On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
Rainbow $k$-connectivity of random bipartite graphs
边着色图$G$中的路径称为彩虹路径，如果路径的两条边都不是相同着色的。对$G$的边着色使得每对顶点至少由$k$内部顶点不相交的彩虹路径连接所需的最小颜色数被称为图$G$的彩虹$k$ -连通性，由$rc_k(G)$表示。对于随机图$G(n,p)$，He和Liang得到了性质$rc_k(G(n,p))\leq d$的一个尖锐的门限函数.本文将这一结果推广到随机二部图$G(m,n,p)$的情形。
2012-12-26 math.CO
A Note on the Rainbow Connectivity of Tournaments
一个弧色有向图$D$称为\emph{rainbow connected}，如果对于每两个顶点$u$和$v$，存在一个$uv$ -路，所有的弧具有不同的颜色。使有向图彩虹连通所需的最少颜色数称为$D$的\emph{rainbow connection number}，记作$\stackrel{\rightarrow}{rc}(D)$。在\cite{Dorbec}中证明了：若$T$是一个强竞赛图，且$n\geq 5$为顶点，则$2\leq \stackrel{\rightarrow}{rc}(T)\leq n-1$ ;对每个$n$和$k$使得$3\leq k\leq n-1$，存在一个在$n$上的竞赛图$T$使得$\stackrel{\rightarrow}{rc}(T)=k$ .本文证明了对于任意$n\ge6$，存在$n$顶点的竞赛图$T$，使得$\stackrel{\rightarrow}{rc}(T)=2$ .
2015-04-27 math.CO
Rainbow connections of graphs -- A survey
彩虹连接的概念由Chartrand等人在2008年提出。彩虹连接数是一个非常有趣的概念，最近发表了很多关于它的论文，本文试图将与彩虹连接数有关的研究成果和论文集中起来，首先介绍彩虹连接数，然后将彩虹连接数分为五类，包括（强）彩虹连接数，彩虹$k$ -连接数，$k$ -彩虹指数，彩虹顶点连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹算法和计算复杂性。本调查还包含一些建议、未决问题或问题。
2011-02-01 cs.DM math.CO
Rainbow connectivity of multilayered random geometric graphs
本文引入多层随机几何图概念，基于h个独立随机几何图定义边着色并研究其彩虹连通性，证明了半径具有该性质的阈值，补充了Erdős-Rényi模型的已知结果。
2025-03-01 math.CO
A rainbow connectivity threshold for random graph families
给定一个公共顶点集$X$上的图族$\mathcal G$，如果对于每个顶点对$u,v \in X$，都存在一条从$u$到$v$的路，该路最多使用$\mathcal G$中每个图的一条边，则称$\mathcal G$是彩虹连通的.我们考虑的情况下，$\mathcal G$包含$s$图，每一个随机抽样$G(n,p)$，$n = |X|$和$p = \frac{c \log n}{sn}$，其中$c > 1$是一个常数。我们证明了当$s$足够大时，$\mathcal G$是a.a.s.彩虹连接，并且当$s$足够小时，$\mathcal G$是a.a.s.没有彩虹连接。我们还计算了$\mathcal G$的彩虹连接的$s$的阈值，我们表明，这个阈值是集中在最多三个值，这是由约$\frac{\log n}{(\log \log n)^2}$大于$\mathcal G$的工会的直径。同样的结果也适用于更传统的随机彩虹设置，其中我们取一个随机图$G\in G(n,p)$与$p=\frac{c \log n}{n}$（$c>1$），并用从$s$颜色集合$[s]$中随机均匀选择的颜色对$G$的每条边进行着色。
2021-07-14 math.CO
Rainbow connectivity Maker-Breaker game
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）；Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Sciences, University of Novi Sad（诺维萨德大学理学院数学与信息学系）
本文研究了在图系统上的彩虹连通性制造-破坏游戏，确定了阈值偏置并推翻了相关猜想。
2026-03-10 math.CO
Rainbow connectivity of randomly perturbed graphs
本文研究稠密图经随机加边和随机边着色后的彩虹连通性，证明添加足够大常数条边且颜色数 r≥5 时图以高概率彩虹连通，证实并补全了 Anastos 与 Frieze 的猜想。
2023-04-26 math.CO
Rainbow spanning trees in randomly coloured $G_{k-out}$
本文研究随机着色的随机 $G_{k-out}$ 图中彩虹生成树的存在性问题，刻画了在该随机图模型中能够保证存在彩虹生成树的条件。
2023-10-31 cs.DM math.CO
Different versions of the nerve theorem and rainbow simplices
给定一个单纯复形和覆盖它的子复形的集合，神经定理，拓扑组合学中的一个基本工具，保证了当满足子复形相交的连通性条件时，单纯复形的一定连通性。我们表明，它是可能的，以延长这一定理，取代这些连通性条件的交叉子复合体的连接条件，其工会。虽然这是有趣的，因为它本身的缘故，我们使用这个扩展，以各种方式推广的Meshulam引理，一个强大的同调版本的Sperner引理。我们还证明了一个推广的Meshulam引理，这在某种程度上让人想起的多面体推广的Sperner引理德洛拉，彼得森，苏。对于后一个结果，我们使用不同的方法，我们不知道是否有一种方法可以通过某种神经定理得到它。
2019-07-29 math.CO
Tight minimum colored degree condition for rainbow connectivity
本文证明了图的最小着色度满足 $δ^c(G) \geq n/2$ 这一紧致条件时，任意两顶点均可由彩虹路径连接，推广了2011年关于正常着色路径的结果。
2024-11-13 math.CO
How many randomly colored edges make a randomly colored dense graph rainbow hamiltonian or rainbow connected?
本文研究了在任意随机边着色稠密图上添加随机边得到的随机边有色图。特别是，我们问有多少颜色和多少随机边缘需要，使所得的图包含一个固定数量的边缘不相交的彩虹汉密尔顿周期。我们还问，在结果图中，每对顶点都由彩虹路径连接。
2018-02-01 math.CO
Rainbow Matchings: existence and counting
边着色完全二部图K_{n,n}中的完美匹配M是彩虹图，如果M中没有一对边具有相同的颜色.我们得到的渐近计数结果的彩虹匹配的数量方面的最大数量的出现的颜色。我们还考虑两个自然模型的随机边着色K_{n,n}，并表明，如果颜色的数量至少是n，那么有很高的概率是随机匹配。这特别表明，几乎每一个n阶方阵，其中每一个条目出现最多n次有一个拉丁断面。
2011-04-14 cs.DM math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Rainbow Connection of Random Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条路相连，且该路的边具有不同的颜色.连通图$G$的彩虹连接，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文研究了$n$阶随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通性，其中$r\ge 4$为常数.证明了当$n$趋于无穷大时，概率趋于1时，$G$的彩虹连接满足$rc(G)=O(\log n)$，这是直到一个隐藏常数的最佳可能.
2014-12-02 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random regular graphs
边着色图的彩虹子图的所有边都是不同的颜色。一个随机d-正则图，d为偶数，且其边随机着色为n种颜色中的每一种颜色的d/2，当n趋于无穷大时，若d至少为8，则该图有一个概率趋于1的彩虹Hamilton圈.
2005-08-08 math.CO math.PR
Rainbow Connection Number and Radius
一个连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数。本文证明了对任意半径为r的无桥图G，rc（G）<= r（r + 2）.我们证明，这个界是最好的可能的rc（G）作为一个函数的r，不只是无桥图，但也为图的任何更强的连通性。可以注意到，对于一般的1-连通图G，rc（G）可以任意大于其半径（例如星图）。我们进一步证明了对于半径为r，弦度为k的无桥图G，rc（G）<= rk.已知计算rc（G）是NP-Hard [Chakraborty等人，2009年]。本文给出了一个O（nm）时间的（r+3）-因子近似算法和一个O（dm）时间的（d+3）-因子近似算法，对任意n阶、m条边、直径为d、半径为r的连通图G进行彩虹着色.
2012-09-11 cs.DM math.CO
Random subgraphs of properly edge-coloured complete graphs and long rainbow cycles
边色完全图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。Hahn在1980年提出了一个猜想，即每一个适当边着色的完全图$K_n$都有一条彩虹Hamilton路，虽然这个猜想被证明是错误的，但人们普遍认为这样的着色总是包含一个长度几乎为$n$的彩虹圈。在本文中，改进了几个早期的结果，我们证实了这一点，证明每一个适当的边色$K_n$有一个彩虹周期的长度$n-O(n^{3/4})$。我们的证明的主要成分之一，这是独立的利益，表明一个随机子图的正确的边着色的$K_n$形成的边缘的随机集的颜色有一个类似的边缘分布作为一个真正的随机图具有相同的边缘密度。特别地，它具有非常好的膨胀性能。
2016-08-25 math.CO
Rainbow spanning trees in random subgraphs of dense regular graphs
考虑边着色图的随机模型.在$n$顶点上的图$G$是固定的，并且通过使$G$的每条边以概率$p$保持独立来选择随机子图$G_p$。然后，从集合$[n-1]$中随机均匀地着色$G_p$的每个边缘。Frieze和McKay（Random Structures and Algorithms，1994）的一个结果表明，当$G = K_n$和$p = (2 + ε) \frac{\log n}{n}$对于某个常数$ε> 0$，则$G_p$几乎必然包含彩虹生成树。本文证明了：如果$G$是一个$d$ -正则$Ω(n)$ -边连通图，则当$p = (2 + ε) \frac {\log n}{d}$对某个常数$ε> 0$，$G_p$几乎必然包含一棵彩虹生成树.我们的主要工具是一个新的边缘替换方法的彩虹森林。
2023-01-08 math.CO
Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
Rainbow Greedy Matching Algorithms
本文研究在具有随机着色边的随机图中寻找大彩虹匹配的问题，并分析了两种基于无色版本改进的贪心算法在该问题上的性能。
2023-07-02 math.CO
Rainbow Stackings of Random Edge-Colorings
本文研究随机 r-边着色的彩虹堆叠存在性，确定了关于 r 的尖锐阈值，该阈值取决于着色数量 m 和顶点数 n。
2024-05-23 math.CO
Rainbow perfect matchings and Hamilton cycles in the random geometric graph
给定一个在$n$顶点上的图和一个给边的颜色分配，彩虹汉密尔顿圈是一个长度为$n$的圈，它访问每个顶点一次，并且在边上有成对不同的颜色。类似地（对于偶数$n$），彩虹完美匹配是具有成对不同颜色的$n/2$独立边的集合。在这篇笔记中，我们证明，如果我们用足够多的颜色随机地给随机几何图的边着色，那么a.a.s.图包含彩虹完美匹配（彩虹哈密尔顿循环）当且仅当最小度至少为$1$（分别地，至少为$2$）。更准确地说，考虑对于任何固定的$d\ge2$，从单位$d$维立方体中独立且均匀地随机选择的$n$点（即顶点）。在这些$n$顶点上形成一个图序列，方法是在每个可能的顶点对之间逐个添加边。边以长度的递增顺序添加（对于任何固定的$1<p\le\infty$，相对于$\ell_p$范数测量）。每次添加新的边缘时，它接收从一组$\lceil Kn\rceil$颜色中随机且重复地均匀选择的随机颜色，其中$K=K(d)$是足够大的固定常数。那就尽快序列中最小度至少为$1$的第一个图必须包含彩虹完美匹配（对于偶数$n$），并且最小度至少为$2$的第一个图必须包含彩虹Hamilton圈。
2016-02-16 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in randomly coloured randomly perturbed dense graphs
给定一个$n$ -顶点图$G$，对于某个固定的$d > 0$，其最小度至少为$d n$，则在$G$的超图上的分布$G \cup \mathbb{G}(n,p)$称为$G$的（随机）{ \sl扰动}.我们考虑边着色图的分布所产生的随机扰动$G \cup \mathbb{G}(n,p)$的每个边缘的颜色，独立和均匀地随机选择一组颜色的大小$r := r(n)$。我们证明了这样的边着色图分布a.a.s.当随机扰动的边密度满足$p := p(n) \geq C/n$时，对于某个固定的$C > 0$和$r = (1 + o(1))n$，都存在彩虹Hamilton圈。使用的颜色数量显然是渐近最佳可能的。特别是，这在这方面改进了Anavalet和Frieze（2019）的最新结果。作为中间结果，这可能是独立的利益，我们证明了随机边着色稀疏伪随机图a.a.s.一条几乎横跨彩虹的道路。
2020-04-18 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
The $(k,\ell)$-rainbow index of random graphs
边着色图中的树称为彩虹树，如果树上没有两条边共享相同的颜色。给定两个正整数$k$，$\ell$与$k\geq 3$，$G$的\emph{$(k,\ell)$-rainbow index} $rx_{k,\ell}(G)$是$G$的边着色所需的最小颜色数，使得对于$G$的$k$顶点的任何集合$S$，存在连接$S$的$\ell$内部不相交的彩虹树。这个概念是由Chartrand et.例如，本文分别对随机图$rx_{k,\ell}(G_{n,p})\leq k$和$rx_{k,\ell}(G_{n,M})\leq k,$建立了一个尖锐的阈值函数，其中$G_{n,p}$和$G_{n,M}$是通常定义的随机图.
2013-10-10 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs
随机图理论中最著名的结果之一是确定了Erdos-Renyi随机图G_{n,p}的Hamilton性阈值约为p ~（log n + log log n）/ n。已经做了大量的研究，以扩展到越来越具有挑战性的随机结构。特别地，Frieze最近的一个结果通过将3-一致超图连接到边-有色图来确定随机3-一致超图中松弛Hamilton圈的渐近阈值。在这项工作中，我们考虑边-有色图设置，并证明了一个结果，它达到了最好的可能的一阶常数。具体地说，当G_{n,p}的边缘是随机着色从一组（1 + o（1））n颜色，p =（1 + o（1））（log n）/ n，我们表明，几乎总是可以找到一个汉密尔顿循环，它具有进一步的属性，所有的边缘是明显的颜色（彩虹）。
2010-12-31 math.CO
On Rainbow Hamilton Cycles in Random Hypergraphs
设$H_{n,p,r}^{(k)}$表示一个随机着色的随机超图，它是在顶点集$[n]$上以概率$p$独立地取每个$k$元组，然后用集合$[r]$中的一种随机颜色独立地对它着色而构造的.设$H$是$n$阶的$k$ -一致超图.一个$\ell$-Hamilton圈是$H$的一个生成子超图$C$，它具有$n/(k-\ell)$边，并且使得对于某些顶点的循环序，$C$的每条边由$k$连续顶点组成，并且$C$中的每对相邻边精确地相交于$\ell$顶点.本文研究了$H_{n,p,r}^{(k)}$中彩虹$\ell$-Hamilton圈的存在性（即每条边接收不同的颜色）.我们主要关注当$r = n/(k-\ell)$。特别是，我们表明，对于所谓的紧汉密尔顿周期（$\ell=k-1$）$p = e^2/n$是一个彩虹紧汉密尔顿周期的存在$H_{n,p,n}^{(k)}$为每个$k\ge 4$的尖锐的阈值。
2018-06-11 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs and hypergraphs
设$H$是边着色超图。我们说$H$包含一个超图$S$的\emph{rainbow}副本，如果它包含一个$S$的同构副本，并且所有边都是不同的颜色。我们考虑以下设置。通过将$[n]$的每个$k$ -子集以概率$p$相加，并从$[c]$中均匀、独立地随机分配一种颜色，得到一个随机边着色的随机超图$H\sim \mathcal H_c^k(n,p)$.作为第一个结果，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^2_c(n,p)$（即，一个随机边着色图）包含一个彩虹Hamilton圈，如果$c=(1+o(1))n$和$p=\frac{\log n+\log\log n+ω(1)}{n}$。这是渐近最好的可能的两个参数，并改善了弗里兹和Loh的结果。其次，基于McDiarmid的一个巧妙的耦合思想，我们提供了一个通用的工具，用于解决与在随机图/超图中找到“漂亮的边着色”结构有关的问题。我们通过两个有趣的应用来说明这种说法的普遍性。在一个应用程序中，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^k_c(n,p)$包含一个超图$S$的彩虹副本，只要$c=(1+o(1))|E(S)|$和$p$是（乘法常数）的$S$的副本包含的属性的阈值函数。在第二个应用中，我们证明了一个典型的$G\sim \mathcal H_{c}^2(n,p)$包含$(1-o(1))np/2$边不相交的…
2015-06-09 math.CO
The emergence of a giant rainbow component
随机着色图$G_c(n,p)$是从Erdens-Rényi二项式随机图$G(n,p)$通过从$c$颜色集合中独立且均匀地随机分配给每个边而获得的。不难看出，当$c = Θ(n)$时，该模型中最大彩虹树的阶数在临界点$p=\frac{1}{n}$发生相变。本文确定了当\emph{weakly sub- and supercritical regimes}对于满足$\varepsilon = o(1)$和$|\varepsilon|^3 n\to\infty$的$\varepsilon=\varepsilon(n)$，最大彩虹树的渐近阶。特别是，我们表明，在这两个政权的最大组件的$G_c(n,p)$包含一个几乎生成彩虹树的概率很高。我们还考虑了当$p = \frac{d}{n}$对某个常数$d >1$时，最大彩虹树在\emph{sparse regime}中的阶数.在这里，我们表明，最大的彩虹树具有线性顺序，而且，对于$d$和$c$足够大，具有很高的概率$G_c(n,p)$甚至包含一个几乎跨越彩虹循环。
2022-10-21 math.CO
Universality for rainbow oriented cycles in perturbed digraphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究随机扰动有向图在均匀n边着色下，高概率同时包含所有长度和定向的彩虹有向圈，通过Montgomery分布吸收法证明。
2026-05-29 math.CO
The hitting time of rainbow connection number two
在给定边着色的图$G$中，彩虹路径是所有边都具有不同颜色的路径。给$G$的边着色以使每对顶点至少由一条彩虹路径连接所需的最小颜色数称为图$G$的彩虹连接数$rc(G)$。对于任何图形$G$，$rc(G) \ge diam(G)$。我们将证明，对于Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$接近直径2阈值，如果$diam(G)=2$，则$rc(G)=2$的概率很高。事实上，进一步加强这一结果，我们将表明，在随机图过程中，以高概率的首中时的直径2和彩虹连接数2一致。
2012-09-13 math.CO
Rainbow Berge Hamiltonicity in edge-colored random $k$-uniform hypergraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
该研究将边染色随机图的彩虹哈密顿Berge圈结果推广到k≥3的随机k均匀超图，确定了对应的c和p阈值，且该阈值渐近紧。
2026-09-28 math.CO
Rainbow copies of spanning subgraphs
本文研究了 $n$ 顶点边着色随机图空间 $G_{n,p}^{[κ]}$ 中生成子图 $H$ 的彩虹拷贝存在阈值，提供了概率 $p$ 和颜色数 $κ$ 的下界，以高概率证明此类拷贝的存在性。
2025-08-12 cs.DM math.CO
Dirac-type Problem of Rainbow matchings and Hamilton cycles in Random Graphs
本文研究随机图族中的彩虹 Hamilton 圈与完美匹配，证明在独立 $G(n,p)$ 样本中，各子图最小度超过 Dirac 阈值时以高概率保证相应彩虹结构存在。
2024-10-29 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
On rainbow thresholds
本文在彩虹设定下证明了Frankston–Kahn–Narayanan–Park阈值结果及其Spiro加强版，解决了Bell、Frieze和Marbach提出的问题，并应用于随机图彩虹结构阈值。
2024-08-11 math.CO math.PR
Entropy Transference for Rainbow-$H$-Free Colourings of Random Graphs
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
该研究针对含q≥3条边且有相邻边的固定图H，建立随机图无彩虹H着色的熵转移原理，扩展了随机Gallai着色相变，提供稠密模板熵向稀疏随机宿主转移的通用机制。
2026-08-21 math.CO
Rainbow trees in uniformly edge-coloured graphs
我们获得了充分条件的出现的跨越和几乎跨越有界度{ \sl彩虹}树在各种主机图，有他们的边缘着色独立，均匀随机，使用预定的调色板。我们的第一个结果断言，使用尺寸为$n$，a.a.s.的调色板，$\mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色。允许在至多$(1-\varepsilon)n$顶点上的任何给定有界度树的彩虹副本，其中$\varepsilon > 0$是任意小但固定的。这作为一个彩虹变种的经典结果阿隆，Krivelevich和Sudakov有关的嵌入有界度几乎生成规定的树在$\mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$是独立的$n$。给定一个最小度至少为$δn$的$n$ -顶点图$G$，其中$δ> 0$是固定的，我们利用我们前面的结果证明了随机扰动图$G \cup \mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色，使用$(1+α)n$颜色，其中$α> 0$是任意小而固定的，a.a.s.允许任何给定的有界度{ \sl生成}树的彩虹副本。这可以看作是Krivelevich、Kwan和Sudakov的一个结果的彩虹变体，他们证明了$G \cup \mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$独立于$n$，a.a.s.允许任何给定的有界度生成树的副本。最后，利用上述的$G$，我们证明了用$G \cup \mathbb{G}(n,ω(n^{-2}))$颜…
2021-05-23 math.CO
Rainbow arborescence in random digraphs
我们考虑Erdens-Rényi随机有向图过程，这是一个随机过程，它从$n$顶点开始，没有边，并且在每一步添加一个新的有向边，从丢失的边集中均匀随机选择。令$\mathcal{D}(n,m)$是具有在该过程的$m$步骤之后获得的$m$边的图。$\mathcal{D}(n,m)$的每个边$e_i$（$i=1,2,\ldots, m$）独立地从给定的一组$n(1 + O( \log \log n / \log n)) = n (1+o(1))$颜色中随机均匀地选择一种颜色。当以下两个事件成立时，我们在时间$M$处过早地停止该过程：$\mathcal{D}(n,M)$最多有一个顶点具有0度内，并且至少引入了$n-1$不同的颜色（如果在所有边都存在的时候，引入的颜色仍然少于$n-1$，则为$M= n(n-1)$;然而，这几乎肯定不会渐近地发生）。本文讨论的问题是，$\mathcal{D}(n,M)$是否具有彩虹树形（即，在$n$顶点上的有向有根树，其中所有边都指向远离根的方向，并且所有边都是不同的颜色）。显然，这两个属性是必要的所需的树存在，我们表明，渐近几乎肯定，这个问题的答案是“是”。
2014-11-12 math.CO
Proper Hamiltonian Paths in Edge-Coloured Multigraphs
给定一个$c$ -边着色多重图，一条真Hamilton路是包含该多重图的所有顶点且使得相邻边不具有相同颜色的路。在这项工作中，我们建立了充分的条件，边着色的多重图，以保证存在一个适当的Hamilton路，涉及各种参数的边数，颜色的数量，彩虹度和连通性。
2014-06-20 cs.DM math.CO
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
2022-04-21 math.CO
Universality of random graphs and rainbow embedding
在本文中，我们将展示如何使用简单的划分引理，以嵌入生成图中的一个典型的成员$G(n,p)$。设图$H$的\emph{maximum density}是$H$的所有子图的最大平均度。首先，我们证明了对于$p=ω(Δ^{12} n^{-1/2d}\log^3n)$，图$G\sim G(n,p)$ w. h. p.\包含所有生成图$H$的副本，其中最大度为至多$Δ$，最大密度为至多$d$。对于$d<Δ/2$，这改进了Dellamonica、Kohayakawa、Rödl和Rucietcki的结果。接下来，我们证明，如果我们额外限制生成图的围长至少为7，则随机图包含w.h.p.。对于$p=ω(Δ^{12} n^{-1/d}\log^3n)$的所有这样的图。特别地，如果$p=ω(Δ^{12} n^{-1/2}\log^3 n)$，则随机图因此包含w.h.p.\每个最大度由$Δ$限定的生成树。这改进了Johannsen，Krivelevich和Samotij的结果。最后，本着同样的精神，我们证明了，对于任何具有常数最大度的生成图$H$，以及对于合适的$p$，如果我们用$(1 + o(1))|E(H)|$颜色随机着色图$G\sim G(n,p)$的边，则w.h.p.在$G$中存在$H$的\emph{rainbow}拷贝（即，所有边缘都用不同颜色着色的$H$的拷贝）。
2014-09-22 math.CO
Rainbow Hamiltonicity in uniformly coloured perturbed digraphs
本文证明了在边均匀着色的随机扰动有向图中，当底图最小半度满足条件时，以高概率存在彩虹有向哈密顿圈，改进了此前无向图设置下的相关结论。
2024-03-27 math.CO
Rainbow common graphs must be forests
该研究探讨图的彩虹共通性问题，证明含环的图在颜色数不小于其边数时均为彩虹非共通图，推广了已有结果并验证了相关猜想。
2024-07-10 math.CO
Rainbow subgraphs of uniformly coloured randomly perturbed graphs
University College London（伦敦大学学院）
本文研究均匀着色随机扰动图中彩虹子图的存在性，提出基于 McDiarmird 耦合思想的通用工具，并证明在最优颜色数和边概率条件下，均匀着色的扰动图以高概率包含任意有界度树的彩虹副本。
2025-11-07 math.CO
Giant Rainbow Trees in Sparse Random Graphs
本文针对稀疏随机图的彩虹树覆盖规模猜想，通过改进误差项分析，证明了带αn种边色的Erdős-Rényi随机图中，高概率存在覆盖顶点数达正确首项常数的巨型彩虹树，验证了已有猜想。
2023-08-27 math.CO
Packing a randomly edge-colored random graph with rainbow $k$-outs
设$G$是$n$顶点上的图，$k$是一个固定的正整数。我们用$\mathcal G_{\text{$ k $-out}}(G)$表示由$G$的子图组成的概率空间，其中每个顶点$v\in V(G)$从$G$中随机挑选$k$邻居，独立于所有其他顶点。我们证明，如果$δ(G)=ω(\log n)$和$k\geq 2$，那么以下对每个$p=ω(\log n/δ(G))$成立。设$H$是一个随机图，通过保持每个$e\in E(G)$以概率$p$独立随机，然后用集合$[kn]$中的元素独立均匀地随机着色其边而获得。然后，w. h. p. $H$包含$t:=(1-o(1))δ(G)p/(2k)$边不交图$H_1,...,H_t$，使得每个$H_i$都是\emph{rainbow}（即，所有边都用不同的颜色着色），并且对于图$\mathcal P$和每个$1\leq i\leq t$的每个单调递增性质，我们有$\Pr[\mathcal G_{\text{$ k $-out}}(G)\models \mathcal P]\leq \Pr[H_i\models \mathcal P]+n^{-ω(1)}$。注意，由于（在这种情况下）$\mathcal G_{\text{$ k $-out}}(G)$的典型成员具有大致$2k$的平均度，因此该结果是渐近最佳可能的。我们提出了几个应用程序，例如，我们使用这…
2014-10-08 math.CO math.PR
Rainbow Hamilton Cycles in Random Geometric Graphs
本文研究了随机几何图中的彩虹 Hamilton 圈问题，证明当边用 $n+o(n)$ 种颜色独立着色且半径 $r$ 取使最小度至少为 2 的最小值时，图 a.a.s. 包含彩虹 Hamilton 圈。
2023-09-12 math.CO math.PR
Rainbow subdivisions of cliques
该研究证明，对于大顶点数且边数达到 $n(\log n)^{53}$ 的恰当边染色图，必含 $K_m$ 的多色细分，结果在多项式对数因子内最优，证明借助随机游走混合时间与图扩张性的关联。
2023-09-01 math.CO
Small rainbow cliques in randomly perturbed dense graphs
对于两个图$G$和$H$，如果$G$具有其边的每个\emph{proper}着色产生$H$的\emph{rainbow}副本的性质，则写作$G \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} H$。我们研究了随机扰动稠密图的\emph{anti-Ramsey}性质的阈值，这些图是$G \cup \mathbb{G}(n,p)$形式的并集，其中$G$是一个$n$ -顶点图，其边密度至少为$d >0$，$d$独立于$n$。在一篇配套文章中，我们证明了属性$G \cup \mathbb{G}(n,p) \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} K_\ell$的阈值是$n^{-1/m_2(K_{\left\lceil \ell/2 \right\rceil})}$，无论何时$\ell \geq 9$。对于较小的$\ell$，阈值表现得更不稳定，而对于$4 \le \ell \le 7$，它们显著向下偏离上述捕获\emph{large}集团阈值的美学形式。特别是，我们表明，$\ell \in \{4, 5, 7\}$的阈值分别为$n^{-5/4}$，$n^{-1}$和$n^{-7/15}$。对于$\ell \in \{6, 8\}$，我们将阈值确定为指数中的$(1 + o(1))$因子：它们分别为$n^{-(2/3 +…
2022-07-15 math.CO
Power of $k$ choices and rainbow spanning trees in random graphs
我们考虑Erdens-Rényi随机图过程，这是一个随机过程，开始$n$顶点和没有边，并在每一步添加一个新的边缘随机选择从一组丢失的边缘。令$\mathcal{G}(n,m)$是具有在该过程的$m$步骤之后获得的$m$边的图。$\mathcal{G}(n,m)$的每个边缘$e_i$（$i=1,2,..., m$）从给定的$n-1$颜色集合中随机地均匀地独立地精确选择$k \in \mathbb{N}$颜色（可以将$e_i$视为多边缘）。当以下两个事件成立时，我们在时间$M$过早地停止该过程：$\mathcal{G}(n,M)$是连通的，并且每种颜色至少出现一次（如果在所有边缘都存在之前某些颜色没有出现，则为$M={n \choose 2}$;然而，这几乎肯定不会渐近地发生）。本文解决的问题是$\mathcal{G}(n,M)$是否有彩虹生成树（即$n$顶点上的多色树）。显然，这两个属性都是所需树存在的必要条件。1994年，Frieze和McKay研究了$k=1$的情况，这个问题的答案是“是”（渐近几乎肯定）。然而，由于连通性的尖锐阈值是$\frac {n}{2} \log n$，而看到所有颜色的尖锐阈值是$\frac{n}{k} \log n$，因此$k=2$的情况特别重要，因为在这种情况下，两个过程彼此保持一致。在本文中，我们表明，渐近几乎肯定的答案是“是”也为$k \ge 2$…
2014-10-13 math.CO
Large rainbow cliques in randomly perturbed dense graphs
对于两个图$G$和$H$，写$G \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} H$，如果$G$具有其边的每个{ \sl proper}着色产生$H$的{ \sl rainbow}副本的性质。我们研究了随机扰动稠密图中这种所谓的{ \sl anti-Ramsey}性质的阈值，这些图是$G \cup \mathbb{G}(n,p)$形式的并集，其中$G$是一个$n$ -顶点图，其边密度至少为$d$，$d$是一个不依赖于$n$的常数。我们的结果在本文中，结合我们的结果在一个同伴的文件，确定阈值的属性$G \cup \mathbb{G}(n,p) \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} K_s$为每个$s$。在本文中，我们表明，$s \geq 9$的阈值是$n^{-1/m_2(K_{\left\lceil s/2 \right\rceil})}$，事实上，我们的$1$ -声明是一个过饱和的结果。这（几乎）也是$s=8$的阈值，但对于每个$4 \leq s \leq 7$，阈值都更低;更多细节请参见我们的配套论文。在本文中，我们还考虑了属性$G \cup \mathbb{G}(n,p) \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} C_{2\ell - 1}$，并表明，该属性的…
2022-07-15 math.CO
