Small Matrices with Small Inverses: Unimodular Zerofree Cases
研究单模矩阵及其逆矩阵均无零元素的罕见情况，探讨小矩阵与小逆矩阵的平衡特性及分类。
2026-06-15 cs.DM math.CO math.NT
Rank of matrices with entries from a multiplicative group
我们建立了矩阵的秩的下界，其中除了对角元素之外的所有元素都位于小秩的乘法群中。应用这些界限，我们证明了$\mathbb{R}^d$中有限点集的距离集生成高秩的乘法群，而小秩的乘法群不能包含大的和集.
2021-09-01 math.CO math.NT
Small Matrices with Large Inverses: Unimodular $4 \times 4$ Cases
研究n×n幺模矩阵离奇异性的距离，固定n = 4，通过评估(2k + 1)元及(k + 1)元情形取得显著进展，为研究幺模矩阵性质提供新视角。
2026-08-18 cs.DM math.CO math.NT
On Some Quaternionic Hadamard Matrices of Small Order
我们引入了元素为四元数的阿达玛矩阵。然后，我们继续提供分类的四元数阿达玛矩阵的循环核心的订单2至5。我们还介绍了四元Hadamard矩阵的Butson型和方法来创建四元Hadamard矩阵从实和复Hadamard矩阵。例子显示，展示如何阿达玛矩阵的四元数比阿达玛矩阵的复数更丰富。
2022-03-07 math.CO math.RA
On unit weighing matrices with small weight
本文研究了n阶单位权矩阵的结构，权为2，3，4。本文证明了不等单位权矩阵UW（n，4）的个数依赖于n分解为某些特定正整数的非负倍数之和的个数。我们还展示了两个有趣的零星案例，以显示权重大于4的复杂性。
2012-12-10 math.CO
Hadamard matrices modulo p and small modular Hadamard matrices
我们利用模对称设计来研究模某些素数的Hadamard矩阵的存在性。我们解决了$7$ -模块化和$11$ -模块化版本的阿达玛猜想，但有限数量的情况下。在这样做时，我们的状态猜想的一个充分条件存在的$p$ -模块阿达玛矩阵的所有，但许多情况下。当$2$是一个素数$p$的原根时，我们有条件地解决了这个猜想，从而解决了Hadamard猜想的$p$ -模化版本，但在$p \equiv 3 \pmod{4}$的许多情况下，并证明了$p \equiv 1 \pmod{4}$的一个较弱的结果.最后，我们看看在存在的限制$m$ -模块化阿达玛矩阵时，矩阵的大小是小的相比，$m$。
2015-06-11 math.CO
Small orders of Hadamard matrices and base sequences
我们更新了奇数n<10000的列表，已知存在4n阶Hadamard矩阵。我们还展示了基序列BS（40，39）的第一个例子。因此，存在长度n=79的T序列TS（n）。第一个待定案例的长度为n=97。
2010-08-12 math.CO
Small circulant complex Hadamard matrices of Butson type
研究了元素为单位根为$l$的$n$阶循环复Hadamard矩阵.对于$n=l$素数，我们证明了唯一这样的矩阵，直到等价，是傅立叶矩阵，而对于$n=p+q,l=pq$与$p,q$不同的素数有没有这样的矩阵。然后，我们提供了这样的矩阵的等价类的列表，为小值的$n,l$。
2014-12-07 math.CO math.FA
Classification of small $(0,1)$ matrices
用$A_n$表示$n$阶的正方形$(0,1)$矩阵的集合。集合$A_n$，$n\le8$，被划分为行/列置换等价类，使得能够通过简单计数导出各种事实。例如，8阶正则$(0,1)$矩阵的个数是10160459763342013440。令$D_n$、$S_n$表示来自$A_n$的矩阵的绝对行列式值和Smith标准形的集合。用$a_n$表示不在$D_n$中的最小整数。得到集合$\mathcal{D}_9$和$\mathcal{S}_9$;特别是$a_9=103$。得到了$a_n$的下界$10\le n\le 19$（超过已知的下界$a_n\ge 2f_{n-1}$，其中$f_n$是$n$的Fibonacci数）。$A_n$的行/置换等价类对应于具有$n$黑顶点和$n$白顶点的二部图，因此分类的其他应用是可能的。
2005-11-25 math.CO
Minimal digraph obstructions for small matrices
给定一个$\{ 0, 1, \ast \}$ -矩阵$M$，一个最小$M$ -阻塞是一个有向图$D$，使得$D$不是$M$ -可分的，但$D$的每一个真导出子有向图是可分的.在本说明中，我们列出了每个$2 \times 2$矩阵$M$的所有$M$ -障碍物。请注意，这篇笔记将是一篇更大的论文的一部分，但我们现在将其存档，以便我们可以引用结果。
2016-05-31 math.CO
On quaternary complex Hadamard matrices of small orders
设计理论的主要目标之一是对具有某些规定性质的各种组合对象进行分类、表征和计数。然而，在大多数情况下，人们很快就会遇到组合爆炸，即使完全枚举对象是可能的，也没有明显的方法来详细研究它们，有效地存储它们，或者快速生成特定的对象。在本文中，我们提出了一种新的方法来处理这些困难，并说明它提出的四元复杂的阿达玛矩阵的分类阶数为8。所得到的矩阵的成员只有少数的参数家庭，每个不等价的矩阵，转置，可以通过其指纹识别。
2012-04-23 math.CO
The Largest and Smallest Eigenvalues of Matrices and Some Hamiltonian Properties of Graphs
本文利用矩阵 $αD+βA$ 在 $α\geq β>0$ 时的最大与最小特征值，建立了图具有哈密顿性和可迹性的充分条件。
2024-10-22 math.CO
Numerical semigroups from rational matrices IV: computation of the matricial dimensions of numerical semigroups with small Frobenius number or genus
本文提出模论与线性规划方法，计算了所有 Frobenius 数≤10或亏格≤6的数值半群的矩阵维数，突破了以往技术局限。
2025-10-17 math.CO
Uniqueness of Butson Hadamard matrices of small degrees
对于正整数$m$和$n$，我们用$\mathrm{BH}(m,n)$表示所有$H\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$的集合，使得$HH^\ast=nI_n$和$H$的每个条目是$m$的单位根，其中$H^\ast$是$H$的伴随矩阵，$I_n$是单位矩阵。对于$H_1,H_2\in \mathrm{BH}(m,n)$，我们说$H_1$是\textit{equivalent}到$H_2$，如果对于某些非零元素是$m$的单位根的单式矩阵$P, Q$，$H_1=PH_2 Q$。本文用计算机检索的方法对$\mathrm{BH}(17,17)$进行了等价分类。
2014-02-27 math.CO
Constructing, Classifying and Studying the Space of Small Integer Weighing Matrices
本文研究并分类了小尺寸n×n权为k的整数权矩阵空间，包括到Hadamard等价和自同构群的不等价矩阵列表，并应用于射影空间权矩阵，提供算法和Sagemath实现，解决了一些开放问题。
2026-03-18 math.CO
Hadamard matrices of small order and Yang conjecture
我们发现，138奇值n小于10000，其中一个知道如何构建一个阿达玛矩阵的顺序4n已被忽视，在最近的手册组合设计。在这个范围内还有四个奇数n，即191，5767，7081和8249，我们可以构造一个4n阶的Hadamard矩阵。我们的计算机搜索表明，当n= 36，38，40时，近正规序列NN（n）是存在的.因此，对于n <= 40，关于所有偶数n都存在NN（n）的杨猜想已得到验证，但仍然悬而未决。
2009-12-27 math.CO
MDS matrices over small fields: A proof of the GM-MDS conjecture
MDS矩阵是其子矩阵都具有满秩的矩阵。编码理论中的一个问题是MDS矩阵可以有什么样的零模式。有一个自然的组合特征（称为MDS条件），这是必要的任何领域，以及充分的非常大的领域的概率参数。Dau等人（ISIT 2014）指出，MDS条件在小域上也是充分的，其中矩阵的构造是代数的而不是概率的。这被称为GM-MDS猜想。具体地说，如果一个$k \times n$零模式满足MDS条件，那么他们猜想在任何大小为$|\mathbb{F}| \ge n+k-1$的域上存在一个具有该零模式的MDS矩阵。近年来，这个猜想在几种特殊情况下得到了证明。在这项工作中，我们解决的猜想。
2018-03-20 cs.DM math.CO
Avoiding patterns in matrices via a small number of changes
设${\cal A}=\{A_1,\ldots, A_r\}$是一个将集合$\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots, n\}$划分为$r$非空子集的划分，而$A=(a_{ij})$是一个$m\times n$矩阵.我们说$A$有模式${\cal A}$，条件是$a_{ij}=a_{i'j'}$当且仅当对于某些$t\in\{1,\ldots,r\}$有$(i,j),(i',j')\in A_t$。在这篇笔记中，我们研究了以下函数$f$定义在所有$m\times n$矩阵$M$与$s$不同的项目的集合上：$f(M; {\cal A})$是最小数量的位置，其中$M$的项目需要改变，使得所得矩阵没有任何子矩阵与模式${\cal A}$。我们给出了$$ f(m,n; s, {\cal A}) = \max\{f(M; {\cal A}): M \mbox{ is an } m\times n\mbox{ matrix with at most } s \mbox{ distinct entries}\} . $$的一个渐近紧值
2016-05-24 math.CO
An algorithm for constructing and classifying the space of small integer weighing matrices
本文提出一种在个人计算机上高效构造并分类小尺寸整数称重矩阵的算法，改进了整数平方和表示算法，并给出 $IW(7,25)$ 的完整分类，为寻找经典称重矩阵 $W(35,25)$ 提供基础。
2023-04-19 math.CO
On the Exponent of Several Classes of Oscillatory Matrices
振荡矩阵是在Reinmacher和Krein的开创性工作中引入的。一个$n\times n$矩阵$A$称为振荡矩阵，如果它的所有子矩阵都是非负的，并且存在一个正整数$k$使得$A^k$的所有子矩阵都是正的.最小的$k$，这是成立的称为指数的振荡矩阵$A$。Reynmacher和Krein证明了指数总是小于或等于$n-1$。一个重要而重要的问题是确定指数的精确值。在这里，我们使用连续的基本双对角分解的振荡矩阵，其图论表示，推导出一个明确的表达式的指数的几个类的振荡矩阵，和一个非平凡的上界的指数为其他几个类。
2020-09-21 math.CO
A Study of the Binary and Boolean Rank of Matrices with Small Constant Real Rank
本文研究了在实数域上具有小常数秩的0,1矩阵的二进制秩与布尔秩，证明了当实秩d为小常数时实秩与这两种秩的差距为小常数，并给出了1≤d≤4时的紧致上下界及最大隔离集大小。
2025-07-12 math.CO
Doubly stochastic arrays with small support
本文研究双随机矩阵的最小支撑问题，刻画了一般情形下最小支撑与极矩阵的关系，并证明 n、m 互质时二者等价。
2022-07-22 math.CO math.GR
Random matrices: The distribution of the smallest singular values
设$\a$是均值为零、方差为1的实值随机变量。令$M_n(\a)$表示其条目是$\a$的iid副本的$n \times n$随机矩阵，并且$σ_n(M_n(\a))$表示$M_n(\a)$的最小奇异值。（$σ_n(M_n(\a))^2$通常也被解释为Wishart矩阵$M_n M_n^{\ast}$的最小特征值。）我们表明，（在有限矩假设下）的概率分布$n σ_n(M_n(\a))^2$是{ \it通用}的意义上说，它不依赖于分布的$\a$。特别地，当$a$是实高斯时，它收敛到与特殊情况相同的极限分布。(The在这种情况下，Edelman明确计算了极限分布。）对于均值为零的复值随机变量，实部和虚部方差为1/2，协方差为零，我们也证明了类似的结果。对于任何固定的$k$（甚至对于$k$作为$n$的小幂增长）和矩形矩阵，对于$M_n(\a)$的底部$k$奇异值的联合分布也得到了类似的结果。我们的方法的动机是从组合学和理论计算机科学的一般思想的“属性测试”。这似乎是随机矩阵谱研究的一种新方法，并结合了数学各个领域的工具。
2009-03-03 math.CO math.PR
Efficient diagonalization of symmetric matrices associated with graphs of small treewidth
设$M=(m_{ij})$是$n$阶的对称矩阵，其元素位于任意域$\mathbb{F}$中，$G$是顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的图，使得不同顶点$i$和$j$相邻当且仅当$m_{ij} \neq 0$ .我们引入了一个动态规划算法，找到一个对角矩阵，是全等$M$。如果$G$是以宽度为$k$的树分解$\mathcal{T}$给出的，那么这可以在时间$O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$中完成，其中$|\mathcal{T}|$表示$\mathcal{T}$中的节点数。除其他事项外，这允许计算行列式，秩和惯性的对称矩阵在时间$O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$。
2021-10-26 cs.DS cs.SC math.CO
The smallest singular value of signed random combinatorial matrices
Shandong University（山东大学）
研究了有符号随机组合矩阵的最小奇异值，证明了其在特定条件下概率分布，并展示了该方法在受限环境下的应用。
2026-04-13 math.CO math.PR
On the Smallest Singular Value of Log-Concave Random Matrices
本文针对各向同性对数凹随机矩阵，在无条件分布（无独立性假设）、列独立且$N\geq n$、足够高（$N\geq (1+λ)n$）三种情况下，证明了其最小奇异值的严格下界尾估计。
2025-08-25 math.CO math.FA math.MG
The WST-decomposition for partial matrices
域$\mathbb{F}$上的部分矩阵是一个矩阵，其元素是$\mathbb{F}$的一个元素或一个不定式，并且每个不定式只出现一次。完成是将$\mathbb{F}$中的值分配给所有不确定项。给定一个部分矩阵，通过初等行运算和列置换，它可以被分解成$\left[\begin{smallmatrix}{\bf W} & * & * \\ 0 & {\bf S} & * \\ 0 & 0 & {\bf T} \end{smallmatrix}\right]$形式的分块矩阵，其中${\bf W}$是宽的（具有比行更多的列），${\bf S}$是正方形的，${\bf T}$是高的（具有比列更多的行），并且这三个块具有至少一个满秩的完成。并且重要的是，每当要求${\bf S}$尽可能大时，块${\bf W}$、${\bf S}$和${\bf T}$中的每一个直到基本行运算和列置换都是唯一的。在这种情况下，$\left[\begin{smallmatrix}{\bf W} & * & * \\ 0 & {\bf S} & * \\ 0 & 0 & {\bf T} \end{smallmatrix}\right]$将被称为WST分解。利用这种分解，计算原始部分矩阵的完备化的最大秩是平凡的：$\#\mbox{rows}({\bf W})+\#\mbox{rows}({\bf S})+\#\mbox{…
2018-05-28 math.CO math.RA math.SP
