A note on cycles in graphs with specified radius and diameter
设$G$是半径$r$和直径$d$与$d\leq 2r-2$的图。我们给出了一个新的证明，$G$包含一个周期的长度至少$4r-2d$，即它的周长持有$c(G)\geq 4r-2d$。
2018-09-21 math.CO
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
2021-03-04 math.CO
A Note on Large Cycles in Graphs Around Conjectures of Bondy and Jung
给出了任意k-连通图（k= 1，2，.）中广义圈（包括Hamilton圈和控制圈作为特例）的两个新的充分条件.证明了Bondy（1980）著名猜想的正确性，其某些变体显著地改进了给定假设所期望的结果。类似地，对于Jung（2001）提出的反向假设，建立了周长（最长循环的长度）的两个新的下界。
2022-11-26 math.CO
A note on heterochromatic cycles of length 4 in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的异色循环是其中每两个边缘具有不同颜色的循环。对于顶点$v\in V(G)$，令$CN(v)$表示分配给与$v$关联的边的颜色集合。本文证明了$G$包含一个长为4的异色圈，如果对$G$的每对顶点$u$和$v$，$G$都有$n\geq 60$顶点和$|CN(u)\cup CN(v)|\geq n-1$.这扩展了Broersma等人关于存在长度为3或4的异色圈的结果。
2012-01-18 math.CO
A note on spanning $K_r$-cycles in random graphs
我们发现的边缘不相交的$K_r$，形成一个循环结构，并跨越所有顶点的$G_{n,p}$的副本的集合存在的阈值。我们利用Riordan的一个最近结果给出了主要结果的两行证明。
2020-05-29 math.CO
A note on a degree sum condition for long cycles in graphs
我们猜想一个2-连通图$G$的阶为$n$，其中对每对不邻顶点$x$和$y$有$d(x)+d(y)\geq n-k$，除非$G$是二部图，且$n-k$是奇数，否则它包含一个长为$k<n/2$（$k<n/2$）的圈.这推广到长周期的一个众所周知的度和条件的矿石汉密尔顿。该猜想对$k=1$成立。
2007-11-30 math.CO
A note on the augmented Zagreb index of cacti with fixed number of vertices and cycles
设$\mathcal{C}_{n,k}$是所有具有$k$圈和$n\geq4$顶点的仙人掌的族。本文刻画了具有最小增广Zagreb指数（$AZI$）的类$\mathcal{C}_{n,k}$的元素.此外，还研究了集合$\mathcal{C}_{n,0}$上具有最大$AZI$值的图的结构性质.
2016-05-06 math.CO
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
2023-02-28 math.CO
A note on 3-colorable plane graphs without 5- and 7-cycles
Borodin等人指出了J. Combinatorial Theory Ser. B（Vol.96（2006）958- 963）中的一个空白，并利用类似的方法给出了一个新的证明。本文的目的是通过稍微修改特殊面孔的定义，并在证明中添加几行解释（新添加的文本都是黑色字体）来修复差距。
2008-10-08 math.CO
Notes on a conjecture of Manoussakis concerning Hamilton cycles in digraphs
1992年，Manoussakis证明了强2-连通有向图$n$是Hamilton的，如果对每两个不同的独立顶点对$x,y$和$w,z$，我们有$d(x)+d(y)+d(w)+d(z)\geq 4n-3$ .本文证明了$D$有一条Hamilton路，从而给出了支持这一猜想的一个肯定的证据.
2014-04-20 math.CO
A note on the number of edges in a Hamiltonian graph with no repeated cycle length
设$G$是一个$n$ -顶点图，它是通过给一个长度为$n$的圈加上弦而得到的. Markström询问如果$G$中没有两个具有相同长度的循环，则$G$中的最大边数。一个简单的计数参数表明，这样的图最多可以有$n + \sqrt{2n} +1 $边。利用$\mathbb{Z}_n$中的差集，我们证明了对无穷多个$n$，存在一个$n$ -顶点哈密顿图，它有$n + \sqrt{n - 3/4} - 3/2$边且没有重复圈长.
2017-05-22 math.CO
A Note on Even Cycles and Quasi-Random Tournaments
循环C={v_1，v_2，.，v_1}被称为偶数，如果当沿着C行走时，偶数条边指向错误的方向，即它们从v_{i+1}指向v_i。在这篇短文中，我们证明了对于每一个固定的偶数k >= 4，如果竞赛图T中接近一半的k-圈是偶数，那么T一定是拟随机的.这解决了Chung和Graham在1991年提出的一个悬而未决的问题
2012-06-17 math.CO
A note on the total number of cycles of even and odd permutations
本文双射地证明了$[n]=\{1,2,...,n\}$的所有偶置换的圈的总数与$[n]$的所有奇置换的圈的总数相差$(-1)^n(n-2)!$，这是Miklós Bóna提出的一个公开问题.我们还证明了双射以下更一般的身份：$$\sum_{i=1}^n c(n,i)\cdot i \cdot (-k)^{i-1} = (-1)^k k! (n-k-1)!,$$其中$c(n,i)$表示的数量的排列$[n]$与$i$循环。
2010-04-06 math.CO
Note on Long Directed Cycles in Eulerian Digraphs
本研究针对欧拉有向图中长有向环的长度下界问题，改进了Huang等人此前得出的下界结果，将其从$\sqrt{d}$提升至$\sqrt{2d}-3/2.$。
2025-10-30 math.CO
A note on heavy cycles in weighted digraphs
加权有向图是指每个弧都被赋予一个非负数的有向图，称为弧的权。加权有向图$D$中顶点$v$的加权出度是以$v$为尾的弧的权之和，$D$中有向圈$C$的权是$C$中弧的权之和.本文证明了：如果一个阶为$n$的加权有向图$D$的每个顶点的加权出度至少为1，则$D$中存在一个权至少为$1/\log_2 n$的有向圈.这证明了一个猜想Bollobás和斯科特了一个常数的因素。
2012-02-03 math.CO
A Note on Long non-Hamiltonian Cycles in One Class of Digraphs
设$D$是$n\geq 4$上的强有向图.在[3，离散应用数学，95（1999）77-87）]，J. Bang-Jensen，Y. Guo和A. Yeo证明了如下定理：如果对于每对不邻顶点$x, y$有一个共同的内邻点或一个共同的外邻点，（*）$d(x)+d(y)\geq 2n-1$和$min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n-1$，则$D$是哈密顿的.在本说明中，我们表明：如果$D$不是有向循环并且满足条件（*），则$D$包含长度为$n-1$或$n-2$的循环。
2012-09-20 math.CO
A note on the transversal size of a series of families constructed over Cycle Graph
Paul Erdés和László Lovász通过一个例子证明了存在一个具有近似$(e-1)k!$块的极大交$k-$集族. László Lovász解释说，他们的例子是最有名的例子，它有最大数量的块。后来被推翻了。但对这些例子的追求直到今天仍然有效。本文通过计算在圈图上构造的一系列均匀相交族的横向尺寸，给出了一个具有多个$(\frac{k}{2})^{k-1}$（近似）块的例子.
2015-01-09 math.CO
A Note on Hamiltonian Cycles in Digraphs with Large Degrees
本文证明了阶为 $n$ 的 2-强有向图在满足特定顶点度数下界及存在经过特定顶点的长圈条件时必为哈密顿图。
2023-08-04 math.CO
A Simple Proof for the Cycle Double Cover Conjecture
给定一个无桥图G，著名的圈双覆盖猜想假定存在一个G的圈列表，使得每条边恰好出现在两个圈中。本文证明了圈双覆盖猜想。更确切地说，我们证明了Goddyn猜想是圈双覆盖猜想的一个加强版本，该猜想指出G中的每个圈都是G的某个圈双覆盖的成员。
2018-11-20 math.CO
Cycle double covers and non-separating cycles
三次图$G$的哪一个$2$ -正则子图$R$可扩展为$G$的圈双覆盖？我们提供了一个条件，确保每个$R$满足这个条件是一个循环双重覆盖的$G$的一部分。作为一个结果，我们证明了每一个$2$ -连通三次图，它有一个分解成一个生成树和一个$2$ -正则子图$C$，$2$-正则子图由具有$k\leq 3$的$k$电路组成，有一个包含$C$的圈双覆盖.
2018-08-20 math.CO
Note on Disjoint Cycles in Multipartite Tournaments
本文针对无三角形多部竞赛图和3部竞赛图验证了Bermond-Thomassen关于顶点不相交有向圈的猜想，并进一步刻画了最小出度至少为$2k-1$且任意$k$个不相交圈等长的3部竞赛图。
2023-11-22 math.CO
On The Cycle Double Cover Problem
本文对每个图G定义了一个自由边集F。为了研究圈双覆盖的存在性，定义并研究了图G和图F的朴素圈双覆盖。在主要定理中，本文基于Kuratowski子式性质，给出了一个条件，保证了偶（G，F）存在朴素圈双覆盖。从而得出了圈双覆盖猜想的结论。此外，还证明了Goddyn的猜想：如果C是无桥图G中的圈，则G中存在一个包含C的圈双覆盖。
2022-03-01 math.CO
Short Cycle Covers of Cubic Graphs and Graphs with Minimum Degree Three
Alon和Tarsi的最短圈覆盖猜想证明了所有具有$m$边的无桥图的边都能被总长度不超过$7m/5=1.400m$的圈覆盖。我们证明了每一个立方无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$34m/21\approx 1.619m$，每一个最小度为3的无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$44m/27\approx 1.630m$ .
2009-08-11 math.CO
Weak embedding theorem and a proof of cycle double cover of bridgeless graphs
本文对圈双覆盖猜想给出了肯定的回答。那些主要对猜想的证明感兴趣的人只能阅读第2节和第4节。
2017-12-11 math.CO
OpenAI's proof of the Cycle Double Cover Theorem
尝试阐明OpenAI对圈双覆盖猜想的证明，虽无新见解，但更易读，为理解其证明提供便利。
2026-07-20 math.CO
A note on long nontrivial cycle in Hamiltonian graphs
Fuzhou University（福州大学）；Nanjing University（南京大学）
本文改进了Girão等人关于哈密顿图中存在长非平凡环的长度下界，从n-O(n^{4/5})提升至n-O(n^{2/3})，并证明该界在所用方法下是最优的。
2026-07-03 math.CO
Cycle Double Cover Conjecture
本文给出了圈双覆盖猜想的一个证明。圈双覆盖猜想的目的是，如果一个图是无桥的，那么在图中存在一个圈列表，使得图中的每条边在列表中出现两次。通过对无桥图中边数的归纳，证明了当一个边被添加到无桥图中时，我们可以改造循环双覆盖以包含该边。通过数学归纳法，得出了一般的CDC。
2014-04-06 math.CO
Note on rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是一个边着色为$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小着色度. $G$的一个子图$F$称为彩虹图，如果$F$的所有边都有两两不同的颜色.关于边有色图的彩虹圈，已有很多结果.本文证明了：（i）若$δ^c(G)>\frac{3n-3}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹三角形中;（ii）若$δ^c(G)>\frac{3n}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹$C_4$中;（iii）若$G$是完备的，$n\geq 8k-18$和$δ^c(G)>\frac{n-1}{2}+k$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹圈.同时也发现并纠正了以往出版物中的一些不足之处。
2020-10-22 math.CO
Cycle Double Covers via Kotzig Graphs
我们证明了每个$2$连通三次图$G$都有圈双覆盖，如果$G$有一个生成子图$F$，使得（i）$F$的每个分支都有偶数个顶点，（ii）$F$的每个分支要么是圈，要么是Kotzig图的一个细分，（iii）$F$的分支以某种一般的方式相互连通.
2017-01-23 math.CO
On covering expander graphs by Hamilton cycles
随机图和伪随机图的填充Hamilton圈问题已经得到了广泛的研究。本文研究了图的边被Hamilton圈覆盖的对偶问题，证明了：如果一个最大度$Δ$图满足一些基本的扩张性质，并且包含一族$(1-o(1))Δ/2$边不相交的Hamilton圈，那么它的边也存在被$(1+o(1))Δ/2$ Hamilton圈覆盖的问题.这意味着对每个$α>0$和每个$p \geq n^{α-1}$，几乎必然存在一个由$(1+o(1))np/2$ Hamilton圈覆盖的$G(n,p)$的所有边，这是几乎最优的.
2011-11-14 math.CO
Three-Bit Flows and Cycle Covers. Part I
研究无零三位流、带标签三角形与无桥多重图的圈双覆盖关系，利用西摩和塔特流定理，将顶点流值与三角形边差关联，通过多种方式证明二元系统可解，进而证明有限无桥多重图有圈双覆盖，解决圈双覆盖猜想。
2026-07-17 math.CO
Sharp Same-Color Cycle Covers in Two-Colored Complete Graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
该研究将Erdős与Gyárfás的单色路径覆盖猜想推广到单色环覆盖，证明n顶点完全图的任意2边着色都存在至多⌈√n⌉个同色单色环覆盖所有顶点，且该界阶最优、向上取整对无穷多n必要。
2026-08-28 math.CO
Cover pebbling cycles and certain graph products
一个图上的鹅卵石步骤包括从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石放置在相邻的顶点上。一个图称为cover pebbled，如果经过一系列pebbling步骤后，每个顶点上都有一个pebble。一个图的覆盖卵石数是指使得该图可以被覆盖卵石的最小卵石数，而不管卵石最初如何放置在图的顶点上。本文确定了圈的覆盖pebbling数，路与圈的有限积，路或圈与好图的积，其中好图包括树和完全图.在这个过程中，我们提供的证据支持一个肯定的答案，在一份文件中提出的问题，由坎迪夫，Crull等人。
2004-10-01 math.CO
On the Linear Cycle Cover Conjecture of Gyárfás and Sárközy
超图$H$中的线性圈是一个超边的循环序列，使得两个连续的超边相交于一个元素，两个不连续的超边不相交，$α(H)$表示$H$的最大独立集的大小.本文证明了每个$3$ -一致超图$H$的顶点集最多能被$α(H)$两两边不交的线性圈覆盖（这里我们接受一个顶点和一个超边作为线性圈），从而证明了Gyárfás和Sárközy猜想的一个弱版本.
2016-09-15 math.CO
Directed cycle double covers: structure and generation of hexagon graphs
Jaeger的有向圈双覆盖猜想可以表述为一类图中特殊完美匹配的存在性问题，我们称之为六边形图。在这项工作中，我们探讨了六边形图的结构。我们表明，六边形图的括号，可以从8个顶点上的阶梯使用两种类型的McCuaig的扩充。
2013-11-03 math.CO
Orientable embeddings and orientable cycle double covers of projective-planar graphs
在图的闭2-胞腔嵌入中，每个面同胚于一个开圆盘，并且被图中的一个圈所包围。可定向强嵌入猜想是指每个2-连通图在某个可定向曲面中有一个闭的2-胞腔嵌入。这同时包含了圈双覆盖猜想和强嵌入猜想。本文证明了2-连通投影平面立方图在某个可定向曲面中有一个闭2-胞腔嵌入。证明的三个主要部分是：（1）将不可定向嵌入转化为可定向嵌入的外科手术方法;（2）三次图的可定向闭2-胞嵌入或可定向圈双覆盖的4-圈约化;（3）三次图的射影-平面嵌入的结构结果。我们证明了2-边连通的射影-可平面图（不一定是立方的）有可定向圈双覆盖。
2009-11-13 math.CO
A proof of the Cycle Double Cover Conjecture
给定一个无桥图$G$，圈双覆盖猜想假定存在一个$G$的圈列表，使得每条边恰好出现在列表上的两个圈中。这个猜想最初由Szekeres在1973年和Seymour在1979年独立提出。1985年，Jaeger证明了在$G$是三次图的情况下，证明这是足够的。本文通过对$G$线图中某些圈的分析，证明了无桥三次图都有圈双覆盖。进一步，在$G$是三次图的情况下，证明了一个更强的猜想：给定一个无桥图$G$和$G$中的一个圈$C$，则存在$G$的一个包含$C$的圈双覆盖.
2015-10-09 math.CO
A note on cycles in cyclically $4$-edge-connected cubic planar graphs
School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education, Tongji University（同济大学数学科学学院，智能计算与应用教育部重点实验室，同济大学）
研究通过删除两个相邻顶点得到的图H，证明当H的周长至少为k时，存在长度在k到3k/2之间的循环，并展示线图G中可避免特定顶点的循环长度。
2026-05-09 math.CO
A proof of the cycle double cover conjecture by OpenAI: An exposition
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）
介绍 OpenAI 对圈双覆盖猜想的证明，该猜想称无桥图有特定圈列表使每条边恰在两个圈中，阐述对证明做了微调以便更易理解。
2026-08-04 math.CO
A note on the number of non-cycle components in a pseudo 2-factor of graphs
本文推广了图伪2-因子的非圈分支数量上界，证明每个图G存在非圈分支数至多为f(G)的伪2-因子，统一了Bekkai-Kouider与作者先前的2-因子存在性结果。
2025-10-14 math.CO
Optimal covers with Hamilton cycles in random graphs
图G的Hamilton圈填充是指图G中边不相交的Hamilton圈的集合。最近的结果表明，G_n，p a.a.s.大小为\lfloor delta（G_n，p）/2 \rfloor。Glebov、Krivelevich和Szabó最近开始研究“对偶”问题，其中要求一组覆盖G的所有边的Hamilton圈。我们的主要结果表明，对于log^{117}n / n < p < 1-n^{-1/8}，a.a.s. G_n，p的边可由\lceil Delta（G_n，p）/2 \rceil Hamilton圈覆盖.这显然是最优的，并且改进了Glebov、Krivelevich和Szabó的近似结果，该结果对p > n^{-1+ \eps }成立。我们的证明是基于Knox，Kühn和Osthus关于伪随机图中填充Hamilton圈的一个结果.
2013-07-24 math.CO
A note on short cycles in a hypercube
超立方体的无四边形子图可以有多少条边？这个问题是由Paul Erdans多年前提出的关于PDMATHAMM的问题。他的猜想，这样一个子图渐近最多有一半的边的超立方体仍然没有得到解决。设$f(n,C_l)$是超立方体$Q_n$中不含长度为$l$的圈的子图的最大边数.众所周知，$f(n, C_l) = o(|E(Q_n)|)$，当$l= 4k$，$k\geq 2$和$f(n, C_6) \geq \frac{1}{3} |E(Q_n)|$。对于$l=4k+2$、$k\geq 2$，确定$f(n, C_l)$是一个开放性问题。在这里，我们给出了一个一般的上限为$f(n,C_l)$时，$l=4k+2$，并提供了着色的$E(Q_n)$的$4$颜色不包含诱导单色$C_{10}$。
2016-05-24 math.CO
Disjoint cycles covering specified vertices in bipartite graphs with partial degrees
令$k$为正整数。设$G$是一个具有二分图$(X, Y)$的$2n$阶平衡二部图，$S$是$X$的子集.设每对不相邻的顶点$(x,y)$和$x\in S, y\in Y$满足$d(x)+d(y)\geq n+1$ .证明了如果$|S|\geq 2k+2$，则$G$包含覆盖$S$的$k$不相交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.这里，度条件和$|S|$的下界都是最佳可能的。并且证明了如果$|S|=2k+1$，则$G$包含$k$不交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.
2020-11-21 math.CO
A Note on the Number of Permutations whose Cycle Lengths Are Prime Numbers
令$A$是自然数的集合，并且令$S_{n,A}$是$[n]=\{1,2,...,n\}$的具有属于$A$的循环长度的所有置换的集合。对于$A(n)=A\cap [n]$，极限$ρ=\lim_{n\to\infty}\mid A(n)\mid/n$（如果存在）通常称为集合$A$的密度。(Here $\mid B\mid$代表集合$B$的基数。）多项研究表明，基数$\mid S_{n,A}\mid$（如$n\to\infty$）的渐进行为取决于密度$ρ$。结果表明，在$\mid S_{n,A}\mid$的渐近分析中，假设$ρ>0$起着至关重要的作用. Kolchin（1999）注意到，缺乏对满足$ρ=0$的置换类的研究，并提出了对某些特定情况的研究。本文考虑循环长度为素数的置换，即假定$A=\mathcal{P}$，其中$\mathcal{P}$表示所有素数的集合。根据素数定理，可以得出这类置换的$ρ=0$。我们推导出求和函数$\sum_{k\le n}\mid S_{k,\mathcal{P}}\mid/k!$的渐近公式为$n\to\infty$。在我们的证明中，我们采用经典的Hardy-Littlewood-Karamata Tauberian定理。
2021-10-03 math.CO
A Note on Minimum Degree Condition for Hamiltonian $(a,b)$-Cycles in Hypergraphs
令$k,a,b$是正整数，其中$a+b=k$。一个$k$ -一致超图称为$(a,b)$ -圈，如果存在一个由$|A_i|=a$，$|B_i|=b$构成的顶点集的划分$(A_0,B_0,A_1,B_1,\ldots,A_{t-1},B_{t-1})$，使得$A_i\cup B_i$和$B_i\cup A_{i+1}$（下标模块$t$）是所有$i=0,1,\ldots,t-1$的边.设$\mathcal{H}$是一个$k$ -一致$n$ -顶点超图，且$n\geq 5k$和$n$可被$k$整除.利用Frankl和Kupavskii关于具有随机匹配的一致超图的交叉点的集中度不等式，证明了：如果存在$α\in (0,1)$使得$δ_a(\mathcal{H})\geq (α+o(1))\binom{n-a}{b}$和$δ_b(\mathcal{H})\geq (1-α+o(1))\binom{n-b}{a}$，则$\mathcal{H}$包含一个Hamilton $(a,b)$ -圈.作为推论，我们证明了：如果对某些$\ell \geq k/2$有$δ_{\ell}(\mathcal{H})\geq (1/2 +o(1))\binom{n-\ell}{k-\ell}$，则$\mathcal{H}$包含一个Hamilton $(k-\ell,\ell)$ -圈，并且这是渐近最佳可能的.
2022-08-18 math.CO
Note on the treewidth of graphs excluding a disjoint union of cycles as a minor
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文研究了不包含离散环联合作为小世界的图的树宽界限，证明了其与图顶点数和环数的关系，并得出最优结果。
2026-02-05 cs.DM math.CO
1-factor and cycle covers of cubic graphs
设$G$是一个无桥三次图.考虑$G$的$k$ 1-因子列表。设$E_i$是包含在$k$ 1-因子的精确$i$成员中的边的集合。令$μ_k(G)$是在$G$的$k$ 1-因子的所有列表上的最小的$|E_0|$。任何三个1-因子的列表都导出一个三次图的核。我们使用结果的结构的核心证明充分条件的Berge覆盖和存在的三个1-因子与空的交集。此外，如果$μ_3(G) \not = 0$，则$2 μ_3(G)$是$G$围长的上界。我们还证明了无桥三次图的最短圈覆盖长度的一些新的上界。具有$μ_4(G) = 0$的三次图有一个长度为$\frac{4}{3} |E(G)|$的4圈覆盖和一个5圈双覆盖。这些图也满足张的两个定理。对张的一个问题也作了否定的回答。
2015-01-29 math.CO
A note on hamiltonian cycles in $4$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.我们说$G$是$t$ -tough的，如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少是$t$。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开放的。对于任意给定的整数$k\ge 1$，如果$G$不包含$P_2$和$k$孤立点的不交并作为导出子图，则图$G$是$(P_2\cup kP_1)$自由的.本文证明了至少有三个顶点的4-坚韧$2k$ -连通无$(P_2\cup kP_1)$图是Hamilton图.这个结果在某种意义上是经典的Chvátal-Erdés定理的“推广”，该定理证明了至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.
2022-02-13 math.CO
Notes on the connectivity of Cayley coset digraphs
将Hamidoune关于分层Cayley有向图的连通性结果推广到Cayley陪集有向图，从而推广到任意点传递有向图。证明了如果Cayley陪集有向图可以按某种方式分层分解，则它是最优点连通的。结果是通过扩展Hamidoune使用的方法得到的。它们用来证明圈前缀图是最优点连通的。这意味着圈前缀图具有良好的容错特性。
1994-11-10 math.CO
Shortest cycle covers and cycle double covers with large 2-regular subgraphs
在本文中，我们表明，许多snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+c$为常数$c$，其中$m$是在图中的边的数量，在协议的猜想，所有的snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+o(m)$。特别地，我们证明了完美匹配指数不超过4的图的圈覆盖长度为$\frac{4}{3}m$，并且满足张的$(1,2)$ -覆盖猜想，而周长较大的图的圈覆盖长度接近于$\frac{4}{3}m$ .我们还证明了一些结果，图的低奇性和讨论的连接Jaeger的彼得森着色猜想。
2013-06-13 cs.DM math.CO
Monochromatic cycle covers in random graphs
Erdés，Gyárfás和Pyber的一个经典结果指出，对于$K_n$的边的每一个用$r$颜色着色，存在至多由$f(r) = O(r^2 \log r)$顶点不相交的单色圈集合的顶点覆盖。特别地，这种覆盖循环的最小数目不取决于$K_n$的大小，而仅取决于颜色的数目。我们在$K_n$被随机图$\mathcal G(n,p)$取代的情况下开始研究这种现象。给定一个固定的整数$r$和$p =p(n) \ge n^{-1/r + \varepsilon}$，我们证明了随机图$G \sim \mathcal G(n,p)$具有这样的性质：对于$G$边的每一个$r$ -着色，都有一个覆盖$G$所有顶点的$f'(r) = O(r^8 \log r)$单色圈的集合.我们在$p$上的界在以下意义上接近最优：如果是$p\ll (\log n/n)^{1/r}$，则很有可能存在$G\sim\mathcal G(n,p)$的着色，使得覆盖$G$的所有顶点所需的单色循环的数量随着$n$而增长。
2018-07-17 math.CO
A note on tree-cycle Ramsey numbers
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University（河北师范大学数学科学学院）
本文围绕树 - 圈拉姆齐数展开，Burr等人曾询问满足特定条件的最小函数\(f(m)\)，前人不断改进其上限，本文用不同方法证明\(f(m)\leq2m - 4\)，并提出\(f(m)=\lceil (2m - 1)/3\rceil\)的猜想。
2026-07-21 math.CO
Short cycle covers on cubic graphs using chosen 2-factor
证明了每一个具有$m$边的无桥三次图$G$都有一个长度至多为$1.6 m$的圈覆盖.此外，如果$G$不包含任何长度为$5$的交叉回路，则$G$具有长度为$212/135 \cdot m \approx 1.570 m$的循环覆盖，并且如果$G$不包含$5$ -回路，则它具有长度至多为$14/9 \cdot m \approx 1.556 m$的循环覆盖。为了证明我们的结果，我们证明了每个$2$ -边连通三次图$G$的$n$顶点有一个$2$ -因子包含最多$n/10+f(G)$电路长度$5$，其中$f(G)$的值只取决于存在的几个子图所产生的彼得森图。作为推论，我们得到每个$n$顶点上的$3$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/9$圈;每个$n$顶点上的$4$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/10$圈.
2015-09-24 math.CO
A note on intersecting hypergraphs with large cover number
给出了覆盖数至少为r-4的r-部r-一致交超图的构造。这回答了Abu-Khazneh，Barat，Pokrovskiy和Szabo的问题，并表明由于Ryser的一个长期未解决的猜想接近于对每个r值的最佳可能性。
2017-10-06 math.CO
