The singular values and vectors of low rank perturbations of large rectangular random matrices
本文研究了大型矩形随机矩阵有限低秩扰动的奇异值和奇异向量。具体地说，我们证明了几乎必然收敛的极端奇异值和适当的投影相应的奇异向量的扰动矩阵。在前传中，我们认为问题的特征值方面，非随机极限值显式依赖于通过积分变换，线性化的矩形加法卷积在自由概率论的未扰动矩阵的极限奇异值分布。当且仅当扰动矩阵的奇异值高于某个临界阈值时，扰动矩阵的极值奇异值的大矩阵极限不同于原始矩阵的大矩阵极限，该临界阈值取决于上述相同的积分变换。我们研究的后果，这种奇异值相变的相关的左，右奇异本征向量，并讨论了有限的$n$波动以上这些非随机限制。
2012-01-26 math.PR
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
2012-12-20 math.FA math.PR
The smallest singular value for rectangular random matrices with Lévy entries
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究元素服从重尾 Lévy 分布的矩形随机矩阵最小奇异值，证明其在高概率下可确定至对数因子，并给出新的下界及扰动矩阵情形。
2026-10-23 math.PR
The smallest singular value of inhomogenous random rectangular matrices
本文研究独立但非齐次元素的随机矩形矩阵最小奇异值，在有界 $2+\beta$ 矩或均匀反集中条件下建立下尾界，并推广已有独立同分布结果。
2025-07-25 math.MG math.PR
The Smallest Singular Value of a Shifted Random Matrix
设$R_n$是具有i.i.d.的$n \times n$随机矩阵。亚高斯项令$M$是具有范数$\lVert M \rVert \le n^γ$的$n \times n$确定性矩阵，其中$1/2<γ<1$。本文的目的是给出和$R_n + M$的最小奇异值的一般估计，改进了Tao和Vu的一个较早的结果.
2021-08-11 math.PR
Cumulants in rectangular finite free probability and beta-deformed singular values
Department of Mathematics, The Ohio State University（俄亥俄州立大学数学系）
本文定义了(n,d)-矩形矩量，证明了矩量-矩公式，并展示其在有限自由概率中的线性化作用及在特定参数下收敛于自由概率中的q-矩形自由矩量，应用于对称经验根分布极限的研究。
2026-04-20 math.CO math.PR
A distance theorem for inhomogenous random rectangular matrices
本文证明非齐次随机矩形矩阵列空间与独立随机向量的距离小球估计，并提出 Randomized Logarithmic LCD 工具以推广已有距离定理。
2025-07-25 math.MG math.PR
Mesoscopic Rectangular Spikes under Subspace Local Laws: Outlier Values and Singular Subspaces
Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文研究子空间局部律下的介观矩形尖峰，通过该假设定位计数异常值、确定奇异子空间，在四类场景验证假设并计算Marchenko–Pastur噪声的常数，为高维数据相关问题提供理论支撑。
2026-08-21 math.PR
Smallest Singular Value for Perturbations of Random Permutation Matrices
我们采取了第一个小的步骤，扩展的有效性Rudelson-Vershynin型估计的一些稀疏的随机矩阵，这里的随机置换矩阵。本文给出了一个大的随机矩阵D+M的最小奇异值的上（下）界，这里M是一个均匀采样的随机置换矩阵，D是对角矩阵。当D本身是随机的且对角线上有独立同分布项时，利用负漂移随机游动的经典理论，得到了一个Rudelson-Vershynin型估计.
2014-04-15 math.PR
An upper bound on the smallest singular value of a square random matrix
令$A = (a_{ij})$是具有i.i.d.的正方形$n\times n$矩阵。零均值和单位方差项。Rudelson和Vershynin证明了最小奇异值$s_n(A)$的上界是$n^{-\frac12}$阶，概率接近于1，在额外的假设下，$A$的条目是$\mathbb{E}a^4_{11} < \infty$。我们去掉了对四阶矩的假设，给出了仅假设$\mathbb{E}a^2_{11} = 1.$的上界
2018-11-20 math.PR
A theory of singular values for finite free probability
本文提出适用于矩形矩阵的有限自由概率理论，将其转化为多项式奇异值操作，证明其能复制自由概率变换并渐近收敛，同时在新框架下显式化大数定律与中心极限定理。
2023-10-24 math.OA math.PR
Extreme singular values of inhomogeneous sparse random rectangular matrices
本研究基于非回溯算子与Ihara-Bass公式，提出统一方法界定非齐次稀疏随机矩形矩阵的极端奇异值，给出概率界并将Bai-Yin定理推广至稀疏情形。
2024-12-12 math.CO math.PR math.ST
A remark on the smallest singular value of powers of Gaussian matrices
设$n,k\geq 1$和$G$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。标准实高斯项我们表明，有常数$c_k,C_k>0$只依赖于$k$，使最小的奇异值的$G^k$满足$$ c_k\,t\leq {\mathbb P}\big\{s_{\min}(G^k)\leq t^k\,n^{-1/2}\big\}\leq C_k\,t,\quad t\in(0,1], $$，此外，$$ c_k/t\leq {\mathbb P}\big\{\|G^{-k}\|_{HS}\geq t^k\,n^{1/2}\big\}\leq C_k/t,\quad t\in[1,\infty), $$其中$\|\cdot\|_{HS}$表示希尔伯特-施密特范数。
2020-01-27 math.PR
Joint Singular Value Distribution of Two Correlated Rectangular Gaussian Matrices and Its Application
令$\mathbf{H}=(h_{ij})$和$\mathbf{G}=(g_{ij})$是两个$m\times n$、$m\leq n$随机矩阵，每个随机矩阵具有独立同分布的复数零均值单位方差高斯项，任意两个元素之间的相关性由$\mathbb{E}[h_{ij}g_{pq}^\star]=ρδ_{ip}δ_{jq}$给出，使得$|ρ|<1$，其中${}^\star$表示复共轭，$δ_{ij}$是克罗内克δ。假设$\{s_k\}_{k=1}^m$和$\{r_l\}_{l=1}^m$分别是$\mathbf{H}$和$\mathbf{G}$的无序奇异值，并且$s$和$r$分别从$\{s_k\}_{k=1}^m$和$\{r_l\}_{l=1}^m$中随机选择。本文利用Itzykson-Zuber型积分导出了$\{s_k\}_{k=1}^m$和$\{r_l\}_{l=1}^m$的联合概率分布函数（PDF）的精确解析闭式表达式，并利用双正交多项式技术导出了$s$和$r$的联合边际PDF。这些PDF在多输入多输出（MIMO）无线通信信道和系统中是有意义的。
2006-03-07 math.PR
The outliers among the singular values of large rectangular random matrices with additive fixed rank deformation
考虑矩阵$Σ_n = n^{-1/2} X_n D_n^{1/2} + P_n$，其中矩阵$X_n \in \C^{N\times n}$具有高斯标准独立元素，$D_n$是确定性对角非负矩阵，并且$P_n$是具有固定秩的确定性矩阵。在某些已知条件下，$Σ_n Σ_n^*$和$n^{-1} X_n D_n X_n^*$的谱测度都收敛到一个紧支持的概率测度$μ$，即$N,n\to\infty$和$N/n\to c>0$ .本文证明了$Σ_nΣ_n^*$的多个特征值在高维区域可以远离$μ$的支集。研究了这些离群点在$\R - \support(μ)$的任意连通分支中的存在性和位置。分析了$Σ_nΣ_n^*$最大异常值的波动情况。结果发现在信号处理和无线电通信领域的应用。
2013-01-22 math.PR
Phase transition for the bottom singular vector of rectangular random matrices
本文研究重尾矩形随机矩阵最小奇异值对应右奇异向量的局域化长度，证明其随参数跨过临界值时发生相变，并揭示该相变机制与顶部奇异向量情形本质不同。
2024-09-17 math-ph math.MP math.PR
Global and local limits for products of rectangular Ginibre matrices
本文研究独立矩形复 Ginibre 矩阵乘积的奇异值统计，在矩形性参数趋于共同极限时给出极限谱密度，并证明体局部统计服从普适正弦核。
2025-10-20 math.PR
On generic chaining and the smallest singular value of random matrices with heavy tails
我们提出了一个非常一般的链接方法，它允许一个控制的经验过程$\sup_{h \in H} |N^{-1}\sum_{i=1}^N h^2(X_i)-\E h^2|$的上确界在相当一般的情况下。我们使用这种方法建立两个主要结果。首先，一个定量（非渐近）版本的经典白音定理的奇异值的随机矩阵的i.i.d的项目，有沉重的尾巴，第二，尖锐的估计二次经验过程时，$H=\{\inr{t,\cdot} : t \in T\}$，$T \subset \R^n$和$μ$是一个各向同性的，无条件的，对数凹措施。
2011-08-19 math.PR
On a surprising relation between rectangular and square free convolutions
Debbah和Ryan最近证明了两个维数趋于无穷大的矩形随机矩阵之和的极限经验奇异分布的一个结果。在本文中，我们重新制定的矩形自由卷积在以前的文件中介绍，然后我们给出了一个新的，更短的，证明这一结果在较弱的假设：我们不假设\pro措施在这个结果中的问题是紧支持了。最后讨论了这个结果在矩形随机矩阵与正方形随机矩阵关系族中的包含问题。
2008-07-03 math.PR
Infinitely divisible distributions for rectangular free convolution: classification and matricial interpretation
在以前的论文（称为“矩形随机矩阵。相关卷积”），我们定义，为$λ\in [0,1]$，矩形自由卷积与比率$λ$。在这里，我们调查的相关概念的无限可分性，这恰好是密切相关的经典的无限可分性：有一个双射之间的一组经典对称无穷可分分布和一组分布的无限可分关于这个卷积，它保持极限定理。我们给出一个解释这种对应关系的随机矩阵：我们构建分布的复杂的矩形矩阵，从而产生随机矩阵的奇异法律（即均匀分布在其奇异值）从对称的经典无穷可分分布到他们的图像由前面提到的双射时，尺寸从1到无穷大的比率$λ$。
2006-11-17 math.OA math.PR
On the Smallest Singular Value of Log-Concave Random Matrices
本文针对各向同性对数凹随机矩阵，在无条件分布（无独立性假设）、列独立且$N\geq n$、足够高（$N\geq (1+λ)n$）三种情况下，证明了其最小奇异值的严格下界尾估计。
2025-08-25 math.CO math.FA math.MG
Lower bounds for the smallest singular value of structured random matrices
本文给出了独立非同分布随机矩阵最小奇异值的下尾估计。具体地说，我们考虑具有\[ M = A\circ X + B = (a_{ij}ξ_{ij} + b_{ij}) \]形式的复数项的$n\times n$矩阵，其中$X=(ξ_{ij})$具有单位方差的iid中心项，并且$A$和$B$是固定矩阵。在我们的主要结果中，我们得到多项式的最小奇异值的$M$的情况下，$A$有界（可能为零）的条目，和$B= Z\sqrt{n}$，其中$Z$是一个对角矩阵的条目有界远离零。作为我们的方法的副产品，我们也可以处理一般扰动$B$下的额外假设$A$，这转化为相关的图上的连接假设。特别是，我们扩展了Rudelson和Zeitouni的高斯矩阵的结果，使一般的入口分布满足一些时刻的假设。我们的证明利用工具（据我们所知）以前未利用的随机矩阵理论，特别是Szemerédi的正则引理，和一个版本的限制可逆定理由于斯皮尔曼和Srivastava。
2018-05-18 math.PR
The limit of the smallest singular value of random matrices with i.i.d. entries
令$\{a_{ij}\}$ $(1\le i,j<\infty)$为i.i.d.。设整数序列$(N_m)_{m=1}^\infty$满足$m/N_m\longrightarrow z$，且对某个$z\in(0,1)$满足.对于每个$m\in{\mathbb N}$，用$A_m$表示$N_m\times m$随机矩阵$(a_{ij})$ $(1\le i\le N_m,1\le j\le m)$，并使$s_{m}(A_m)$为其最小奇异值。证明了序列$\bigl({N_m}^{-1/2} s_{m}(A_m)\bigr)_{m=1}^\infty$几乎必然收敛于$1-\sqrt{z}$.我们的结果不需要有界的任何时刻的$a_{ij}$的高于$2$ -ND和解决了一个长期存在的问题，关于最弱的时刻假设的条目的分布足以收敛举行。
2014-10-23 math.PR
The smallest singular value of a shifted $d$-regular random square matrix
我们导出了随机$d$ -正则矩阵的最小奇异值的一个下界，即随机$d$ -正则有向图的邻接矩阵。更精确地说，令$C_1<d< c_1 n/\log^2 n$和$\mathcal{M}_{n,d}$是所有$0/1$值的$n\times n$方阵的集合，使得矩阵$M\in \mathcal{M}_{n,d}$的每一行和每一列都恰好有$d$ 1.令$M$均匀分布在$\mathcal{M}_{n,d}$上。则$M$的最小奇异值$s_{n} (M)$以至少$1-C_2\log^2 d/\sqrt{d}$的概率大于$c_2 n^{-6}$，其中$c_1$、$c_2$、$C_1$和$C_2$是独立于任何其它参数的绝对正常数。
2018-07-18 math.CO math.PR
Bounding the smallest singular value of a random matrix without concentration
给定$X$为${\mathbb{R}}^n$中的随机向量，将$X_1,...,X_N$设置为$X$的独立副本，并将$Γ=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^N <X_i,\cdot>e_i$设为行为$\frac{X_1}{\sqrt{N}},\dots, \frac{X_N}{\sqrt{N}}$的矩阵。我们得到了尖锐的概率下界的最小奇异值$λ_{\min}(Γ)$在一个相当一般的情况下，特别是，假设$X$是一个各向同性的随机向量，其中$\sup_{t\in S^{n-1}}{\mathbb{E}}|<t,X>|^{2+η} \leq L$的一些$L,η>0$。我们的结果意味着一个白阴型的下限保持$η>2$，并在一个对数因子，$η=2$以及。在不对欧几里德范数$\|X\|_{\ell_2^n}$作任何额外假设的情况下，该界限成立。此外，我们建立了一个非平凡的下界，即使没有任何更高的时刻的假设（对应的情况$η=0$），如果线性形式满足一个弱的“小球”属性。
2013-12-12 math.PR
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
The smallest singular value of dense random regular digraphs
设$A$是一个$d$-正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵，并假设$\min(d,n-d)\geqλn$。我们表明，对于任何$κ\geq 0$，\[\mathbb{P}[s_n(A)\leqκ]\leq C_λκ\sqrt{n}+2e^{-c_λn}.\]直到常数$C_λ, c_λ> 0$，我们的界匹配$n\times n$随机矩阵的最优界，其每个条目是一个独立同分布的$\text{Ber}(d/n)$随机变量。我们的结果的特殊情况$κ= 0$证实了Cook关于稠密随机正则有向图奇异概率的一个猜想。
2020-08-11 math.CO math.PR
Regularization by free additive convolution, square and rectangular cases
自由卷积是对实数线上的概率测度集的二元运算，它允许从各个谱分布推导出独立酉不变平方随机矩阵之和或非交换概率空间中自由算子之和的谱分布。以同样的方式，矩形自由卷积允许从单个奇异分布推导出独立酉不变矩形随机矩阵之和的奇异分布。在本文中，我们考虑这些自由卷积的正则化性质的整个实数线。更具体地说，我们试图找到概率测度的连续半群$(μ_t)$，使得$μ_0$是零处的狄拉克质量，并且对于所有正的$t$和所有概率测度$ν$，$μ_t$与$ν$的自由卷积（或者，在矩形上下文中，$μ_t$与$ν$的矩形自由卷积）关于勒贝格测度是绝对连续的，在整条实数线上有正的解析密度。在平方情形下，我们证明了在满足这一性质的半群中，任何测度都不可能具有有限的二阶矩，并给出了半群满足这一性质的一个充分条件，并举例说明。在矩形情形下，我们证明了在大多数情况下，对于连续矩形卷积半群中的$μ$，$μ$与$ν$的矩形卷积要么在原点有一个原子，要么在原点的邻域中没有任何质量，因此预期的性质不成立.然而，我们给出了充分条件分析的矩形卷积的密度的$μ$与$ν$，除了一组可忽略的点，以及存在性和连续性的密度无处不在。
2008-06-05 math.PR
Rectangular R-transform as the limit of rectangular spherical integrals
本文将矩形自由概率论与球面积分联系起来。通过这种方式，我们证明了类似的，矩形或正方形的非厄米特矩阵，结果Guionnet和Maida证明厄米特矩阵在2005年。更具体地说，我们研究了当$n,m$趋于无穷大时，$\exp[\sqrt{nm}θX_n]$的期望值的对数（除以$n$）的极限，其中$X_n$是$U_n M_n V_m$的实部，$θ$是实数，$M_n$是确定性矩阵的某个$n\times m$，$U_n, V_m$是具有各自大小的独立Haar分布正交或酉矩阵$n\times n$，$m\times m$ .我们证明了当$M_n$的奇异律收敛到概率测度$μ$时，对于足够小的$θ$，这个极限实际上是存在的，并且可以用$μ$的矩形R变换来表示。这给出了这种变换的解释，它线性化了矩形自由卷积，作为对数拉普拉斯变换序列的极限。
2011-04-20 math.PR
Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application
假设$X$是一个$N \times n$复矩阵，其元素是具有方差$1/n$的中心、独立和同分布的随机变量，其四阶矩为${\mathcal O}(n^{-2})$。本文的第一部分考虑了非厄米特矩阵$X A X^* - z$，其中$A$是一个最小和最大奇异值分别有上下界的确定性矩阵，$z\neq 0$是一个复数。在$N$和$n$以相同的速率发散到无穷大的高维区域中，得到了该模型最小奇异值的渐近概率界。在本文的第二部分中，我们考虑了$A = J = [1_{i-j = 1\mod n} ]$是循环矩阵的特殊情况。利用第一部分的结果，证明了$X J X^*$的极限本征值分布在高维区域中的存在性，并明确地确定了这一极限。这一结果的统计应用被认为是致力于测试在一个多变量的时间序列的相关性的存在。假设$X$表示在长度为$n$的时间窗口上观察到的${\mathbb C}^N$值时间序列，则矩阵$X J X^*$表示该时间序列的一步样本自协方差矩阵。在此矩阵极限谱测度结果的指导下，引入了时间序列MA相关模型的白度检验。数值模拟结果表明，该测试的优异性能。
2019-09-27 math.PR
On the Largest Singular Values of Random Matrices with Independent Cauchy Entries
利用行列式方法研究了具有独立柯西元的大型$ m \times n $实矩形随机矩阵的最大奇异值的分布。我们表明，统计性质（重新缩放的$ \frac{1}{m^2\*n^2}$的一个因素）最大的奇异值同意在极限与强度$ \frac{1}π x^{-3/2} $的非齐次泊松随机点过程的统计，因此，是不同的Tracy-Widom定律。在我们的方法的其他推论，我们显示了一个有趣的数学期望之间的联系复杂的矩形$ m \times n $标准Wishart合奏和真正的矩形$ 2m \times 2n $标准Wishart合奏的决定因素。
2004-04-27 math-ph math.MP math.PR
The smallest singular value of sparse discrete random matrices
本文构建简单框架证明独立同分布稀疏离散随机矩阵的近似 Spielman-Teng 最小奇异值定理，并推广至 $μ$-lazy 随机变量情形。
2025-07-23 math.PR
An upper bound on the smallest singular value of dense random combinatorial matrices
本文研究密集随机组合矩阵的最小奇异值，证明其上界为$\sqrt{d}/(\varepsilon^2 n)$，确认其通常规模为$\mathcal{O}(n^{-1/2})$。
2026-04-14 math.PR
The least singular value of a random square matrix is O(n^{-1/2})
设A是一个矩阵，其元素是实同分布的。具有单位方差和适当矩假设的中心随机变量。则A的最小奇异值以高概率为n^{-1/2}阶。作者最近证明了这类估计的下估计，本文建立了匹配上估计。
2008-05-22 math.FA math.PR
On the smoothed analysis of the smallest singular value with discrete noise
令$A$是$n\times n$实矩阵，并且令$M$是$n\times n$随机矩阵，其条目是具有均值$0$和方差$1$的i.i.d亚高斯随机变量。本文对$A+M$的最小奇异值$s_n(A+M)$的研究做了两方面的贡献。(1)我们表明，对于所有的$ε\geq 0$，$$\mathbb{P}[s_n(A + M) \leq ε] = O(ε\sqrt{n}) + 2e^{-Ω(n)},$$只提供$A$有$Ω(n)$奇异值是$O(\sqrt{n})$。这扩展了Rudelson和Vershynin的一个著名结果，该结果要求$A$的所有奇异值都是$O(\sqrt{n})$。(2)证明了任何形式为$$\sup_{\|{A}\|\leq n^{C_1}}\mathbb{P}[s_n(A+M)\leq n^{-C_3}] \leq n^{-C_2}$$的界必有$C_3 = Ω(C_1 \sqrt{C_2})$ .这补充了Tao和Vu的结果，他们证明了这样一个与$C_3 = O(C_1C_2 + C_1 + 1)$的结合，并反驳了他们可能采取$C_3 = O(C_1 + C_2)$的猜测。
2020-09-03 cs.NA math.NA math.PR
Dimension Monotonicity in Laguerre Ensembles II: Average Singular Values and the Rectangularity Transition in the Orthogonal Case
Institute of Mathematics, Faculty of Science, Pavol Jozef Šafárik University in Košice（科希策帕沃尔·约瑟夫·沙法里克大学理学院数学研究所）
该研究解决了Bandeira等人关于正交群上小Grothendieck问题高斯常数维度依赖性猜想的实部，证明实方形高斯随机矩阵平均奇异值随维度严格递增至Marchenko–Pastur极限。
2026-09-14 math.PR
The smallest singular value of signed random combinatorial matrices
Shandong University（山东大学）
研究了有符号随机组合矩阵的最小奇异值，证明了其在特定条件下概率分布，并展示了该方法在受限环境下的应用。
2026-04-13 math.CO math.PR
The smallest singular value of heavy-tailed not necessarily i.i.d. random matrices via random rounding
研究了随机矩阵最小奇异值的小球行为。通常，建立这样的结果涉及，在某种程度上，单位球的离散化。这需要对矩阵的范数有界，而后者的界需要对元素分布的强假设，如有界四阶矩（弱估计），亚高斯尾（强估计），以及结构假设，如均值零和方差一。最近，Rebrova和Tikhomirov开发了一种离散化程序，它不依赖于强尾假设的条目。然而，他们的论证仍然需要均值为零、方差为1的结构性假设。条目在本文中，我们讨论了一个有效的离散化的单位球，它的工作指数高概率，不需要任何这样的结构假设，而且，不需要独立的行的矩阵。我们证明了存在的网络附近的球，比较值的任何（确定性）随机矩阵的球和通过正规化的希尔伯特-施密特规范，我们介绍的网络。这种细化是平均的一种形式，并且具有强的大偏差特性。作为结果，我们证明了尖锐的小球估计的最小奇异值的平方随机矩阵在温和的假设下，和随机矩阵的任意纵横比。
2021-11-18 math.AP math.MG math.PR
Upper bound for intermediate singular values of random matrices
本文证明了具有独立中心次高斯元素的$n\times n$矩阵$A$至少以概率$1-\exp(-C_2tl)$满足\[ s_{n+1-l}(A) \le C_1t \frac{l}{\sqrt{n}} \].这产生与已知下界组合的$s_{n-l}(A) \sim \frac{cl}{\sqrt{n}}$。这些结果可以推广到矩形矩阵的情况。
2016-08-02 math.PR
Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values
经典的随机矩阵理论主要研究随机矩阵维数增长到无穷大时的渐近谱性质。与此同时，从凸几何到泛函分析再到信息论，许多最近的应用都是用固定维的随机矩阵来操作的。本文研究了独立元随机矩阵极值奇异值的非渐近理论。本文主要讨论了随机矩阵硬边（最小奇异值）的几何估计方法。
2010-04-07 math.FA math.PR
Singular Subspace Perturbation Bounds via Rectangular Random Matrix Diffusions
针对受高斯噪声扰动的矩阵，本文将奇异向量扰动视为 Dyson-Bessel 扩散过程，利用随机微积分推导出前 k 个奇异子空间 Frobenius 距离的新界限，将先前结果改进了 $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{d}} \sqrt{k}$ 倍。
2024-06-04 cs.DS cs.NA math.NA
On the smallest singular value of the product of random and deterministic matrices
University of Washington（华盛顿大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究随机矩阵\(A\)与确定性矩阵\(M\)乘积的最小奇异值，通过对随机矩阵元素条件设定，证明存在依赖\(K\)和\(\kappa\)的常数使相关概率不等式成立，高斯情形下该估计精确。
2026-07-09 math.PR
The smallest singular value of random combinatorial matrices
设$Q_n$是随机$n\times n$矩阵，其元素在$\{0,1\}$中，其行是恰好$n/2$零分量的独立向量。我们证明了$Q_n$的最小奇异值$s_n(Q_n)$满足\[ \mathbb{P}\Big\{s_n(Q_n)\le \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\Big\} \le C\varepsilon + 2 e^{-cn} \quad \forall \varepsilon \ge 0, \]，这是最优的常数$C,c>0$。这改进了Ferber、Jain、Luh和Samotij以及Jain的早期结果。特别是，对于$\varepsilon=0$，我们得到的奇异概率\[ \mathbb{P}\big\{Q_n \,\,\text{is singular}\big\} \le 2 e^{-cn}.\]的维度的第一个指数界。为了克服$Q_n$的条目之间缺乏独立性，我们引入了一个算术组合不变的一对向量，我们称之为组合最小公分母（CLCD）。证明了组合统计量$\sum_{i=1}^{n}a_iv_{σ(i)}$关于$(a,v)$对的CLCD的小球概率不等式，其中$σ$是$\{1,2,\ldots,n\}$的一致随机置换，$a:=(a_1,\ldots,a_n), v:=(v_1,\ldots,v_n)$是实向量.这个不等式使我们能够推导出$Q_n$的一个固定行…
2020-10-30 math.CO math.PR
On the smallest singular value of symmetric random matrices
我们证明了对于$n\times n$随机对称矩阵$A_n$，其对角线上和对角线上的元素是具有平均值$0$和方差$1$的亚高斯随机变量$ξ$的独立副本，\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O_ξ(ε^{1/8} + \exp(-Ω_ξ(n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]这改进了Vershynin的结果，Vershynin获得了这样的界，其中对于小常数$c$，用$n^{c}$代替$n^{1/2}$，并用$(1/8) + η$代替$1/8$（其中隐式常数也取决于$η> 0$）。此外，当$ξ$是Rademacher随机变量时，我们证明了\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O(ε^{1/8} + \exp(-Ω((\log{n})^{1/4}n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]特殊情况$ε= 0$改进了Campos，Mattos，Morris和Morrison最近的结果，该结果表明$\mathbb{P}[s_n(A_n) = 0] \le O(\exp(-Ω(n^{1/2}))).$我们工作的主要创新是算术结构的新概念-中值正则化最小公分母和中值阈值，我们相信这在需要结合载体不同部分的抗浓缩信息的情况…
2020-11-03 math.PR
Random matrices: The distribution of the smallest singular values
设$\a$是均值为零、方差为1的实值随机变量。令$M_n(\a)$表示其条目是$\a$的iid副本的$n \times n$随机矩阵，并且$σ_n(M_n(\a))$表示$M_n(\a)$的最小奇异值。（$σ_n(M_n(\a))^2$通常也被解释为Wishart矩阵$M_n M_n^{\ast}$的最小特征值。）我们表明，（在有限矩假设下）的概率分布$n σ_n(M_n(\a))^2$是{ \it通用}的意义上说，它不依赖于分布的$\a$。特别地，当$a$是实高斯时，它收敛到与特殊情况相同的极限分布。(The在这种情况下，Edelman明确计算了极限分布。）对于均值为零的复值随机变量，实部和虚部方差为1/2，协方差为零，我们也证明了类似的结果。对于任何固定的$k$（甚至对于$k$作为$n$的小幂增长）和矩形矩阵，对于$M_n(\a)$的底部$k$奇异值的联合分布也得到了类似的结果。我们的方法的动机是从组合学和理论计算机科学的一般思想的“属性测试”。这似乎是随机矩阵谱研究的一种新方法，并结合了数学各个领域的工具。
2009-03-03 math.CO math.PR
The smallest singular value of inhomogeneous square random matrices
本文证明了对于具有独立一致反集中元素的$n\times n$随机矩阵$A$，使得$\mathbb{E} ||A||^2_{HS}\leq K n^2$，$A$的最小奇异值$σ_n(A)$满足$$ P\left( σ_n(A)\leq \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \right) \leq C\varepsilon+2e^{-cn},\quad \varepsilon \ge 0. $$。这推广了Rudelson和Vershynin，Rebrova和Tikhomirov的早期结果，去掉了平均值为零和元素在矩阵上同分布的假设，以及Livshyts的最近结果。其中要求基质具有I.I.D.行。我们的模型涵盖了“inclusive”矩阵，允许不同的条目的方差，只要二阶矩的总和是$O(n^2)$。在过去的发展中，i.i.d.的假设。行是必需的，由于缺乏Littlewood-Offord-型不等式的加权和非独立同分布。随机变量。在这里，我们克服了这个问题，通过引入随机最小公分母（RLCD），它允许研究独立的，但不相同分布的变量的加权和的反集中特性。我们在具有格结构的球面上构造了有效网，并证明了格点通常具有大的RLCD。这使我们能够获得强大的反浓度属性之间的距离固定列的$A$和线性跨度的其余列，并证明了主要结果。
2020-10-27 math.CA math.MG math.PR
Singular values of sparse random rectangular matrices: Emergence of outliers at criticality
本文研究临界稀疏二分 Erdős–Rényi 图归一化邻接矩阵的奇异值离群现象，给出不同稀疏参数下离群值在 MP 谱两侧出现或消失的阈值、位置及数量刻画。
2025-08-29 cs.NA math.CO math.NA
Local Statistics of Singular Values for Products of Truncated Unitary Matrices
本文研究具有不变Haar测度的截断酉矩阵系综采样的独立大矩形矩阵乘积的奇异值局部谱统计，确立其普适三阶段相变，给出该场景下的完整刻画。
2025-06-17 math.PR
Rectangular Matrix Additions in Low and High Temperatures
研究两个独立随机矩形矩阵在低温（β→∞）和高温（β→0）极限下的加法，通过类型BC Bessel函数分析引入新累积量族，揭示了低温和高温之间的对偶性。
2026-05-27 math-ph math.CO math.MP
Edge statistics of large dimensional deformed rectangular matrices
我们考虑了$Y_t=Y+\sqrt{t}X,$形式的高维变形矩形矩阵的边缘统计，其中$Y$是$p \times n$确定性信号矩阵，其秩与$n$相当，$X$是具有中心i.i.d.的$p\times n$随机噪声矩阵。具有方差$n^{-1}$的条目，$t>0$给出噪声水平。在研究大规模多输入多输出（MIMO）系统时，该模型被称为干扰加噪声矩阵，属于所谓的信号加噪声模型的范畴。对于$t=1$的情况，文献中已经在一定程度上研究了该模型的谱统计。在本文中，我们研究的奇异值和奇异向量统计的$Y_t$周围的最右边的奇异值谱在较硬的制度$n^{-2/3}\ll t \ll 1$。这种情况比$t=1$的情况更困难，因为一方面，$YY^\top$的经验谱分布（ESD）的边缘行为对$Y_tY_t^\top$的边缘统计具有强烈的影响，因为$t\ll 1$是“小的”，而另一方面，$Y_t$的边缘统计也不仅仅是$Y$的边缘统计的扰动，因为$t\gg n^{-2/3}$是“大的”。在一定的正则性假设下，证明了$Y,$上的矩阵$Y_tY_t^\top$和$Y_t^\top Y_t$的边普适性、特征值刚性和特征向量解局部化.这些结果可以用来估计和推断大规模MIMO系统。为了证明主要结果，我们分析了$Y_tY_t^\top$的渐近ESD的边缘行为，并建立了关于$Y_tY_t^\top$的预解式的一些尖锐的局部律.这…
2022-05-24 math.PR math.ST stat.TH
Singular vector distribution of sample covariance matrices
Department of Statistical Sciences, University of Toronto（多伦多大学统计科学系）
研究样本协方差矩阵奇异向量分布，证明其在特定矩条件下与高斯族集合一致。
2017-09-16 math.PR
Multiple collisions of eigenvalues and singular values of matrix Gaussian field
该研究针对元素为独立高斯随机场的对称/厄米矩阵与矩形矩阵，分别推导了特征值过程、非平凡奇异值过程多重碰撞具正概率的充要条件，并通过Hausdorff维数刻画碰撞时刻集的规模。
2024-07-12 math.PR
Gaps between Singular Values of Sample Covariance Matrices
本文研究随机矩形矩阵相邻奇异值间隙，在 i.i.d. 元素与确定性正定变换下给出下界，证明样本协方差矩阵高概率单谱并解决 Vu 猜想，还应用于随机二部图邻接矩阵。
2025-10-04 math.PR
Singular value decomposition of large random matrices (for two-way classification of microarrays)
研究了在Wigner噪声下爆破矩阵和标准化爆破列联表的奇异值分解的渐近行为，证明了这样一个m \times n矩阵几乎必然存在常数个大奇异值（\sqrt{mn}阶），而其余奇异值的阶为\sqrt{m+n}，如m，n \to \infty .将Alon等关于大型对称随机矩阵特征值的集中结果推广到矩形情形，并在此基础上证明了奇异值及相应的迷向子空间的几乎必然结果.一个算法，适用于微阵列的两种方式分组，也给出了发现的基本块结构。
2008-05-22 math.PR math.ST stat.TH
