得$\stackrel{\rightarrow}{rc}(T)=2$ .
2015-04-27 math.CO
Rainbow connectivity of multilayered random geometric graphs
本文引入多层随机几何图概念，基于h个独立随机几何图定义边着色并研究其彩虹连通性，证明了半径具有该性质的阈值，补充了Erdős-Rényi模型的已知结果。
2025-03-01 math.CO
A rainbow connectivity threshold for random graph families
给定一个公共顶点集$X$上的图族$\mathcal G$，如果对于每个顶点对$u,v \in X$，都存在一条从$u$到$v$的路，该路最多使用$\mathcal G$中每个图的一条边，则称$\mathcal G$是彩虹连通的.我们考虑的情况下，$\mathcal G$包含$s$图，每一个随机抽样$G(n,p)$，$n = |X|$和$p = \frac{c \log n}{sn}$，其中$c > 1$是一个常数。我们证明了当$s$足够大时，$\mathcal G$是a.a.s.彩虹连接，并且当$s$足够小时，$\mathcal G$是a.a.s.没有彩虹连接。我们还计算了$\mathcal G$的彩虹连接的$s$的阈值，我们表明，这个阈值是集中在最多三个值，这是由约$\frac{\log n}{(\log \log n)^2}$大于$\mathcal G$的工会的直径。同样的结果也适用于更传统的随机彩虹设置，其中我们取一个随机图$G\in G(n,p)$与$p=\frac{c \log n}{n}$（$c>1$），并用从$s$颜色集合$[s]$中随机均匀选择的颜色对$G$的每条边进行着色。
2021-07-14 math.CO
Rainbow connectivity Maker-Breaker game
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）；Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Sciences, University of Novi Sad（诺维萨德大学理学院数学与信息学系）
本文研究了在图系统上的彩虹连通性制造-破坏游戏，确定了阈值偏置并推翻了相关猜想。
2026-03-10 math.CO
Rainbow connections of graphs -- A survey
彩虹连接的概念由Chartrand等人在2008年提出。彩虹连接数是一个非常有趣的概念，最近发表了很多关于它的论文，本文试图将与彩虹连接数有关的研究成果和论文集中起来，首先介绍彩虹连接数，然后将彩虹连接数分为五类，包括（强）彩虹连接数，彩虹$k$ -连接数，$k$ -彩虹指数，彩虹顶点连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹算法和计算复杂性。本调查还包含一些建议、未决问题或问题。
2011-02-01 cs.DM math.CO
Rainbow connectivity of randomly perturbed graphs
本文研究稠密图经随机加边和随机边着色后的彩虹连通性，证明添加足够大常数条边且颜色数 r≥5 时图以高概率彩虹连通，证实并补全了 Anastos 与 Frieze 的猜想。
2023-04-26 math.CO
Different versions of the nerve theorem and rainbow simplices
给定一个单纯复形和覆盖它的子复形的集合，神经定理，拓扑组合学中的一个基本工具，保证了当满足子复形相交的连通性条件时，单纯复形的一定连通性。我们表明，它是可能的，以延长这一定理，取代这些连通性条件的交叉子复合体的连接条件，其工会。虽然这是有趣的，因为它本身的缘故，我们使用这个扩展，以各种方式推广的Meshulam引理，一个强大的同调版本的Sperner引理。我们还证明了一个推广的Meshulam引理，这在某种程度上让人想起的多面体推广的Sperner引理德洛拉，彼得森，苏。对于后一个结果，我们使用不同的方法，我们不知道是否有一种方法可以通过某种神经定理得到它。
2019-07-29 math.CO
Tight minimum colored degree condition for rainbow connectivity
本文证明了图的最小着色度满足 $δ^c(G) \geq n/2$ 这一紧致条件时，任意两顶点均可由彩虹路径连接，推广了2011年关于正常着色路径的结果。
2024-11-13 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
Giant Rainbow Trees in Sparse Random Graphs
本文针对稀疏随机图的彩虹树覆盖规模猜想，通过改进误差项分析，证明了带αn种边色的Erdős-Rényi随机图中，高概率存在覆盖顶点数达正确首项常数的巨型彩虹树，验证了已有猜想。
2023-08-27 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Rainbow Connection Number and Radius
一个连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数。本文证明了对任意半径为r的无桥图G，rc（G）<= r（r + 2）.我们证明，这个界是最好的可能的rc（G）作为一个函数的r，不只是无桥图，但也为图的任何更强的连通性。可以注意到，对于一般的1-连通图G，rc（G）可以任意大于其半径（例如星图）。我们进一步证明了对于半径为r，弦度为k的无桥图G，rc（G）<= rk.已知计算rc（G）是NP-Hard [Chakraborty等人，2009年]。本文给出了一个O（nm）时间的（r+3）-因子近似算法和一个O（dm）时间的（d+3）-因子近似算法，对任意n阶、m条边、直径为d、半径为r的连通图G进行彩虹着色.
2012-09-11 cs.DM math.CO
High girth hypergraphs with unavoidable monochromatic or rainbow edges
Erdens和Hajnal的一个经典结果是：对任意整数$k, r, g \geq 2$，存在围长至少为$g$且色数至少为$k$的$r$ -一致超图.这意味着存在稀疏超图，使得在其顶点的任何着色中，至多有$k-1$颜色，存在单色超边。证明了对任意整数$r, g\geq 2$，存在周长至少为$g$的$r$ -一致超图，使得其顶点的任意着色都有单色边或彩虹边.我们给出了一个概率和确定性证明这一结果。
2016-08-17 math.CO
The emergence of a giant rainbow component
随机着色图$G_c(n,p)$是从Erdens-Rényi二项式随机图$G(n,p)$通过从$c$颜色集合中独立且均匀地随机分配给每个边而获得的。不难看出，当$c = Θ(n)$时，该模型中最大彩虹树的阶数在临界点$p=\frac{1}{n}$发生相变。本文确定了当\emph{weakly sub- and supercritical regimes}对于满足$\varepsilon = o(1)$和$|\varepsilon|^3 n\to\infty$的$\varepsilon=\varepsilon(n)$，最大彩虹树的渐近阶。特别是，我们表明，在这两个政权的最大组件的$G_c(n,p)$包含一个几乎生成彩虹树的概率很高。我们还考虑了当$p = \frac{d}{n}$对某个常数$d >1$时，最大彩虹树在\emph{sparse regime}中的阶数.在这里，我们表明，最大的彩虹树具有线性顺序，而且，对于$d$和$c$足够大，具有很高的概率$G_c(n,p)$甚至包含一个几乎跨越彩虹循环。
2022-10-21 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
Entropy Transference for Rainbow-$H$-Free Colourings of Random Graphs
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
该研究针对含q≥3条边且有相邻边的固定图H，建立随机图无彩虹H着色的熵转移原理，扩展了随机Gallai着色相变，提供稠密模板熵向稀疏随机宿主转移的通用机制。
2026-08-21 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in randomly coloured randomly perturbed dense graphs
给定一个$n$ -顶点图$G$，对于某个固定的$d > 0$，其最小度至少为$d n$，则在$G$的超图上的分布$G \cup \mathbb{G}(n,p)$称为$G$的（随机）{ \sl扰动}.我们考虑边着色图的分布所产生的随机扰动$G \cup \mathbb{G}(n,p)$的每个边缘的颜色，独立和均匀地随机选择一组颜色的大小$r := r(n)$。我们证明了这样的边着色图分布a.a.s.当随机扰动的边密度满足$p := p(n) \geq C/n$时，对于某个固定的$C > 0$和$r = (1 + o(1))n$，都存在彩虹Hamilton圈。使用的颜色数量显然是渐近最佳可能的。特别是，这在这方面改进了Anavalet和Frieze（2019）的最新结果。作为中间结果，这可能是独立的利益，我们证明了随机边着色稀疏伪随机图a.a.s.一条几乎横跨彩虹的道路。
2020-04-18 math.CO
Designing sparse temporal graphs satisfying connectivity requirements
Sorbonne Université, CNRS, LIP6（索邦大学，法国国家科学研究中心，LIP6）；École Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）
本文研究了满足部分连通性需求的时间图最优边数问题，提出连通性请求满足问题，证明有向图需n-cc+dfvs条边，无向图需满足特定条件才能用n-1条边实现连通。
2026-04-29 cs.DM cs.DS math.CO
A sparse canonical van der Waerden theorem
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了稀疏集合在规范van der Waerden性质下的阈值，证明了二项随机子集几乎必然继承该性质，并构造了具有高圈长的超图。
2026-04-26 math.CO math.NT
Power of $k$ choices and rainbow spanning trees in random graphs
我们考虑Erdens-Rényi随机图过程，这是一个随机过程，开始$n$顶点和没有边，并在每一步添加一个新的边缘随机选择从一组丢失的边缘。令$\mathcal{G}(n,m)$是具有在该过程的$m$步骤之后获得的$m$边的图。$\mathcal{G}(n,m)$的每个边缘$e_i$（$i=1,2,..., m$）从给定的$n-1$颜色集合中随机地均匀地独立地精确选择$k \in \mathbb{N}$颜色（可以将$e_i$视为多边缘）。当以下两个事件成立时，我们在时间$M$过早地停止该过程：$\mathcal{G}(n,M)$是连通的，并且每种颜色至少出现一次（如果在所有边缘都存在之前某些颜色没有出现，则为$M={n \choose 2}$;然而，这几乎肯定不会渐近地发生）。本文解决的问题是$\mathcal{G}(n,M)$是否有彩虹生成树（即$n$顶点上的多色树）。显然，这两个属性都是所需树存在的必要条件。1994年，Frieze和McKay研究了$k=1$的情况，这个问题的答案是“是”（渐近几乎肯定）。然而，由于连通性的尖锐阈值是$\frac {n}{2} \log n$，而看到所有颜色的尖锐阈值是$\frac{n}{k} \log n$，因此$k=2$的情况特别重要，因为在这种情况下，两个过程彼此保持一致。在本文中，我们表明，渐近几乎肯定的答案是“是”也为$k \ge 2$…
2014-10-13 math.CO
The role of planarity in connectivity problems parameterized by treewidth
For some years it was believed that for "connectivity" problems such as Hamiltonian Cycle, algorithms running in time 2^{O(tw)}n^{O(1)} -called single-exponential- existed only on planar and other sparse graph classes, where tw stands for the treewidth of the n-vertex input graph. This was recently disproved by Cygan et al. [FOCS 2011], Bodlaender et al. [ICALP 2013], and Fomin et al. [SODA 2014], who provided single-exponential algorithms on general graphs for essentially all connectivity problems that were known to be solvable in single-exponential time on sparse graphs. In this article we f…
2013-12-10 cs.DM cs.DS math.CO
Minors, connectivity, and diameter in randomly perturbed sparse graphs
研究了稀疏图受二项式随机图随机扰动时的极值性质。已知每个$n$ -顶点图$G$包含一个$Ω(n/α(G))$阶的完全子图.我们证明了添加$ξn$随机边，其中$ξ> 0$是任意小的，但固定的，$n$ -顶点图$G$满足$α(G) \leq ζ(ξ)n$渐近几乎肯定的结果在一个图包含一个完整的未成年人的顺序$\tilde Ω\left( n/\sqrt{α(G)}\right)$，这个结果是紧到隐对数项。对于完全拓扑子式，我们证明了存在一个常数$C>0$，使得在满足$δ(G) = ω(1)$的图$G$中添加$C n$随机边，渐近几乎必然导致一个图包含一个$\tilde Ω(\min\{δ(G),\sqrt{n}\})$阶的完全拓扑子式，这个结果在隐对数项下是紧的.最后，推广了Bohman，Frieze，Krivelevich和Martin的结果，分析了随机扰动稀疏图的点连通度和直径的渐近性质.
2022-12-14 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
Connectivity of sparse Bluetooth networks
考虑定义在$d$维单位环面中均匀分布的$n$顶点上的随机几何图。如果两个顶点的距离小于“可见半径”$r_n$，则它们是连接的。我们考虑{ \sl蓝牙网络}是局部稀疏的随机几何图。每个顶点在随机几何图中随机选择其邻居中的$c$，并且仅连接到所选择的点。我们表明，如果可见性半径至少是$n^{-(1-δ)/d}$的顺序为一些$δ> 0$，那么一个恒定的值$c$是足够的图被连接，具有很高的概率。对于任何阳性$ε$，取$c \ge \sqrt{(1+ε)/δ} + K$就足够了，其中$K$是仅取决于$d$的常数。另一方面，使用$c\le \sqrt{(1-ε)/δ}$，图是断开的，具有高概率。
2014-02-15 cs.DM cs.NI math.CO
$K_{4}$-Minor-Free Induced Subgraphs of Sparse Connected Graphs
我们证明了每一个具有$m$边的连通图$G$包含至多$\frac{3}{16}(m + 1)$顶点的集合$X$，使得$G-X$没有$K_4$子图，或者等价地，至多$2$有树宽.这个界限是最好的。连通性是必不可少的：如果$G$未连接，则只能保证$\frac{1}{5}m$的一个界限。
2016-05-17 cs.DM math.CO
Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles
本文研究了极值图与超图理论中的拓扑结构问题，证明了稠密及稀疏图在正常着色下包含彩虹细分与彩虹圈的条件，并将相关结论推广至纯单纯复形，通过强扩展性图与超图的随机采样方法给出了严格证明。
2024-01-03 math.CO
