Packing spanning graphs from separable families
设$\mathcal G$是可分图族。则对所有正常数$ε$和$Δ$，对每个充分大的整数$n$，每个序为$n$且最大度至多为$Δ$的图的序列$G_1,\dotsc,G_t\in\mathcal G$，使得$e(G_1)+\dotsb+e(G_t) \leq (1-ε)\binom{n}{2}$压缩成$K_n$ .当$\mathcal G$是树的类时，这改进了Böttcher、Hladklett、Piguet和Taraz的结果，而当是一般可分族时，这改进了Messuti、Rödl和Schacht的结果。这个结果也暗示了Oberwolfach问题和Gyárfás（1976）的树填充猜想的近似版本，对于所有树的最大度至多为$Δ$的情况。证明使用随机图的局部弹性和一个特殊的多阶段包装过程。
2016-05-31 math.CO
Packing of Rigid Spanning Subgraphs and Spanning Trees
证明了每个（6 k + 2l，2k）-连通简单图都含有k个刚性l个连通边不交生成子图.这蕴涵了Jackson和Jordán [4]的一个定理和Jordán [6]关于刚性生成子图的填充的一个定理。这两个结果都是Lovász和Yemini [9]的经典结果的推广，即每个6-连通图都是刚性的，我们的方法提供了一个透明的证明。我们的结果还给出了两个改进的图的连通度上界，它们具有有趣的性质：（1）每个8-连通图都有一个生成树和一个2-连通生成子图;（2）每个14-连通图都有一个2-连通定向图.
2012-01-18 cs.DM math.CO
A short proof of the tree-packing theorem
本文给出了Tutte和Nash-Williams关于具有k个边不相交生成树的图的刻划的一个简单的初等证明。
2012-03-06 math.CO
Edge Connectivity, Packing Spanning Trees, and Eigenvalues of Graphs
设$\mathcal{G}$是简单图（或多重图）$G$的集合，使得对于每个$G \in \mathcal{G}$，存在至少两个非空的不相交真子集$V_{1},V_{2}\subseteq V(G)$，满足$V(G)\setminus(V_{1} \cup V_{2})\neq ϕ$和$1\leq i \leq 2$的边连通度$κ'(G)=e(V_{i},V(G)\backslash V_{i})$.多重图是一个可能有多条边但没有环的图。设$τ(G)$是图$G$的边不相交生成树的最大数目。受Seymour关于图$G$的特征值与$τ(G)$的界之间关系的问题的启发，我们主要给出了简单图和多重图$G\in\mathcal{G}$的第三大（无符号Laplacian）特征值与$κ'(G)$和$τ(G)$的界之间的关系.
2018-11-16 math.CO
Spanning tree packing, edge-connectivity and eigenvalues of graphs with given girth
令$τ(G)$和$κ'(G)$分别表示图$G$的边连通度和生成树填充数。Liu等人在2014年证明了Cioaba和Wong提出的一个猜想，证明了对于任何具有最小度$δ\ge 2k \ge 4$的简单图$G$，如果$G$的第二大邻接特征值满足$λ_2(G) < δ- \frac{2k-1}{δ+1}$，则$τ(G) \ge k$。对$G$的Laplacian特征值和无符号Laplacian特征值也得到了类似的结果。本文找到了一个函数$f(δ, k, g)$，使得对于每一个具有最小度$δ\ge 2k \ge 4$和围长$g \ge 3$的图$G$，如果它的第二大邻接特征值满足$λ_2(G) < f(δ, k, g)$，则有$τ(G) \ge k$ .作为$f(δ, k, 3) = δ- \frac{2k-1}{δ+1}$，推广了Liu等人的上述结果，得到了描述$τ(G)$和$κ'(G)$的图的围长、Laplacian特征值和无符号Laplacian特征值的相关结果.
2018-08-18 math.CO
Packing spanning arborescences with extra large one
本文研究了图中生成树的打包问题，证明了在特定条件下图中存在k条边不相交的生成树以及一个额外的森林，并探讨了其有向版本的开放问题。
2025-11-24 math.CO
Some NP-complete edge packing and partitioning problems in planar graphs
图包装和分区问题已经在许多情况下进行了研究，包括从算法复杂性的角度。考虑确定图是否包含不共享边的生成树和圈的包装问题。Bernáth和Király证明了这个判定问题是NP-完全的，并问当限制到可平面图时是否也有同样的结果。类似地，他们证明了具有生成树和两个不同顶点之间的路径的装箱问题是NP完全的。他们还建立了划分问题的NP完全性，即确定图的边集是否可以划分为生成树和（不一定是生成）树。我们证明了这三个问题仍然是NP-完全的，即使限制到可平面图。
2014-09-08 cs.CC math.CO
On the complexity of packing rainbow spanning trees
拟阵优化中的一个重要问题是求两个拟阵的不相交公共基。这个问题的重要性很好地说明了一长串可以作为特殊情况制定的假设。Bérczi和Schwarcz表明，这个问题一般来说很难，因此确定易处理和难处理实例之间的边界是很有意义的。在本文中，我们研究的特殊情况下，其中一个拟阵是划分拟阵，而另一个是图拟阵。这种设置相当于包装彩虹生成树的问题，一个扩展的问题，包装树形结构的有向图这是回答埃德蒙兹的开创性成果不相交树形结构。我们补充他的结果表明，它是NP-完全决定是否边有色图包含两个不相交的彩虹生成树。我们的复杂性的结果，即使是非常特殊的情况下，当图是两个生成树的工会，每个颜色类包含两个边缘。作为推论，我们对定向$k$ -划分连通有向图的分解问题给出了否定的回答。
2022-06-23 cs.DM math.CO
Characterizations of minimal graphs with equal edge connectivity and spanning tree packing number
由于图被认为是许多网络设计问题的自然模型，图$G$的边连通度$κ'(G)$和边不相交生成树的最大数量$τ(G)$已经被用作对建模为图$G$的通信网络中的可靠性和强度的度量（参见\cite{Cunn85, Matula87}等）。Mader \cite{Mader71}和Matula \cite{Matula72}引入了最大子图边连通度$\overline{κ'}(G)=\max \{κ'(H): H \mbox{ is a subgraph of } G \}$。基于它们在网络设计中的应用和已建立的不等式\[ \overline{κ'}(G)\ge κ'(G) \ge τ(G), \]，本文给出了以下结果：（i）对于每个整数$k>0$，给出了具有$\overline{κ'}(G) \le k$性质的图$G$的一个特征，但对于任何不在$G$中的边$e$，$\overline{κ'}(G+e)\ge k+1$ . (ii)对任意整数$n > 0$，给出了具有$|V(G)| = n$的图$G$使得具有$|E(G)|$的$κ'(G) = τ(G)$最小化的一个刻划.
2014-10-20 math.CO
Spanning tree packing and 2-essential edge-connectivity
如果$G-X$有两个组件，每个组件至少有$r$边，则$G$的边（顶点）切割$X$是$r$-必需的。图$G$是$r$ -本质上是$k$ -边连通的（分别是$k$ -连接），如果它没有$r$ -基本边（分别顶点）切割的大小小于$k$。如果是$r=1$，我们就称之为基本的。最近，Lai和Li证明了每个$m$ -边连通本质$h$ -边连通图都包含$k$边不交生成树，其中$k,m,h$是正整数，使得$k+1\le m\le 2k-1$和$h\ge \frac{m^2}{m-k}-2$ .本文证明了每个$m$ -边连通图和$2$ -本质$h$ -边连通图，如果不是$K_5$或重数小于$k$的胖三角形，都有$k$边不交生成树，其中$k+1\le m\le 2k-1$和$$h\ge f(m,k)=\begin{cases} 2m+k-4+\frac{k(2k-1)}{2m-2k-1}, & m< k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}, \\ m+3k-4+\frac{k^2}{m-k}, & m\ge k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}. \end{cases}$$推广了Zhan的结果，我们还证明了每个3-边连通本质5-边连通和$2$ -本质8-边连通的图都有两棵边不相交的生成树。作为应用，给出了线图Hamilton连通的一个新的充分条件。在2012年，Kaiser和…
2022-08-27 math.CO
Lower bounds for the spanning tree numbers of two graph products
对于任何阶为$n$的图$G$，生成树堆积数\emph{$STP(G)$}是$G$中包含的边不相交生成树的最大数目。本文给出了笛卡儿积图和字典积图的生成树数的几个精确的下界。
2013-07-09 math.CO
Packing spanning partition-connected subgraphs with small degrees
设$G$是具有$X\subseteq V(G)$的图，$l$是$V(G)$子集上的交超模次可加整值函数.图$G$被称为$l$ -分区连通的，如果对于$V(G)$的每个分区$P$，$e_G(P)\ge \sum_{A\in P} l(A)-l(V(G))$，其中$e_G(P)$表示连接$P$的不同部分的$G$的边的数量。令$λ\in [0,1]$为实数，令$η$为$X$上的实函数。本文证明了：若$G$是$l$ -划分连通的，且对所有$S\subseteq X$，$$Θ_l(G \setminus S) \le \sum_{v\in S} (η(v) -2l(v))+l(V(G))+l(S)-λ(e_G(S))+l(S)),$$，$G$有一个$l$ -划分连通的生成子图$H$，使得对每个顶点$v\in X$，$d_H(v)\le \lceil η(v) -λl(v) \rceil $，其中$e_G(S)$表示$G$的两端都在$S$中的边数，$Θ_l(G \setminus S)$表示在$V(G)\setminus S$的所有划分$P$上所有$\sum_{A\in P} l(A)-e_{G\setminus S}(P)$的最大数.最后，我们证明了如果$H$是$(l_1+\cdots +l_m)$ -划分连通图，那么它可以被分解成$m$边不相交的生成子图$H_1,\ldots, H_m$，…
2018-05-31 math.CO
Basic Packing of Arborescences
我们提供了直接对应的加藤和谷川根树分解与拟阵约束的结果略有扩展。我们的结果特征有向图有一个包装的树与拟阵约束。它是Edmonds关于生成树形图的填充的结果的适当推广，并且使用Frank的一般定向结果，蕴含了Katoh和Tanigawa的上述结果。我们也给出了一个完整的描述的凸包的关联向量的基本包装的树状，并证明了最小成本版本的问题可以解决在多项式时间。
2012-07-09 math.CO
Sharp connectivity thresholds for mixed rigidity packings and improved bounds for highly connected orientations of graphs
Shandong University（山东大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文证明了一个统一定理，给出混合刚性生成子图填充的尖锐连通性阈值，并改进了高度连通定向的二次上界，解决了两个猜想并降低了首项系数。
2026-09-22 math.CO
The fullerenes with a perfect star packing
图$G$的一个生成子图称为$G$中的完美星填充，如果生成子图的每个分支都同构于星图$K_{1,3}$ .图$G$的一个有效控制集是$G$的一个顶点子集$D$，使得$G$的每个不在$D$中的顶点与$D$中的一个顶点相邻，并且$G$的任意两个顶点在$G$中不相邻.富勒烯图是一个只有五角和六角面的连通平面三次图，是碳富勒烯的分子图。显然，在一个富勒烯图$G$中，$n$顶点上的完美星填充将存在当且仅当$G$具有一个有效的基数控制集$\frac{n}{4}$。寻找有效支配集的问题在算法上是困难的\cite{Alg_hard}。本文给出了富勒烯图具有完美星填充的一个刻划。并主要说明了具有理想星型堆积的富勒烯$G$必须具有可被$8$整除的有序性。这回答了Doslić et.并且证明了具有有效控制集的富勒烯图具有$8n$顶点.另外，我们还找到了定理$14$在\cite{Doslic}中的必要性的反例，并列出了排除$P0$型完美星堆积存在的一些禁止构型.
2021-03-21 math.CO
Packing branchings under cardinality constraints on their root sets
Edmonds关于树形图的基本定理刻画了有向图中具有指定根集的$k$两两弧不交生成树形图的存在性。本文研究了根集基数约束下有向图中分支的树形扩充填充问题。设$D=(V+x,A)$是一个有向图，$\mathcal{P}=$ $\{I_{1}, \ldots, I_{l} \}$是$[k]$的一个划分，$c_{1}, \ldots, c_{l}, c'_{1}, \ldots, c'_{l}$是非负整数，使得$α\in [l]$的$c_α \leq c'_α$，$F_{1}, \ldots, F_{k}$是$k$的弧不交$x$ -树状图，使得$α\in [l]$的$\sum_{i \in I_α}d_{F_{i}}^{+}(x)$ $\leq c'_α$.给出了$F_{1}, \ldots, F_{k}$何时可以完备为弧不相交的生成$x$ -树形$F^{*}_{1}, \ldots, F^{*}_{k}$的一个刻画，使得对于任何$α\in [l]$，$ c_α \leq \sum_{i \in I_α}d^{+}_{F^{*}_{i}}(x)$ $ \leq c'_α$ .
2020-02-09 math.CO
On Reachability Mixed Arborescence Packing
作为Edmonds树形填充定理的推广，Kamiyama-Katoh-Takizawa（2009）给出了包含从每个根可达的顶点集的弧不相交树形的有向图的良好刻画。Fortier-Király-Léonard-Szigeti--Talon（2018）问，通过允许有向弧和无向边，是否可以将结果扩展到混合图。在本文中，我们解决了这个问题，通过开发一个多项式时间的算法，找到一个收集的边和弧不相交的树形图，从每个根在一个给定的混合图可达的顶点集。
2018-08-22 cs.DM math.CO
FPT algorithms for packing $k$-safe spanning rooted sub(di)graphs
我们研究了Bang-Jensen和Yeo [Theor. Comput. Sci. [2015 - 05 - 15][2015 - 05][2016 - 05][201 Appl. Math. 2016]关于在图和有向图中找到不相交的“平衡”生成有根子结构，这推广了经典的填充问题。即，给定一个正整数$k$，一个有向图$D=(V,A)$，和一个根$r \in V$，我们考虑寻找两个弧不相交的$k$ -安全生成$r$ -树形图的问题和寻找两个弧不相交的$(r,k)$ -流分支的问题.我们表明，这两个问题是FPT参数$k$，改进现有的XP算法。后者的这些结果回答了一个问题的Bang-Jensen，Havet，和杨[离散。Appl.Math.2016]。此外，给定一个整数$k$，一个图$G=(V,E)$，和$r \in V$，我们考虑的问题，找到两个弧不相交的$(r,k)$ -安全生成树。我们表明，这个问题也是FPT参数$k$，再次改善以前的XP算法。我们的主要技术贡献是证明了这样的跨越子结构的存在是等价的子结构的存在与大小和最大（出）度都有界的（线性或二次）功能的$k$，这可能是独立的利益。
2021-05-04 cs.DM cs.DS math.CO
The Modular Nash--Williams Theorem
本文通过生成树打包研究 Tutte 流猜想，提出指定方向定理并证明图论加法基猜想，同时给出圆周流界及反例说明打包数大于 9/2 不足以保证模五方向。
2026-11-05 math.CO
Arboricity and spanning-tree packing in random graphs with an application to load balancing
研究了Erdos-Renyi随机图G（n，p）的荫度A和边不交生成树的最大数目T.对于[0，1]中的所有p（n），我们证明了，以很高的概率，T恰好是delta和floor（m/（n-1））之间的最小值，其中delta是图的最小度，m表示边的个数.此外，我们明确地确定了p的尖锐门限值，使得：在该门限值以上，T等于floor（m/（n-1）），A等于ceiling（m/（n-1））;在该门限值以下，T等于delta，并且我们给出了荫度A在该范围内的两值集中结果。最后，我们包括一个更强的版本，这些结果的背景下，随机图的过程中，边依次添加一个接一个。我们的结果的直接应用给出了一个尖锐的阈值的最大负载是在两个选择的负载平衡问题，其中k趋于无穷大。
2013-07-18 math.CO math.PR
A Cantor-Bernstein-type theorem for spanning trees in infinite graphs
本文证明在无限基数情形下，若图同时具有$\lambda$棵生成树的打包和覆盖，则必可分解为$\lambda$棵生成树；对有限情形仅证明较弱结论。
2019-07-22 math.CO
Star and Semi-Star Transformations in Fullerene Graphs
图G中的完美星填充是指G的一个生成子图，它的每个分支都同构于星图$K_{1,3}$ .如果富勒烯图G的所有星的中心都位于G的六边形上，则称G的完美星填充是P0型的。许多富勒烯图是通过应用一些变换从较小的富勒烯图产生的。本文介绍了具有P0型完美星填充的富勒烯图的两种变换，并研究了由这种变换得到的图的一些性质。
2022-11-18 math.CO
Packing Steiner Trees
设$T$是图$G$中顶点的可区分子集。$T$ - \emph{Steiner tree}是$G$的一个子图，它是一棵树并且跨越$T$。Kriesell证明$G$包含$k$成对边不相交的$T$-Steiner树，只要$G$的每个分隔$T$的边割都有大小$\ge 2k$。当$T=V(G)$一棵$T$ -Steiner树是一棵生成树时，该猜想是Nash-Williams和Tutte的一个经典定理的推论. Lau证明了当$2k$被$24k$取代时Kriesell猜想成立，最近West和Wu将这个值降低到了$6.5k$。我们的主要结果是对$5k+4$的进一步改进。
2015-08-07 math.CO
On the tractability of some natural packing, covering and partitioning problems
在本文中，我们固定7种类型的无向图：路径，路径与规定的端点，电路，森林，生成树，（不一定是生成）树和削减。给定一个无向图$G=(V,E)$和两个“对象类型”$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$，我们考虑以下问题。\textbf{Packing problem:}我们能否在$G$的边集$E$中找到一个类型为$\mathrm{A}$的对象和一个类型为$\mathrm{B}$的对象，使得它们是边不相交的？\textbf{Partitioning problem:}我们可以将$E$划分为$\mathrm{A}$类型的对象和$\mathrm{B}$类型的对象吗？\textbf{Covering problem:}我们可以用一个类型为$\mathrm{A}$的对象和一个类型为$\mathrm{B}$的对象来覆盖$E$吗？该框架包括44个自然图论问题。这些问题中的一些在以前是众所周知的，例如用两个生成树覆盖图的边集，或者找到边不相交的$s$-$t$路径$P$和$s'$ - $t'$路径$P'$。然而，许多其他的不是，例如，我们可以找到边不相交的$s$-$t$路径$P\subseteq E $和生成树$T\subseteq E$吗？大多数这些以前未知的问题被证明是NP完全的，其中许多甚至在平面图中。本文确定了这44个问题的地位。对于NP完全问题，我们还研究了平面问题，对于多项式问题，…
2014-07-18 cs.CC math.CO
Augmenting a hypergraph to have a matroid-based $(f,g)$-bounded $(α,β)$-limited packing of rooted hypertrees
本文通过改编证明扩展图中根树填充理论，刻画满足顶点根树数量及总根数量上下界的基于拟阵的填充存在性，解决超图版本及扩充问题，所提方法具潜在应用价值。
2024-12-04 cs.DM math.CO
Counting and packing Hamilton cycles in dense graphs and oriented graphs
基于永久性估计，给出了稠密图和定向图中Hamilton圈的计数和填充的一般方法。我们利用这种方法来证明几个极值结果。特别地，我们证明了每一个在$n$顶点上的几乎$cn$ -正则有向图都含有$(cn/e)^n(1+o(1))^n$有向Hamilton圈.这是Cuckler的一个结果的延伸，Cuckler解决了一个关于Hamilton圈在定期锦标赛中的数量的老猜想。我们还证明了在$n$个顶点上的最小度至少为$(1/2+\varepsilon)n$的图$G$至少包含$(1-\varepsilon)\textrm{reg}_{even}(G)/2$边不交Hamilton圈，其中$\reg(G)$是$G$的生成正则子图的最大\emph{even}度.这建立了一个近似版本的猜想库恩，Lapinskas和Osthus。
2015-11-12 math.CO
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
On the tree packing conjecture
Gyárfás树包装猜想指出，任何一组$n-1$树$T_{1},T_{2},..., T_{n-1}$，使得$T_i$具有$n-i+1$顶点包装成$K_n$。我们表明，$t=1/10n^{1/4}$树$T_1,T_2,..., T_t$，使$T_i$有$n-i+1$顶点包装成$K_{n+1}$（$n$足够大）。我们还证明了任何一组$t=1/10n^{1/4}$树$T_1,T_2,..., T_t$，使没有树是一个明星和$T_i$有$n-i+1$顶点包装成$K_{n}$（$n$足够大）。最后，证明了$t=1/4n^{1/3}$树$T_1,T_2,..., T_t$使得$T_i$有$n-i+1$顶点填充到$K_n$中，只要每棵树的最大度至少为$2n^{2/3}$（对于足够大的$n$）.本文使用的主要工具之一是著名的生成树嵌入定理的Komlós，Sárközy和Szemerédi。
2012-12-14 math.CO
Matchings and Near-Optimal 2-Factor Packings in Percolated Vertex-Transitive Graphs
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学系）
研究了在渗流顶点转置图中，通过概率p保留边后，保证存在完美匹配和2-因子的条件及概率。
2026-07-28 math.CO
Optimal packings of Hamilton cycles in graphs of high minimum degree
研究了在n阶充分大图G中，最小度d =（1/2+a）n的边不交Hamilton圈的个数.对于任意常数a > 0，我们给出了如下意义下的最优解：reg_even（n，d）表示n阶图中最小度d的最大偶正则生成子图的度.那么我们找到的边不相交的Hamilton圈的个数等于reg_even（n，d）/2。reg_even（n，d）的值对于n和d的无穷多个值是已知的。我们还将结果推广到最小度d >= n/2的图G，除非G接近Dirac定理的极值结构.我们的证明依赖于最近和非常普遍的结果Kühn和Osthus的Hamilton分解的鲁棒扩展正则图。
2012-11-14 math.CO
Packing Trees into 1-planar Graphs
我们引入并研究了1-平面填充问题：给定一个$k$图，其顶点为$G_1, \dots, G_k$，找到一个1-平面图，其中包含给定的图作为边不相交的生成子图。我们主要关注的情况下，每个$G_i$是一棵树和$k=3$。我们证明了由三个毛毛虫或两个毛毛虫和一个路径组成的三元组可能不允许1-平面填充，而两个路径和一个特殊类型的毛毛虫总是有一个。然后，我们研究了1-平面包装与少数交叉，并证明了三个路径（分别。循环）允许具有最多七个（分别地，十四）交叉口。最后，我们证明了一个四元组由三个路径和一个完美匹配的$n \geq 12$顶点承认1-平面包装，而这样的包装不存在，如果$n \leq 10$。
2019-11-05 cs.CG math.CO
Packing $(2^{k+1}-1)$-order perfect binary trees into (\emph{k}+1)-connected graph
设$G=(V,E)$和$H$是两个图。Packing问题是在$G$中找出与$H$同构的最大数目的独立子图。令$U\subset{V}$。如果图$G-U$没有与$H$同构的子图，则$U$是$G$的覆盖。复盖问题是寻找最小集合$U$。在文献中没有充分讨论的顶点不相交树包装，但它在数据加密和通信网络中的应用，如多播路由协议的设计。本文给出了一种$(k+1)$ -连通图$G'$，它能独立地把与$(2^{k+1}-1)$ -阶完美二叉树$T_k$同构的子图装入其中.证明了在$G'$中，与$T_k$同构的顶点不交子图的最大数目等于覆盖与$T_k$同构的所有子图的顶点的最小数目.然后，我们提出$T_k$不具有\emph{Erdős-Pósa}性质。证明了任意图上的$T_k$装箱问题是NP难的，并给出了分布近似算法。
2013-09-16 math.CO
Spectral radius and edge-disjoint spanning trees
图$G$的生成树堆积数，记为$τ(G)$，是$G$中包含的边不相交的生成树的最大数目。$τ(G)$的研究是图论中的经典问题之一。2012年，Cioabstan和Wong开始从光谱角度研究$τ(G)$，从那时起，在过去的十年中，$τ(G)$已经使用邻接矩阵的第二大特征值进行了很好的研究。本文分别从边数和谱半径两个方面进一步推广了这一结果，并证明了保证$τ(G)\geq k$的紧的充分条件，同时刻画了极图.此外，我们还证实了Ning，Lu和Wang关于在给定阶数的所有图中具有最大谱半径且最小度和边连通度固定的图的一个猜想.我们的结果在刚性和非零流动中有重要的应用。最后，我们总结了一些开放的问题。
2022-07-11 math.CO
Packing 3-Vertex Paths in Claw-Free Graphs
图G的一个L-因子是G的一个生成子图，它的每个分支都是一条3-顶点路，设v（G）表示G的顶点数。一个图称为无爪图，如果它没有一个子图同构于具有4个顶点和3条边有一个公共顶点的图。我们的研究结果包括以下内容。设G$是一个3-连通无爪图，x是G中的一个点，e = xy是G中的一条边，P是G中的一条3-点路。则（c1）如果v（G）= 0 mod 3，则G有一个L-因子，（避免）e，（c2）如果v（G）= 1 mod 3，则G-x具有L-因子，（c3）如果v（G）= 2 mod 3，则G-x-y具有L-因子，（c4）如果v（G）= 0 mod 3并且G是立方的或4-连通的，则G-P具有L-因子，（c5）若G是三次图，且E是G中的一个三边集，则G-E有L -因子当且仅当E在G中导出的子图不是爪形图也不是三角形图.关键词：无爪图，三次图，L-填充，L-因子。
2007-11-25 math.CO
Embedding large subgraphs into dense graphs
什么条件保证图G包含某个给定的生成子图H？最著名的例子，结果这类可能是狄拉克定理的汉密尔顿周期和Tutte定理的完美匹配。完美匹配是由完美F-填充推广的，这里不是用不相交的边覆盖G的所有顶点，而是用（小）图F的不相交副本覆盖G。不太可能存在所有包含完美F-填充的图G的特征，因此在狄拉克定理的情况下，研究保证完美F-填充的G的最小度的条件是有意义的。Szemeredi的正则引理和Komlos、Sarkozy和Szemeredi的爆破引理已被证明是攻击此类问题的有力工具，最近，该领域的一些长期存在的问题和问题已被解决。在这次调查中，我们给出了一个大纲的最新进展（我们的主要重点是F-包装，哈密尔顿性问题和树嵌入），并描述了一些涉及的方法。
2009-01-22 math.CO
Packing 3-vertex Paths In Cubic 3-connected Graphs
图G的一个子图（一个生成子图）的所有分支都是3-顶点路，称为图G的一个L-填充（或称一个L-因子）.我们讨论下面的老问题（A）。Kelmans，1984）。下面的说法是真的吗？(C)若G是3-连通图，则G有一个L-填充，使G最多避开两个顶点.特别地，我们证明了主张（C）等价于某些似乎更强的主张（见下面的定理3.1）。例如，如果G是一个3-连通图，且G的顶点数可被3整除，则下列权利要求等价：G有一个L-因子，对G的每一条边e都有一个G的L-因子避开（包含）e，G - {e，f}对G的每两条边e和f都有一个L-因子，G-P对G的每一条3-顶点路P都有一个L-因子.由此可见，如果（C）为真，则Reed的控制图猜想对三次3-连通图为真.我们还证明了定理3.1中的某些主张是最佳可能的。本文给出了一个构造，它提供了无穷多个具有两条不相交的3-顶点路P和P'的6-连通图G，使得G的顶点数可被3整除且G-P- P'没有L-因子。关键词：三次3-连通图、3-顶点路径填充、3-顶点路径因子、支配。
2011-07-25 math.CO
On Komlós' tiling theorem in random graphs
Conlon，Gowers，Samotij和Schacht证明了对于给定的图$H$和常数$γ> 0$，存在$C > 0$使得如果$p \ge Cn^{-1/m_2(H)}$，则渐近几乎必然随机图$\mathcal{G}(n,p)$的每个最小度至少为$δ(G) \ge (1 - 1/χ_{\mathrm{cr}}(H) + γ)np$的生成子图$G$包含一个覆盖所有但至多$γn$顶点的$H$ -packing.这里，$χ_{\mathrm{cr}}(H)$表示临界色阈值，这是Komlós引入的参数。我们证明了这个定理可以自举得到一个$H$ -包装覆盖所有，但在大多数$γ(C/p)^{m_2(H)}$顶点，这是严格的小时，$p > C n^{-1/m_2(H)}$。在$H = K_3$的情况下，这回答了Balogh，Lee和Samotij的问题。此外，我们给出了一个上界的$H$包装的$p$的某些范围内的大小。
2016-11-29 math.CO
Embedding spanning bipartite graphs of small bandwidth
Boettcher，Schacht和Taraz给出了n阶图G的最小度的一个条件，使得G包含每个有界度且带宽为o（n）的n阶r-色图H，从而证明了Bollobas和Komlos的一个猜想.我们加强了这个结果的情况下，当H是二分的。实际上，我们给出了一个关于n阶图G的度序列的本质上最好的可能条件，使得G包含每一个有界度和带宽为o（n）的n阶二部图H.这也意味着矿石型结果。事实上，我们证明了一个更强的结果，其中G的条件放宽到某种鲁棒扩展性质。我们的结果也证实了Balogh，Kostochka和Treglown关于图的度序列的猜想的二部情况下，迫使一个完美的H-包装。
2012-09-05 math.CO
Constructing edge-disjoint spanning trees in augmented cubes
令T1，T2，. Tk是图G中的生成树。如果对G的任意一对顶点u和v，u和v之间的路在每个Ti（0 < i < k+1）中不包含公共边，则T1，T2，. Tk称为G中的边不相交生成树。重边不相交生成树的设计在可靠通信协议中有应用。n维增广立方体AQn是超立方体的一种变体，它具有一些优于超立方体的性质。对于AQn（n > 2），给出了n-1个边不交生成树的构造，其结果是关于边不交生成树个数的最优结果。
2017-06-16 math.CO
Spectral radius conditions for edge-disjoint spanning trees in $(k+c)$-edge-connected graphs
School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）；Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学西安-布达佩斯组合学联合研究中心）
研究(k+c)-边连通图中存在k条边不相交生成树的谱半径条件，给出紧条件及极端图构造，针对m=k+c和m=2k-1分别提出结果。
2026-05-13 math.CO
Packing 3-vertex paths in claw-free graphs and related topics
图G的一个L-因子是G的一个生成子图，它的每个分支都是一条3-顶点路，设v（G）是G的顶点数，d（G）是G的控制数。爪是一个有四个顶点和三条边关联到同一个顶点的图。一个图是无爪的，如果它没有与爪同构的诱导子图。我们的研究结果包括以下内容。设G是一个3-连通无爪图，x是G中的一个顶点，e = xy是G中的一条边，P是G中的一条3-顶点路.则（a1）如果v（G）= 0 mod 3，则G有一个L-因子，（避免）e，（a2）如果v（G）= 1 mod 3，则G-x具有L-因子，（a3）如果v（G）= 2 mod 3，则G - {x，y}具有L-因子，（a4）如果v（G）= 0 mod 3并且G是立方或4-连通的，则G-P具有L-因子，（a5）若G是三次图，且v（G）> 5，E是G中的三条边的集合，则G - E有L-因子当且仅当G中由E导出的子图不是爪形也不是三角形，（a6）若v（G）= 1 mod 3，则G - {v，e}对G中的每个顶点v和每条边e都有L-因子，（a7）若v（G）= 1 mod 3，则G中存在4-顶点路N和爪Y，使得G-N和G-Y具有L-因子，且（a8）d（G）< v（G）/3 + 1.另外，若G不是圈且v（G）= 1 mod 3，则d（G）< v（G）/3.本文研究了图的填充问题与线图的填充问题之间的关系，得到了关于不同类型填充的一些结果。我们还讨论了L-填充和控制问题…
2011-07-25 cs.DM math.CO
Packing list-colourings
本文发起了对列表着色自然强化版本 list-packing 的研究，利用组合与概率方法为保证其存在的最小 k 设定了基于顶点数、退化度、最大度或列表色数的基本上界，并深入探讨了二部图情形及问题推广。
2023-03-03 cs.DM math.CO
