Semidegree threshold for spanning trees in oriented graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）
研究证明，当有向图的最小半度数满足一定条件时，能保证包含所有具有有限最大度数的有向树。
2026-08-24 math.CO
Thresholds vs. expectation thresholds for non-spanning graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究构造了小图，其包含阈值与分数期望阈值的顺序不同，证明了存在常数c>0，使得对于任意m≤n，存在图H满足v_H=m且p_c(H)大于q_f(H)乘以c log^{1/2}(v_H)。
2026-01-30 math.CO
Counting Spanning Trees of Threshold Graphs
Cayley公式指出，在完全图的$n$顶点上存在$n^{n-2}$生成树;在其150年的历史中，已经用十几种不同的方法证明了这一点。完全图是阈值图的一种特殊情况，利用梅里斯定理和矩阵树定理，有一个非常简单的公式来计算阈值图中$n$顶点上的生成树的数目;它只是$i=2,3, ...,n-1$上度至少为$i$的顶点数的乘积。在这篇手稿中，我们提供了一个直接的组合证明这个公式，不使用矩阵树定理，证明是一个扩展的Joyal的凯莱公式的证明。然后，我们应用这种方法，给出了一个公式的生成树的数量在任何差异图。
2013-01-08 cs.DM math.CO
Sharp threshold for embedding balanced spanning trees in random geometric graphs
一棵有根树是平衡的，如果一个顶点的度只取决于它到根的距离。本文确定了随机几何图$\mathcal{G}(n,r,d)$中平衡生成树出现的最小阈值。特别是，我们找到了平衡二叉树的尖锐阈值。更一般地说，我们表明，所有序列的平衡树一致有界度和高度趋于无穷大出现在一个尖锐的阈值以上，这些都没有出现在同一个值以下。我们的结果更一般的几何图满足一个温和的条件，其顶点集的分布，我们提供了一个多项式时间算法找到这样的树。
2023-03-24 cs.DM math.CO
Sharp thresholds for spanning regular graphs
设$d\geq 3$为常数，$F$为$[n]$上的$d$ -正则图，对称性不多.根据并界，同构于$F$的$G(n,p)$中存在生成子图的概率阈值至少为$p^*(n)=(1+o(1))(e/n)^{2/d}$ .我们给出了一个严格的边界上的$F$的边缘扩展，保证$F$的副本的出现的概率阈值具有相同的数量级的$p^*$。我们还证明，在这个界限的轻微加强，概率阈值是渐近等于$p^*$。特别地，它证明了Kahn，Narayanan和Park关于Hamilton圈的平方包含的尖锐阈值的猜想。这也意味着，对于$d\geq 4$和（渐近地）几乎所有的$[n]$上的$d$ -正则图$F$，$p(n)=(e/n)^{2/d}$是$F$ -包含的一个尖锐的阈值。
2023-03-09 math.CO math.PR
A note on spanning $K_r$-cycles in random graphs
我们发现的边缘不相交的$K_r$，形成一个循环结构，并跨越所有顶点的$G_{n,p}$的副本的集合存在的阈值。我们利用Riordan的一个最近结果给出了主要结果的两行证明。
2020-05-29 math.CO
Spanning triangulations in random graphs
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；School of Computer Science, The University of Sheffield（谢菲尔德大学计算机科学学院）
本文研究了随机图中生成k边形的生成三角化阈值，确定了在任意3≤k≤n的情况下，出现生成k边形三角化的概率阈值。
2026-11-10 math.CO math.PR
Spanning universality in random graphs
一个图称为$\mathcal{H}(n, Δ)$ -泛图，如果它包含所有在$n$顶点上的图，且最大度至多为$Δ$ .使用由Alon和Füredi、Dellamonica、Kohayakawa、Rödl和Rucibrski引入的“基于匹配的”嵌入技术，证明了随机图$G_{n,p}$是渐近几乎必然的$\mathcal{H}(n, Δ)$ -对$p = \tilde Ω(n^{-1/Δ})$是通用的-对于$Δ$顶点的每个子集都有公共邻居的属性的阈值。这个界限已成为该领域的一个基准，许多后续的结果嵌入生成结构的最大程度$Δ$在随机图证明只有到这个阈值。我们采取了一个步骤，克服以前的技术的局限性，表明$G_{n,p}$几乎肯定是$\mathcal{H}(n, Δ)$ -通用的$p = \tilde Ω(n^{- 1/(Δ-1/2)})$。
2017-07-25 math.CO
A characterization of positive spanning sets with ties to strongly connected digraphs
本文针对正支撑集完整刻画缺失的问题，通过揭示其与强边连通有向图的推广关系，借鉴有向图耳分解为正支撑集定义了分解结构，推动了正支撑集的刻画研究。
2025-04-15 cs.DM math.CO math.OC
Unbounded degree spanning hypertrees in Dirac hypergraphs
本文将Komlós等人关于图中无界度生成树的结果扩展到超图，确定了确保所有有根生成松散超树存在的渐近最优ℓ-度条件，并在此范围内证实了Pehova和Petrova的猜想，且证明过程避免了使用Szemerédi正则性引理。
2025-08-09 math.CO
Embedding spanning bounded degree graphs in randomly perturbed graphs
本文研究了随机扰动稠密图的模型$G_α\cup G(n,p)$，其中$G_α$是最小度至少为$αn$的任意$n$ -顶点图，$G(n,p)$是二项随机图.我们介绍了一个一般的方法来研究在这个模型中使用吸收的生成子图的外观。这种方法产生几个已知结果的简单证明。我们还利用它得到了以下两个新的结果。对于每一个$α>0$和$Δ\ge 5$，和每一个$n$ -顶点图$F$最大程度上$Δ$，我们表明，如果$p=ω(n^{-2/(Δ+1)})$，那么$G_α\cup G(n,p)$具有高概率包含一个$F$的副本。在这里使用的$p$的界限是较低的$\log$ -因素相比，在$G(n,p)$单独的，一个典型的功能，以前的结果随机扰动稠密图的一般外观的子图的约束阈值。我们还给出了图的第一个例子，其中$G_α\cup G(n,p)$中的外观阈值比$G(n,p)$中的外观阈值低很多，远大于$\log$因子。本文证明了对于每一个$k\geq 2$和$α>0$，当$p=ω(n^{-1/k-η})$时，都存在一个$η>0$，使得$G_α\cup G(n,p)$中有一个Hamilton圈的$k$次幂以很高的概率出现.已知在单独的$G(n,p)$中，汉密尔顿循环的$k$次幂的出现阈值为$n^{-1/k}$，当$k=2$时，直到$\log$项，并且对于$k>2$是精确的。
2019-07-31 math.CO
Arboricity and spanning-tree packing in random graphs with an application to load balancing
研究了Erdos-Renyi随机图G（n，p）的荫度A和边不交生成树的最大数目T.对于[0，1]中的所有p（n），我们证明了，以很高的概率，T恰好是delta和floor（m/（n-1））之间的最小值，其中delta是图的最小度，m表示边的个数.此外，我们明确地确定了p的尖锐门限值，使得：在该门限值以上，T等于floor（m/（n-1）），A等于ceiling（m/（n-1））;在该门限值以下，T等于delta，并且我们给出了荫度A在该范围内的两值集中结果。最后，我们包括一个更强的版本，这些结果的背景下，随机图的过程中，边依次添加一个接一个。我们的结果的直接应用给出了一个尖锐的阈值的最大负载是在两个选择的负载平衡问题，其中k趋于无穷大。
2013-07-18 math.CO math.PR
From finding a spanning subgraph $H$ to an $H$-factor
University of Birmingham（伯明翰大学）
本文提出由生成副本阈值推导 $H$-因子最小度阈值上界的方法，并证明任意定向环 $C_\ell$ 的因子阈值结果，改进已有结论。
2026-10-01 math.CO
Sharp connectivity thresholds for mixed rigidity packings and improved bounds for highly connected orientations of graphs
Shandong University（山东大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文证明了一个统一定理，给出混合刚性生成子图填充的尖锐连通性阈值，并改进了高度连通定向的二次上界，解决了两个猜想并降低了首项系数。
2026-09-22 math.CO
Simplicial and Conical Decomposition of Positively Spanning Sets
本文研究了一个集$X$的分解，它正地跨越欧氏空间$\mathbb{R}^{d}$成为一个最小正基的集合，我们称之为单形，并成为正地跨越尖锥的最大集合，即只有一个顶点的锥。对于任何集合$X$，令$\mathcal{S}(X)$表示$X$的单纯形子集的集合，并且令$\ell(X)$表示$X$的线性壳。集合$X$被称为满足因式分解条件，当且仅当对于每个子集$Y\subset X$和每个单纯形$S\in\mathcal{S}(X)$，$\ell(Y)\cap\ell(S) = \ell(Y\cap S)$。证明了$X$是正基当且仅当它是大多数d个单形的并，且$X$满足分解条件.在这种情况下，$X$包含一个线性基$B$，使得$\mathcal{S}(X)$中的每个单纯形与$B$除了一个元素之外都是公共的。我们证明了，对于正生成$\mathbb{R}^{d}$的集合，$X$的子基的集合形成布尔格，该布尔格可以嵌入到集合$2^{\mathcal{S}(X)}$中，正基同构。我们的第二个主要结果取决于前者如下。一个有限集$X\subset\mathbb{R}^{d}\setminus\{0\}$可以写为至多$2^{d}$的生成点锥的极大集的并集，如果$X$是一个正基，则这些点锥等价于锥的标架。这个不等式成立当且仅当$X$是一个十字，即从$\mathbb{R}^{d}$的线性基导出的1-单形的并集。…
2020-03-16 math.AG math.CO
Universality for bounded degree spanning trees in randomly perturbed graphs
我们解决了Krivelevich，Kwan和Sudakov [SIAM Journal on Discrete Mathematics 31（2017），155-171]关于随机扰动稠密图模型中所有有界度生成树的包含阈值的问题。更准确地说，我们表明，如果我们开始与$G_α$ $n$顶点$δ(G_α)\ge αn$ $α>0$和我们添加到它的二项式随机图$G(n,C/n)$，然后以高概率的图形$G_α\cup G(n,C/n)$包含所有的最大程度的生成树的副本最多$Δ$同时，其中$C$只依赖于$α$和$Δ$。
2019-02-17 math.CO
Spanning cycles in random directed graphs
研究随机有向图中生成圈的出现时间，证明任意有向圈几乎必然早于有向哈密顿圈出现，并确定其尖锐阈值，证实了 Ferber-Long 猜想。
2023-11-12 math.CO
On the Degree Sequences of Multigraphs with Edge Additions and Deletions
图的度序列是刻画图的性质的一种数值方法。对于完全图和完全图，存在度序列的一般形式。Nikolopolus等人从边删除和边添加中描述了生成树的数量。而不是调查的数量所产生的边添加和删除的图的生成树，我们试图描述这样的图的度序列。我们猜想了包括阈值图和完全重图在内的许多图族的加边和删边度序列的一个刻画。关键词：多重图，分裂图，度序列，阈值图，Havel-Hakimi，Ruch-Gutman，边删除
2019-06-14 math.CO
Sums of squares and negative correlation for spanning forests of series parallel graphs
我们提供了新的证据，图的生成森林满足相同的负相关属性的生成树，来自瑞利勋爵的单调性电网络。本文的主要结果是：串联平行图的生成森林生成多项式的Rayleigh差可以表示为某个正的单项式乘多项式的平方和。我们还证明了每个正则拟阵是独立集Rayleigh的当且仅当每个基Rayleigh二元拟阵也是独立集Rayleigh的。
2011-10-24 math.CO
On stability of weighted spanning tree degree enumerators
本文将生成树度枚举器的实稳定性结果从连通图推广到加权图，并据此定义了加权距离遗传图类。
2023-10-27 math.CO
Expander spanning subgraphs with large girth
我们猜想具有正Cheeger常数的有限图允许有一个具有正Cheeger常数且围长与直径成正比的生成子图。我们证明了这一猜想的正则扩展图的大扩展。我们的证明依赖于局部引理。
2020-12-31 math.CO math.MG math.PR
Positive codegree thresholds for Hamilton cycles in hypergraphs
本研究给出了k一致超图中哈密顿ℓ-环的渐近最优最小正余度条件，揭示了其与最小余度结论的对偶性，并证明了紧哈密顿环相关猜想的渐近版本。
2025-05-16 math.CO
The Threshold Dimension of a Graph
设$G$是一个图，$u$、$v$和$w$是$G$的顶点。如果$u$和$w$之间的距离不等于$v$和$w$之间的距离，则称$w$解析$u$和$v$。$G$的度量维数，记作$β(G)$，是顶点的最小集合$W$的基数，使得$G$的每对顶点由$W$的某个顶点分解。图$G$的阈值维数，记为$τ(G)$，是以$G$为生成子图的所有图$H$中的最小度量维数。换句话说，$G$的阈值维数是通过添加边从$G$获得的所有图中的最小度量维数。如果是$β(G) = τ(G)$，则称$G$是\emph{irreducible} ;否则，我们称$G$是可约的。如果$H$是以$G$为生成子图的图，并且使得$β(H)=τ(G)$，则$H$称为$G$的阈值图。图的阈值维数表示为允许图的某种嵌入的路的最小强积数。建立了树的阈值维数的一个精确上界。它还表明，不可约树正是那些度量维数最多为2。此外，如果$T$是度量维度为3或4的树，则$T$具有阈值维度$2$。它示出，在这两种情况下，$T$的阈值图可以通过添加恰好一个或两个边缘$T$，分别获得。然而，这些结果不扩展到具有度量维度$5$的树，即，存在阈值维数超过$2$的度量维数$5$的树。
2020-01-24 math.CO
Spanning trees of bounded degree in random geometric graphs
本文确定了随机几何图中包含所有有界度生成树的尖锐阈值，提供了二项随机图结果的几何对应，证实了相关猜想，并给出了适用于有界亏格或树宽图族的算法证明。
2025-05-22 math.CO math.MG math.PR
Thresholds versus fractional expectation-thresholds
证明一个猜想Talagrand，一个分数版本的“期望阈值”猜想的卡莱和第二作者，我们表明，任何增加家庭$F$上的有限集$X$，$p_c (F) =O( q_f (F) \log \ell(F))$，其中$p_c(F)$和$q_f(F)$是阈值和“分数期望阈值”的$F$，和$\ell(F)$是最大的大小最小成员的$F$。这很容易地暗示了概率组合学中几个迄今为止困难的结果和结构，包括完美超图匹配的阈值（Johanson-Kahn-Vu），有界度生成树（Montgomery）和有界度生成图（New）。我们还解决（并大大扩展）的“轴向”版本的随机多维分配问题（早期考虑马丁-梅扎德-里瓦尔和弗里兹-索尔金）。我们的方法建立在Alweiss，Lovett，Wu和Zhang最近对Erdens的突破--Rado '向日葵猜想'的基础上。
2019-12-10 cs.DM math.CO math.PR
Efficiently finding low-sum copies of spanning forests in zero-sum complete graphs via conditional expectation
对于一个固定的正$ε$，我们证明了存在一个常数$C_ε$，它具有以下性质：给定具有$c(E(K_n))=0$的完全图$K_n$的一个$\pm1$ -边标号$c:E(K_n)\to \{ -1,1\}$，以及最大度$Δ$的$K_n$的一个生成森林$F$，可以在多项式时间内确定$K_n$中的$F$的同构副本$F'$，其中具有$|c(E(F'))|\leq \left(\frac{3}{4}+ε\right)Δ+C_ε.$。期待
2021-02-22 math.CO
The threshold probability for long cycles
对于给定的最小度至少为$k$的图$G$，令$G_p$表示以概率$p=p(k)$独立保留每条边所得到的$G$的随机生成子图。证明了如果$p \ge \frac{\log k + \log \log k + ω_k(1)}{k}$，其中$ω_k(1)$是任何趋于无穷大且具有$k$的函数，则$G_p$渐近几乎必然包含一个长度至少为$k+1$的圈.当$G$是以$k+1$为顶点的完全图时，我们的定理与关于二项式随机图中Hamilton圈存在的阈值概率的经典结果一致.
2014-08-19 math.CO
On the Number of Rainbow Spanning Trees in Edge-Colored Complete Graphs
一个正确边着色的完全图$K_n$的生成树是彩虹树，只要它的每条边都有不同的颜色。在1996年，Brualdi和Hollingsworth提出，如果$K_{2m}$是正确的$(2m-1)$ -边着色，那么$K_{2m}$的边可以被划分成$m$彩虹生成树，除了当$m=2$。本文通过一种显式的构造性方法，对$m$的任意正值，构造了$\lfloor \sqrt{6m+9}/3 \rfloor$的边不相交彩虹生成树.不仅产生了彩虹树，而且每个彩虹生成树的一些结构也在这个过程中被确定。这改进了文献中迄今为止最好的建设性结果，该结果恰好产生了三棵彩虹树。
2018-05-08 math.CO
Positive codegree thresholds for perfect matchings in hypergraphs
本文确定了大型 $k$-均匀超图中完美匹配的最小正余度精确阈值，推广并完善了已有结果。
2025-05-23 math.CO
A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
在n阶完全图中，当每条边的权是指数随机变量时，Frieze证明了最小生成树的权趋于zeta（3）=1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/2^3 + 1/2当n趋于无穷大时。我们认为生成树的深度限制为从一个指定的根k。证明了当k > log_2 log n+omega（1）时，最小有界深度生成树的权在n ->无穷大时仍趋于zeta（3），当k < log_2 log n时，权在log_2 log n-k中是双指数大的.寻找最小有界深度生成树是NP难的，但当k < log_2 log n - omega（1）时，一个简单的贪婪算法是渐近最优的，而当k > log_2 log n+omega（1）时，一个对最小（无界深度）生成树做微小改变的算法是渐近最优的。我们证明了类似的结果，最小有界深度斯坦纳树，树必须连接一个指定的一组m个顶点，可能会或可能不会包括其他顶点。特别地，当m = const * n时，如果k > log_2 log n+omega（1），则完全图上的最小有界深度Steiner树与最小Steiner树具有渐近相同的权重，并且如果1 <= k <= log_2 log n-omega（1），权重在期望和概率上都趋于（1-2^{-k}）sqrt{8 m/n} [sqrt{2 mn}/2^k]^{1/（2^k-1）}。当直径界为2k时，同样的结果也适用于最小有界直径Stein…
2011-05-05 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
Minimum codegree threshold for $C_6^3$-factors in $3$-uniform Hypergraphs
设$C_6^3$是$\{1,\dots, 6\}$上的3-一致超图，其边为$123, 345,561$，可以看作是3-一致超图中的三角形.对于可被6整除的充分大的$n$，我们证明了每个最小余度至少为$n/3$的$n$ -顶点3-一致超图$H$包含一个$C_6^3$ -因子，即，由$C_6^3$的顶点不相交副本组成的生成子超图。最小余度条件是最好的。这改进了Mycroft得到的渐近结果，并确切地回答了Rödl和Rucienski的一个问题。
2015-08-21 math.CO
Maximal Planar Subgraphs of Fixed Girth in Random Graphs
1991年，Bollobás和Frieze证明了$G_{n,p}$包含生成极大平面子图的阈值非常接近于$p = n^{-1/3}$。在本文中，我们计算类似的阈值范围$G_{n,p}$包含一个最大的二部平面子图和$G_{n,p}$包含一个最大的平面子图固定围长$g$。
2017-06-19 math.CO
Construction and characterization of graphs whose each spanning tree has a perfect matching
连通图$G$的边子集$S$称为反Kekulé集，如果$G-S$是连通的且没有完美匹配.我们可以看到，一个连通图$G$没有反凯库莱集当且仅当$G$的每个生成树都有完美匹配。本文利用Tutte的1-因子定理和极小2-连通图的结构，刻画了所有生成树有完美匹配的图.另外，证明了如果$G$是一个阶为$2n$的连通图，对于正整数$n\geq 4$和大小为$m$，且每个生成树有完美匹配，那么$m\leq \frac{(n+1)n} 2$，等式当且仅当$G\cong K_n\circ K_1$ .
2016-01-31 math.CO
A rainbow Dirac theorem for loose Hamilton cycles in hypergraphs
University of Birmingham（伯明翰大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究证明了在满足特定度数阈值的k-均匀超图中，任何全局有界的着色都包含一个彩虹松散哈密顿回路。
2026-02-09 math.CO
Power of $k$ choices and rainbow spanning trees in random graphs
我们考虑Erdens-Rényi随机图过程，这是一个随机过程，开始$n$顶点和没有边，并在每一步添加一个新的边缘随机选择从一组丢失的边缘。令$\mathcal{G}(n,m)$是具有在该过程的$m$步骤之后获得的$m$边的图。$\mathcal{G}(n,m)$的每个边缘$e_i$（$i=1,2,..., m$）从给定的$n-1$颜色集合中随机地均匀地独立地精确选择$k \in \mathbb{N}$颜色（可以将$e_i$视为多边缘）。当以下两个事件成立时，我们在时间$M$过早地停止该过程：$\mathcal{G}(n,M)$是连通的，并且每种颜色至少出现一次（如果在所有边缘都存在之前某些颜色没有出现，则为$M={n \choose 2}$;然而，这几乎肯定不会渐近地发生）。本文解决的问题是$\mathcal{G}(n,M)$是否有彩虹生成树（即$n$顶点上的多色树）。显然，这两个属性都是所需树存在的必要条件。1994年，Frieze和McKay研究了$k=1$的情况，这个问题的答案是“是”（渐近几乎肯定）。然而，由于连通性的尖锐阈值是$\frac {n}{2} \log n$，而看到所有颜色的尖锐阈值是$\frac{n}{k} \log n$，因此$k=2$的情况特别重要，因为在这种情况下，两个过程彼此保持一致。在本文中，我们表明，渐近几乎肯定的答案是“是”也为$k \ge 2$…
2014-10-13 math.CO
Minimal transitive factorizations supported on quasi-threshold graphs
University of Washington（华盛顿大学）
本文研究拟阈值图上单位置换的最小传递分解数，证明其可被星形图分解数整除，并给出基于带权生成树的组合公式。
2026-09-29 math.CO
On the probability that a random subtree is spanning
我们考虑与图$G$相关联的量$P(G)$，该图被定义为$G$的随机选择的子树生成的概率。由于Chin，Gordon，MacPhee和Vincent关于此图不变量依赖于边缘密度的行为的启发，我们首先建立了$P(G)$由一个正常数下有界，只要最小度由顶点数的线性函数下有界。此后，焦点转移到经典的Erdens-Rényi随机图模型$G(n,p)$。证明了当$p \to p_{\infty} > 0$时$P(G)$依概率收敛于$e^{-1/(ep_{\infty})}$，当$p \to 0$时依概率收敛于$0$.
2019-10-16 math.CO
Degree conditions for spanning expansion hypertrees
本文确定了确保有界度树的所有支撑$k$-扩张存在的渐近最优$d$-度条件，通过松散哈密顿圈条件表示，反驳了Pehova和Petrova的猜想，并揭示了奇偶性障碍对度条件的影响。
2025-07-11 math.CO
Spanning trees and spanning closed walks with small degrees
设$G$是一个图，$f$是$V(G)$上的正整数值函数.在本文中，我们证明了，如果对所有的$S\subseteq V(G)$，$ω(G\setminus S)<\sum_{v\in S}(f(v)-2)+2+ω(G[S])$，那么$G$有一个生成树$T$包含一个任意给定的匹配，使得对于每个顶点$v$，$d_T(v)\le f(v)$，其中$ω(G\setminus S)$表示$G\setminus S$的分支数，$ω(G[S])$表示导出子图$G[S]$的分支数与顶点集$S$。这是几个结果的改进。其次，证明了如果对所有的$S\subseteq V(G)$，$ω(G\setminus S)\le \sum_{v\in S} (f(v)-1)+1$，$G$允许一个生成闭行走通过任意给定匹配的边，满足每个顶点$v$至多$f(v)$次.这一结果解决了Jackson和Wormald（1990）长期存在的猜想。
2022-05-08 math.CO
The threshold bias of the clique-factor game
设$r \ge 4$是一个整数，并考虑以下关于$n \in r \mathbb{Z}$的完全图$K_n$上的博弈：两个参与者，Maker和Breaker，交替要求先前未要求的$K_n$的边，使得在每一回合中Maker要求一条边，Breaker要求$b \in \mathbb{N}$边。如果Maker的图包含一个$K_r$ -因子，即$K_r$的$n/r$顶点不相交副本的集合，则Maker获胜，否则Breaker获胜。换句话说，我们考虑一个$b$偏向的$K_r$因子制造者-破坏者博弈。我们表明，这个游戏的阈值偏差是为了$n^{2/(r+2)}$。这为确定生成有界度生成图的阈值偏差迈出了一步，并推广了Allen等人的结果。他将病例$r \in \{3,4\}$解决到对数因子。
2020-02-07 math.CO
Minimum codegree threshold for $(K_4^3-e)$-factors
给定超图H和F，H中的F-因子是由F的顶点不相交副本组成的生成子图。设K_4^3-e表示4点3边3一致超图。本文证明了当γ>0时，存在一个整数n_0，使得每一个阶n > n_0的3-一致超图$H$的最小余度至少为（1/2+γ）n和4| n包含一个（K_4^3-e）-因子。此外，该界是渐近的最佳可能界，并进一步给出了（K_4^3-e）-因子存在的阈值的精确值的一个猜想.因此，对于4顶点的3-一致超图F，所有存在F-因子的最小余度阈值是渐近已知的。
2012-12-30 math.CO
A formula for the number of the spanning trees of line graphs
设$G=(V,E)$是一个无环图，$\mathcal{T}(G)$是$G$的所有生成树的集合.设$L(G)$是图$G$的线图，$t(L(G))$是图$L(G)$的生成树个数.然后，利用电网络的技巧，得到了如下公式：$$ t(L(G)) = \frac{1}{\prod_{v\in V}d^2(v)}\sum_{T\subseteq \mathcal{T}(G)}\big[\prod_{e = xy\in T}d(x)d(y)\big]\big[\prod_{e = uv\in E\backslash T}[d(u)+d(v)]\big]. $$由此，我们对某些不规则线图的生成树个数公式给出了一个非常简单而又不同的证明，并对Yan [J. Combin. Theory Ser.A120（2013）no.7，1642-1648]。利用这个公式，我们还导出了循环线图的生成树的个数。
2015-07-29 math.CO
Minimum Degree Threshold for $H$-factors with High Discrepancy
给定图$H$，图$G$中的完美$H$ -因子是跨越$G$的$H$的顶点不相交副本的集合。Kühn和Osthus证明了一个图$G$包含一个完美$H$ -因子的最小度阈值可以由$1-1/χ(H)$或$1-1/χ_{cr}(H)$给出，这取决于某些自然整除性的考虑。给定一个$G$的阶为$n$，$G$的$2$ -边染色和$G$的一个子图$G'$，我们说$G'$具有高差异，如果它包含显着（在$n$中线性）更多的边。Balogh，Csaba，Pluhár和Treglown要求最小度阈值保证$G$的每一个2-边着色都有一个具有高差异的$H$ -因子，并且他们解决了$H$是团的情况。在这里，我们完全解决了这个问题，通过确定最小度阈值的高差异的$H$ -因素为每个图$H$。
2023-02-27 math.CO
Dirac's Condition for Spanning Halin Subgraphs
设$G$是一个具有$n\ge 3$的$n$ -顶点图. Dirac在1952年的一个经典结果断言$G$是哈密顿的，如果$δ(G)\ge n/2$ .狄拉克定理是哈密顿性研究中最有影响力的结果之一，到目前为止，已有许多相关的已知结果，（参见，例如，J. A. Bondy，基本图论：路径和电路，{ \it Handbook of Combinatorics Vol.1}中的第1章）。一个{ \it Halin图}是由两个边不相交的子图组成的平面图：一个至少有4个顶点且没有2度顶点的生成树，以及在生成树的叶子集合上诱导的一个圈。Halin图具有丰富的哈密尔顿性，如哈密尔顿图、哈密尔顿连通图和几乎泛圈图。作为Dirac定理的一个连续推广，本文证明了存在正整数$n_0$，使得任何具有$n\ge n_0$顶点和$δ(G)\ge (n+1)/2$的图$G$都包含一个生成Halin子图.特别地，它包含一个生成Halin子图，这也是泛圈的。
2017-07-14 math.CO
A Note on Threshold Dimension of Permutation Graphs
一个图$G(V,E)$是一个阈值图，如果存在非负实$w_v, v \in V$和$t$使得对于每个$U \subseteq V$，$\sum_{v \in U} w_v\leq t$当且仅当$U$是一个稳定集.图$G(V,E)$的{ \it阈值维数}，记为$t(G)$，是最小整数$k$，使得$E$可以被$G$的$k$阈值生成子图覆盖。置换图是可以表示为在欧几里得平面中连接两条平行线的线段族的交图的图。本文证明了若$G$是置换图，则$t(G) \leq α(G)$（其中$α(G)$是$G$中最大独立集的基数）是紧的.作为推论，我们将证明$t(G) \leq \frac{n}{2}$，其中$n$是置换图$G$中的顶点数。这个界限也很紧。
2009-06-05 math.CO
A Toolkit for Robust Thresholds
本文提出一个工具箱，通过构造扩散测度并应用Kahn--Kalai猜想，证明在满足最小度条件的超图和图中，采样后完美匹配、$K_r$-因子和有界度生成树仍以高概率存在，并改进了相关定理的证明。
2023-05-15 cs.DM math.CO math.PR
Specifying a positive threshold function via extremal points
正阈值布尔函数$f$的极值点要么是最大值零，要么是最小值零。已知的是，如果$f$依赖于它的所有变量，则它的极值点的集合在门限函数的域中完全指定$f$。但是，在某些情况下，$f$可以由较小的集合指定。这样的集合中的最小点数是$f$的规格号。它在[S]中显示。T.胡阈值逻辑，1965]，$n$变量的门限函数的规格号至少是$n+1$。在[M. Anthony，G. Brightwell和J. Shawe-Taylor。用标号例子说明布尔函数。离散应用数学，1995年]，证明了这一界限是达到嵌套的功能，并证明了所有其他门限函数的规格数严格大于$n+1$。在本文中，我们解决了这个猜想否定展示阈值布尔函数的$n$变量，这是非嵌套的，其规格编号为$n+1$。另一方面，我们证明了极值点集满足猜想的陈述，即，依赖于其所有$n$变量的正阈值布尔函数具有$n+1$极值点当且仅当它是嵌套的。为了证明这一点，我们揭示了极值点集的基本结构。
2017-06-06 cs.DM math.CO
Creating spanning trees in Waiter-Client games
研究完全图上公平Waiter-Client游戏中构建树副本的胜负策略，证明了基于树最大度的Waiter和Client的必胜条件，并扩展至Client-Waiter版本。
2024-03-27 math.CO
On Independent Spanning Trees in Random and Pseudorandom Graphs
本研究针对Zehavi与Itai提出的k-连通图独立生成树猜想，证明其对几乎所有任意密度的随机图成立且结果本质最优，还证明谱比条件温和的(n,d,λ)-图存在(1-o(1))d棵独立生成树，渐近解决了随机d-正则图的该猜想。
2025-09-30 math.CO
Minimum vertex degree thresholds for tiling complete 3-partite 3-graphs
给定正整数$a\leq b \leq c$，设$K_{a,b,c}$是具有三个部分大小为$a,b,c$的完全3部3一致超图.设$H$是$n$顶点上的3-一致超图，其中$n$可被$a+b+c$整除.我们渐近确定$H$的最小顶点度，保证一个完美的$K_{a, b, c}$ -平铺，即，一个生成子图的$H$的顶点不相交副本的$K_{a, b, c}$。这部分回答了一个问题的麦考夫，谁证明了一个类似的结果，就codegree的$r$ -一致超图的所有$r\ge 3$。我们的证明使用了一个基于格的吸收方法，分数平铺的概念，和最近的结果阴影的3-图。
2017-08-14 math.CO
Packing spanning graphs from separable families
设$\mathcal G$是可分图族。则对所有正常数$ε$和$Δ$，对每个充分大的整数$n$，每个序为$n$且最大度至多为$Δ$的图的序列$G_1,\dotsc,G_t\in\mathcal G$，使得$e(G_1)+\dotsb+e(G_t) \leq (1-ε)\binom{n}{2}$压缩成$K_n$ .当$\mathcal G$是树的类时，这改进了Böttcher、Hladklett、Piguet和Taraz的结果，而当是一般可分族时，这改进了Messuti、Rödl和Schacht的结果。这个结果也暗示了Oberwolfach问题和Gyárfás（1976）的树填充猜想的近似版本，对于所有树的最大度至多为$Δ$的情况。证明使用随机图的局部弹性和一个特殊的多阶段包装过程。
2016-05-31 math.CO
Embedding large graphs into a random graph
本文考虑了在随机图中嵌入几乎生成的有界度图的问题。特别地，令$Δ\geq 5$、$\varepsilon > 0$和$H$是在$(1-\varepsilon)n$顶点上的图，并且具有最大度$Δ$。我们证明了随机图$G_{n,p}$具有高概率包含$H$的副本，条件是$p\gg (n^{-1}\log^{1/Δ}n)^{2/(Δ+1)}$。我们对$p$的假设是最优的，直到$polylog$因子。我们注意到，该$polylog$项与跨越情况的限制阈值相匹配。
2017-08-03 math.CO
Low chromatic spanning sub(di)graphs with prescribed degree or connectivity properties
推广了Erdés和Lovász的著名结果，证明了每个图$G$都包含一个具有$λ(H)\geq \lceil{}\frac{k-1}{k}λ(G)\rceil$的生成$k$ -部子图$H$，其中$λ(G)$是$G$的边连通度.特别是，连同一个众所周知的结果，由于纳什-威廉姆斯和Tutte，这意味着每一个$7$ -边连通图包含一个生成二部图，其边集分解成两个边不相交的生成树。我们证明了这是最好的可能性，因为它不适用于无限多的$6$ -边连通图。对于有向图，文献[6]证明了不存在$k$使得每个$k$ -弧连通有向图都有一个生成强二部子有向图.证明了每个强有向图都有一个生成强三部子有向图，并且每个至少6个顶点的强半完全有向图都有一个生成强二部子有向图。\jbj{We generalize this result to higher connectivities by proving}证明了，对于每个正整数$k$，每个$k$ -弧连通有向图包含一个生成$(2k+1$）-有部子图是$k$ -弧连通的，这是最佳可能的.文[18]中的一个猜想是：每个最小出度$2k-1$的有向图都包含一个最小出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.通过给出一类具有最小出度$2k-2$的有向图，证明了有界$2k-1$是最佳可能的，这类有向图不包含任何出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.证明了最小半度至少为…
2020-08-12 math.CO
Sharp threshold for the Erdős-Ko-Rado theorem
对于正整数$n$和$k$，若$n\geq 2k+1$为正整数，则Kneser图$K(n,k)$是由$\{1,\dots,n\}$的所有$k$ -集组成的顶点集的图，其中两个$k$ -集在不相交时恰好相邻. $K(n,k)$的独立集是$k$ -一致相交族，因此最大独立集由Erdens-Ko-Rado定理给出.设$K_p(n,k)$是$K(n,k)$的一个随机生成子图，其中每条边以概率$p$独立包含. Bollobás，Narayanan，and Raigorodskii问什么$p$ does $K_p(n,k)$ have the same independence number as $K(n,k)$ with high probability.对于$n=2k+1$，我们证明了一个命中时间的结果，这给了这个问题在$p=3/4$一个尖锐的阈值。此外，在完成Das和Tran以及Devlin和Kahn的工作的基础上，我们确定了所有$n>2k+1$的一个锐阈值函数。
2022-06-06 math.CO
