AI 中文总结
本文证明稠密随机正则有向图邻接矩阵的秩小于等于 n-k 的概率指数衰减，扩展了 Jain 等人的奇异性界。
AI 中文摘要
设 $1\le k\le n$，令 $A$ 为 $n$ 个顶点上均匀随机 $d$-正则有向图的邻接矩阵。假设对于固定的 $0<\lambda\le 1/2$，有 $\lambda n\le d \le (1-\lambda)n$。我们证明存在仅依赖于 $\lambda$ 的常数 $c_{\lambda}>0$，使得 $$ \mathbb{P}[\operatorname{rank}(A)\le n-k]\le 2e^{-c_{\lambda} kn}。 $$ 这给出了 Jain、Sah 和 Sawhney 的指数奇异性界的大余秩扩展。
英文摘要
Let $1\le k\le n$ and let $A$ be the adjacency matrix of a uniformly random $d$-regular directed graph on $n$ vertices. Suppose that $λn\le d \le (1-λ)n$ for a fixed $0<λ\le 1/2$. We show that there exists $c_λ>0$ depending only on $λ$ such that $$ \mathbb{P}[\operatorname{rank}(A)\le n-k]\le 2e^{-c_λ kn}. $$ This gives a large corank extension of the exponential singularity bound of Jain, Sah, and Sawhney.
