The Smallest Singular Value of a Shifted Random Matrix
设$R_n$是具有i.i.d.的$n \times n$随机矩阵。亚高斯项令$M$是具有范数$\lVert M \rVert \le n^γ$的$n \times n$确定性矩阵，其中$1/2<γ<1$。本文的目的是给出和$R_n + M$的最小奇异值的一般估计，改进了Tao和Vu的一个较早的结果.
2021-08-11 math.PR
The smallest singular value of signed random combinatorial matrices
Shandong University（山东大学）
研究了有符号随机组合矩阵的最小奇异值，证明了其在特定条件下概率分布，并展示了该方法在受限环境下的应用。
2026-04-13 math.CO math.PR
Lower bounds for the smallest singular value of structured random matrices
本文给出了独立非同分布随机矩阵最小奇异值的下尾估计。具体地说，我们考虑具有\[ M = A\circ X + B = (a_{ij}ξ_{ij} + b_{ij}) \]形式的复数项的$n\times n$矩阵，其中$X=(ξ_{ij})$具有单位方差的iid中心项，并且$A$和$B$是固定矩阵。在我们的主要结果中，我们得到多项式的最小奇异值的$M$的情况下，$A$有界（可能为零）的条目，和$B= Z\sqrt{n}$，其中$Z$是一个对角矩阵的条目有界远离零。作为我们的方法的副产品，我们也可以处理一般扰动$B$下的额外假设$A$，这转化为相关的图上的连接假设。特别是，我们扩展了Rudelson和Zeitouni的高斯矩阵的结果，使一般的入口分布满足一些时刻的假设。我们的证明利用工具（据我们所知）以前未利用的随机矩阵理论，特别是Szemerédi的正则引理，和一个版本的限制可逆定理由于斯皮尔曼和Srivastava。
2018-05-18 math.PR
A universality result for the smallest eigenvalues of certain sample covariance matrices
经过适当的尺度变换和一些技术假设下，样本协方差矩阵的最小特征值的纵横比有界远离1收敛到Tracy-Widom分布。这补充了最大特征值的结果，由于Soshnikov和Peche。
2009-06-20 math-ph math.MP math.PR
The smallest singular value of a random rectangular matrix
我们证明了随机亚高斯矩阵最小奇异值的最佳估计，该估计对所有固定维度都有效。对于具有独立同分布次高斯元素的N × n矩阵A，A的最小奇异值以高概率至少为\sqrt{N} - \sqrt{n-1}阶.并给出了概率的精确估计。
2009-08-03 math.FA math.PR
The smallest singular value of deformed random rectangular matrices
证明了乘加变形随机矩形矩阵的最小奇异值的一个估计。假设对于某个常数$Λ\ge 1$，有$n\le N \le M \le ΛN$。设$X$是一个$M\times n$随机矩阵，其元素独立同分布，均值为零，方差为单位，矩为任意高。令$T$是$N\times M$确定性矩阵，对于某个常数$c>0$，具有可比奇异值$c\le s_{N}(T) \le s_{1}(T) \le c^{-1}$。令$A$是具有$\|A\|=O(\sqrt{N})$的$N\times n$确定性矩阵。然后证明了对于任意的$ε>0$，$TX-A$的最小奇异值以很高的概率大于$N^{-ε}(\sqrt{N}-\sqrt{n-1})$.如果我们进一步假设$X$的项具有亚高斯衰减，则$TX-A$的最小奇异值至少具有高概率的$\sqrt{N}-\sqrt{n-1}$阶，这是本质上最优的估计。
2018-10-16 math.PR
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
2012-12-20 math.FA math.PR
An upper bound on the smallest singular value of a square random matrix
令$A = (a_{ij})$是具有i.i.d.的正方形$n\times n$矩阵。零均值和单位方差项。Rudelson和Vershynin证明了最小奇异值$s_n(A)$的上界是$n^{-\frac12}$阶，概率接近于1，在额外的假设下，$A$的条目是$\mathbb{E}a^4_{11} < \infty$。我们去掉了对四阶矩的假设，给出了仅假设$\mathbb{E}a^2_{11} = 1.$的上界
2018-11-20 math.PR
A remark on the smallest singular value of powers of Gaussian matrices
设$n,k\geq 1$和$G$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。标准实高斯项我们表明，有常数$c_k,C_k>0$只依赖于$k$，使最小的奇异值的$G^k$满足$$ c_k\,t\leq {\mathbb P}\big\{s_{\min}(G^k)\leq t^k\,n^{-1/2}\big\}\leq C_k\,t,\quad t\in(0,1], $$，此外，$$ c_k/t\leq {\mathbb P}\big\{\|G^{-k}\|_{HS}\geq t^k\,n^{1/2}\big\}\leq C_k/t,\quad t\in[1,\infty), $$其中$\|\cdot\|_{HS}$表示希尔伯特-施密特范数。
2020-01-27 math.PR
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
The smallest singular value of random rectangular matrices with no moment assumptions on entries
设$δ>1$和$β>0$为实数。证明了存在正的$u,v,N_0$只依赖于$β$和$δ$，且具有如下性质：对任意$N,n$，使得$N\ge \max(N_0,δn)$，任意$N\times n$随机矩阵$A=(a_{ij})$的i.i.d.项满足$\sup\limits_{λ\in {\mathbb R}}{\mathbb P}\bigl\{|a_{11}-λ|\le 1\bigr\}\le 1-β$和任意非随机$N\times n$矩阵$B$，$A+B$的最小奇异值$s_n$满足${\mathbb P}\bigl\{s_n(A+B)\le u\sqrt{N}\bigr\}\le \exp(-vN)$。结果保持没有任何矩的假设$A$的条目的分布。
2014-09-29 math.PR
On generic chaining and the smallest singular value of random matrices with heavy tails
我们提出了一个非常一般的链接方法，它允许一个控制的经验过程$\sup_{h \in H} |N^{-1}\sum_{i=1}^N h^2(X_i)-\E h^2|$的上确界在相当一般的情况下。我们使用这种方法建立两个主要结果。首先，一个定量（非渐近）版本的经典白音定理的奇异值的随机矩阵的i.i.d的项目，有沉重的尾巴，第二，尖锐的估计二次经验过程时，$H=\{\inr{t,\cdot} : t \in T\}$，$T \subset \R^n$和$μ$是一个各向同性的，无条件的，对数凹措施。
2011-08-19 math.PR
On the singularity probability of random circulant Bernoulli matrices
该研究针对所有概率参数取值，完整刻画了随机循环伯努利矩阵的渐近奇异性概率，填补了相关理论空白。
2024-11-26 math.CO math.PR
On the Smallest Singular Value of Log-Concave Random Matrices
本文针对各向同性对数凹随机矩阵，在无条件分布（无独立性假设）、列独立且$N\geq n$、足够高（$N\geq (1+λ)n$）三种情况下，证明了其最小奇异值的严格下界尾估计。
2025-08-25 math.CO math.FA math.MG
The limit of the smallest singular value of random matrices with i.i.d. entries
令$\{a_{ij}\}$ $(1\le i,j<\infty)$为i.i.d.。设整数序列$(N_m)_{m=1}^\infty$满足$m/N_m\longrightarrow z$，且对某个$z\in(0,1)$满足.对于每个$m\in{\mathbb N}$，用$A_m$表示$N_m\times m$随机矩阵$(a_{ij})$ $(1\le i\le N_m,1\le j\le m)$，并使$s_{m}(A_m)$为其最小奇异值。证明了序列$\bigl({N_m}^{-1/2} s_{m}(A_m)\bigr)_{m=1}^\infty$几乎必然收敛于$1-\sqrt{z}$.我们的结果不需要有界的任何时刻的$a_{ij}$的高于$2$ -ND和解决了一个长期存在的问题，关于最弱的时刻假设的条目的分布足以收敛举行。
2014-10-23 math.PR
Singularity of random symmetric matrices -- simple proof
本文给出了随机$\pm 1$对称矩阵奇异概率的一个非平凡上界的简单、简短、完备的证明。
2020-06-12 math.CO math.PR
The smallest singular value of random combinatorial matrices
设$Q_n$是随机$n\times n$矩阵，其元素在$\{0,1\}$中，其行是恰好$n/2$零分量的独立向量。我们证明了$Q_n$的最小奇异值$s_n(Q_n)$满足\[ \mathbb{P}\Big\{s_n(Q_n)\le \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\Big\} \le C\varepsilon + 2 e^{-cn} \quad \forall \varepsilon \ge 0, \]，这是最优的常数$C,c>0$。这改进了Ferber、Jain、Luh和Samotij以及Jain的早期结果。特别是，对于$\varepsilon=0$，我们得到的奇异概率\[ \mathbb{P}\big\{Q_n \,\,\text{is singular}\big\} \le 2 e^{-cn}.\]的维度的第一个指数界。为了克服$Q_n$的条目之间缺乏独立性，我们引入了一个算术组合不变的一对向量，我们称之为组合最小公分母（CLCD）。证明了组合统计量$\sum_{i=1}^{n}a_iv_{σ(i)}$关于$(a,v)$对的CLCD的小球概率不等式，其中$σ$是$\{1,2,\ldots,n\}$的一致随机置换，$a:=(a_1,\ldots,a_n), v:=(v_1,\ldots,v_n)$是实向量.这个不等式使我们能够推导出$Q_n$的一个固定行…
2020-10-30 math.CO math.PR
Singularity of random Bernoulli matrices
对于每个$n$，令$M_n$是具有独立$\pm 1$条目的$n\times n$随机矩阵。我们证明了${\mathbb P}\{\mbox{$ M_n $ is singular}\}=(1/2+o_n(1))^n$，解决了一个老问题.一些概括考虑。
2019-08-26 math.CO math.PR
Singularity of random symmetric matrices revisited
令$M_n$从所有$\pm 1$对称$n \times n$矩阵中均匀地画出。我们发现，概率$M_n$是奇异的是最多$\exp(-c(n\log n)^{1/2})$，这是一个自然的障碍，在最近的方法来解决这个问题。除了改进以前著名的Campos，Mattos，Morris和Morrison的$\exp(-c n^{1/2})$的奇异概率上的界限，我们的方法是不同的，相当简单。
2020-11-05 math.CO math.PR
The smallest singular value of large random rectangular Toeplitz and circulant matrices
本文研究大型随机矩形Toeplitz与循环矩阵的最小奇异值，证明其最小特征值收敛于零，并给出收敛速率的下界（快于多对数但慢于多项式）及矩形循环矩阵的多项式上界。
2025-01-20 math.PR
The singularity probability of random diagonally-dominant Hermitian matrices
本文描述了实数、复数和四元数上对角占优非负埃尔米特矩阵的奇异轨迹。这产生了明确的表达式的概率，这样的矩阵，随机选择，是奇异的。例如，在由对称的零对角$\{\pm 1/(n-1)\}$ -伯努利矩阵扰动的单位$n \times n$矩阵的情况下，该概率结果等于$2^{-(n-1)(n-2)/2}$。作为推论，我们发现$n\times n$对称$\{\pm 1\}$矩阵具有特征值$n$的概率为$2^{-(n^2-n+2)/2}$ .
2014-03-06 math.CO math.PR
Finite N corrections to the limiting distribution of the smallest eigenvalue of Wishart complex matrices
本文研究了Laguerre-Wishart矩阵$W = X^\dagger X$的最小特征值的概率分布函数，其中$X$是一个随机$M \times N$（$M \geq N$）矩阵，元素与复高斯无关.我们计算这个PDF的半经典正交多项式，这是变形的拉盖尔多项式。通过分析这些多项式，及其相关的递归关系，在大$N$的限制，大$M$与$M/N \to 1$ -即准正方形大矩阵$X$ -我们表明，这种PDF，在硬边极限，可以表示在一个Painlevé III方程的解决方案，发现特雷西和Widom，使用Fredholm运营商技术。此外，我们的方法使我们能够明确计算的第一个$1/N$修正这个限制分布在硬边。我们的计算证实了Edelman，Guionnet和Péché最近的一个猜想。我们还研究了软边极限，当$M-N \sim {\cal O}(N)$，为此，我们推测的形式的第一个修正的极限分布的最小特征值。
2015-06-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On random $\pm 1$ matrices: Singularity and Determinant
本文给出了随机$n \times n$ Bernoulli矩阵的两个结果。首先，我们证明了概率趋于1的行列式有绝对值$\sqrt {n!} \exp(O(\sqrt(n log n)))$。其次，我们证明了一个新的上界$.939^n$的概率矩阵是奇异的。我们还对其它随机矩阵模型进行了推广。
2008-06-30 math.CO math.PR
Bounding the smallest singular value of a random matrix without concentration
给定$X$为${\mathbb{R}}^n$中的随机向量，将$X_1,...,X_N$设置为$X$的独立副本，并将$Γ=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^N <X_i,\cdot>e_i$设为行为$\frac{X_1}{\sqrt{N}},\dots, \frac{X_N}{\sqrt{N}}$的矩阵。我们得到了尖锐的概率下界的最小奇异值$λ_{\min}(Γ)$在一个相当一般的情况下，特别是，假设$X$是一个各向同性的随机向量，其中$\sup_{t\in S^{n-1}}{\mathbb{E}}|<t,X>|^{2+η} \leq L$的一些$L,η>0$。我们的结果意味着一个白阴型的下限保持$η>2$，并在一个对数因子，$η=2$以及。在不对欧几里德范数$\|X\|_{\ell_2^n}$作任何额外假设的情况下，该界限成立。此外，我们建立了一个非平凡的下界，即使没有任何更高的时刻的假设（对应的情况$η=0$），如果线性形式满足一个弱的“小球”属性。
2013-12-12 math.PR
The smallest singular value of sparse discrete random matrices
本文构建简单框架证明独立同分布稀疏离散随机矩阵的近似 Spielman-Teng 最小奇异值定理，并推广至 $μ$-lazy 随机变量情形。
2025-07-23 math.PR
Almost sure convergence of the largest and smallest eigenvalues of high-dimensional sample correlation matrices
本文证明了，如果$p/n\to γ\in (0,1]$和项分布的截断方差是“几乎慢变”的，则由具有iid分量的$p$维时间序列的$n$独立观测值产生的样本相关阵的最大和最小特征值几乎必然分别收敛于$(1+\sqrtγ)^2$和$(1-\sqrtγ)^2$，作为$n \to \infty$，我们通过自归一化和的矩性质描述的条件。此外，这些样本相关阵的经验谱分布以概率1弱收敛于Marchenko-Pastur定律，这扩展了Bai和Zhou（2008）的结果。我们比较了样本协方差和样本相关阵的特征值的行为，并认为后者似乎更强大，特别是在无限四阶矩的情况下。我们简要地解决了一些实际问题的极端特征值的估计在模拟研究。在我们的证明中，我们使用矩量法结合路径缩短算法，有效地利用样本相关阵的结构，计算矩阵范数的精确界。我们相信，这种新的方法可以进一步使用在随机矩阵理论。
2020-01-30 math.PR math.ST stat.TH
The smallest singular value of heavy-tailed not necessarily i.i.d. random matrices via random rounding
研究了随机矩阵最小奇异值的小球行为。通常，建立这样的结果涉及，在某种程度上，单位球的离散化。这需要对矩阵的范数有界，而后者的界需要对元素分布的强假设，如有界四阶矩（弱估计），亚高斯尾（强估计），以及结构假设，如均值零和方差一。最近，Rebrova和Tikhomirov开发了一种离散化程序，它不依赖于强尾假设的条目。然而，他们的论证仍然需要均值为零、方差为1的结构性假设。条目在本文中，我们讨论了一个有效的离散化的单位球，它的工作指数高概率，不需要任何这样的结构假设，而且，不需要独立的行的矩阵。我们证明了存在的网络附近的球，比较值的任何（确定性）随机矩阵的球和通过正规化的希尔伯特-施密特规范，我们介绍的网络。这种细化是平均的一种形式，并且具有强的大偏差特性。作为结果，我们证明了尖锐的小球估计的最小奇异值的平方随机矩阵在温和的假设下，和随机矩阵的任意纵横比。
2021-11-18 math.AP math.MG math.PR
An upper bound on the smallest singular value of dense random combinatorial matrices
本文研究密集随机组合矩阵的最小奇异值，证明其上界为$\sqrt{d}/(\varepsilon^2 n)$，确认其通常规模为$\mathcal{O}(n^{-1/2})$。
2026-04-14 math.PR
Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application
假设$X$是一个$N \times n$复矩阵，其元素是具有方差$1/n$的中心、独立和同分布的随机变量，其四阶矩为${\mathcal O}(n^{-2})$。本文的第一部分考虑了非厄米特矩阵$X A X^* - z$，其中$A$是一个最小和最大奇异值分别有上下界的确定性矩阵，$z\neq 0$是一个复数。在$N$和$n$以相同的速率发散到无穷大的高维区域中，得到了该模型最小奇异值的渐近概率界。在本文的第二部分中，我们考虑了$A = J = [1_{i-j = 1\mod n} ]$是循环矩阵的特殊情况。利用第一部分的结果，证明了$X J X^*$的极限本征值分布在高维区域中的存在性，并明确地确定了这一极限。这一结果的统计应用被认为是致力于测试在一个多变量的时间序列的相关性的存在。假设$X$表示在长度为$n$的时间窗口上观察到的${\mathbb C}^N$值时间序列，则矩阵$X J X^*$表示该时间序列的一步样本自协方差矩阵。在此矩阵极限谱测度结果的指导下，引入了时间序列MA相关模型的白度检验。数值模拟结果表明，该测试的优异性能。
2019-09-27 math.PR
On the smoothed analysis of the smallest singular value with discrete noise
令$A$是$n\times n$实矩阵，并且令$M$是$n\times n$随机矩阵，其条目是具有均值$0$和方差$1$的i.i.d亚高斯随机变量。本文对$A+M$的最小奇异值$s_n(A+M)$的研究做了两方面的贡献。(1)我们表明，对于所有的$ε\geq 0$，$$\mathbb{P}[s_n(A + M) \leq ε] = O(ε\sqrt{n}) + 2e^{-Ω(n)},$$只提供$A$有$Ω(n)$奇异值是$O(\sqrt{n})$。这扩展了Rudelson和Vershynin的一个著名结果，该结果要求$A$的所有奇异值都是$O(\sqrt{n})$。(2)证明了任何形式为$$\sup_{\|{A}\|\leq n^{C_1}}\mathbb{P}[s_n(A+M)\leq n^{-C_3}] \leq n^{-C_2}$$的界必有$C_3 = Ω(C_1 \sqrt{C_2})$ .这补充了Tao和Vu的结果，他们证明了这样一个与$C_3 = O(C_1C_2 + C_1 + 1)$的结合，并反驳了他们可能采取$C_3 = O(C_1 + C_2)$的猜测。
2020-09-03 cs.NA math.NA math.PR
On the smallest singular value of the product of random and deterministic matrices
University of Washington（华盛顿大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究随机矩阵\(A\)与确定性矩阵\(M\)乘积的最小奇异值，通过对随机矩阵元素条件设定，证明存在依赖\(K\)和\(\kappa\)的常数使相关概率不等式成立，高斯情形下该估计精确。
2026-07-09 math.PR
On the smallest singular value of symmetric random matrices
我们证明了对于$n\times n$随机对称矩阵$A_n$，其对角线上和对角线上的元素是具有平均值$0$和方差$1$的亚高斯随机变量$ξ$的独立副本，\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O_ξ(ε^{1/8} + \exp(-Ω_ξ(n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]这改进了Vershynin的结果，Vershynin获得了这样的界，其中对于小常数$c$，用$n^{c}$代替$n^{1/2}$，并用$(1/8) + η$代替$1/8$（其中隐式常数也取决于$η> 0$）。此外，当$ξ$是Rademacher随机变量时，我们证明了\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O(ε^{1/8} + \exp(-Ω((\log{n})^{1/4}n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]特殊情况$ε= 0$改进了Campos，Mattos，Morris和Morrison最近的结果，该结果表明$\mathbb{P}[s_n(A_n) = 0] \le O(\exp(-Ω(n^{1/2}))).$我们工作的主要创新是算术结构的新概念-中值正则化最小公分母和中值阈值，我们相信这在需要结合载体不同部分的抗浓缩信息的情况…
2020-11-03 math.PR
Universality of the least singular value for the sum of random matrices
本文研究了$M = R^* X T + U^* YV$的最小奇异值，其中$R,T,U,V$是独立的Haar分布酉矩阵，$X, Y$是确定的对角矩阵.在$X$和$Y$的弱条件下，我们证明了$M$的最小奇异值的极限分布，适当地重新缩放，是相同的极限分布的最小奇异值的矩阵i.i.d.高斯随机变量我们的证明是基于Che和Landon研究埃尔米特矩阵和的局部谱统计的动力学方法。
2020-08-25 math.PR
The smallest singular value of inhomogeneous square random matrices
本文证明了对于具有独立一致反集中元素的$n\times n$随机矩阵$A$，使得$\mathbb{E} ||A||^2_{HS}\leq K n^2$，$A$的最小奇异值$σ_n(A)$满足$$ P\left( σ_n(A)\leq \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \right) \leq C\varepsilon+2e^{-cn},\quad \varepsilon \ge 0. $$。这推广了Rudelson和Vershynin，Rebrova和Tikhomirov的早期结果，去掉了平均值为零和元素在矩阵上同分布的假设，以及Livshyts的最近结果。其中要求基质具有I.I.D.行。我们的模型涵盖了“inclusive”矩阵，允许不同的条目的方差，只要二阶矩的总和是$O(n^2)$。在过去的发展中，i.i.d.的假设。行是必需的，由于缺乏Littlewood-Offord-型不等式的加权和非独立同分布。随机变量。在这里，我们克服了这个问题，通过引入随机最小公分母（RLCD），它允许研究独立的，但不相同分布的变量的加权和的反集中特性。我们在具有格结构的球面上构造了有效网，并证明了格点通常具有大的RLCD。这使我们能够获得强大的反浓度属性之间的距离固定列的$A$和线性跨度的其余列，并证明了主要结果。
2020-10-27 math.CA math.MG math.PR
Quantitative invertibility of non-Hermitian random matrices
随机方阵最小奇异值的估计问题在矩阵计算和谱分布分析中具有重要意义。在这次调查中，我们认为在非厄米设置的定量可逆性研究的最新进展，并回顾了这条研究线的一些应用。
2022-06-01 math.PR
Universality of the least singular value for sparse random matrices
研究了稀疏随机矩阵系综的最小奇异值的分布。我们的激励示例是$N\times N$矩阵的集合，其条目独立于具有参数$p$的伯努利分布来选择。这些矩阵表示随机Erdens-Rényi有向图的邻接矩阵，当$p\ll 1$ .我们证明了在$pN\gg 1$体制下，最小奇异值的分布是普适的，即它与$p$无关，且等于高斯矩阵系综的最小奇异值的分布.我们还证明了多个小奇异值的联合分布的普适性。我们的方法扩展到矩阵合奏，其条目是从任意分布，可能是相关的，复杂的价值，并有不等的方差选择。
2019-01-24 math.PR
On the asymptotic distribution of singular values of products of large rectangular random matrices
我们考虑具有独立元素的独立大随机矩形矩阵的乘积。计算了这类产品的奇异值的期望经验分布的极限分布。该分布函数由其满足一定代数方程的斯蒂尔切斯变换来描述。在方阵的特殊情况下，我们得到了一个众所周知的分布，其矩是Fuss-Catalan数。
2011-04-26 math.PR
Structured Singular values on some generalized stochastic matrices
本文给出了一类广义随机复矩阵的结构奇异值的精确值，并给出了其行（列）和为常数的表达式。
2021-03-01 math.PR math.RA
Extreme gaps between eigenvalues of random matrices
本文研究了随机矩阵特征值之间的极端间隙。本文给出了Haar分布的酉矩阵和高斯酉系综矩阵的最小间隙的联合限制律。特别地，由因子$n^{-4/3}$归一化的第k个最小间隙具有与$x^{3k-1}e^{-x^3}$成比例的极限密度。关于通过$n/\sqrt{\log n}$标准化的最大间隙，它们在${\mathrm{L}}^p$中收敛为所有$p>0$的常数。这些结果进行了比较的极端间隙之间的黎曼ζ函数。
2013-07-24 math-ph math.MP math.PR
The Littlewood-Offord Problem and invertibility of random matrices
本文证明了具有独立元素的随机n × n矩阵的最小奇异值分布的两个基本定理。在最小矩的假设下，我们证明了最小的奇异值是n^{-1/2}阶的，这是高斯矩阵的最佳。此外，我们给出了尾概率的最优估计。这是Littlewood-Offord问题中一个新的和本质上尖锐的估计的结果：对于i.i.d.随机变量X_k和实数a_k，决定了a_k X_k之和位于某个数v附近的概率P.对于相同数量级的任意系数a_k，我们证明了它们本质上位于长度为1/p的等差数列中.
2008-01-31 math.FA math.PR
Local Statistics of Singular Values for Products of Truncated Unitary Matrices
本文研究具有不变Haar测度的截断酉矩阵系综采样的独立大矩形矩阵乘积的奇异值局部谱统计，确立其普适三阶段相变，给出该场景下的完整刻画。
2025-06-17 math.PR
On the singularity of random matrices with independent entries
我们考虑n乘n实矩阵，其条目是独立但不一定同分布的非退化随机变量，并证明了这样的矩阵是奇异的概率是O（1/sqrt{n}）。本文的目的是利用任意非退化随机变量的伯努利分解对这一事实提供一个简短而初等的证明。
2008-01-08 math.PR
Phase transition for the smallest eigenvalue of covariance matrices
本文研究样本协方差矩阵最小非零特征值的分布，证明其存在由元素尾部厚度引发的相变，给出不同尾指数下的分布规律，并借助矩阵子式论证与介观CLT完成体区到边缘的扩展证明。
2023-11-08 math-ph math.MP math.PR
A distance theorem for inhomogenous random rectangular matrices
本文证明非齐次随机矩形矩阵列空间与独立随机向量的距离小球估计，并提出 Randomized Logarithmic LCD 工具以推广已有距离定理。
2025-07-25 math.MG math.PR
Estimating the covariance of random matrices
本文将Srivastava-Vershynin关于随机向量的协方差阵估计的一个最近结果推广到矩阵设置上。所得结果可以解释为半正定矩阵大数定律的一个量化形式，验证了某些正则性假设。除了给出例子外，我们还讨论了对数凹矩阵的概念，并给出了这类矩阵之和的最小和最大特征值的估计。
2013-12-05 math.PR
Singular values of large non-central random matrices
本文研究了具有固定秩平均值$K$的大型随机矩阵的最大奇异值。我们的主要结果是一个极限定理行和列的数量接近无穷大，而他们的比率接近一个积极的常数。它将最大的$K$奇异值分解为确定性增长率、以矩阵项的明确线性组合形式给出的随机中心波动以及概率可忽略的项。我们使用这种表示法来建立具有块结构的随机矩阵的最大奇异值的渐近正态性。我们还推导出群体遗传学模型中出现的归一化协方差阵的最大特征值的渐近正态性。
2019-09-01 math.PR
Edge statistics for singular values of products of rectangular complex Ginibre matrices
研究矩形复Ginibre矩阵乘积奇异值的边缘统计，证明深度宽度比作为尖锐阈值，低DWR时高斯波动，高DWR时出现Airy核。
2025-07-10 math.PR
Random symmetric matrices are almost surely non-singular
令$Q_n$表示由$n$矩阵表示的随机对称$n$，其上对角元素是i.i.d.。Bernoulli随机变量（取0和1的概率为1/2）。我们证明了$Q_n$是非奇异的概率$1-O(n^{-1/8+δ})$任何固定的$δ> 0$。证明使用二次版本的Littlewood-Offord型结果有关的浓度函数的随机变量，并可以扩展到更一般的模型的随机矩阵。
2005-05-09 math.PR
Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values
经典的随机矩阵理论主要研究随机矩阵维数增长到无穷大时的渐近谱性质。与此同时，从凸几何到泛函分析再到信息论，许多最近的应用都是用固定维的随机矩阵来操作的。本文研究了独立元随机矩阵极值奇异值的非渐近理论。本文主要讨论了随机矩阵硬边（最小奇异值）的几何估计方法。
2010-04-07 math.FA math.PR
Extreme Singular Values of Random Time-Frequency Structured Matrices
本文研究了带随机窗$g$的Gabor框架$(g, Λ)$的分析矩阵的极端奇异值.这样的矩阵的列是$g$的时间和频率偏移，并且$Λ\subset \mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M$是时间-频率偏移索引的集合。我们的目的是获得的框架集$Λ$的各种选择，这样的随机时频结构矩阵的奇异值的界限，并调查其依赖于$Λ$的结构，以及它的基数。我们还比较了Gabor框架分析矩阵与独立同分布项矩阵的相应结果。
2019-02-04 math.FA math.PR
Intrinsic volumes of set of singular matrices
我们明确计算的固有体积的一组真正的（和真正的对称）矩阵的弗罗贝纽斯范数1和给定的corank（矩阵的情况下，零行列式作为一种特殊情况）。我们给我们的计算渐近公式，我们讨论了几个例子和应用。
2014-01-20 math.DG math.OC math.PR
Singular values of Gaussian matrices and permanent estimators
给出了一类具有独立高斯元和非齐次方差分布的矩阵的小奇异值的估计，满足宽连通性条件。使用这些估计和浓度的测量谱的高斯矩阵的独立条目，我们证明了，对于一个大类的图满足适当的扩展属性，Barvinok-Godsil-Gutman估计永久实现次指数误差的概率很高。
2014-08-29 cs.DS math.PR
The smallest singular value of inhomogenous random rectangular matrices
本文研究独立但非齐次元素的随机矩形矩阵最小奇异值，在有界 $2+\beta$ 矩或均匀反集中条件下建立下尾界，并推广已有独立同分布结果。
2025-07-25 math.MG math.PR
Singularities of the density of states of random Gram matrices
对于大的随机矩阵$X$与独立的，中心的项目，但不一定是相同的方差，$XX^*$的特征值密度是很好的近似的确定性措施$\mathbb{R}$。我们表明，这种措施的密度只有平方和平方根奇点远离零。我们还将[arXiv：1606.07353]中的体局部定律扩展到这些奇点附近。
2017-11-21 math-ph math.MP math.PR
