We show for each positive integer $a$ that, if $\mathcal{M}$ is a minor-closed class of matroids not containing all rank-$(a+1)$ uniform matroids, then there exists an integer $c$ such that either every rank-$r$ matroid in $\mathcal{M}$ can be covered by at most $r^c$ rank-$a$ sets, or $\mathcal{M}$ contains the GF$(q)$-representable matroids for some prime power $q$ and every rank-$r$ matroid in $\mathcal{M}$ can be covered by at most $cq^r$ rank-$a$ sets. In the latter case, this determines the maximum density of matroids in $\mathcal{M}$ up to a constant factor.
Tuza（A conceptual，in Proceedings of the Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai，1981）证明了对于所有图$G$，有$τ(G) \le 2ν(G)$，其中$τ(G)$是边集的最小尺寸，其去除使得$G$无三角形，而$ν(G)$是成对边不相交三角形的集合的最大尺寸。在这里，我们概括Tuza的猜想简单的二进制拟阵不包含法诺平面作为限制。我们证明了几何版本的猜想持有上图拟阵。
Singular Hodge theory for combinatorial geometries
University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Princeton University（普林斯顿大学）；Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；University of Oregon（俄勒冈大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
De Loera等人在2009年证明，当秩固定时，拟阵多面体的Ehrhart多项式可以在多项式时间内计算，当元素的数量变化时。证明这一点的一个关键是，当秩固定时，切锥的任何三角剖分中的单纯锥的数目在元素的数目上是多项式有界的。作者推测是否可以在多项式时间内计算Ehrhart多项式的基数，其中元素的数量和秩允许变化。本文证明了对于秩为$r$的一致拟阵，在$n$元素上，切锥的任意三角剖分中的单纯锥个数为$n-2 \choose r-1$ .因此，如果允许秩变化，则单纯锥的数量在$n$中呈指数增长。因此，当秩随着元素的数量而变化时，Brion-Lawrence类型的方法（例如Barvinok算法）不太可能有效地计算Ehrhart多项式。为了证明这一结果，我们给出了一个三角剖分，其中最大单形与完全二部图$K_{r,n-r}$的生成线是双射的。
