Mesoscopic Rectangular Spikes under Subspace Local Laws: Outlier Values and Singular Subspaces
Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文研究子空间局部律下的介观矩形尖峰，通过该假设定位计数异常值、确定奇异子空间，在四类场景验证假设并计算Marchenko–Pastur噪声的常数，为高维数据相关问题提供理论支撑。
2026-08-21 math.PR
The smallest singular value of a random rectangular matrix
我们证明了随机亚高斯矩阵最小奇异值的最佳估计，该估计对所有固定维度都有效。对于具有独立同分布次高斯元素的N × n矩阵A，A的最小奇异值以高概率至少为\sqrt{N} - \sqrt{n-1}阶.并给出了概率的精确估计。
2009-08-03 math.FA math.PR
The smallest singular value of large random rectangular Toeplitz and circulant matrices
本文研究大型随机矩形Toeplitz与循环矩阵的最小奇异值，证明其最小特征值收敛于零，并给出收敛速率的下界（快于多对数但慢于多项式）及矩形循环矩阵的多项式上界。
2025-01-20 math.PR
The outliers among the singular values of large rectangular random matrices with additive fixed rank deformation
考虑矩阵$Σ_n = n^{-1/2} X_n D_n^{1/2} + P_n$，其中矩阵$X_n \in \C^{N\times n}$具有高斯标准独立元素，$D_n$是确定性对角非负矩阵，并且$P_n$是具有固定秩的确定性矩阵。在某些已知条件下，$Σ_n Σ_n^*$和$n^{-1} X_n D_n X_n^*$的谱测度都收敛到一个紧支持的概率测度$μ$，即$N,n\to\infty$和$N/n\to c>0$ .本文证明了$Σ_nΣ_n^*$的多个特征值在高维区域可以远离$μ$的支集。研究了这些离群点在$\R - \support(μ)$的任意连通分支中的存在性和位置。分析了$Σ_nΣ_n^*$最大异常值的波动情况。结果发现在信号处理和无线电通信领域的应用。
2013-01-22 math.PR
Global and local limits for products of rectangular Ginibre matrices
本文研究独立矩形复 Ginibre 矩阵乘积的奇异值统计，在矩形性参数趋于共同极限时给出极限谱密度，并证明体局部统计服从普适正弦核。
2025-10-20 math.PR
Cumulants in rectangular finite free probability and beta-deformed singular values
Department of Mathematics, The Ohio State University（俄亥俄州立大学数学系）
本文定义了(n,d)-矩形矩量，证明了矩量-矩公式，并展示其在有限自由概率中的线性化作用及在特定参数下收敛于自由概率中的q-矩形自由矩量，应用于对称经验根分布极限的研究。
2026-04-20 math.CO math.PR
On a surprising relation between rectangular and square free convolutions
Debbah和Ryan最近证明了两个维数趋于无穷大的矩形随机矩阵之和的极限经验奇异分布的一个结果。在本文中，我们重新制定的矩形自由卷积在以前的文件中介绍，然后我们给出了一个新的，更短的，证明这一结果在较弱的假设：我们不假设\pro措施在这个结果中的问题是紧支持了。最后讨论了这个结果在矩形随机矩阵与正方形随机矩阵关系族中的包含问题。
2008-07-03 math.PR
A theory of singular values for finite free probability
本文提出适用于矩形矩阵的有限自由概率理论，将其转化为多项式奇异值操作，证明其能复制自由概率变换并渐近收敛，同时在新框架下显式化大数定律与中心极限定理。
2023-10-24 math.OA math.PR
Regularization by free additive convolution, square and rectangular cases
自由卷积是对实数线上的概率测度集的二元运算，它允许从各个谱分布推导出独立酉不变平方随机矩阵之和或非交换概率空间中自由算子之和的谱分布。以同样的方式，矩形自由卷积允许从单个奇异分布推导出独立酉不变矩形随机矩阵之和的奇异分布。在本文中，我们考虑这些自由卷积的正则化性质的整个实数线。更具体地说，我们试图找到概率测度的连续半群$(μ_t)$，使得$μ_0$是零处的狄拉克质量，并且对于所有正的$t$和所有概率测度$ν$，$μ_t$与$ν$的自由卷积（或者，在矩形上下文中，$μ_t$与$ν$的矩形自由卷积）关于勒贝格测度是绝对连续的，在整条实数线上有正的解析密度。在平方情形下，我们证明了在满足这一性质的半群中，任何测度都不可能具有有限的二阶矩，并给出了半群满足这一性质的一个充分条件，并举例说明。在矩形情形下，我们证明了在大多数情况下，对于连续矩形卷积半群中的$μ$，$μ$与$ν$的矩形卷积要么在原点有一个原子，要么在原点的邻域中没有任何质量，因此预期的性质不成立.然而，我们给出了充分条件分析的矩形卷积的密度的$μ$与$ν$，除了一组可忽略的点，以及存在性和连续性的密度无处不在。
2008-06-05 math.PR
Rectangular R-transform as the limit of rectangular spherical integrals
本文将矩形自由概率论与球面积分联系起来。通过这种方式，我们证明了类似的，矩形或正方形的非厄米特矩阵，结果Guionnet和Maida证明厄米特矩阵在2005年。更具体地说，我们研究了当$n,m$趋于无穷大时，$\exp[\sqrt{nm}θX_n]$的期望值的对数（除以$n$）的极限，其中$X_n$是$U_n M_n V_m$的实部，$θ$是实数，$M_n$是确定性矩阵的某个$n\times m$，$U_n, V_m$是具有各自大小的独立Haar分布正交或酉矩阵$n\times n$，$m\times m$ .我们证明了当$M_n$的奇异律收敛到概率测度$μ$时，对于足够小的$θ$，这个极限实际上是存在的，并且可以用$μ$的矩形R变换来表示。这给出了这种变换的解释，它线性化了矩形自由卷积，作为对数拉普拉斯变换序列的极限。
2011-04-20 math.PR
Phase transition for the bottom singular vector of rectangular random matrices
本文研究重尾矩形随机矩阵最小奇异值对应右奇异向量的局域化长度，证明其随参数跨过临界值时发生相变，并揭示该相变机制与顶部奇异向量情形本质不同。
2024-09-17 math-ph math.MP math.PR
Infinitely divisible distributions for rectangular free convolution: classification and matricial interpretation
在以前的论文（称为“矩形随机矩阵。相关卷积”），我们定义，为$λ\in [0,1]$，矩形自由卷积与比率$λ$。在这里，我们调查的相关概念的无限可分性，这恰好是密切相关的经典的无限可分性：有一个双射之间的一组经典对称无穷可分分布和一组分布的无限可分关于这个卷积，它保持极限定理。我们给出一个解释这种对应关系的随机矩阵：我们构建分布的复杂的矩形矩阵，从而产生随机矩阵的奇异法律（即均匀分布在其奇异值）从对称的经典无穷可分分布到他们的图像由前面提到的双射时，尺寸从1到无穷大的比率$λ$。
2006-11-17 math.OA math.PR
Extreme singular values of inhomogeneous sparse random rectangular matrices
本研究基于非回溯算子与Ihara-Bass公式，提出统一方法界定非齐次稀疏随机矩形矩阵的极端奇异值，给出概率界并将Bai-Yin定理推广至稀疏情形。
2024-12-12 math.CO math.PR math.ST
Dimension Monotonicity in Laguerre Ensembles II: Average Singular Values and the Rectangularity Transition in the Orthogonal Case
Institute of Mathematics, Faculty of Science, Pavol Jozef Šafárik University in Košice（科希策帕沃尔·约瑟夫·沙法里克大学理学院数学研究所）
该研究解决了Bandeira等人关于正交群上小Grothendieck问题高斯常数维度依赖性猜想的实部，证明实方形高斯随机矩阵平均奇异值随维度严格递增至Marchenko–Pastur极限。
2026-09-14 math.PR
The smallest singular value for rectangular random matrices with Lévy entries
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究元素服从重尾 Lévy 分布的矩形随机矩阵最小奇异值，证明其在高概率下可确定至对数因子，并给出新的下界及扰动矩阵情形。
2026-10-23 math.PR
Upper bound for intermediate singular values of random matrices
本文证明了具有独立中心次高斯元素的$n\times n$矩阵$A$至少以概率$1-\exp(-C_2tl)$满足\[ s_{n+1-l}(A) \le C_1t \frac{l}{\sqrt{n}} \].这产生与已知下界组合的$s_{n-l}(A) \sim \frac{cl}{\sqrt{n}}$。这些结果可以推广到矩形矩阵的情况。
2016-08-02 math.PR
On the Largest Singular Values of Random Matrices with Independent Cauchy Entries
利用行列式方法研究了具有独立柯西元的大型$ m \times n $实矩形随机矩阵的最大奇异值的分布。我们表明，统计性质（重新缩放的$ \frac{1}{m^2\*n^2}$的一个因素）最大的奇异值同意在极限与强度$ \frac{1}π x^{-3/2} $的非齐次泊松随机点过程的统计，因此，是不同的Tracy-Widom定律。在我们的方法的其他推论，我们显示了一个有趣的数学期望之间的联系复杂的矩形$ m \times n $标准Wishart合奏和真正的矩形$ 2m \times 2n $标准Wishart合奏的决定因素。
2004-04-27 math-ph math.MP math.PR
Local Statistics of Singular Values for Products of Truncated Unitary Matrices
本文研究具有不变Haar测度的截断酉矩阵系综采样的独立大矩形矩阵乘积的奇异值局部谱统计，确立其普适三阶段相变，给出该场景下的完整刻画。
2025-06-17 math.PR
The smallest singular value of inhomogenous random rectangular matrices
本文研究独立但非齐次元素的随机矩形矩阵最小奇异值，在有界 $2+\beta$ 矩或均匀反集中条件下建立下尾界，并推广已有独立同分布结果。
2025-07-25 math.MG math.PR
A distance theorem for inhomogenous random rectangular matrices
本文证明非齐次随机矩形矩阵列空间与独立随机向量的距离小球估计，并提出 Randomized Logarithmic LCD 工具以推广已有距离定理。
2025-07-25 math.MG math.PR
On minimal singular values of random matrices with correlated entries
令$\mathbf X$是一个随机矩阵，其成对的条目$X_{jk}$和$X_{kj}$是相关的，并且对于$1\le j<k\le n$，向量$ (X_{jk},X_{kj})$是相互独立的。假设对角线条目也独立于非对角线条目。我们假设$\mathbb{E} X_{jk}=0$，$\mathbb{E} X_{jk}^2=1$，对于任何$j,k=1,\ldots,n$和$\mathbb{E} X_{jk}X_{kj}=ρ$ $1\le j<k\le n$。设$\mathbf M_n$是具有$\|\mathbf M_n\|\le Kn^Q$的非随机$n\times n$矩阵，其中$K>0$和$Q\ge 0$为正常数。令$s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)$表示矩阵$\mathbf X+\mathbf M_n$的最小奇异值。证明了存在正的常数$A$和$B$仅依赖于$K,Q,ρ$，使得$$ \mathbb{P}(s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)\le n^{-A})\le n^{-B}. $$作为这个结果的应用，我们证明了这类矩阵具有不等分布相关元的椭圆律.
2013-09-23 math.PR
Singular Subspace Perturbation Bounds via Rectangular Random Matrix Diffusions
针对受高斯噪声扰动的矩阵，本文将奇异向量扰动视为 Dyson-Bessel 扩散过程，利用随机微积分推导出前 k 个奇异子空间 Frobenius 距离的新界限，将先前结果改进了 $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{d}} \sqrt{k}$ 倍。
2024-06-04 cs.DS cs.NA math.NA
Singular vector distribution of sample covariance matrices
Department of Statistical Sciences, University of Toronto（多伦多大学统计科学系）
研究样本协方差矩阵奇异向量分布，证明其在特定矩条件下与高斯族集合一致。
2017-09-16 math.PR
Multiple collisions of eigenvalues and singular values of matrix Gaussian field
该研究针对元素为独立高斯随机场的对称/厄米矩阵与矩形矩阵，分别推导了特征值过程、非平凡奇异值过程多重碰撞具正概率的充要条件，并通过Hausdorff维数刻画碰撞时刻集的规模。
2024-07-12 math.PR
Singular values of sparse random rectangular matrices: Emergence of outliers at criticality
本文研究临界稀疏二分 Erdős–Rényi 图归一化邻接矩阵的奇异值离群现象，给出不同稀疏参数下离群值在 MP 谱两侧出现或消失的阈值、位置及数量刻画。
2025-08-29 cs.NA math.CO math.NA
Gaps between Singular Values of Sample Covariance Matrices
本文研究随机矩形矩阵相邻奇异值间隙，在 i.i.d. 元素与确定性正定变换下给出下界，证明样本协方差矩阵高概率单谱并解决 Vu 猜想，还应用于随机二部图邻接矩阵。
2025-10-04 math.PR
Rectangular Matrix Additions in Low and High Temperatures
研究两个独立随机矩形矩阵在低温（β→∞）和高温（β→0）极限下的加法，通过类型BC Bessel函数分析引入新累积量族，揭示了低温和高温之间的对偶性。
2026-05-27 math-ph math.CO math.MP
Edge statistics of large dimensional deformed rectangular matrices
我们考虑了$Y_t=Y+\sqrt{t}X,$形式的高维变形矩形矩阵的边缘统计，其中$Y$是$p \times n$确定性信号矩阵，其秩与$n$相当，$X$是具有中心i.i.d.的$p\times n$随机噪声矩阵。具有方差$n^{-1}$的条目，$t>0$给出噪声水平。在研究大规模多输入多输出（MIMO）系统时，该模型被称为干扰加噪声矩阵，属于所谓的信号加噪声模型的范畴。对于$t=1$的情况，文献中已经在一定程度上研究了该模型的谱统计。在本文中，我们研究的奇异值和奇异向量统计的$Y_t$周围的最右边的奇异值谱在较硬的制度$n^{-2/3}\ll t \ll 1$。这种情况比$t=1$的情况更困难，因为一方面，$YY^\top$的经验谱分布（ESD）的边缘行为对$Y_tY_t^\top$的边缘统计具有强烈的影响，因为$t\ll 1$是“小的”，而另一方面，$Y_t$的边缘统计也不仅仅是$Y$的边缘统计的扰动，因为$t\gg n^{-2/3}$是“大的”。在一定的正则性假设下，证明了$Y,$上的矩阵$Y_tY_t^\top$和$Y_t^\top Y_t$的边普适性、特征值刚性和特征向量解局部化.这些结果可以用来估计和推断大规模MIMO系统。为了证明主要结果，我们分析了$Y_tY_t^\top$的渐近ESD的边缘行为，并建立了关于$Y_tY_t^\top$的预解式的一些尖锐的局部律.这…
2022-05-24 math.PR math.ST stat.TH
Intermediate Singular Values of Random Matrices under Second-Moment and Anti-Concentration Assumptions
University of Southern California（南加州大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究在二阶矩与反集中假设下，证明了随机矩阵中间奇异值的最优上界及指数尾估计，结合下界得到其渐近阶，还推广到矩形随机矩阵的情形。
2026-09-01 math.PR
Renormalisation of Singular SPDEs with Correlated Coefficients
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学院）
本文研究了具有相关系数的奇异随机偏微分方程的局部良定性，通过随机重整化函数和随机估计方法解决了传统重整化常数导致的方差问题。
2026-03-07 math.AP math.PR
Invariance principles for operator-scaling Gaussian random fields
最近，Hammond和Sheffield引入了一个相关随机游动模型，该模型可扩展到具有长程依赖性的分数布朗运动。在本文中，我们考虑一个自然的推广，这个模型的尺寸$d\geq 2$。定义了一个$\mathbb Z^d$ -指标随机场，其依赖关系由一个顶点为$\mathbb Z^d$的随机图所控制，并研究了矩形集上随机场部分和的标度极限.一个有趣的现象出现了：取决于矩形集合沿不同方向增加的速度，在极限中产生不同的随机场。特别地，存在临界状态，其中极限随机场是算子缩放的并且继承离散模型的完全依赖结构，而在其它状态中，极限随机场具有至少一个方向，该方向具有不变增量或独立增量，不再反映离散模型中的依赖结构。极限随机场形成了一类一般的算子标度高斯随机场。研究了它们的增量和路径性质。
2015-04-19 math.PR
Width distributions for rectangular boxes
本文推导了长方体在随机方向下宽度分布的闭式累积分布函数，分类了奇点并计算系数，得到各阶累积量的性质，还将方法扩展到中心对称体为zonotope的几何体及所有满维多面体。
2026-08-05 math.MG math.PR
Singular value decomposition of large random matrices (for two-way classification of microarrays)
研究了在Wigner噪声下爆破矩阵和标准化爆破列联表的奇异值分解的渐近行为，证明了这样一个m \times n矩阵几乎必然存在常数个大奇异值（\sqrt{mn}阶），而其余奇异值的阶为\sqrt{m+n}，如m，n \to \infty .将Alon等关于大型对称随机矩阵特征值的集中结果推广到矩形情形，并在此基础上证明了奇异值及相应的迷向子空间的几乎必然结果.一个算法，适用于微阵列的两种方式分组，也给出了发现的基本块结构。
2008-05-22 math.PR math.ST stat.TH
Long Random Matrices and Tensor Unfolding
California Institute of Technology（加州理工学院）；Courant Institute, NYU（纽约大学库朗研究所）
本文考虑了大型矩形随机矩阵低秩扰动的奇异值和奇异向量，在矩阵为“长”的情况下，我们允许行（列）数随列（行）数多项式增长.我们证明了存在一个临界信噪比（取决于矩阵的维数），以及极端的奇异值和奇异向量表现出BBP型相变。作为一个主要的应用，我们研究了非对称秩一尖峰张量模型的张量展开算法，得到了一个与张量展开过程无关的精确阈值。如果信噪比高于阈值，则张量展开检测信号;否则，它无法捕获信号。
2021-10-19 cs.LG math.PR stat.ML
Eigenvector Overlaps of Random Covariance Matrices and their Submatrices
该研究在宏观比例收敛条件下，利用布朗轨迹下的奇异向量动力学与预解式，推导了高斯矩阵及其子矩阵奇异向量的极限缩放均方重叠显式形式，零初始矩阵时公式简化为类柯西函数。
2025-01-15 cond-mat.stat-mech math.PR q-fin.MF
Bulk and soft-edge universality for singular values of products of Ginibre random matrices
Akemann、Ipsen和Kieburg已经证明，具有独立复高斯元素的$M$矩形随机矩阵的乘积的平方奇异值根据具有相关核的行列式点过程分布，该相关核允许用Meijer G函数表示。证明了平方奇异值的局部统计量的普适性，即由正弦核给出的体普适性和由Airy核给出的边普适性.证明是基于相关核的双围道整表示的渐近分析。我们的策略可以推广到处理最近介绍的随机矩阵乘积的其他模型，并建立类似的普遍结果。研究了另外两个例子，一个是Forrester研究的$M$ Gemibre矩阵与$K$ Gemibre矩阵的逆的积，另一个是Kuijlaars和Stivigny研究的$M-1$ Gemibre矩阵与一个截断的酉矩阵的积。
2015-06-06 math-ph math.CA math.MP
Singular values of products of Ginibre random matrices, multiple orthogonal polynomials and hard edge scaling limits
Akemann，Ipsen和Kieburg最近证明了具有独立复高斯项的M个矩形随机矩阵的乘积的平方奇异值是根据具有相关核的行列式点过程分布的，相关核可以用Meijer G-函数表示。我们表明，这一点的过程可以被解释为一个多正交多项式合奏。我们给出了相关多个正交多项式的积分表示和相关核的新双轮廓积分，这使我们能够找到其在原点（硬边缘）的缩放极限。极限核推广了经典的Bessel核。当M=2时，它们与Bertola、Gekhtman和Szmigielski在Cauchy-Laguerre双矩阵模型中发现的标度极限一致，这表明这些核代表了随机矩阵理论中的一个新的普适类。
2013-12-23 math-ph math.CA math.MP
A singular Toeplitz determinant and the discrete tacnode kernel for skew-Aztec Rectangles
随机平铺几何形状与多米诺骨牌或菱形一直是一个丰富的来源普遍的统计分布。本文研究棋盘上两个相邻的正方形和下两个相邻的正方形具有相同的方向以及最左两个相邻的正方形和最右两个相邻的正方形具有相同的方向的多米诺骨牌拼接问题。它迫使这些所谓的“倾斜阿兹特克矩形”在两边都有切口。对于大尺寸的域和适当缩放的位置的削减，人们发现分裂tacnode与两个不同的相邻的冷冻相下降到tacnode的液体区域之间。在这种分裂的触结周围放大，细丝出现在液体斑块之间，形成另一种类型的二聚体的砖状海洋。这项工作表明，在附近的分裂tacnode的随机波动是由离散tacnode内核渐近，提供了强有力的证据表明，这个内核是一个普遍的离散连续的限制内核自然发生时，我们有双交织模式。分析涉及到一个奇异的Toeplitz矩阵，导致相当大的困难的逆。
2019-12-05 math-ph math.MP math.PR
Generalised Entanglement Entropies from Unit-Invariant Singular Value Decomposition
The Oskar Klein Centre and Department of Physics, Stockholm University（斯德哥尔摩大学奥斯克·克莱因中心与物理系）；Yukawa Institute for Theoretical Physics, Kyoto University（京都大学汤川理论物理研究所）；Faculty of Physics, University of Warsaw（华沙大学物理学院）
本文提出一种在特定尺度变换下不变的广义纠缠熵，基于单位不变奇异值分解，适用于非厄密或矩形算子，并在双正交量子力学等框架中展现稳定且物理有意义的熵谱。
2026-05-16 hep-th math-ph math.MP
