Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs
对于边着色图，如果一个子图的所有边都有不同的颜色，则称该子图为彩虹图.我们证明了：如果$G$是一个边着色图，其序为$n$，大小为$m$，且$G$的边的颜色为$c$，且$m+c\geq \binom{n+1}{2}+k-1$是一个非负整数$k$，则$G$至少包含$k$彩虹三角形.对于$n\geq 3k$，我们表明，这一结果是最好的可能性，我们完全描述了类的边缘有色图，这一结果是尖锐的。进一步证明了边着色图$G$至少包含$k$彩虹三角形，如果$\sum\limits_{v\in V(G)} d^c_G(v)\geq \binom{n+1}{2}+k-1$，其中$d_G^c(v)$表示入射到顶点$v$的不同颜色的个数.最后，我们刻画了边-有色图，它没有大小至少为6的彩虹团，并且最大化边和颜色之和$m+c$。我们的结果回答了Fujita，Ning，Xu和Zhang的两个问题[关于边着色图中彩虹圈的充分条件，arXiv：1705.03675，2017]
2018-10-11 math.CO
Rainbow Matchings of size δ(G) in Properly Edge-colored Graphs
边有色图中的{ \it彩虹匹配}是所有边都具有不同颜色的匹配。Wang询问是否存在一个函数f（δ）使得具有最小度δ且阶至少为f（δ）的适当边有色图G必须具有大小为δ的彩虹匹配。我们对这个问题的回答是肯定的; f（δ）= 6.5δ就足够了。并且证明了一个O（δ（G））|V（G）|生成这种匹配的^2）-时间算法。
2011-08-11 math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
Rainbow matchings in properly-colored hypergraphs
一个超图$H$是适当着色的，如果对于每个顶点$v\in V(H)$，所有关联到$v$的边都有不同的颜色。本文证明了如果$H_{1}$，\cdots，$H_{s}$是$n$顶点上的适当着色的$k$ -一致超图，其中$n\geq3k^{2}s$，和$e(H_{i})>{{n}\choose {k}}-{{n-s+1}\choose {k}}$，则存在大小为$s$的彩虹匹配，包含来自每个$H_i$的一条边.这推广了Erdans匹配猜想的一些结果。
2018-08-15 math.CO
Rainbow cycles in properly edge-colored graphs
本文证明了每一个平均度至少为$100(\log n)^2$的适当边着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹圈，改进了Tomon的$(\log n)^{2+o(1)}$界.我们还证明了每一个至少有$10^5 k^2 n^{1+1/k}$边的适当着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹$2k$ -圈，这改进了Janzer所得到的$2^{ck^2}n^{1+1/k}$界.我们的方法使用同态不等式和一个不平衡的正则引理也提供了一个简单的方法来证明Erdens-Simonovits过饱和定理的偶数周期，这可能是独立的利益。
2022-11-07 math.CO
Note on rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是一个边着色为$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小着色度. $G$的一个子图$F$称为彩虹图，如果$F$的所有边都有两两不同的颜色.关于边有色图的彩虹圈，已有很多结果.本文证明了：（i）若$δ^c(G)>\frac{3n-3}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹三角形中;（ii）若$δ^c(G)>\frac{3n}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹$C_4$中;（iii）若$G$是完备的，$n\geq 8k-18$和$δ^c(G)>\frac{n-1}{2}+k$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹圈.同时也发现并纠正了以往出版物中的一些不足之处。
2020-10-22 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的顶点$v$的颜色度被定义为与$v$关联的边的颜色的数量。$G$的颜色数定义为$G$中边的颜色数。彩虹三角形是每对边都有不同颜色的三角形。本文从色度、色数和边数三个方面给出了边有色图中彩虹三角形存在的充分条件。作为推论，李和王提出的一个猜想（边有色图中的着色度和异色圈，European J. Combin. 33（2012）1958- 1964）得到证实。
2013-09-25 math.CO
Rainbow triangles in arc-colored tournaments
设$T_{n}$是序为$n$的弧色竞赛图。最大单色深度$Δ^{-mon}(T_{n})$（分别$T_{n}$的出度（outdegree）$Δ^{+mon}(T_{n})$是入弧的最大数量（分别为外弧）入射到$T_{n}$的顶点。$T_{n}$的不规则度$i(T_{n})$是$T_{n}$顶点的入度与出度之差的最大值。弧色有向图$D$的子图$H$称为彩虹图，如果$H$中的每对弧具有不同的颜色。本文证明了具有$Δ^{-mon}(T_n)\leqΔ^{+mon}(T_n)$的弧色竞赛图$T_{n}$中的每个顶点$v$至少包含在$\frac{δ(v)(n-δ(v)-i(T_n))}{2}-[Δ^{-mon}(T_{n})(n-1)+Δ^{+mon}(T_{n})d^+(v)]$彩虹三角形中，其中$δ(v)=\min\{d^+(v), d^-(v)\}$ .给出了$T_{n}$包含彩虹三角形和包含通过给定顶点的彩虹三角形的最大单色度条件。最后，我们提出了一些例子表明，我们的结果中的一些条件是最好的可能。关键词：弧色竞赛图，彩虹三角形，最大单色度，不规则性
2020-03-07 math.CO
Long rainbow path in properly edge-colored complete graphs
设$G$是边着色图. $G$的彩虹（异色或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。设顶点$v$的颜色度是在关联到$v$的边上使用的不同颜色的数量，并将其表示为$d^c(v)$。证明了若$G$的每个顶点$v$都有$d^c(v)\geq k$，则$G$有一条长度至少为$\min\{\lceil\frac{2k+1}{3}\rceil,k-1\}$的彩虹路.本文只考虑完全图$K_n$的适当边着色，并改进了最长彩虹路长度的下界，证明了若$n\geq 20$，必有一条长度不小于$\displaystyle \frac{3}{4}n-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{39}{11}}-\frac{11}{16}$的彩虹路.
2015-03-16 math.CO
Rainbow triangles in arc-colored digraphs
设$D$是弧着色有向图。$D$的弧数$a(D)$定义为$D$的弧数。$D$的颜色号$c(D)$被定义为分配给$D$的弧的颜色的数量。$D$中的彩虹三角形是一个有向三角形，其中每对弧都有不同的颜色。令$f(D)$为最小整数，使得如果$c(D)\geq f(D)$，则$D$包含彩虹三角形。本文得到了$f(\overleftrightarrow{K}_{n})$和$f(T_n)$，其中$\overleftrightarrow{K}_{n}$是$n$阶的完全有向图，$T_n$是$n$阶的强连通竞赛图.此外，我们还刻画了弧色完全有向图$\overleftrightarrow{K}_{n}$，它具有$c(\overleftrightarrow{K}_{n})=f(\overleftrightarrow{K}_{n})-1$且不含彩虹三角形。我们还证明了当$a(D)+c(D)\geq a(\overleftrightarrow{K}_{n})+f(\overleftrightarrow{K}_{n})$，这是无向情况的有向扩张时，$n$顶点上的弧色有向图$D$包含彩虹三角形。
2018-10-14 math.CO
Rainbow matchings in edge-colored graphs
本文研究一般边着色图中在边数与颜色数之和条件下大小为 k 的彩虹匹配的存在性，并证明所用条件是紧的。
2025-11-06 math.CO
Long rainbow cycles and Hamiltonian cycles using many colors in properly edge-colored complete graphs
本文证明了两个关于适当边有色图中圈的结果。首先，我们对Alon，Pokrovskiy和Sudakov最近的突破性工作做了一个小的改进，证明了$G$在至少$n - O(\log n \sqrt{n})$顶点上有彩虹圈，从而证明了每个在$n$顶点上的适当边着色的完全图$G$在至少$n - O(n^{3/4})$顶点上有彩虹圈.其次，通过修改Hatami和Shor给出的拉丁方部分断面长度的下界，证明了每一个正常着色的完全图都有一个Hamilton圈，其中至少有$n - O((\log n)^2)$不同的颜色出现.对于大的$n$，这是对Andersen的$n - \sqrt{2n}$的先前最佳已知下界的改进。
2017-06-15 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored complete graphs
设$G$是一个具有边着色$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小色度.如果$G$的子图$F$的任意两条边具有不同的颜色，则称之为彩虹图.关于边着色完全图中的彩虹三角形，现有的文献中已有很多结果。Fujita和Magnant证明了对一个阶为$n$的边着色完全图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$的每个顶点都包含在一个彩虹三角形中.本文证明了如果$δ^c(G)\geq \frac{n+k}{2}$，则$G$的每个顶点至少包含在$k$彩虹三角形中，这可以看作是他们结果的推广. Li证明了对一个阶为$n$的边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$包含一个彩虹三角形.证明了如果$G$是完备的，且$δ^c(G)\geq \frac{n}{2}$，则$G$包含彩虹三角形且边界是尖锐的. Hu等人证明了对于$n\geq 20$阶边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+2}{2}$，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.证明了若$G$是序$n\geq 8$和序$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$完备的，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.此外，我们将Hu等人的结果从$n\geq 20$改进为$n\geq 7$，这是可能的最佳结果。
2020-12-03 math.CO
Rainbow Turán Problem for Even Cycles
一个边有色图是彩虹图，如果它的所有边都用不同的颜色着色.对于固定图$H$，彩虹图兰数$\mathrm{ex}^{\ast}(n,H)$定义为在没有$H$彩虹副本的情况下，$n$顶点上的正确边有色图中的最大边数.本文研究了偶数圈的彩虹Turán数，证明了对每一个固定的$\varepsilon > 0$，存在一个常数$C(\varepsilon)$，使得每一个在$n$顶点上具有至少$C(\varepsilon) n^{1 + \varepsilon}$边的适当边有色图至多包含一个偶数长的彩虹圈$2 \lceil \frac{\ln 4 - \ln \varepsilon}{\ln (1 + \varepsilon)} \rceil$ .这部分回答了Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte的一个问题，他们问一个图在没有任何长度的彩虹周期的情况下可以有多密集。
2012-05-14 math.CO
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
2017-09-25 math.CO
Rainbow triangles in three-colored graphs
Erdos和Sos提出了确定n个顶点的3-边着色完全图中彩虹三角形的最大个数F（n）的问题。证明了F（n）= F（a）+ F（b）+F（c）+F（d）+abc+abd+acd+bcd，其中a+b+c+d = n，a，b，c，d尽可能相等.我们证明了当n足够大时，所得到的递推关系成立。我们还证明了对所有k，n = 4k的猜想。这些结果意味着lim F（n）n^3/6 = 0.4，并确定了唯一的极限对象。在证明中，我们使用旗代数结合稳定性参数。
2014-08-22 math.CO
Erdős-Gallai-type results for the rainbow disconnection number of graphs
设$G$是一个非平凡的连通边有色图。如果$G$的边切割$R$没有两个边被着色为相同的颜色，则将其称为彩虹切割。一个边有色图$G$称为彩虹不连通图，如果对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个将它们分开的$u-v$彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为$rd(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文研究了$rd(G)$的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.
2019-01-08 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Counting rainbow triangles in edge-colored graphs
本文研究边染色图中彩虹三角形的计数问题，给出了通过给定顶点的彩虹三角形数量的下界，并证明了在最小颜色度条件下存在 $\Omega(n^2)$ 或 $\Omega(n^3)$ 个彩虹三角形，结果最优且推广了相关定理。
2021-12-29 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
On sufficient conditions for rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是边着色图.我们使用$e(G)$和$c(G)$分别表示$G$的边数和$E(G)$上出现的颜色数。对于顶点$v\in V(G)$，$v$的\emph{color neighborhood}被定义为分配给与$v$关联的边的颜色集合。$G$的一个子图是\emph{rainbow}，如果它的所有边都被赋予不同的颜色。著名的曼特尔定理指出，如果$e(G)\geq\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor+1$，则在$n$顶点上的图$G$包含三角形。Rademacher（1941）证明了在相同条件下$G$至少包含$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形。Li，Ning，Xu and Zhang（2014）证明了Mantel定理的彩虹版本：边着色图$G$有彩虹三角形，如果$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$。本文首先刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2-1$但不含彩虹三角形的图$G$。受Rademacher定理的启发，我们刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$但只包含一个彩虹三角形的图$G$。进一步得到了彩虹短圈存在的色邻域条件的两个结果。我们的结果改进了Broersma、Li、Woeginger和Zhang（2005）提出的先前定理。此外，我们提供了一个充分条件的颜色邻域的顶点不相交的彩虹圈存在…
2019-03-18 math.CO
Nearly tight bound for rainbow clique subdivisions in properly edge-colored graphs and applications
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了在正确边着色图中存在雨色K_t子图的近似界限，并应用于加性组合学、数论和编码理论。
2026-02-09 math.CO
Generalized rainbow Turán problems
Alon和Shikhelman首先系统地研究了以下广义Turán问题：对于固定图$H$和$F$以及一个整数$n$，在一个$n$-顶点$F$-free图中，$H$的最大拷贝数是多少？一个边有色图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色. $F$的彩虹图兰数定义为在没有$F$的彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的正确边着色图中的最大边数.彩虹图兰问题的研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。受上述问题的启发，我们研究了以下问题：在没有$F$彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的适当边着色图中，$F$的最大拷贝数是多少？我们建立了几个结果，包括当$F$是一个路径，循环或树。
2019-11-15 math.CO
Properly colored and rainbow copies of graphs with few cherries
设G是一个包含线性多个樱桃的n-顶点图（即，设c是完全图K_n的边的着色，使得在每个顶点上每种颜色只出现多次。在1979年，Shearer证明了这样的着色c必须包含G的正确着色副本。我们建立了这个猜想的一个强形式，证明了它甚至对樱桃数为O（n^（4/3））的图G也成立，而且樱桃数的这个界在一个常数因子下是最佳可能的。我们还证明了在K_n的每一个边染色中都可以找到这样的G的彩虹拷贝，其中所有的颜色出现有界的次数。我们的证明结合了一个框架，陆和Szekely使用不平衡的Lovasz局部引理在空间中的随机双射与一些额外的想法。
2016-07-14 math.CO
Note on vertex disjoint rainbow triangles in edge-colored graphs
本文通过构造反例否定了关于边着色图中 proper $mK_3$ 存在条件的猜想，并给出一般图中顶点不交彩虹 $K_k$ 子图及完全图中 proper $mK_3$ 的存在性结果。
2024-02-28 math.CO
Rainbow Greedy Matching Algorithms
本文研究在具有随机着色边的随机图中寻找大彩虹匹配的问题，并分析了两种基于无色版本改进的贪心算法在该问题上的性能。
2023-07-02 math.CO
Characterize graphs with rainbow connection number $m-2$ and $m-3$
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。Chartrand等人得到了$G$是树当且仅当$rc(G)=m$，并且很容易看出$G$不是树当且仅当$rc(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。因此，有一个有趣的问题：用$rc(G)=m-2$刻画图$G$。在本文中，我们解决这个问题。此外，我们还用$rc(G)=m-3$刻画了图$G$.
2013-12-11 math.CO
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
2022-11-28 math.CO
More on Rainbow Cliques in Edge-Colored Graphs
Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学数学研究所）；Instituto de Matemática Pura e Aplicada（纯数学与应用数学研究所）；Instituto de Computação da Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学计算机研究所）
本文研究边着色图中的彩虹团问题，证明了边数与颜色数之和满足一定阈值时大尺寸图中k阶彩虹团的数量阶，还刻画了k=4、5时不含k阶彩虹团的极图，完善了已有相关研究。
2023-08-14 math.CO
Rainbow Cliques in Edge-Colored Graphs
该研究在边着色图领域，将H. Li关于最小色度大于n/2保证彩虹三角形存在的结论，推广到了r≥4的团Kr情形，拓展了彩虹团存在性的相关结果。
2024-07-11 math.CO
Many edge-disjoint rainbow spanning trees in general graphs
边着色图中的彩虹生成树是其中每条边都是不同颜色的生成树。Carraher、Hartke和Horn证明，对于足够大的$n$和$C$，如果$G$是$K_n$的边着色副本，其中每个颜色类的大小最多为$n/2$，则$G$至少有$\lfloor n/(C\log n)\rfloor$边不相交的彩虹生成树。在这里，我们加强这一结果表明，如果$G$是任何边着色图的$n$顶点，其中每种颜色出现在大多数$δ\cdotλ_1/2$边，其中$n$和$C$的$δ\geq C\log n$足够大，$λ_1$是第二个最小的特征值的规范化拉普拉斯矩阵的$G$，那么$G$包含至少$\left\lfloor\frac{δ\cdotλ_1}{C\log n}\right\rfloor$边不相交的彩虹生成树。
2017-03-31 math.CO
Rainbow connection numbers of complementary graphs
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文根据图$G$的补图$\bar{G}$的一些约束条件，给出了一种研究图$G$的彩虹连通数的新方法.首先证明了对于连通图$G$，如果$\bar{G}$不属于以下两种情况：$(i)$ ~ $diam(\bar{G})=2,3$，$(ii)~\bar{G}$恰好包含两个连通分支且其中一个连通分支是平凡的，则有$rc(G)\leq 4$，其中$diam(G)$是$G$的直径.给出的例子表明，这个界限是最好的可能。接下来，我们推导出对于连通图$G$，如果$\bar{G}$是无三角形的，则$rc(G)\leq 6$。
2010-12-23 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs
University College London (UCL)（伦敦大学学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
通过放宽颜色数量、正常着色条件和图类型，证明了在边着色图中存在大彩虹匹配的充分条件，并构造反例反驳了Aharoni和Berger的猜想。
2026-05-27 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs with large minimum color degree
Nankai University（南开大学）
本文完全确定了最小色度至少为(n+1)/2的n阶边着色图中彩虹三角形的最小数量f(n)，解决了Li等人提出的公开问题。
2026-06-23 math.CO
Rainbow saturation and graph capacities
$t$着色的彩虹饱和度数$rsat_t(n,F)$是$n$顶点上的$t$边有色图的最小大小，该图不包含$F$的彩虹副本，但添加任何颜色中的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本.巴鲁斯、费拉拉、范登布什和温格强调，每个$s\ge 3$和$t\ge \binom{s}{2}$都有$rsat_t(n,K_s) = Θ(n\log n)$。在这个简短的说明中，我们证明了猜想在强意义上，渐近确定彩虹饱和数的三角形。我们的下界是概率的精神，上界是基于香农容量的某个家庭的集团。
2018-04-03 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs
随机图理论中最著名的结果之一是确定了Erdos-Renyi随机图G_{n,p}的Hamilton性阈值约为p ~（log n + log log n）/ n。已经做了大量的研究，以扩展到越来越具有挑战性的随机结构。特别地，Frieze最近的一个结果通过将3-一致超图连接到边-有色图来确定随机3-一致超图中松弛Hamilton圈的渐近阈值。在这项工作中，我们考虑边-有色图设置，并证明了一个结果，它达到了最好的可能的一阶常数。具体地说，当G_{n,p}的边缘是随机着色从一组（1 + o（1））n颜色，p =（1 + o（1））（log n）/ n，我们表明，几乎总是可以找到一个汉密尔顿循环，它具有进一步的属性，所有的边缘是明显的颜色（彩虹）。
2010-12-31 math.CO
Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
On Minimum Cost Rainbow Structures
本文研究了随机图中彩虹生成树和哈密顿回路的最小成本问题，分析了其在随机边着色下的预期性能。
2025-12-15 math.CO
Rainbow matchings of size $m$ in graphs with total color degree at least $2mn$
给定最小色度、正常着色或无三角形主图的彩虹匹配的存在性问题已被广泛研究。本文将这些问题推广到具有给定全着色度的边有色图。特别地，我们发现，如果一个图$G$有全色度$2mn$，并满足一些其他性质，则$G$包含一个匹配的大小$m$ ;这些其他性质包括$G$是三角形自由，$C_4$ -自由，适当着色，或足够大。
2019-07-07 math.CO
Rainbow Berge Hamiltonicity in edge-colored random $k$-uniform hypergraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
该研究将边染色随机图的彩虹哈密顿Berge圈结果推广到k≥3的随机k均匀超图，确定了对应的c和p阈值，且该阈值渐近紧。
2026-09-28 math.CO
Tight minimum colored degree condition for rainbow connectivity
本文证明了图的最小着色度满足 $δ^c(G) \geq n/2$ 这一紧致条件时，任意两顶点均可由彩虹路径连接，推广了2011年关于正常着色路径的结果。
2024-11-13 math.CO
Rainbow spanning trees in properly coloured complete graphs
本文研究了正常边着色完全图中的成对边不相交彩虹生成树，其中如果图的边具有不同的颜色，则该图是彩虹图。Brualdi和Hollingsworth证明了每一个用$n-1$颜色适当地边着色的$K_n$都有$n/2$边不相交的彩虹生成树。Kaneko、Kano和Suzuki后来建议，这应该适用于每一个边缘颜色合适的$K_n$。改进以前最好的已知的界限，我们表明，每一个正确的边着色$K_n$包含$Ω(n)$成对边不相交的彩虹生成树。Pokrovskiy和Sudakov最近独立地证明了每一个正确的边着色的$K_n$都包含$Ω(n)$同构的成对边不相交的彩虹生成树。
2017-04-24 math.CO
On strong rainbow connection number
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。对于$G$的任意两个顶点$u$和$v$，$G$中的彩虹$u-v$测地线是长度为$d(u,v)$的彩虹$u-v$路径，其中$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离。图$G$是强彩虹连通的，如果对$G$中的任意两个顶点$u$和$v$存在彩虹测地线$u-v$. $G$的强彩虹连接数，记为$src(G)$，是为了使$G$强彩虹连接所需的最小颜色数。本文首先研究了具有大强彩虹连通数的图。Chartrand等人得到了$G$是树的充要条件是$src(G)=m$，我们将证明$src(G)\neq m-1$，所以$G$不是树的充要条件是$src(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。此外，我们还用$src(G)=m-2$刻画了图$G$。然后根据图$G$中边不相交三角形的个数给出了$src(G)$的一个精确上界，并给出了等式成立的一个充分必要条件.
2010-10-29 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
On the rainbow planar Turán number of paths
一个边有色图称为包含彩虹- $F$，如果它包含$F$作为子图，并且$F$的每条边都是不同的颜色。不含彩虹- $F$的$n$ -顶点适当边有色图的最大边问题，称为彩虹图兰问题，是由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte提出的.我们研究这个问题的一个变化的额外限制，图是平面的，我们表示相应的极值数由$\ex_{\p}^*(n,F)$。特别地，我们确定$\ex_{\p}^*(n,P_5)$，其中$P_5$表示$5$ -顶点路径。
2023-01-25 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
The (strong) rainbow connection numbers of Cayley graphs of Abelian groups
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是存在$G$的$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的强彩虹联系数$src(G)$是存在$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的着色，使得$G$的每两个不同顶点$u$和$v$通过长度为$d(u,v)$的彩虹路径连接。本文给出了阿贝尔群的（强）彩虹连通Cayley图的上界和下界.此外，我们确定了一些特殊情况下的（强）彩虹联系数。
2010-12-03 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
Rainbow connections for planar graphs and line graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了计算$rc(G)$是NP-困难问题，甚至判定一个图是否有$rc(G)=2$也是NP-完全问题。已知判定给定边着色图是否彩虹连通是NP-完全的。我们将证明，即使边着色图是平面二部图，它仍然是NP-完全的。我们还给出了小直径外平面图的彩虹连通数的上界。一个点着色图是彩虹点连通的，如果任意两个点通过一条路相连，且该路的内部顶点具有不同的颜色。连通图$G$的彩虹顶点连接数，记为$rvc(G)$，是使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。已知判定给定的点着色图是否是彩虹点连通图是NP-完全的。我们将证明，即使顶点着色图是线图，它仍然是NP-完全的。
2011-11-14 cs.CC math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Density of rainbow triangles and properly colored $K_4$'s
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
本文利用无计算机的旗代数方法，给出了具有红、绿、蓝边数的图中正确3边着色 $K_4$ 数量的尖锐上界，并推广到任意完全图 $K_k$ 的固定彩虹着色，同时提供了经典计数和熵方法的证明。
2026-06-23 math.CO
Rainbow $k$-connectivity of random bipartite graphs
边着色图$G$中的路径称为彩虹路径，如果路径的两条边都不是相同着色的。对$G$的边着色使得每对顶点至少由$k$内部顶点不相交的彩虹路径连接所需的最小颜色数被称为图$G$的彩虹$k$ -连通性，由$rc_k(G)$表示。对于随机图$G(n,p)$，He和Liang得到了性质$rc_k(G(n,p))\leq d$的一个尖锐的门限函数.本文将这一结果推广到随机二部图$G(m,n,p)$的情形。
2012-12-26 math.CO
