On graphs coverable by chubby shortest paths
本文推广了Dumas等人的定理，证明若图可由$k$条最短路径在距离$ρ$内覆盖，则其与低路径宽度图拟等距并存在特定路径划分分解，且探讨了该分解在距离独立集与支配集算法中的应用。
2025-03-04 cs.DM math.CO
A note on shortest circuit cover of 3-edge colorable cubic signed graphs
符号图$(G, σ)$的{符号电路覆盖} $\mathcal{F}$是覆盖$(G, σ)$所有边的符号电路族。最短符号电路覆盖问题由Má $\check{\text{c}}$ ajová、Raspaud、Rollová和Škoviera（JGT 2016）提出，近年来受到了很多关注。本文证明了每一个流容许的3边可着色三次符号图$(G, σ)$都有一个长度至多为$\frac{20}{9} |E(G)|$的符号圈覆盖.
2022-04-12 math.CO
Shortest circuit covers of signed graphs
无桥图$G$的最短电路覆盖${\cal F}$是覆盖$G$的每条边并且具有最小总长度的电路族。$G$的最短电路覆盖${\cal F}$的总长度由$SCC(G)$表示。对于普通图（无符号图），最短路覆盖问题与Tutte的整数流理论、路双覆盖猜想、Fulkerson猜想等主流领域密切相关。对于符号图$G$，最近由Máčajová，Raspaud，Rollová和Škoviera证明了：如果$G$是s-无桥的，则为$SCC(G) \leq 11|E|$;如果$G$是$2$ -边连通的，则为$SCC(G) \leq 9|E|$.本文对这一结果作了如下改进：$$SCC(G) ~ \leq ~ |E| + 3|V| +z$$其中$z ~=~ \min \{ \frac{2}{3}|E|+\frac{4}{3}ε_N-7,~ |V| + 2ε_N -8\}$和$ε_N$是$G$的负性.如果$G$是具有偶负性的$2$边连接，则上述上界可以进一步减小。
2015-10-19 math.CO
Some possible numbers of edge coverings of a bipartite graph or shortest paths with fixed ends in a space of compact sets in $R^n$
本文给出了在欧几里得空间中求具有Hausdorff距离的紧集空间中两点间最短路的可能个数的方法。我们还证明了不存在某些最短路数，从而扩展了前人的工作[1][2]
2013-12-09 math.CO math.MG
A limit theorem for the $1$st Betti number of layer-$1$ subgraphs in random graphs
本文开创了随机图局部拓扑的研究。高级目标是描述图中的局部“图案”。在本文中，我们考虑我们所谓的层$r$子图的输入图$G = (V,E)$：具体地说，层$r$子图在顶点$u \in V$，表示为$G_{u; r}$，是诱导子图的$G$的顶点集$Δ_{u}^{r}:= \left\{v \in V: d_G(u,v) = r \right\}$，其中$d_G$是最短路径距离$G$。将一个图看作是一个一维单纯复形，我们的目标是研究这类子图的$1$ st贝蒂数.我们的主要结果是：Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$的层- $1$子图的$1$ st贝蒂数满足中心极限定理.
2019-11-01 cs.DM math.AT math.CO
Generating subgraphs in chordal graphs
一个图$G$是良好覆盖的，如果它的所有极大独立集具有相同的基数.假设在其顶点上定义权重函数$w$。则$G$是$w$ -良好覆盖的，如果所有的极大独立集具有相同的权.对于每个图$G$，使得$G$是$w$良好覆盖的权重函数$w$的集合是向量空间，表示为$WCW(G)$。设$B$是$G$在二分图$B_{X}$和$B_{Y}$的顶点集上的完全二部导出子图.如果存在独立集$S$使得$S \cup B_{X}$和$S \cup B_{Y}$都是$G$的最大独立集，则生成$B$。在生成子图$B$同构于$K_{1,1}$的限制情形下，$B$中的唯一边称为关联边.子图的生成在寻找$WCW(G)$中起着重要的作用。判定输入图$G$是否被良好覆盖是共NP完全的。因此，寻找$WCW(G)$是co-NP-hard的。判定一条边是否相关是NP完全的。因此，判定一个子图是否正在生成也是NP完全的。一个图是弦图，如果每个诱导圈是一个三角形。已知在$G$是弦的限制情况下，可以多项式地完成寻找$WCW(G)$。因此，识别覆盖良好的弦图是一个多项式问题。本文提出了一个在弦图中识别关联边和生成子图的多项式算法。
2018-11-11 cs.DM math.CO
The Maximum Number of Shortest Paths in Graphs
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Fudan University（复旦大学）
本文通过基于随机游走诱导概率分布的概率计数方法，证实了Benjamini等人关于多重图最短路径数量精确上界的猜想，确定了简单图的精确最大值，并研究了等号成立的情况。
2026-09-03 math.CO
Spanning rigid subgraph packing and sparse subgraph covering
刚性，在离散几何中出现，是不弯曲的结构的属性。Laman给出了欧氏平面上刚性图的一个组合特征，因此欧氏平面上的刚性图在图论中有应用。给出了刚性生成子图和生成树填充的一个充分划分条件。作为推论，我们证明了一个简单图$G$包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的包装，如果$G$是$(4k+2l)$ -边连通的，并且对于每个$Z\subset V(G)$，$G-Z$本质上是$(6k+2l - 2k|Z|)$ -边连通的.因此，每个$(4k+2l)$ -连通和本质$(6k+2l)$ -连通图$G$都包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的填充.利用这一点，我们证明了每一个$6$ -连通和本质$8$ -连通图$G$都包含一个生成树$T$，使得$G-E(T)$是$2$ -连通的.这改进了以前的一些结果。研究了稀疏子图覆盖问题。
2018-06-12 math.CO
Complexity results for generating subgraphs
一个图G是好覆盖的，如果它的所有极大独立集具有相同的基数。假设在其顶点上定义权重函数w。则G是w-良好覆盖的，如果所有的极大独立集具有相同的权。对于每个图G，使得G是w-良好覆盖的权函数的集合w是向量空间，记为WCW（G）。设B是G的一个完全二部导出子图，它在二分图B_X和B_Y的顶点集上.如果存在独立集S使得S \cup B_X和S \cup B_Y都是G的极大独立集，则B是生成的.在B = K_{1,1}的限制情形下，关联边是生成子图.判定输入图G是否良好覆盖是co-NP-完全的。因此，求WCW（G）是co-NP-hard的。判断一条边是否相关是co-NP-complete的。因此，判定一个子图是否正在生成也是co-NP-完备的。在这篇文章中，我们讨论了这些问题之间的联系，提供了几个限制情况下的NP-完全性的证明，并提出了一些其他情况下的多项式特征。
2016-11-20 cs.DM math.CO
Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
Thai Nguyen University of Sciences（越南国立大学）；Institute of Mathematics, VAST（越南科学技术研究院数学研究所）
本文通过t-可接受子图确定图的覆盖理想t次符号幂的正则性，并应用于双部单环图的覆盖理想幂的正则性计算。
2026-05-20 math.AC math.CO
Recognizing generating subgraphs revisited
一个图$G$是良好覆盖的，如果它的所有极大独立集具有相同的基数.假设在其顶点上定义权重函数$w$。则$G$是$w$ -良好覆盖的，如果所有的极大独立集具有相同的权.对于每个图$G$，使得$G$是$w$ -良好覆盖的权重函数集合$w$是向量空间，表示为$WCW(G).$判定输入图$G$是否是良好覆盖的是co-NP-完全的。因此，寻找$WCW(G)$是co-NP-hard。图$G$的生成子图是$G$在二分图$B_{X}$和$B_{Y}$的顶点集上的导出完全二部子图$B$，使得对于某个独立集$S$，$S \cup B_{X}$和$S \cup B_{Y}$都是$G$的极大独立集.如果正在生成$B$，则每个权重函数$w \in WCW(G)$的$w(B_{X})=w(B_{Y})$。因此，子图的生成在寻找$WCW(G)$中起着重要的作用。已知判定输入图是否生成子图的问题是NP-完全的。在这篇文章中，我们证明了这个问题的NP-完全图的长度为3和5的循环，并为二部图的围长至少为6。另一方面，当输入图是二部图且不含长度为6的圈时，我们给出了识别生成子图和求$WCW(G)$的多项式算法。我们还提出了一个多项式算法，发现$WCW(G)$时，$G$不包含周期的长度为3，4，5和7。
2018-11-11 cs.DM math.CO
On graphs coverable by k shortest paths
本文证明若图可由 k 条最短路径覆盖则路径宽度以 k 的单指数函数为上界，进而得出带终点的等距路径覆盖和强测地集问题关于终点数 FPT，无终点版本属于 XP。
2023-04-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Cover time of random subgraphs of the hypercube
本文研究超立方体随机子图 $Q_{n,p}$ 的覆盖时间，在连通阈值以上给出了其覆盖时间的精确值。
2025-06-03 cs.DS math.CO
New Approximation Algorithms for Maximum Asymmetric Traveling Salesman and Shortest Superstring
本文提出了最大非对称旅行商问题的7/10近似算法，据此得到最短超串问题的2.434近似算法，优于此前的最佳结果。
2026-08-14 cs.DM cs.DS math.CO
Recognizing Generating Subgraphs in Graphs without Cycles of Lengths 6 and 7
设$B$是$G$在二分图$B_{X}$和$B_{Y}$的顶点集上的导出完全二部子图.如果存在一个独立集$S$，使得$S \cup B_{X}$和$S \cup B_{Y}$都是图中的极大独立集，则子图$B$是{ \it生成}的.如果正在生成$B$，则它将\textit{produces}限制为$w(B_{X})=w(B_{Y})$。令$w:V(G) \longrightarrow\mathbb{R}$为权重函数。我们说$G$是$w$ -良好覆盖的，如果所有的极大独立集都具有相同的权重。图$G$是$w$ -良好覆盖的，当且仅当$w$满足$G$的所有生成子图所产生的所有限制。因此，生成子图在刻画加权良好覆盖图中起着重要的作用。即使子图与$K_{1,1}$ \cite{bnz:related}同构，决定子图是否正在生成也是一个\textbf{NP} -完全问题。我们提出了一个多项式算法来识别生成子图的图没有圈的长度为6和7。
2018-08-30 cs.CC cs.DM math.CO
The Price of Connectivity for Vertex Cover
图的顶点覆盖数是覆盖所有边所需的最小顶点数。当需要这些顶点进一步导出一个连通子图时，对应的数称为连通顶点覆盖数，并且总是大于或等于顶点覆盖数。连通顶点覆盖在许多应用中都可以找到，因此这两个图不变量之间的关系是一个自然的问题。为此，我们引入了{ \em连通性价格}，定义为两个顶点覆盖数之间的比率。证明了任意图的连通性代价至多为2。我们进一步考虑图类，其中每个导出子图的连通性价格是有界的一些实数$t$。对每个实值$t \leq 3/2$，我们得到了禁导子图的特征.我们还研究了临界图的这个属性，即图的连通性的价格是严格大于任何适当的诱导子图。这些是唯一的图，可以出现在一个禁止的子图表征的遗传性的价格的连通性最多$t$。特别是，我们完全描述的关键图，也弦。最后，我们还考虑了计算给定图的连通性价格的问题。毫不奇怪，这个问题的决策版本是NP难的。事实上，我们表明，它甚至是完整的类$Θ_2^P = P^{NP[\log]}$，类的决策问题，可以在多项式时间内解决，只要我们可以使$O(\log n)$查询的NP-oracle。这铺平了道路，彻底调查的复杂性问题，涉及比率的图不变量。
2013-05-15 cs.DM math.CO
On the number of forests and connected spanning subgraphs
令$F(G)$是图$G$的森林数。类似地，令$C(G)$是连通图$G$的连通生成子图的数目。我们对正则图和平均度固定的图给出了$F(G)$和$C(G)$的界.在许多其他事情中，我们研究$f_d=\sup_{G\in \mathcal{G}_d}F(G)^{1/v(G)}$，其中$\mathcal{G}_d$是$d$ -正则图族，$v(G)$表示图$G$的顶点数。本文证明了$f_3=2^{3/2}$，如果$(G_n)_n$是$3$ -正则图的序列，且最短圈的长度趋于无穷大，则有$\lim_{n\to \infty}F(G_n)^{1/v(G_n)}=2^{3/2}$ .我们还改进了以前的最佳界限$f_d$为$4\leq d\leq 9$。
2021-08-02 math.CO
A note on 5-cycle double covers
强圈双覆盖猜想指出，对于无桥三次图$G$的每一个圈$C$，存在$G$的一个圈双覆盖，其中包含$C$ .我们猜想甚至存在$G$的5圈双覆盖$S$，它包含$C$，即$C$是$S$的5个2-正则子图之一的子图.证明了2-正则子图包含在$G$的5-圈双覆盖中的一个充要条件。
2012-09-01 math.CO
Spanners in randomly weighted graphs: independent edge lengths
给定一个连通图$G=(V,E)$和一个长度函数$\ell:E\to {\mathbb R}$，我们用$d_{v,w}$表示顶点$v$和顶点$w$之间的最短距离。一个$t$ -1是一个子集$E'\subseteq E$，使得如果$d'_{v,w}$表示子图$G'=(V,E')$中的最短距离，则对于所有$v,w\in V$，都是$d'_{v,w}\leq t d_{v,w}$。我们证明了对于一类具有适当的度和扩张性质且具有独立指数平均边长的图，存在w. h. p.~使用$\approx \frac12n\log n$边缘的1-D，这是最好的可能。特别地，我们的结果适用于随机图$G_{n,p}$为$np\gg \log n$。
2021-10-25 cs.DM math.CO
Multiple vertex coverings by specified induced subgraphs
给定图H_1，...，H_k，我们研究了图G的最小阶，使得对每一个i，H_i在G中的诱导副本覆盖V（G）。本文证明了一个一般的上界，其中m_i比H_i的阶数小小于1。当k=2且一个图是一个大小为n的独立集时，我们在一个常数范围内确定最优解。当k=2且图是一个星和一个独立集时，我们精确地确定了答案。
1999-12-22 math.CO
Well-Covered Graphs Without Cycles of Lengths 4, 5 and 6
一个图G是好覆盖的，如果它的所有极大独立集具有相同的基数。假设在其顶点上定义权重函数w。则G是w-良好覆盖的，如果所有的极大独立集具有相同的权。对于每个图G，使得G是w-良好覆盖的权函数的集合w是向量空间。给定一个输入图G没有长度为4，5和6的圈，我们多项式特征向量空间的权重函数w，G是w-良好覆盖的。设B是G在二分图B_{X}和B_{Y}的顶点集上的导出完全二部子图.设存在一个独立集S，使得S与B_{X}的并和S与B_{Y}的并都是G的极大独立集.则B是G的生成子图，它产生限制w（B_{X}）=w（B_{Y}）.已知对于每个权函数w，如果G是w-良好覆盖的，则满足上述限制。在特殊情况下，其中B_{X} ={x}且B_{Y} ={y}，我们说xy是相关边。关联边的识别和子图的生成是一个NP完全问题。然而，我们提供了一个多项式算法，用于识别生成的子图的输入图没有周期的长度为5，6和7。我们还提出了一个多项式算法识别相关的边缘在输入图没有周期的长度为5和6。
2012-10-25 cs.DM math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VII. Gyárfás' complementation conjecture
一类图是$χ$ -有界的，如果存在函数$f$，使得对于该类图的每个导出子图$G$，$χ(G)\le f(ω(G))$是有界的，其中$χ,ω$分别表示$G$的色数和团数. 1987年，Gyárfás证明了对每个$c$，如果$\mathcal{C}$是一个图类，使得对于该类中的每个图的每个导出子图$G$都有$χ(G)\le ω(G)+c$，则$\mathcal{C}$的成员的补类是$χ$ -有界的.我们证明了这个猜想。实际上，更一般地说，一类图是$χ$ -有界的，如果它具有这样的性质，即在该类中没有图具有$c+1$奇洞，两两不相交并且它们之间没有边。主要工具是一个引理，如果$C$是图中最短的奇洞，而$X$是$V(C)$中至少有五个邻居的顶点集，则存在一个支配$X$的三顶点集。
2019-03-14 math.CO
Improved Algorithms for Recognizing Perfect Graphs and Finding Shortest Odd and Even Holes
各种诱导子图涉及到图论和图算法的最深层次的结果。一个突出的例子涉及$G$的{ \em完美}，即$G$的每个导出子图$H$的色数等于$H$的团数。开创性的强完美图定理证实了$G$的完美性可以通过检测$G$及其补图中的奇洞来确定。Chudnovsky等人在2005年展示了一种识别完美图的$O(n^9)$算法，该算法可以实现为在$O(n^{6+ω})$时间内运行方阵乘法的指数$ω<2.373$。我们展示了以下改进的算法。1.几十年来，探测奇洞的可行性一直是开放的，直到Chudnovsky等人在2020年取得重大突破。他们的$O(n^9)$算法后来由Lai等人实现，在$O(n^8)$时间内运行，从而产生了以前已知的最好的识别完美图的算法。我们的第一个结果是一个$O(n^7)$算法检测奇洞，这意味着一个$O(n^7)$算法识别完美图。2. Chudnovsky等人在2021年将用于检测奇洞（2020）和识别完美图（2005）的$O(n^9)$算法扩展为用于获得最短奇洞的第一个多项式算法，该算法在$O(n^{14})$时间内运行。我们把寻找最短奇洞的时间减少到$O(n^{13})$。3. Conforti等人在1997年展示了第一个用于检测偶孔的多项式算法，运行时间大约为$O(n^{40})$。然后，在文献中进行了大量的工作，将复杂性降低到$O(n^{31})$、$O(n^{19})$、$O(…
2022-07-15 cs.DS math.CO
Shortest polygonal chains covering each planar square grid
本文构造性地证明了平面方形网格存在与最小链覆盖路径链长相同的覆盖路径和回路，提出通用算法生成偶数网格的覆盖回路，并给出最小总行程距离的紧上界。
2024-04-18 math.CO
On circular-arc graphs having a model with no three arcs covering the circle
区间图是直线上有限区间集的交图，圆弧图是圆上有限弧集的交图。虽然区间图的禁止诱导子图的刻画在50年前就被发现了，但圆弧图的类似刻画是一个长期存在的开放问题。在这项工作中，我们研究了交图的有限集的弧在一个圆上，其中没有三个覆盖的圆，被称为正常的Helly圆弧图。Lin，Soulignac，and Szwarcfiter确定了正规Helly圆弧图类的最小禁止诱导子图，他们还提出了确定剩余的最小禁止诱导子图的问题。在这项工作中，我们解决了他们的问题，获得了完整的列表的最小禁止诱导子图类的正常Helly圆弧图。
2014-02-11 cs.DM math.CO
Counting Group Valued Graph Colorings
图的同态或着色的分拆函数有许多变体。这里考虑的情况是一个计数或硬约束问题，其中的范围或颜色图进行自由和顶点传递的阿贝尔群行动，使颜色与该组的元素。利用傅里叶变换得到了以无峡子图为索引项的着色数的展开式。这些项是颜色图的边密度a中的多项式与域的索引子图到互补颜色图中的着色的数量的乘积。a中的多项式与颜色组无关，并且该项具有到r的阶数（1-a），其中r是顶点数减去索引子图中的分量数。因此，如果（1-a）是小的，则存在由空子图索引的主项，该空子图是a中的多项式，并且对着色群的第一依赖性发生在最低阶校正中，该最低阶校正由图中的最短圈索引，并且是（1-a）到g-1的阶，其中g是这些最短圈的长度。主要定理被表述为互反定律。例子中，着色组是长周期和产品的短周期和邻顶点相邻的需要有遥远的，而不是不同的颜色。图的色多项式对应于使用任何群并取允许集作为单位元的补。
2012-04-05 math.CO
The covering threshold of a directed acyclic graph by directed acyclic subgraphs
设$H$是一个有向无圈图，不是一个根星图.已知存在常数$c(H)$和$C(H)$，使得以下对于完全有向图$D_n$成立。最多有$D_n$的$C\log n$有向无环子图覆盖$D_n$的每个$H$ -拷贝，而少于$c\log n$的$D_n$有向无环子图不覆盖所有$H$ -拷贝。在这里，这种二分法得到了相当大的加强。设${\vec G}(n,p)$表示随机有向图。$H$的{ \em分数荫度}是$a(H) = max \{\frac{|E(H')|}{|V(H')|-1}\}$，其中最大值在$H$的所有非单例子图上。如果$a(H) = \frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$，则$H$为{ \em完全平衡}。完全图，完全多部图，圈，树，事实上，几乎所有的图都是完全平衡的。证明了：1）设$H$是一个$h$顶点和$m$边都不是根星的dag.对于每个$a^* > a(H)$都存在$c^* = c^*(a^*,H) > 0$使得几乎必然$G \sim {\vec G}(n,n^{-1/a^*})$具有这样的性质：$G$的至多$c^*\log n$个有向无环子图的每个集合$X$不覆盖$G$的所有$H$ -拷贝.此外，存在$s(H) = m/2 + O(m^{4/5}h^{1/5})$，使得以下更强的断言对于任何这样的$X$成立：在$G$中存在$H$ -拷贝，其具有不超过$s(H)$的由$…
2022-05-22 math.CO
Neighborhood covering and independence on two superclasses of cographs
给定一个简单图$G$，一个集合$C \subseteq V(G)$是一个邻域覆盖集，如果$G$的每条边和每个顶点都属于某个具有$v \in C$的$G[v]$，其中$G[v]$表示由顶点$v$的闭邻域导出的$G$的子图.如果没有顶点$v\in V(G)$使得$E(G) \cup V(G)$的两个元素都在$G[v]$中，则这两个元素是邻域无关的。一个集合$S\subseteq V(G)\cup E(G)$是邻域无关的，如果$S$的每对元素都是邻域无关的。设$ρ_{\mathrm n}(G)$为最小邻域覆盖集的大小，$α_{\mathrm n}(G)$为最大邻域无关集的大小. Lehel和Tuza将邻域完美图$G$定义为其中等式$ρ_{\mathrm n}(G') = α_{\mathrm n}(G')$对$G$的每个导出子图$G'$成立的图。在这项工作中，我们证明了禁止诱导子图的邻域完美图类的特征，限制到两个超类的上图：$P_4$ -整洁图和树-上图。我们也给线性时间算法解决识别问题的邻域完美图和问题的最小邻域覆盖集和最大邻域独立集在这些相同的类。
2016-01-01 cs.DM math.CO
Low Diameter Monochromatic Covers of Complete Multipartite Graphs
设直径覆盖数$D^t_r(G)$表示最小整数$d$，使得在图$G$的边的任何$r$染色下，存在直径至多为$d$的$t$单色子图的集合，使得$G$的每个顶点包含在至少一个子图中.当$G$是至少有三部分的完全多部图时，研究了双色二子图的直径覆盖数。我们精确地确定了所有完全三部图$G$和几乎所有多于三部的完全多部图的$D_2^2(G)$的值。
2021-05-14 math.CO
On 3-Connected Planar Graphs with Unique Orientable Circuit Double Covers
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；The University of Sydney（悉尼大学）
本文研究了3连通平面图的可定向回路双覆盖特性，证明了其与Apollonian网络对偶图的关系，并扩展了这一结论至所有3连通平面图。
2026-01-15 cs.DM math.CO
Graphs in which all maximal bipartite subgraphs have the same order
受良好覆盖图的概念的启发，我们定义一个图是良好双覆盖的，如果每个顶点最大二部子图具有相同的阶（我们称之为二部数）。我们首先给出了它们的例子，并将它们与覆盖图进行了比较，并刻画了那些具有小的或大的二部数的图。然后，我们考虑图的操作，包括联合，加入，字典和笛卡儿积。然后，我们考虑单纯顶点和3-有色图，其中每个顶点都是三角形，并得出结论，通过特征的极大外平面图是良好的双覆盖。
2019-09-16 math.CO
Cycle double covers and non-separating cycles
三次图$G$的哪一个$2$ -正则子图$R$可扩展为$G$的圈双覆盖？我们提供了一个条件，确保每个$R$满足这个条件是一个循环双重覆盖的$G$的一部分。作为一个结果，我们证明了每一个$2$ -连通三次图，它有一个分解成一个生成树和一个$2$ -正则子图$C$，$2$-正则子图由具有$k\leq 3$的$k$电路组成，有一个包含$C$的圈双覆盖.
2018-08-20 math.CO
The Kuratowski covering conjecture for graphs of order < 10 for the nonorientable surfaces of genus 3 and 4
Kuratowski证明了一个有限图嵌入平面，如果它不包含K_5或K_{3,3}的子图，称为Kuratowski子图.将这个结果推广到所有的不可定向曲面，证明了亏格g的不可定向曲面的有限极小禁止子图可以写成g+1个Kuratowski子图的并，使得每对Kuratowski子图的并不能嵌入射影平面，如果g >= 2，则每一个三元组Kuratowski子图的并不能嵌入克莱因瓶，并且如果g >= 3，则这些的每个三元组的并集不能嵌入环面中。我们证明了这个猜想对亏格为3和4的不可定向曲面的阶数< 10的所有最小禁止子图都成立。
2008-08-03 math.CO
A note on fractional covers of a graph
图$G$的分数着色是一个函数，该函数将非负实值分配给包含$G$的任何顶点的$G$的所有可能的色类，使得这些值的和对于每个顶点至少为1。分数色数是在所有可能的$G$着色上由分数着色分配的值的最小和。分数覆盖是由Bosica和Tardif提出的，分数覆盖是分数着色的一种推广，其中实值函数作用于属于给定图类的$G$的所有可能的子图。分数色数是分数覆盖数的一个特例。在这项工作中，我们研究了分数覆盖作用在$(k+1)$ -无冠子图的$G$，虽然共享一些相似之处分数覆盖作用在$k$ -冠子图的$G$，他们表现出一些特殊性。首先证明了如果简单图$G_2$是简单图$G_1$的同态像，则定义在$G_1$的$(k+1)$ -无偶子图上的分数覆盖数被相应的$G_2$的分数覆盖数上界.我们利用这个结果来获得相关的分数覆盖数的图，无论是$n$ -college或$a\!\!:\!\!b$ -college的界限。
2022-03-09 math.CO
On the maximum number of connected induced subgraphs of a graph
我们将这些图的结构的一个给定的顺序，最大限度地提高了7个不同的图类，每个与其他规定的参数，如最小度，独立数，顶点覆盖数，顶点连通度，边连通度，色数，桥的数量，从而有助于填补文献中的空白连接诱导子图的数量。
2023-03-03 math.CO
Packing and Covering Immersions in 4-Edge-Connected Graphs
一个图$G$包含另一个图$H$作为浸入，如果$H$可以从$G$的一个子图通过分裂边和去除孤立的顶点来获得。本文证明了4-边-连通图中关于浸入包含的Erdens-Pósa性质的一个边变式.更精确地说，我们证明了，对于每一个图$H$，存在一个功能$f$，使得对于每一个4-边连通图$G$，要么$G$包含$k$成对边不相交的子图，每个子图包含$H$作为浸入，或者存在一组至多$f(k)$边的$G$相交所有这样的子图。这个定理在4-边连通性不能被3-边连通性取代的意义上是最好的。
2021-06-17 math.CO
Ramsey-type results for path covers and path partitions
$G$的子图族$\mathcal{P}$称为{ \it路径覆盖}（分别为如果\it（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(G)$），并且$\mathcal{P}$的每个元素都是一条路径。$G$的路径分区）由${\rm pc}(G)$（分别地，${\rm pp}(G)$）。本文给出了保证${\rm pc}(G)$（或${\rm pp}(G)$）有界的禁止子图条件.我们的主要结果引入了一个新的Ramsey型问题。
2021-10-30 math.CO
Connected Vertex Cover for $(sP_1+P_5)$-Free Graphs
连通顶点覆盖问题是指判定图G是否有一个最大为$k$的顶点覆盖，从而导出$G$的一个连通子图。这是一个研究得很好的问题，已知对于受限图类是NP完全的，特别是对于无$H$图，如果$H$不是线性森林（一个图是无$H$，如果它不包含$H$作为导出子图）。很容易看出，对于无$P_4$的图，连通顶点覆盖是多项式时间可解的。我们继续寻找易处理的图形类：我们证明了它也是多项式时间可解的$(sP_1+P_5)$ -免费的图形，每一个整数$s\geq 0$。
2018-07-05 cs.CC cs.DM cs.DS
Packing $(2^{k+1}-1)$-order perfect binary trees into (\emph{k}+1)-connected graph
设$G=(V,E)$和$H$是两个图。Packing问题是在$G$中找出与$H$同构的最大数目的独立子图。令$U\subset{V}$。如果图$G-U$没有与$H$同构的子图，则$U$是$G$的覆盖。复盖问题是寻找最小集合$U$。在文献中没有充分讨论的顶点不相交树包装，但它在数据加密和通信网络中的应用，如多播路由协议的设计。本文给出了一种$(k+1)$ -连通图$G'$，它能独立地把与$(2^{k+1}-1)$ -阶完美二叉树$T_k$同构的子图装入其中.证明了在$G'$中，与$T_k$同构的顶点不交子图的最大数目等于覆盖与$T_k$同构的所有子图的顶点的最小数目.然后，我们提出$T_k$不具有\emph{Erdős-Pósa}性质。证明了任意图上的$T_k$装箱问题是NP难的，并给出了分布近似算法。
2013-09-16 math.CO
On cubic bridgeless graphs whose edge-set cannot be covered by four perfect matchings
确定覆盖立方无桥图的边集所需的完美匹配数的问题与Berge和Fulkerson的一个著名猜想密切相关。本文证明了对一个给定的立方无桥图判定这个数是否至多为4是NP-完全的。我们还构造了一个无限族$\cal F$的snark（围长至少为5且色指数为4的循环4-边连通三次图），其边集不能被4个完美匹配覆盖.已知的此类图表只有两个。事实证明，家庭$\cal F$也有有趣的性质，最短的周期覆盖问题。任何具有$m$边的三次无桥图的最短圈覆盖的长度至少为$\tfrac43m$，并且证明了这个不等式对$\cal F$图是严格的.我们还构造了第一个已知的snark，没有长度小于$\tfrac43m+2$的循环覆盖。
2013-11-15 math.CO
Packing subgraphs in regular graphs
University College London（伦敦大学学院）；University of Illinois at Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；ETH, Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究证明正则图中存在覆盖所有顶点的子图打包方法，解决了Kühn和Osthus提出的双图覆盖问题。
2026-02-02 math.CO
Embedding large subgraphs into dense graphs
什么条件保证图G包含某个给定的生成子图H？最著名的例子，结果这类可能是狄拉克定理的汉密尔顿周期和Tutte定理的完美匹配。完美匹配是由完美F-填充推广的，这里不是用不相交的边覆盖G的所有顶点，而是用（小）图F的不相交副本覆盖G。不太可能存在所有包含完美F-填充的图G的特征，因此在狄拉克定理的情况下，研究保证完美F-填充的G的最小度的条件是有意义的。Szemeredi的正则引理和Komlos、Sarkozy和Szemeredi的爆破引理已被证明是攻击此类问题的有力工具，最近，该领域的一些长期存在的问题和问题已被解决。在这次调查中，我们给出了一个大纲的最新进展（我们的主要重点是F-包装，哈密尔顿性问题和树嵌入），并描述了一些涉及的方法。
2009-01-22 math.CO
Spanners in randomly weighted graphs: Euclidean case
给定一个连通图$G=(V,E)$和一个长度函数$\ell:E\to {\mathbb R}$，我们用$d_{v,w}$表示顶点$v$和顶点$w$之间的最短距离。一个$t$ -1是一个子集$E'\subseteq E$，使得如果$d'_{v,w}$表示子图$G'=(V,E')$中的最短距离，则对于所有$v,w\in V$，都是$d'_{v,w}\leq t d_{v,w}$。我们研究了在以下情况下的spectum的大小：我们考虑随机嵌入$G_{n,p}$到单位正方形的欧几里得边长。对于$ε>0$常数，证明了具有$O_ε(n)$边的${\mathcal X}_p$的$(1+ε)$ -空间的存在性.这些spatial可以在$O_ε(n^2\log n)$时间内构造。(We将使用$O_ε$来指示隐藏常数取决于$ε$。）$p$上有一些限制，可以防止它过快地归零。
2022-10-05 math.CO
The Prym variety of a dilated double cover of metric graphs
我们计算了具有非平凡扩张的度量图的调和双覆盖的热带Prym簇的体积。我们表明，热带Prym品种的行为不连续的双重覆盖下的变形，改变膨胀子图的连通分量的数量。
2023-03-07 math.CO
Bound on shortest cycle covers
本文研究无桥图的最短圈覆盖问题，通过证明新的上界 $cc(G) < \frac{29}{18}m+ \frac 1{18}n_2$ 及其推论，改进了长达40年的经典上界 $\frac{5}{3}m$，并证实了 Fan 关于4-流支撑的猜想。
2025-01-06 math.CO
Subgraph counts for dense random graphs with specified degrees
证明了随机置换或随机子集的复变函数的指数的期望的两个估计。利用这个理论，我们找到了度序列$(d_1,\ldots,d_n)$的均匀随机图中给定图的期望拷贝数和诱导拷贝数的渐近表达式。我们还确定了该模型中的生成树的期望数量。所覆盖的度数范围包括远离$0$和$1$的某些$λ$的$d_j = λn + O(n^{1/2+\varepsilon})$。
2020-11-11 math.CO
Small Even Covers, Locally Decodable Codes and Restricted Subgraphs of Edge-Colored Kikuchi Graphs
针对k一致超图中偶覆盖与超边数量的极值权衡问题，提出纯组合论证恢复偶数k的已知最佳界，引入Kikuchi图新变体改进奇数k的对数因子，并给出3查询二进制线性局部可译码改进下界的纯组合证明。
2024-11-25 cs.CC math.CO
Short Cycle Covers of Cubic Graphs and Graphs with Minimum Degree Three
Alon和Tarsi的最短圈覆盖猜想证明了所有具有$m$边的无桥图的边都能被总长度不超过$7m/5=1.400m$的圈覆盖。我们证明了每一个立方无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$34m/21\approx 1.619m$，每一个最小度为3的无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$44m/27\approx 1.630m$ .
2009-08-11 math.CO
Covering powers of cycles with equivalence subgraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
针对等价子图对圈的覆盖幂问题，研究Alon提出的等价覆盖数，证明了其取值范围并给出了精确值的判定条件，验证了King的相关猜想。
2026-10-14 math.CO
Existences of rainbow matchings and rainbow matching covers
设$G$是边着色图。$G$中的彩虹子图是边具有不同颜色的子图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是与$G$的顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。我们发现，每一个边着色图$G$ $n\geq 7k/2+2$顶点$δ^c(G) \geq k$包含彩虹匹配的大小至少$k$，这改善了以前的结果$k \ge 10$。令$Δ_{\text{mon}}(G)$为与$G$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。我们还证明了如果$t \ge 11$和$Δ_{\text{mon}}(G) \le t$，那么$G$最多可以分解为$\lfloor tn/2 \rfloor $彩虹匹配.这个结果是尖锐的，并改进了LeSaulnier和West的结果。
2015-06-10 math.CO
Cycle Double Covers via Kotzig Graphs
我们证明了每个$2$连通三次图$G$都有圈双覆盖，如果$G$有一个生成子图$F$，使得（i）$F$的每个分支都有偶数个顶点，（ii）$F$的每个分支要么是圈，要么是Kotzig图的一个细分，（iii）$F$的分支以某种一般的方式相互连通.
2017-01-23 math.CO
The chromatic numbers of double coverings of a graph
如果我们固定图$G$的一个生成子图$H$，我们可以定义$H$关于$G$的一个色数，并且我们证明了它与$G$的一个具有共同支撑$H$的双重覆盖的色数是一致的.我们还找到了$H$关于$G$的色数的一些估计。
2007-09-14 math.CO
Cycle Double Covers and Semi-Kotzig Frame
设$H$是一个三次图，允许3-边着色$c: E(H)\to \mathbb Z_3$，使得0和$μ\in\{1,2\}$着色的边诱导$H$的Hamilton回路，1和2着色的边诱导2-因子$F$ .若图$H$的任意偶数子图的边的颜色交换得到$H$的一个新的3-边染色，且其性质与$c$相同，则称图$H$是半Kotzig图.如果三次图$G$的收缩图$G/H$是偶图，并且$H$的每个非圈分支都是半Kotzig图的一个剖分，则称三次图$G$的生成子图$H$为{ \em semi-Kotzig框架}.本文证明了一个三次图$G$有圈双覆盖，如果它有一个至多有一个非圈分支的半Kotzig框架。我们的结果推广了Goddyn（1988），Häggkvist和Markström [J. Combin.理论系列B（2006）]。
2011-05-26 math.CO
Symbolic Rees algebras, vertex covers and irreducible representations of Rees cones
设G是一个单图，J是它的点覆盖理想.我们给出了G的不可约b-顶点覆盖的图论描述，即，我们描述了J的符号Rees代数的极小生成元，然后研究了G的Blocker的不可约b-顶点覆盖，即，研究了图G的边理想的符号Rees代数的极小生成元.给出了G的Blocker的不可约二元b-点覆盖的图论描述。证明了它们对应于G的不可约诱导子图。作为副产品，我们得到了一个方法，使用Hilbert基，以获得所有不可约的诱导子图的G。特别地，我们得到了所有的奇洞和反洞。研究了不可约图，给出了一种构造G的阻塞子的不可约b-点覆盖的方法，该覆盖的度与G的顶点数有关。
2009-03-04 math.AC math.CO
