A note on spanning $K_r$-cycles in random graphs
Alan Frieze
我们发现的边缘不相交的$K_r$，形成一个循环结构，并跨越所有顶点的$G_{n,p}$的副本的集合存在的阈值。我们利用Riordan的一个最近结果给出了主要结果的两行证明。
We find the threshold for the existence of a collection of edge disjoint copies of $K_r$ that form a cyclic structure and span all vertices of $G_{n,p}$. We use a recent result of Riordan to give a two line proof of the main result.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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New Ore-type Conditions for Hamilton Cycles and Spanning Trees with few leaves
给出了Hamilton圈和少叶生成树的新Ore型条件。
Convex subgraphs and spanning trees of the square cycles
本文对平方圈的连通生成凸子图进行了分类。证明了$C_n^2$的每一个生成树都包含在$C_n^2$的一个唯一的非平凡连通生成凸子图中.其结果是，我们得到了一个纯粹的组合推导公式的生成树的平方圈的数目。
Spanning trees in directed circulant graphs and cycle power graphs
一类生成元线性依赖于$βn$顶点数的有向循环图的生成树数，以及$βn$ -圈的第$n$次和第$(n-1)$次幂图的生成树数被计算为$\lceilβ/2\rceil-1$项的乘积.
Spanning $F$-cycles in random graphs
我们最近的一个论点的卡恩，纳拉亚南和公园（会议记录的AMS，出现）的阈值出现的平方汉密尔顿循环到其他跨越结构。特别地，对于任何生成图，我们给出了一个充分条件，在此条件下我们可以确定它的阈值。作为一个应用程序，我们找到了一组循环有序的副本的$C_4$，跨越整个顶点集的阈值，使任何两个连续的副本重叠，正好在一个边缘和所有重叠的边缘是不相交的。这就回答了弗里兹的一个问题。我们还确定了边缘重叠跨越$K_r$ -循环的阈值。
Quantitative characteristics of cycles and their relations with stretch and spanning tree congestion
本文的主要目的是引入有限简单连通图中圈的新的数量特征，并建立这些特征与图的拉伸和生成树拥塞的关系。主要的新参数被命名为支持编号。我们给出了一个多项式逼近算法的支持数的帮助下，我们介绍的另一个特点，命名为圈宽度的图。
Spanning trees in directed square cycles
本文研究了有向平方环中的生成树结构，推导了其数量公式，并揭示了其与雅各布斯数的关系。
A note on spanning trees with a specified degree sequence
本文给出了图G具有给定度序列的生成树的一个Ore型充分条件。
The minimum vertex degree for an almost-spanning tight cycle in a $3$-uniform hypergraph
本文证明了最小顶点度至少为$\left(\frac{5}{9} + o(1) \right)\binom{n}{2}$的$3$-一致超图存在几乎生成紧圈，即不含$o(n)$顶点的紧圈.顶点度的界是渐近最佳可能的。我们的证明使用超图正则性方法，特别是最近版本的超图正则性引理证明艾伦，Böttcher，库利和麦考夫。
Spanning cycles in random directed graphs
研究随机有向图中生成圈的出现时间，证明任意有向圈几乎必然早于有向哈密顿圈出现，并确定其尖锐阈值，证实了 Ferber-Long 猜想。
Spanning trees with nonseparating paths
我们考虑的问题与存在的生成树的图形的属性，删除后的任何路径的树的图形仍然连接。我们证明，对于可平面图，具有此性质的树的存在性与图的Hamilton性密切相关。对于具有1-或2-顶点割的图，哈密尔顿性也起着中心作用。我们还处理生成树满足这一属性限制的路径所产生的基本周期。图的圈空间可以由任意生成树的基本圈生成，Tutte证明了，对于3-连通图，它可以由非分离圈生成。我们也对由非分离圈组成的基本基的存在感兴趣。
A note on edge degree and spanning trail containing given edges
设$G$是一个单图，其顶点数为$n\geq4$，每条边$xy\in E(G)$为$d(x)+d(y)\geq n+k$.在这项工作中，我们证明了$G$包含一个跨越封闭的线索包含任何给定的边集$X$，如果$|X|\leq k$，或$G$是一个良好的特征图。作为推论，我们证明了这类图的线图是$k$ -Hamilton的.
A note on spanning trees of connected $K_{1,t}$-free graphs whose stems have a few leaves
设$T$是一棵树，度为1的顶点称为叶。$T$的叶的集合由$Leaf(T)$表示。$T$的子树$T-Leaf(T)$称为$T$的主干，记为$Stem(T).$。本文给出了一个简洁的充分条件，证明了一个无$K_{1,t}-$图有一棵主干少叶的生成树。应用主要结果，改进了以往的相关结果.
A note on universal graphs for spanning trees
本文针对含所有n顶点树为子图的n顶点通用图的最小边数问题，改进了Chung和Graham给出的1/2 n log n边数下界，将其提升至n log n。
A note on packing spanning trees in graphs and bases in matroids
我们考虑一类图的边连通度等于边不相交的生成树的最大数目，并自然推广到拟阵，其中cogirth等于不相交的基的数目。我们提供这样的图和拟阵的描述，表明这样的图（或拟阵）有一个独特的分解。在图的情况下，我们的结果是相关的某些通信协议。
A spanning union of cycles in thin cylinder, torus and Klein bottle grid graphs
本文提出了一个算法，用于从图的所有顶点都是$m n$的图（$m, n \in N, m >1 $）中获得用于枚举2-因子的公共转移有向图$ D^*_m$。$m <19$收集的数值数据揭示了不同类型的环面或克莱因瓶的2-因子数的一些匹配。在后一种情况下，我们猜想这些数字是不变的扭曲。
Discrepancies of Spanning Trees and Hamilton Cycles
研究了图的生成树和Hamilton圈的多色差异性。作为我们的主要结果，我们表明，在非常温和的条件下，图$G$的$r$ -颜色生成树的差异是相等的，直到一个常数，最小$s$，使$G$可以被分成$r$相等的部分，通过删除$s$顶点。这一结果可以说解决了问题，估计生成树的差异，基本上所有的图的兴趣。特别是，它使我们能够立即推导出的推论大多数结果出现在最近的一份文件的Balogh，Csaba，京和Pluhár，证明他们在更广泛的一般性和任何数量的颜色。我们还得到了一些新的结果，如确定超立方体的生成树差异。对于具有某些扩张性质的特殊情况，我们得到了精确的渐近界。本文还研究了最小度大的图中Hamilton圈的多色不一致性，证明了在最小度至少为$\frac{r+1}{2r}n + d$且顶点为$n$的图的边的任何$r$ -染色中，必存在至少有$\frac{n}{r} + 2d$边为某种颜色的Hamilton圈.这扩展了Balogh等人的结果，是他建立了$r = 2$这个案子此结果中的常数$\frac{r+1}{2r}$是最佳的;它不能被任何更小的常数所替代。
A spanning union of cycles in rectangular grid graphs, thick grid cylinders and Moebius strips
出于寻找最近的论文中出现的一些问题的答案，在一些特殊类别的网格图处理哈密顿圈（简称HC），我们开始调查的循环，所谓的2-因子，在这些图（作为HC的推广）的生成工会。对于所有三种类型的图的标题和任何整数$m \geq 2$，我们提出了一个算法，用于获得一个专门设计的（转移）有向图${\cal D}^*_m$。将2-因子的计数问题归结为有向图中有向游动的计数问题。计算结果，我们收集的$m \leq 17$揭示了一些有趣的性质，无论是有向图${\cal D}^*_m$和序列的2-因子。我们证明了其中的一些任意$m \geq 2$。
Local resilience for squares of almost spanning cycles in sparse random graphs
1962年，Pósa证明了一个图$G=(V, E)$包含一个哈密尔顿圈的平方，如果$δ(G)\ge 2n/3$ .仅仅过了30多年，科姆洛什、萨尔科奇和塞梅雷迪用所谓的爆破引理证明了这个猜想。在这里，我们将他们的结果扩展到一个随机的图形设置。我们证明了对于每个$ε> 0$和$p=n^{-1/2+ε}$ a.a.s. $G_{n,p}$的每个最小度至少为$(2/3+ε)np$的子图在$(1-o(1))n$的顶点上包含圈的平方。这在三种方式中几乎是最好的可能：（1）对于$p\ll n^{-1/2}$，随机图将不包含长循环的任何平方（2）人们不能希望生成循环的平方的弹性版本（因为删除单个顶点的邻域中的所有边破坏了此属性）以及（3）对于$c<2/3$ a.a.s. $G_{n,p}$包含一个最小度至少为$cnp$的子图，该子图不包含$(1/3+c)n$顶点上的路的平方。
Note on packing of edge-disjoint spanning trees in sparse random graphs
图$G$的\emph{spanning tree packing number}是包含在$G$中的边不相交生成树的最大数目。令$k\geq 1$为固定整数。Palmer和Spencer证明了在几乎每一个随机图过程中，具有$k$边不交生成树的命中时间等于具有最小度$k$的命中时间.本文证明了对任意$p$，使得$(\log n+ω(1))/n\leq p\leq (1.1\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树的堆积数等于最小度.注意，$p$的这个界将允许最小度是$n$的函数，在这个意义上，我们改进了Palmer和Spencer的结果。此外，我们还得到了对任意$p$，使得$p\geq (51\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树堆积数小于最小度.
A note on heterogeneous decompositions into spanning trees
在回答Eggleton的一个问题，我们证明了5顶点的完全多重图，边重数为6，即$K_{5}^{(6)}$，有分解成5个副本的家庭的树的顺序5和$K_{7}^{(22)}$有分解成7个副本的家庭的树的顺序7。我们证明了类似的$K_{2n+1}$为$n \le 13$。
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
A note on directed 4-cycles in digraphs
本文利用组合技巧证明了：若$α\geq 0.28866$，则$n$顶点上最小出度至少为$αn$的任何有向图都含有长度不超过4的有向圈.
A note on a Broken-cycle Theorem for hypergraphs
Whitney的破圈定理将图的色多项式表示为特殊边子集上的和。我们给出了超图中圈的一个定义，它保持了定理的陈述。
Minimum Spanning Tree Cycle Intersection Problem
针对连通图，研究如何寻找一棵生成树，使其由非树边诱导的环之间的非空交集数量最少，提出并定义了最小生成树环交集问题。
Long Cycles and Spanning Subgraphs of Locally Maximal 1-planar Graphs
一个图是$1$ -平面的，如果它在平面中有一个绘图，使得每条边最多与另一条边相交一次。此外，如果这个图有额外的性质，即对于两个边的每个交叉，这些边的端点诱导出一个完全子图，则该图是局部极大$1$ -平面的。对$3$ -连通局部极大$1$ -可平面图$G$，证明了生成$3$ -连通平面子图的存在性，并证明了当$G$至多有3个$3$ -点割时，$G$是Hamilton图;当$G$至多有4个$3$ -点割时，$G$是可迹图.此外，还得到了无穷多个不可迹的$5$ -连通$1$ -可平面图.
On The 2-Spanning Cyclability Of Honeycomb Toroidal Graphs
本文研究蜂窝环面图的2-生成环可容性，探讨图中任意两个不同顶点能否分属由2-因子构成的两个不同环。
Spanning eulerian subdigraphs avoiding k prescribed arcs in tournaments
一个有向图是{ \bf欧拉}的，如果它是连通的，并且每个顶点的入度等于出度。有一个生成欧拉子有向图是有一个哈密尔顿圈的一个弱化。一个有向图是{ \bf semicomplete}，如果它没有不相邻的顶点对.一个{ \bf tournament}是一个没有长度为2的有向圈的半完全有向图。Frise和Schlassen \cite{fraisseGC3}证明了每一个$(k+1)$ -强竞赛图都有一个避免任何给定$k$弧集的Hamilton圈.在\cite{bangsupereuler}中，作者证明了一些关于竞赛图中的点连通度和Hamilton圈的结果，并且当我们用弧连通度代替点连通度和用生成欧拉子有向图代替Hamilton圈时，这些结果具有类似性.他们证明了存在一个最小函数$f(k)$，使得每个$f(k)$ -弧-强半完全有向图都有一个生成欧拉子有向图，它避开了任何指定的$k$弧集.他们证明了$f(k)\leq \frac{(k+1)^2}{4}+1$，也证明了$f(k)=k+1$当$k=2,3$。基于此，他们证实了所有$k\geq 0$的$f(k)=k+1$。本文证明了$f(k)\leq (\lceil\frac{6k+1}{5}\rceil)$ .
A note on the Turán number of a Berge odd cycle
本文给出了不含奇长Berge圈的3-一致超图中超边个数的上界。我们改进了Füredi和Özkahya在2017年给出的界。这个结果是由一个更一般的定理得出的.我们还得到了Berge团的一些新结果。
A short note on spanning even trees
本文证明每个奇数度 r-正则非二分连通图都存在生成偶树，补上 Jackson–Yoshimoto 猜想在无 2-因子保证下的最后未决情形。
A Note on Hamilton Cycles
如果$G$是$n$上的一个以上的坚韧图，且对于给定的$a>0$，$n$具有$δ\ge \frac{n}{2}-a$，且$n$足够大，则$G$是Hamilton图.
A note on graphs without short even cycles
证明了任意n-顶点图不含长度不超过2k的偶数圈，其边数不超过1/2（n^{1 + 1/k}）+ O（n），广义多边形的极性图证明了当k = 2，3，5时，这是渐近紧的.
A note on cycles in graphs with specified radius and diameter
设$G$是半径$r$和直径$d$与$d\leq 2r-2$的图。我们给出了一个新的证明，$G$包含一个周期的长度至少$4r-2d$，即它的周长持有$c(G)\geq 4r-2d$。
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
Weighted sums of rooted spanning forests on cycles with pendant edges
本文利用矩阵树定理推导出带悬挂边的圈图的有根生成森林加权和的两个公式，并指出其中一个公式可表示为 Chebyshev 多项式的变量变换。
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
Long directed rainbow cycles and rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的发现问题可以追溯到欧拉关于拉丁方中横截的工作，并从那时起得到了广泛的研究。本文研究了完全边着色图和有向图的彩虹子图的两个相关问题。在第一部分中，我们证明了每一个正常边着色的完全有向图都包含一个长度为$n-O(n^{4/5})$的有向彩虹圈。这是由哈恩的一个老问题激发的，改进了Gyarfas和Sarkozy的一个结果。在第二部分中，我们表明，任何树$T$上的$n$顶点与最大程度的$Δ_T\leq βn/\log n$有一个彩虹嵌入到一个适当的边缘着色$K_n$，只要每一种颜色出现在最多的$αn$时间和$α, β$是足够小的常数。
A note on 5-cycle double covers
强圈双覆盖猜想指出，对于无桥三次图$G$的每一个圈$C$，存在$G$的一个圈双覆盖，其中包含$C$ .我们猜想甚至存在$G$的5圈双覆盖$S$，它包含$C$，即$C$是$S$的5个2-正则子图之一的子图.证明了2-正则子图包含在$G$的5-圈双覆盖中的一个充要条件。
A Note on Large Cycles in Graphs Around Conjectures of Bondy and Jung
给出了任意k-连通图（k= 1，2，.）中广义圈（包括Hamilton圈和控制圈作为特例）的两个新的充分条件.证明了Bondy（1980）著名猜想的正确性，其某些变体显著地改进了给定假设所期望的结果。类似地，对于Jung（2001）提出的反向假设，建立了周长（最长循环的长度）的两个新的下界。
Hamiltonian graphs with prescribed minimum degree and no near-spanning cycles
本文构造性地解决了Häggkvist提出的问题，证明了对于给定最小度和足够大的阶数，存在不含近生成圈的哈密顿图，并提出了开放问题。
A note on heterochromatic cycles of length 4 in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的异色循环是其中每两个边缘具有不同颜色的循环。对于顶点$v\in V(G)$，令$CN(v)$表示分配给与$v$关联的边的颜色集合。本文证明了$G$包含一个长为4的异色圈，如果对$G$的每对顶点$u$和$v$，$G$都有$n\geq 60$顶点和$|CN(u)\cup CN(v)|\geq n-1$.这扩展了Broersma等人关于存在长度为3或4的异色圈的结果。
A note on a degree sum condition for long cycles in graphs
我们猜想一个2-连通图$G$的阶为$n$，其中对每对不邻顶点$x$和$y$有$d(x)+d(y)\geq n-k$，除非$G$是二部图，且$n-k$是奇数，否则它包含一个长为$k<n/2$（$k<n/2$）的圈.这推广到长周期的一个众所周知的度和条件的矿石汉密尔顿。该猜想对$k=1$成立。
A note on the augmented Zagreb index of cacti with fixed number of vertices and cycles
设$\mathcal{C}_{n,k}$是所有具有$k$圈和$n\geq4$顶点的仙人掌的族。本文刻画了具有最小增广Zagreb指数（$AZI$）的类$\mathcal{C}_{n,k}$的元素.此外，还研究了集合$\mathcal{C}_{n,0}$上具有最大$AZI$值的图的结构性质.
A note on the existence of an alternating sign on a spanning tree of graphs
对于连通图G的生成树T和标号E：E（T）\rightarrow {+，-}，如果对任意余树边e \in E（G）-E（T），T中连接e的两个端点的唯一路具有交错符号，则称E（T）是图G的生成树T上的交错符号.本文证明了任意图都有生成树T和T上的交错符号。
On the k-spanning cyclability of 4-valent Cayley graphs on Abelian groups
本文研究了阿贝尔群上4-valent Cayley图的$k$-spanning cyclability，即对任意$k$个不同顶点，存在由$k$个环组成的2-factor使每个顶点属于不同环。
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
A note on 3-colorable plane graphs without 5- and 7-cycles
Borodin等人指出了J. Combinatorial Theory Ser. B（Vol.96（2006）958- 963）中的一个空白，并利用类似的方法给出了一个新的证明。本文的目的是通过稍微修改特殊面孔的定义，并在证明中添加几行解释（新添加的文本都是黑色字体）来修复差距。
On sufficient conditions for spanning structures in dense graphs
该研究将稠密图中哈密顿图的鲁棒结构条件推广到环幂与次线性带宽图，解决了相关嵌入问题并恢复建立了多场景下的带宽定理。
Notes on a conjecture of Manoussakis concerning Hamilton cycles in digraphs
1992年，Manoussakis证明了强2-连通有向图$n$是Hamilton的，如果对每两个不同的独立顶点对$x,y$和$w,z$，我们有$d(x)+d(y)+d(w)+d(z)\geq 4n-3$ .本文证明了$D$有一条Hamilton路，从而给出了支持这一猜想的一个肯定的证据.
A note on the number of edges in a Hamiltonian graph with no repeated cycle length
设$G$是一个$n$ -顶点图，它是通过给一个长度为$n$的圈加上弦而得到的. Markström询问如果$G$中没有两个具有相同长度的循环，则$G$中的最大边数。一个简单的计数参数表明，这样的图最多可以有$n + \sqrt{2n} +1 $边。利用$\mathbb{Z}_n$中的差集，我们证明了对无穷多个$n$，存在一个$n$ -顶点哈密顿图，它有$n + \sqrt{n - 3/4} - 3/2$边且没有重复圈长.
A Note on Even Cycles and Quasi-Random Tournaments
循环C={v_1，v_2，.，v_1}被称为偶数，如果当沿着C行走时，偶数条边指向错误的方向，即它们从v_{i+1}指向v_i。在这篇短文中，我们证明了对于每一个固定的偶数k >= 4，如果竞赛图T中接近一半的k-圈是偶数，那么T一定是拟随机的.这解决了Chung和Graham在1991年提出的一个悬而未决的问题
A note on the total number of cycles of even and odd permutations
本文双射地证明了$[n]=\{1,2,...,n\}$的所有偶置换的圈的总数与$[n]$的所有奇置换的圈的总数相差$(-1)^n(n-2)!$，这是Miklós Bóna提出的一个公开问题.我们还证明了双射以下更一般的身份：$$\sum_{i=1}^n c(n,i)\cdot i \cdot (-k)^{i-1} = (-1)^k k! (n-k-1)!,$$其中$c(n,i)$表示的数量的排列$[n]$与$i$循环。
Note on Long Directed Cycles in Eulerian Digraphs
本研究针对欧拉有向图中长有向环的长度下界问题，改进了Huang等人此前得出的下界结果，将其从$\sqrt{d}$提升至$\sqrt{2d}-3/2.$。
A note on heavy cycles in weighted digraphs
加权有向图是指每个弧都被赋予一个非负数的有向图，称为弧的权。加权有向图$D$中顶点$v$的加权出度是以$v$为尾的弧的权之和，$D$中有向圈$C$的权是$C$中弧的权之和.本文证明了：如果一个阶为$n$的加权有向图$D$的每个顶点的加权出度至少为1，则$D$中存在一个权至少为$1/\log_2 n$的有向圈.这证明了一个猜想Bollobás和斯科特了一个常数的因素。
Local resilience of an almost spanning $k$-cycle in random graphs
著名的Pósa-Seymour猜想在1998年被Komlós、Sárközy和Szemerédi证实，它指出对任何$k \geq 2$，每个在$n$顶点上具有最小度$kn/(k + 1)$的图都包含一个Hamilton圈的$k$次幂。我们将这一结果推广到稀疏随机设置。本文证明了对每个$k \geq 2$都存在$C > 0$，使得如果$p \geq C(\log n/n)^{1/k}$，那么w. h. p.随机图$G_{n, p}$的每个最小度至少为$(k/(k + 1) + o(1))np$的子图，至少在$(1 - o(1))n$顶点上包含$k$次圈幂，改进了Noever和Steger关于$k = 2$以及Allen等人关于$k \geq 3$的最新结果.我们的结果几乎是最好的可能在三个方面：对于$p \ll n^{-1/k}$的随机图$G_{n, p}$ w. h. p.不包含任何长循环的$k$次幂;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) + o(1))np$和$Ω(p^{-2})$顶点不属于三角形;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) - o(1))np$不包含$(1 - o(1))n$顶点上的循环的$k$次幂。
A Note on Long non-Hamiltonian Cycles in One Class of Digraphs
设$D$是$n\geq 4$上的强有向图.在[3，离散应用数学，95（1999）77-87）]，J. Bang-Jensen，Y. Guo和A. Yeo证明了如下定理：如果对于每对不邻顶点$x, y$有一个共同的内邻点或一个共同的外邻点，（*）$d(x)+d(y)\geq 2n-1$和$min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n-1$，则$D$是哈密顿的.在本说明中，我们表明：如果$D$不是有向循环并且满足条件（*），则$D$包含长度为$n-1$或$n-2$的循环。
A note on the transversal size of a series of families constructed over Cycle Graph
Paul Erdés和László Lovász通过一个例子证明了存在一个具有近似$(e-1)k!$块的极大交$k-$集族. László Lovász解释说，他们的例子是最有名的例子，它有最大数量的块。后来被推翻了。但对这些例子的追求直到今天仍然有效。本文通过计算在圈图上构造的一系列均匀相交族的横向尺寸，给出了一个具有多个$(\frac{k}{2})^{k-1}$（近似）块的例子.
On $k$-ended spanning and dominating trees
最多有$k$叶的树称为$k$结束树。一个2-端生成树是一个哈密尔顿路，一个哈密尔顿圈可以被认为是一个1-端生成树。关于少叶生成树的最早的结果是：如果$k$是正整数，$G$是一个阶为$n$的连通图，其中每对不相邻的顶点$x,y$都有$d(x)+d(y)\ge n-k+1$，则$G$有一个生成$k$ -结束树。本文从两个方面改进了这一结果，并基于广义参数$t_k$ -最大$k$ -端树的阶，证明了控制$k$ -端树的一个类似结果.特别地，$t_1$是周长（最长循环的长度），而$t_2$是最长路径的阶数。
A Note on Hamiltonian Cycles in Digraphs with Large Degrees
本文证明了阶为 $n$ 的 2-强有向图在满足特定顶点度数下界及存在经过特定顶点的长圈条件时必为哈密顿图。
Note on Disjoint Cycles in Multipartite Tournaments
本文针对无三角形多部竞赛图和3部竞赛图验证了Bermond-Thomassen关于顶点不相交有向圈的猜想，并进一步刻画了最小出度至少为$2k-1$且任意$k$个不相交圈等长的3部竞赛图。
Aztec diamonds, checkerboard graphs, and spanning trees
本文导出了广义跳棋游戏中非跳移动图的特征多项式。生成树的数量也被确定。
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