Spectral measure for uniform $d$-regular digraphs
本研究将均匀d-正则随机有向图经验谱分布收敛于自由和Brown测度的猜想，简化为平移矩阵最小奇异值小概率事件的衰减界问题，通过厄米化格林函数的精确估计完成推导，该估计具独立价值。
2025-07-29 math.CO math.PR
Large corank of dense random regular digraphs
本文证明稠密随机正则有向图邻接矩阵的秩小于等于 n-k 的概率指数衰减，扩展了 Jain 等人的奇异性界。
2026-10-06 math.CO math.PR
The Smallest Singular Value of a Shifted Random Matrix
设$R_n$是具有i.i.d.的$n \times n$随机矩阵。亚高斯项令$M$是具有范数$\lVert M \rVert \le n^γ$的$n \times n$确定性矩阵，其中$1/2<γ<1$。本文的目的是给出和$R_n + M$的最小奇异值的一般估计，改进了Tao和Vu的一个较早的结果.
2021-08-11 math.PR
The smallest singular value of a random rectangular matrix
我们证明了随机亚高斯矩阵最小奇异值的最佳估计，该估计对所有固定维度都有效。对于具有独立同分布次高斯元素的N × n矩阵A，A的最小奇异值以高概率至少为\sqrt{N} - \sqrt{n-1}阶.并给出了概率的精确估计。
2009-08-03 math.FA math.PR
The smallest singular value of deformed random rectangular matrices
证明了乘加变形随机矩形矩阵的最小奇异值的一个估计。假设对于某个常数$Λ\ge 1$，有$n\le N \le M \le ΛN$。设$X$是一个$M\times n$随机矩阵，其元素独立同分布，均值为零，方差为单位，矩为任意高。令$T$是$N\times M$确定性矩阵，对于某个常数$c>0$，具有可比奇异值$c\le s_{N}(T) \le s_{1}(T) \le c^{-1}$。令$A$是具有$\|A\|=O(\sqrt{N})$的$N\times n$确定性矩阵。然后证明了对于任意的$ε>0$，$TX-A$的最小奇异值以很高的概率大于$N^{-ε}(\sqrt{N}-\sqrt{n-1})$.如果我们进一步假设$X$的项具有亚高斯衰减，则$TX-A$的最小奇异值至少具有高概率的$\sqrt{N}-\sqrt{n-1}$阶，这是本质上最优的估计。
2018-10-16 math.PR
Smallest Singular Value for Perturbations of Random Permutation Matrices
我们采取了第一个小的步骤，扩展的有效性Rudelson-Vershynin型估计的一些稀疏的随机矩阵，这里的随机置换矩阵。本文给出了一个大的随机矩阵D+M的最小奇异值的上（下）界，这里M是一个均匀采样的随机置换矩阵，D是对角矩阵。当D本身是随机的且对角线上有独立同分布项时，利用负漂移随机游动的经典理论，得到了一个Rudelson-Vershynin型估计.
2014-04-15 math.PR
The smallest singular value of signed random combinatorial matrices
Shandong University（山东大学）
研究了有符号随机组合矩阵的最小奇异值，证明了其在特定条件下概率分布，并展示了该方法在受限环境下的应用。
2026-04-13 math.CO math.PR
An upper bound on the smallest singular value of a square random matrix
令$A = (a_{ij})$是具有i.i.d.的正方形$n\times n$矩阵。零均值和单位方差项。Rudelson和Vershynin证明了最小奇异值$s_n(A)$的上界是$n^{-\frac12}$阶，概率接近于1，在额外的假设下，$A$的条目是$\mathbb{E}a^4_{11} < \infty$。我们去掉了对四阶矩的假设，给出了仅假设$\mathbb{E}a^2_{11} = 1.$的上界
2018-11-20 math.PR
On the Largest and the Smallest Singular Value of Sparse Rectangular Random Matrices
我们推导出稀疏矩形$N\times n$随机矩阵的最大和最小奇异值的估计，假设$\lim_{N,n\to\infty}\frac nN=y\in(0,1)$。我们考虑一个模型，稀疏参数$p_N$，使得$Np_N\sim \log^{α}N$对于某些$α>1$，并假设矩阵元素的矩满足条件$\mathbf E|X_{jk}|^{4+δ}\le C<\infty$。我们还假设我们考虑的矩阵的项在$(Np_N)^{\frac12-\varkappa}$与$\varkappa:=\fracδ{2(4+δ)}$的水平上被截断。
2022-11-28 math.PR
A remark on the smallest singular value of powers of Gaussian matrices
设$n,k\geq 1$和$G$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。标准实高斯项我们表明，有常数$c_k,C_k>0$只依赖于$k$，使最小的奇异值的$G^k$满足$$ c_k\,t\leq {\mathbb P}\big\{s_{\min}(G^k)\leq t^k\,n^{-1/2}\big\}\leq C_k\,t,\quad t\in(0,1], $$，此外，$$ c_k/t\leq {\mathbb P}\big\{\|G^{-k}\|_{HS}\geq t^k\,n^{1/2}\big\}\leq C_k/t,\quad t\in[1,\infty), $$其中$\|\cdot\|_{HS}$表示希尔伯特-施密特范数。
2020-01-27 math.PR
The smallest singular value of random rectangular matrices with no moment assumptions on entries
设$δ>1$和$β>0$为实数。证明了存在正的$u,v,N_0$只依赖于$β$和$δ$，且具有如下性质：对任意$N,n$，使得$N\ge \max(N_0,δn)$，任意$N\times n$随机矩阵$A=(a_{ij})$的i.i.d.项满足$\sup\limits_{λ\in {\mathbb R}}{\mathbb P}\bigl\{|a_{11}-λ|\le 1\bigr\}\le 1-β$和任意非随机$N\times n$矩阵$B$，$A+B$的最小奇异值$s_n$满足${\mathbb P}\bigl\{s_n(A+B)\le u\sqrt{N}\bigr\}\le \exp(-vN)$。结果保持没有任何矩的假设$A$的条目的分布。
2014-09-29 math.PR
The smallest singular value of random combinatorial matrices
设$Q_n$是随机$n\times n$矩阵，其元素在$\{0,1\}$中，其行是恰好$n/2$零分量的独立向量。我们证明了$Q_n$的最小奇异值$s_n(Q_n)$满足\[ \mathbb{P}\Big\{s_n(Q_n)\le \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\Big\} \le C\varepsilon + 2 e^{-cn} \quad \forall \varepsilon \ge 0, \]，这是最优的常数$C,c>0$。这改进了Ferber、Jain、Luh和Samotij以及Jain的早期结果。特别是，对于$\varepsilon=0$，我们得到的奇异概率\[ \mathbb{P}\big\{Q_n \,\,\text{is singular}\big\} \le 2 e^{-cn}.\]的维度的第一个指数界。为了克服$Q_n$的条目之间缺乏独立性，我们引入了一个算术组合不变的一对向量，我们称之为组合最小公分母（CLCD）。证明了组合统计量$\sum_{i=1}^{n}a_iv_{σ(i)}$关于$(a,v)$对的CLCD的小球概率不等式，其中$σ$是$\{1,2,\ldots,n\}$的一致随机置换，$a:=(a_1,\ldots,a_n), v:=(v_1,\ldots,v_n)$是实向量.这个不等式使我们能够推导出$Q_n$的一个固定行…
2020-10-30 math.CO math.PR
Random matrices: The distribution of the smallest singular values
设$\a$是均值为零、方差为1的实值随机变量。令$M_n(\a)$表示其条目是$\a$的iid副本的$n \times n$随机矩阵，并且$σ_n(M_n(\a))$表示$M_n(\a)$的最小奇异值。（$σ_n(M_n(\a))^2$通常也被解释为Wishart矩阵$M_n M_n^{\ast}$的最小特征值。）我们表明，（在有限矩假设下）的概率分布$n σ_n(M_n(\a))^2$是{ \it通用}的意义上说，它不依赖于分布的$\a$。特别地，当$a$是实高斯时，它收敛到与特殊情况相同的极限分布。(The在这种情况下，Edelman明确计算了极限分布。）对于均值为零的复值随机变量，实部和虚部方差为1/2，协方差为零，我们也证明了类似的结果。对于任何固定的$k$（甚至对于$k$作为$n$的小幂增长）和矩形矩阵，对于$M_n(\a)$的底部$k$奇异值的联合分布也得到了类似的结果。我们的方法的动机是从组合学和理论计算机科学的一般思想的“属性测试”。这似乎是随机矩阵谱研究的一种新方法，并结合了数学各个领域的工具。
2009-03-03 math.CO math.PR
On generic chaining and the smallest singular value of random matrices with heavy tails
我们提出了一个非常一般的链接方法，它允许一个控制的经验过程$\sup_{h \in H} |N^{-1}\sum_{i=1}^N h^2(X_i)-\E h^2|$的上确界在相当一般的情况下。我们使用这种方法建立两个主要结果。首先，一个定量（非渐近）版本的经典白音定理的奇异值的随机矩阵的i.i.d的项目，有沉重的尾巴，第二，尖锐的估计二次经验过程时，$H=\{\inr{t,\cdot} : t \in T\}$，$T \subset \R^n$和$μ$是一个各向同性的，无条件的，对数凹措施。
2011-08-19 math.PR
On the Smallest Singular Value of Log-Concave Random Matrices
本文针对各向同性对数凹随机矩阵，在无条件分布（无独立性假设）、列独立且$N\geq n$、足够高（$N\geq (1+λ)n$）三种情况下，证明了其最小奇异值的严格下界尾估计。
2025-08-25 math.CO math.FA math.MG
Lower bounds for the smallest singular value of structured random matrices
本文给出了独立非同分布随机矩阵最小奇异值的下尾估计。具体地说，我们考虑具有\[ M = A\circ X + B = (a_{ij}ξ_{ij} + b_{ij}) \]形式的复数项的$n\times n$矩阵，其中$X=(ξ_{ij})$具有单位方差的iid中心项，并且$A$和$B$是固定矩阵。在我们的主要结果中，我们得到多项式的最小奇异值的$M$的情况下，$A$有界（可能为零）的条目，和$B= Z\sqrt{n}$，其中$Z$是一个对角矩阵的条目有界远离零。作为我们的方法的副产品，我们也可以处理一般扰动$B$下的额外假设$A$，这转化为相关的图上的连接假设。特别是，我们扩展了Rudelson和Zeitouni的高斯矩阵的结果，使一般的入口分布满足一些时刻的假设。我们的证明利用工具（据我们所知）以前未利用的随机矩阵理论，特别是Szemerédi的正则引理，和一个版本的限制可逆定理由于斯皮尔曼和Srivastava。
2018-05-18 math.PR
The limit of the smallest singular value of random matrices with i.i.d. entries
令$\{a_{ij}\}$ $(1\le i,j<\infty)$为i.i.d.。设整数序列$(N_m)_{m=1}^\infty$满足$m/N_m\longrightarrow z$，且对某个$z\in(0,1)$满足.对于每个$m\in{\mathbb N}$，用$A_m$表示$N_m\times m$随机矩阵$(a_{ij})$ $(1\le i\le N_m,1\le j\le m)$，并使$s_{m}(A_m)$为其最小奇异值。证明了序列$\bigl({N_m}^{-1/2} s_{m}(A_m)\bigr)_{m=1}^\infty$几乎必然收敛于$1-\sqrt{z}$.我们的结果不需要有界的任何时刻的$a_{ij}$的高于$2$ -ND和解决了一个长期存在的问题，关于最弱的时刻假设的条目的分布足以收敛举行。
2014-10-23 math.PR
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
2012-12-20 math.FA math.PR
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
Circular law for sparse random regular digraphs
固定一个常数$C\geq 1$，让$d=d(n)$对每个大整数$n$都满足$d\leq \ln^{C} n$。用$A_n$表示均匀随机有向$d$-正则图在$n$顶点上的邻接矩阵.我们证明了，只要$d\to\infty$与$n$，经验谱分布的适当重新标度矩阵$A_n$的概率弱收敛到循环律。这一结果与Cook的一个较早的工作一起，完全解决了经验分布在有向$d$-正则背景下的弱收敛问题.作为我们的证明的一个关键因素，我们开发了一种技术，绑定中间奇异值的$A_n$的基础上研究随机法线行空间和构建一个产品结构，以处理矩阵条目之间缺乏独立性。
2018-01-21 math.PR
Bounding the smallest singular value of a random matrix without concentration
给定$X$为${\mathbb{R}}^n$中的随机向量，将$X_1,...,X_N$设置为$X$的独立副本，并将$Γ=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^N <X_i,\cdot>e_i$设为行为$\frac{X_1}{\sqrt{N}},\dots, \frac{X_N}{\sqrt{N}}$的矩阵。我们得到了尖锐的概率下界的最小奇异值$λ_{\min}(Γ)$在一个相当一般的情况下，特别是，假设$X$是一个各向同性的随机向量，其中$\sup_{t\in S^{n-1}}{\mathbb{E}}|<t,X>|^{2+η} \leq L$的一些$L,η>0$。我们的结果意味着一个白阴型的下限保持$η>2$，并在一个对数因子，$η=2$以及。在不对欧几里德范数$\|X\|_{\ell_2^n}$作任何额外假设的情况下，该界限成立。此外，我们建立了一个非平凡的下界，即使没有任何更高的时刻的假设（对应的情况$η=0$），如果线性形式满足一个弱的“小球”属性。
2013-12-12 math.PR
Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application
假设$X$是一个$N \times n$复矩阵，其元素是具有方差$1/n$的中心、独立和同分布的随机变量，其四阶矩为${\mathcal O}(n^{-2})$。本文的第一部分考虑了非厄米特矩阵$X A X^* - z$，其中$A$是一个最小和最大奇异值分别有上下界的确定性矩阵，$z\neq 0$是一个复数。在$N$和$n$以相同的速率发散到无穷大的高维区域中，得到了该模型最小奇异值的渐近概率界。在本文的第二部分中，我们考虑了$A = J = [1_{i-j = 1\mod n} ]$是循环矩阵的特殊情况。利用第一部分的结果，证明了$X J X^*$的极限本征值分布在高维区域中的存在性，并明确地确定了这一极限。这一结果的统计应用被认为是致力于测试在一个多变量的时间序列的相关性的存在。假设$X$表示在长度为$n$的时间窗口上观察到的${\mathbb C}^N$值时间序列，则矩阵$X J X^*$表示该时间序列的一步样本自协方差矩阵。在此矩阵极限谱测度结果的指导下，引入了时间序列MA相关模型的白度检验。数值模拟结果表明，该测试的优异性能。
2019-09-27 math.PR
On the smoothed analysis of the smallest singular value with discrete noise
令$A$是$n\times n$实矩阵，并且令$M$是$n\times n$随机矩阵，其条目是具有均值$0$和方差$1$的i.i.d亚高斯随机变量。本文对$A+M$的最小奇异值$s_n(A+M)$的研究做了两方面的贡献。(1)我们表明，对于所有的$ε\geq 0$，$$\mathbb{P}[s_n(A + M) \leq ε] = O(ε\sqrt{n}) + 2e^{-Ω(n)},$$只提供$A$有$Ω(n)$奇异值是$O(\sqrt{n})$。这扩展了Rudelson和Vershynin的一个著名结果，该结果要求$A$的所有奇异值都是$O(\sqrt{n})$。(2)证明了任何形式为$$\sup_{\|{A}\|\leq n^{C_1}}\mathbb{P}[s_n(A+M)\leq n^{-C_3}] \leq n^{-C_2}$$的界必有$C_3 = Ω(C_1 \sqrt{C_2})$ .这补充了Tao和Vu的结果，他们证明了这样一个与$C_3 = O(C_1C_2 + C_1 + 1)$的结合，并反驳了他们可能采取$C_3 = O(C_1 + C_2)$的猜测。
2020-09-03 cs.NA math.NA math.PR
The smallest singular value of sparse discrete random matrices
本文构建简单框架证明独立同分布稀疏离散随机矩阵的近似 Spielman-Teng 最小奇异值定理，并推广至 $μ$-lazy 随机变量情形。
2025-07-23 math.PR
An upper bound on the smallest singular value of dense random combinatorial matrices
本文研究密集随机组合矩阵的最小奇异值，证明其上界为$\sqrt{d}/(\varepsilon^2 n)$，确认其通常规模为$\mathcal{O}(n^{-1/2})$。
2026-04-14 math.PR
The smallest singular value of heavy-tailed not necessarily i.i.d. random matrices via random rounding
研究了随机矩阵最小奇异值的小球行为。通常，建立这样的结果涉及，在某种程度上，单位球的离散化。这需要对矩阵的范数有界，而后者的界需要对元素分布的强假设，如有界四阶矩（弱估计），亚高斯尾（强估计），以及结构假设，如均值零和方差一。最近，Rebrova和Tikhomirov开发了一种离散化程序，它不依赖于强尾假设的条目。然而，他们的论证仍然需要均值为零、方差为1的结构性假设。条目在本文中，我们讨论了一个有效的离散化的单位球，它的工作指数高概率，不需要任何这样的结构假设，而且，不需要独立的行的矩阵。我们证明了存在的网络附近的球，比较值的任何（确定性）随机矩阵的球和通过正规化的希尔伯特-施密特规范，我们介绍的网络。这种细化是平均的一种形式，并且具有强的大偏差特性。作为结果，我们证明了尖锐的小球估计的最小奇异值的平方随机矩阵在温和的假设下，和随机矩阵的任意纵横比。
2021-11-18 math.AP math.MG math.PR
The smallest singular value of large random rectangular Toeplitz and circulant matrices
本文研究大型随机矩形Toeplitz与循环矩阵的最小奇异值，证明其最小特征值收敛于零，并给出收敛速率的下界（快于多对数但慢于多项式）及矩形循环矩阵的多项式上界。
2025-01-20 math.PR
On the smallest singular value of the product of random and deterministic matrices
University of Washington（华盛顿大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究随机矩阵\(A\)与确定性矩阵\(M\)乘积的最小奇异值，通过对随机矩阵元素条件设定，证明存在依赖\(K\)和\(\kappa\)的常数使相关概率不等式成立，高斯情形下该估计精确。
2026-07-09 math.PR
Universality of the least singular value for sparse random matrices
研究了稀疏随机矩阵系综的最小奇异值的分布。我们的激励示例是$N\times N$矩阵的集合，其条目独立于具有参数$p$的伯努利分布来选择。这些矩阵表示随机Erdens-Rényi有向图的邻接矩阵，当$p\ll 1$ .我们证明了在$pN\gg 1$体制下，最小奇异值的分布是普适的，即它与$p$无关，且等于高斯矩阵系综的最小奇异值的分布.我们还证明了多个小奇异值的联合分布的普适性。我们的方法扩展到矩阵合奏，其条目是从任意分布，可能是相关的，复杂的价值，并有不等的方差选择。
2019-01-24 math.PR
On the smallest singular value of symmetric random matrices
我们证明了对于$n\times n$随机对称矩阵$A_n$，其对角线上和对角线上的元素是具有平均值$0$和方差$1$的亚高斯随机变量$ξ$的独立副本，\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O_ξ(ε^{1/8} + \exp(-Ω_ξ(n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]这改进了Vershynin的结果，Vershynin获得了这样的界，其中对于小常数$c$，用$n^{c}$代替$n^{1/2}$，并用$(1/8) + η$代替$1/8$（其中隐式常数也取决于$η> 0$）。此外，当$ξ$是Rademacher随机变量时，我们证明了\[\mathbb{P}[s_n(A_n) \le ε/\sqrt{n}] \le O(ε^{1/8} + \exp(-Ω((\log{n})^{1/4}n^{1/2}))) \quad \text{for all } ε\ge 0.\]特殊情况$ε= 0$改进了Campos，Mattos，Morris和Morrison最近的结果，该结果表明$\mathbb{P}[s_n(A_n) = 0] \le O(\exp(-Ω(n^{1/2}))).$我们工作的主要创新是算术结构的新概念-中值正则化最小公分母和中值阈值，我们相信这在需要结合载体不同部分的抗浓缩信息的情况…
2020-11-03 math.PR
The smallest singular value of inhomogeneous square random matrices
本文证明了对于具有独立一致反集中元素的$n\times n$随机矩阵$A$，使得$\mathbb{E} ||A||^2_{HS}\leq K n^2$，$A$的最小奇异值$σ_n(A)$满足$$ P\left( σ_n(A)\leq \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \right) \leq C\varepsilon+2e^{-cn},\quad \varepsilon \ge 0. $$。这推广了Rudelson和Vershynin，Rebrova和Tikhomirov的早期结果，去掉了平均值为零和元素在矩阵上同分布的假设，以及Livshyts的最近结果。其中要求基质具有I.I.D.行。我们的模型涵盖了“inclusive”矩阵，允许不同的条目的方差，只要二阶矩的总和是$O(n^2)$。在过去的发展中，i.i.d.的假设。行是必需的，由于缺乏Littlewood-Offord-型不等式的加权和非独立同分布。随机变量。在这里，我们克服了这个问题，通过引入随机最小公分母（RLCD），它允许研究独立的，但不相同分布的变量的加权和的反集中特性。我们在具有格结构的球面上构造了有效网，并证明了格点通常具有大的RLCD。这使我们能够获得强大的反浓度属性之间的距离固定列的$A$和线性跨度的其余列，并证明了主要结果。
2020-10-27 math.CA math.MG math.PR
The smallest singular value for rectangular random matrices with Lévy entries
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究元素服从重尾 Lévy 分布的矩形随机矩阵最小奇异值，证明其在高概率下可确定至对数因子，并给出新的下界及扰动矩阵情形。
2026-10-23 math.PR
The smallest singular value of inhomogenous random rectangular matrices
本文研究独立但非齐次元素的随机矩形矩阵最小奇异值，在有界 $2+\beta$ 矩或均匀反集中条件下建立下尾界，并推广已有独立同分布结果。
2025-07-25 math.MG math.PR
The least singular value of a random square matrix is O(n^{-1/2})
设A是一个矩阵，其元素是实同分布的。具有单位方差和适当矩假设的中心随机变量。则A的最小奇异值以高概率为n^{-1/2}阶。作者最近证明了这类估计的下估计，本文建立了匹配上估计。
2008-05-22 math.FA math.PR
Singularity of sparse Bernoulli matrices
令$M_n$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。Bernoulli（p）entries.我们证明了存在一个普适常数$C\geq 1$，使得只要$p$和$n$满足$C\log n/n\leq p\leq C^{-1}$，\begin{align*} {\mathbb P}\big\{\mbox{$M_n$ is singular}\big\}&=(1+o_n(1)){\mathbb P}\big\{\mbox{$M_n$ contains a zero row or column}\big\}\\ &=(2+o_n(1))n\,(1-p)^n, \end{align*}，其中$o_n(1)$表示一个量，它收敛到零为$n\to\infty$。我们也给出了相应的$M_n$的最小奇异值的上下界。
2020-04-07 math.PR
Extreme singular values of inhomogeneous sparse random rectangular matrices
本研究基于非回溯算子与Ihara-Bass公式，提出统一方法界定非齐次稀疏随机矩形矩阵的极端奇异值，给出概率界并将Bai-Yin定理推广至稀疏情形。
2024-12-12 math.CO math.PR math.ST
Phase transition for the bottom singular vector of rectangular random matrices
本文研究重尾矩形随机矩阵最小奇异值对应右奇异向量的局域化长度，证明其随参数跨过临界值时发生相变，并揭示该相变机制与顶部奇异向量情形本质不同。
2024-09-17 math-ph math.MP math.PR
Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values
经典的随机矩阵理论主要研究随机矩阵维数增长到无穷大时的渐近谱性质。与此同时，从凸几何到泛函分析再到信息论，许多最近的应用都是用固定维的随机矩阵来操作的。本文研究了独立元随机矩阵极值奇异值的非渐近理论。本文主要讨论了随机矩阵硬边（最小奇异值）的几何估计方法。
2010-04-07 math.FA math.PR
Computing extreme singular values of free operators
本研究依托随机矩阵理论的内在自由性原理，针对非自伴情形下自由算子的极端奇异值计算问题，给出了对应的变分公式，拓展了原有自伴情形下的谱边计算方法。
2025-10-28 math.OA math.PR
The Littlewood-Offord Problem and invertibility of random matrices
本文证明了具有独立元素的随机n × n矩阵的最小奇异值分布的两个基本定理。在最小矩的假设下，我们证明了最小的奇异值是n^{-1/2}阶的，这是高斯矩阵的最佳。此外，我们给出了尾概率的最优估计。这是Littlewood-Offord问题中一个新的和本质上尖锐的估计的结果：对于i.i.d.随机变量X_k和实数a_k，决定了a_k X_k之和位于某个数v附近的概率P.对于相同数量级的任意系数a_k，我们证明了它们本质上位于长度为1/p的等差数列中.
2008-01-31 math.FA math.PR
A distance theorem for inhomogenous random rectangular matrices
本文证明非齐次随机矩形矩阵列空间与独立随机向量的距离小球估计，并提出 Randomized Logarithmic LCD 工具以推广已有距离定理。
2025-07-25 math.MG math.PR
