Threshold for blowup for equivariant wave maps in higher dimensions
我们考虑超临界维数$3\leq d\leq 6$中从$\mathbb{R}^{d+1}$到$\mathbb{S}^d$的等变波映射.利用混合数值和分析方法，我们证明了爆破的阈值是由余维一稳定流形的自相似解的一个不稳定。
2016-08-27 math.AP
Generic self-similar blowup for equivariant wave maps and Yang-Mills fields in higher dimensions
我们考虑从$(d+1)$维Minkowski时空到$d\geq 4$的$d$球的等变波映射.我们找到了一个新的显式稳定的自相似解，并给出了数值证据，它起着通用爆破的普遍吸引子的作用。对$d\geq 6$的$SO(d)$对称杨-米尔斯场也得到了类似的结果。
2014-09-29 math.AP
Blow up dynamics for smooth equivariant solutions to the energy critical Schrödinger map
考虑了等变初始数据同伦指数为$k=1$的2球目标能量临界薛定谔映射问题.我们证明了在能量临界范数下，存在一个余维的一组光滑的局部化的初始数据任意接近基态调和映射，从而产生有限时间爆破解。我们给出了一个尖锐的描述相应的奇点的形成所发生的浓度的一个普遍的泡沫的能量。
2011-06-05 math.AP
Nonexistence of finite-time blow-up for the equivariant harmonic map heat flow from $B^2$ to $S^2$
EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究从二维圆盘到球面的等变调和映射热流，在一般光滑时变边界条件下，证明当 $D \geq 3$ 时不存在有限时间爆破。
2026-08-21 math.AP
Stable blowup for the supercritical hyperbolic Yang-Mills equations
我们考虑$(1+d)$维Minkowski时空中的Yang-Mills方程。已知在超临界情况下，即，对于$d \geq 5$，这些方程允许封闭形式的等变自相似爆破解\cite{BieBiz15}。这些解决方案进一步证明是通用的大等变数据演化的普遍吸引子。本文部分证明了这一猜想。也就是说，我们表明，所有奇数$d \geq 5$的爆破机制表现出这些解决方案是稳定的。
2022-08-05 math-ph math.AP math.DG
Optimal blowup stability for supercritical wave maps
研究了从$(1+4)$维Minkowski空间到$4$维球面的共旋波映射.证明了在临界索伯列夫空间中，一个明确已知的自相似波映射在小扰动下的稳定性。
2022-01-27 math-ph math.AP math.MP
Blowup stability of wave maps without symmetry
Universität Wien（维也纳大学）
本文研究了无对称性条件下波映射的爆破稳定性，证明了自相似解在小扰动下的渐近稳定性。
2026-01-27 math-ph math.AP math.MP
Hyperboloidal similarity coordinates and a globally stable blowup profile for supercritical wave maps
本文考虑从（1+3）维Minkowski空间到三维球面的共旋波映射。该模型具有显式的爆破解，我们证明了该解在整个空间的小扰动下的渐近非线性稳定性。关键的成分是引入了一个新的坐标系，使人们能够跟踪过去的爆破时间，几乎到柯西视界的奇点的演变。作为结果，我们还得到了关于爆破后连续性的一个结果。
2019-08-30 math-ph math.AP math.MP
On blowup of co-rotational wave maps in odd space dimensions
考虑从$(1+d)$维Minkowski空间到$(1+d)$球的共旋波映射，其中$d\geq 3$为$d\geq 3$奇数.这是一个能量超临界模型，已知它通过自相似解表现出有限时间爆破。基于第二作者和Schörkhuber提出的方法，我们证明了“基态”自相似解的渐近非线性稳定性.
2017-06-23 math-ph math.AP math.MP
Rigidity of smooth finite-time blow-up for equivariant self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation
IHES（法国高等科学研究所）
研究自对偶Chern-Simons-Schrödinger方程在等价对称下的长期动力学，证明m等价的H^3有限时间爆破解为伪共形爆破解，并获得改进的孤子分解定理。
2024-04-27 math.AP
Formation of singularities for equivariant 2+1 dimensional wave maps into the two-sphere
本文报道了从2+1维Minkowski时空到双球面的等变波映射的Cauchy问题的数值研究。我们的结果为大能量初始数据在有限时间内产生奇点的猜想提供了强有力的证据，并且奇点的形成具有从$\mathbb{R}^2$到$S^2$的一次调和映射绝热收缩的普遍形式.
2001-06-22 math-ph math.AP math.MP
Nonexistence of blow-up solutions with smooth radiation for energy-critical equivariant wave maps
Institut de Mathématiques de Jussieu, Sorbonne Université, Université Paris Cité（巴黎数学研究所，索邦大学，巴黎西岱大学）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
研究\(k\geq2\)时\(\mathbb{R}^{1 + 2} \to \mathbb{S}^2\)的\(k -\)等变能量临界波动映射，证明有限能量爆破解的辐射不满足特定正则条件，关键是调制方法新应用。
2026-07-07 math.AP
Equivariant wave maps exterior to a ball
本文研究了从3+1维Minkowski时空到三维球面的等变波映射的Cauchy-Dirichlet外问题。使用混合的分析和数值方法，我们表明，对于一个给定的拓扑度的地图，所有的解决方案从光滑的有限能量初始数据收敛到唯一的静态解决方案（调和映射）。详细描述了这个松弛过程的渐近性。我们希望，我们的模型将提供一个有吸引力的数学设置获得洞察耗散色散现象，特别是孤子分辨率猜想。
2011-10-21 math-ph math.AP math.MP
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
On the existence and stability of blowup for wave maps into a negatively curved target
考虑$(1+d)$维Minkowski空间上的波映射.对于每一个维度$d\geq 8$，我们构建一个负弯曲，$d$维目标流形，允许存在一个自相似波映射，提供了一个稳定的爆破机制，相应的柯西问题。
2017-05-17 math-ph math.AP math.DG
Optimal blowup stability for three-dimensional wave maps
本文研究(1+3)维Minkowski空间到三维球面的同旋转波映射，通过在相似坐标下证明带势径向波方程的Strichartz估计，确立了显式自相似波映射在分数阶临界Sobolev空间微扰下的渐近稳定性。
2023-06-29 math-ph math.AP math.MP
Stable blow-up solutions for the $SO(d)$-equivariant supercritical Yang-Mills heat flow
本文在$d>10$维度下构造了$SO(d)$等变Yang-Mills热流的有限时间爆破解，其爆破速率由参数$l$量化，并证明了这些解在初始数据扰动下具有$(l-1)$余维稳定性。
2025-02-26 math.AP
Nonlinear stability of homothetically shrinking Yang-Mills solitons in the equivariant case
本文研究了$\mathbb R^d \times SO(d)$上Yang-Mills连接的热流。众所周知，在$5 \leq d \leq 9$维中，该模型允许同调收缩孤子，即，自相似爆破解，Weinkove \cite{Wei04}给出了一个明确的例子。我们证明了Weinkove解在小的等变扰动下的非线性渐近稳定性，从而将第二作者和Donninger关于$d=5$的一个结果推广到高维.同时，我们提供了一个一般的框架，证明了自相似爆破解的稳定性的一个大类半线性热方程在任意空间维$d \geq 3$，包括一个强大的和简单的方法来解决潜在的谱问题。
2020-05-27 math-ph math.AP math.DG
Mode stability of blow-up for wave maps in the absence of symmetry
本文在无对称性假设下证明了三维球面目标波映射方程显式爆破解在后向光锥内的模态稳定性，通过表示理论分解线性化方程并运用拟解方法排除了非零光滑模态解。
2025-03-04 math-ph math.AP math.CA
Schrodinger Flow Near Harmonic Maps
对于从$R^2 \times R^+$到2-球$S^2$的薛定谔流，我们不知道有限能量解是否能在有限时间内爆破。研究了能量与等变调和映射族能量相近的等变解。我们证明了这样的解决方案保持接近调和映射，直到爆破时间（如果有的话），当且仅当最近的调和映射的长度尺度为零。
2005-04-25 math.AP
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
2016-10-29 math-ph math.AP math.DG
Stable blowup for the supercritical Yang-Mills heat flow
本文研究了$\mathbb{R}^5 \times SO(5)$上Yang-Mills联络的热流。在$SO(5)-$等变条件下，Yang-Mills热方程化为一个半线性反应扩散方程，Weinkove \cite{Wei04}发现了该方程的显式自相似爆破解.我们证明了该解在小扰动下的非线性渐近稳定性。特别地，我们证明了在一个合适的拓扑结构中存在一个初始条件的开集，使得相应的解在有限时间内爆破并收敛到一个无界区域上的非平凡自相似爆破轮廓。收敛性得到适当的Sobolev规范和$L^{\infty}$。
2016-04-26 math-ph math.AP math.DG
Normal form of equivariant maps in infinite dimensions
建立了无穷维流形间光滑等变映射的局部规范形定理。这些正规形结果即使在有限维中也是新的。证明的灵感来自于动力系统的Lyapunov-Schmidt约化和模空间的Kuranishi方法。它使用Fréchet流形的切片定理作为主要的技术工具。因此，通过对关于群作用的等变映射的水平集进行因子分解而获得的抽象模空间具有Kuranishi空间的结构，即，这样的模空间通过光滑映射的零集的紧群在商上局部建模。一般结果应用于反自对偶瞬子的模空间、Seiberg-Witten模空间和伪全纯曲线的模空间。
2021-10-14 math-ph math.AP math.DG
Critical $O(d)$-equivariant biharmonic maps
研究了临界维数下的$O(d)$ -等变双调和映射.我们研究的一个主要结果涉及相应的热流。更准确地说，我们证明了爆破发生在双调和映射热流从$B^4(0, 1)$到$S^4$。据我们所知，这是双调和映射热流爆破的第一个例子。由于双调和情形下的最大值原理的不适用性，这样的结果一直难以证明。此外，我们分类可能的$O(4)$ -等变双调和映射从$\mathbf{R}^4$到$S^4$，我们表明，存在，在对比的调和映射模拟，等变双调和映射从$B^4(0,1)$到$S^4$的周围缠绕$S^4$，因为我们希望很多次。我们相信，这里开发的想法可能是有用的其他高阶抛物型方程的研究。
2015-09-11 math.AP
Self-similar blowup from arbitrary data for supercritical wave maps with additive noise
该研究针对d≥3维能量超临界的随机扰动波映射，证明共旋非退化高斯加性噪声可使任意共旋初始数据以正概率产生自相似爆破，弥补了无噪声情形下大数据对应结论仅为猜想的空白。
2025-10-29 math-ph math.AP math.DG
Globally stable blowup profile for supercritical wave maps in all dimensions
研究超临界波映射的共旋自相似爆破解，通过基于全空间相似变量的新方法证明其在所有维度下整体非线性稳定，验证了相关爆破行为猜想。
2023-06-29 math-ph math.AP math.DG
Equivariant self-similar wave maps from Minkowski spacetime into 3-sphere
证明了从3+1 Minkowski时空到3-球面的可数族球对称自相似波映射的存在性。这些图可以被看作是激发的基态波图之前发现的Shatah。第一个激励是特别有趣的柯西问题的背景下，因为它扮演的角色，一个关键的解决方案，坐在奇点形成的阈值。我们分析了我们的波映射的线性稳定性，并证明了关于一个给定的映射的不稳定模式的数量等于它的激发指数。最后，我们制定了一个条件下，这些结果可以推广到更高的维度。
2000-05-25 gr-qc math-ph math.AP
Supercritical equivariant biharmonic maps from $\mathbf{R}^5$ into $S^5$
研究了超临界$O(d)$ -等变双调和映射，重点研究了$d = 5$，其中$d$是整环的维数.给出了从$\mathbf{R}^5$到$S^5$的非平凡等变双调和映射作为伴随动力系统的异宿轨道的特征.此外，我们证明了这种非平凡的等变双调和映射的存在性。最后，在鲜明的对比调和映射模拟，我们证明了存在一个等变双调和映射从$B^5(0, 1)$到$S^5$，周围的$S^5$无限次。
2020-02-12 math.AP
Non-self-similar blow-up in the heat flow for harmonic maps in higher dimensions
我们分析了$k$ -共转映射$\mathbb R^d\to S^d$的热流解的有限时间爆破。对于每一维$d>2+k(2+2\sqrt{2})$，我们构造了一个可数族的爆破解通过匹配渐近的方法，通过粘贴一个重新缩放的调和映射的奇异自相似的解决方案：赤道映射。我们发现构造解的爆破速率与自相似解的特征值密切相关。在$1$ -共转映射的情况下，我们的解是稳定的，并表示一般的爆破。
2014-10-20 math.AP
Equivariant Schrödinger Maps in two spatial dimensions
我们考虑薛定谔映射问题从$\mathbb{R}^{2+1}$到能量小于$4π$的$\mathbb{S}^2$的等变解，并证明它们在时间上是全局的和分散的。
2011-12-28 math.AP
Characterization of large energy solutions of the equivariant wave map problem: I
考虑从1+2维到2-球面的1-等变波映射.对于拓扑度为零的波映射，我们证明了能量小于由球极平面投影给出的调和映射Q的能量的两倍的波映射的整体存在性和散射性。我们通过第二作者和Merle发展的集中紧度/刚性方法推导出这个结果。特别是，我们建立了一个分类的等变波映射的轨迹是预紧的能量空间的标度对称的方程。事实上，这种类型的波图只能是0或Q，直到重新缩放。这给出了适用于零度理论的阈值猜想的改进版本的等变情况下的证明，其中真正的阈值是2 E（Q），而不是E（Q）。上述的整体存在性和散射陈述也可以通过考虑Sterbenz和Tataru在等变背景下的工作来推导。对于拓扑度为1的波映射，我们建立了能量小于3倍于Q能量的有限时间爆破解的分类。在这种能量限制下，我们证明了一次爆破解本质上是一个重标度的Q加上一个能量小于两倍于Q的拓扑度为零的余项的和.这一结果揭示了Krieger，第四作者，Tataru以及Raphael和Rodnianski的一阶1-等变波映射爆破构造的普适性质.
2019-03-18 math.AP
A codimension two stable manifold of near soliton equivariant wave maps
我们考虑了从R2+1到S2的波映射问题的有限能量等变解，这些解与孤立子族很接近。本文证明了余维两类初始数据的渐近轨道稳定性，这类初始数据对于比能量更强的拓扑是小的。
2011-09-14 math.AP
Construction of blow-up manifolds to the equivariant self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation
本文研究了等变自对偶Chern-Simons-Schrödinger方程伪共形爆破解的条件稳定性，利用调制分析和共轭恒等式构造了余维一爆破流形，并证明了其Lipschitz正则性。
2023-07-30 math.AP
Full blow-up range for co-rotaional wave maps to surfaces of revolution
当$\mathcal{N}$是旋转曲面时，我们构造了能量临界波映象方程在$t^{-1-ν}$上具有多项式爆破速率的爆破解.在这里，我们将Cârstea基于Krieger，Schlag和Tataru的工作发现的爆破范围（$ν>\frac 12$）扩展到$ν>0$。本文的工作依赖于并推广了Krieger和作者最近的结果，其中目标流形被选为标准球面。
2014-09-02 math.AP
Soliton resolution for equivariant wave maps to the sphere
本文考虑有限能量共旋波映射与目标流形$\m S^2$。我们证明，对于一个序列的时间，他们分解为一个总和解耦谐波映射的光锥，和一个光滑的波映射（在打击的情况下）或线性散射项（在全球范围内的情况下），到一个错误趋于0的能量空间。
2013-05-23 math.AP
Equivariant Schrödinger Maps in two spatial dimensions: the $\H^2$ target
我们考虑有限能量下从$\R^{2+1}$到$\H^2$的薛定谔映射问题的等变解，并证明了它们在时间上是全局的和分散的。
2012-12-11 math.AP
Optimal polynomial blow up range for critical wave maps
证明了以$S^2$为目标和以$\mathbb{R}^{2+1}$为原点的临界波映象方程存在$$u(t,r)=Q(λ(t)r)+ε(t,r)$$形式的能量类爆破解，其中$Q: \mathbb{R}^2 \to S^2$是基态调和映象，对任意$ν> 0$都有$λ(t) = t^{-1-ν}$.这扩展了[13]的工作，其中这些解是在假设$ν> 1/2$下构造的。根据Struwe [22]的一个结果，我们的结果对于多项式爆破率是最优的.
2014-03-28 math.AP
Soliton resolution for energy-critical wave maps in the equivariant case
我们考虑等变波映射方程$\mathbb{R}^{1+2} \to \mathbb{S}^2$，在所有等变类$k \in \mathbb{N}$中.我们证明了每一个有限能量的解决方案，在时间上连续，到一个渐进解耦的调和映射和自由辐射的叠加。
2022-01-20 math.AP
Global existence of small equivariant wave maps on rotationally symmetric manifolds
我们引入了一类旋转不变流形，我们称之为\emph{admissible}，其上的波流满足光滑估计和Hohartz估计。对于临界正则的小初值$H^{\frac n2}$，我们证明了从容许流形到一般目标的等变波映射的整体存在性。这类容许流形特别包括渐近平坦流形和实双曲空间$\mathbb{H}^{n}$对$n\ge3$的扰动。
2015-05-07 math.AP
Continuous time soliton resolution for two-bubble equivariant wave maps
在等变情况下，我们考虑从1+2维Minkowski空间到2-球面的能量临界波映射方程。我们证明，如果波地图分解，沿着一个序列的时间，到一个叠加的最多两个重新标度的谐波地图（泡沫）和辐射，那么这样的分解保持连续时间。当等变度为1或2时，根据Côte，Jia和Kenig的序贯孤子分解结果，我们推出：任何拓扑平凡的能量小于4倍于气泡能量的等变波映射，渐近分解为（至多两个）气泡和辐射.
2020-10-23 math.AP
Equivariant Schrödinger maps from two dimensional hyperbolic space
本文考虑从$\Bbb H^2$到$\Bbb S^2$的等变薛定谔映射在双曲空间的原点和空间无穷远处收敛到$\Bbb S^2$的北极.当数据的能量小于$4π$时，证明了薛定谔映射的局部存在性.此外，如果数据的能量足够小，我们证明的解决方案是全球的时间。
2017-04-30 math.AP
Smooth self-similar blow-up profiles for the wave map equation
考虑从Minkowski空间到具有赤道的旋转对称流形（例如：球面）的等变波映射方程。在三维空间中，本文给出了光滑自相似爆破轮廓存在的一个充要条件。更一般地，我们研究1之间的关系。（椭圆）狄利克雷能量的赤道映射的最小化性质和2。（双曲）波映射问题的光滑爆破剖面的存在性。这种方法的几个应用程序进行了说明。
2008-06-25 math.AP math.DG
Quantized slow blow-up dynamics for the energy-critical corotational wave maps problem
本文研究能量临界1-共旋波映射的爆破动力学，构造出一系列新的量子化有限时间爆破速率，并通过高阶能量估计中系统识别修正项克服了缺乏耗散性带来的困难。
2024-11-05 math.AP
Stable blow up dynamics for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow
我们展示了一个稳定的有限时间爆破制度的1-共转能量临界谐波热流从$\Bbb R^2$到一个光滑的紧凑的旋转表面的$\Bbb R^3$减少到半线性抛物问题$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$的一个适当的功能类$f$。在能量临界拓扑中，相应的初始数据可以选择为光滑的、局域性好的、任意接近基态调和映射的数据。我们给出了相应的奇异性形成的尖锐渐近性，这种奇异性形成是通过以[Van den Bergh，J.; Hulshof，J.; King，J.，调和映射热流中鼓泡的形式渐近性，SIAM应用数学，第63卷，o 5。第1682-1717页]。我们的方法在于继续[Raphaël，P.;罗德年克希岛，临界共旋波映射和等变杨米尔斯问题的稳定爆破动力学，将出现在预备数学IHES。[Merle，F.; Raphaël，P.; Rodnianski，I.，Blow up dynamics for smooth solutions to the energy critical Schrodinger map，preprint 2011.]。
2011-06-05 math.AP
Universality of blow up profile for small blow up solutions to the energy critical wave map equation
本文将能量通道引入到球内能量临界波映射的研究中。更确切地说，我们证明了一个通道的能量型不等式的小能量波映射，并作为应用，我们表明，对于波映射的能量刚刚超过一次调和映射，并在有限时间内爆破，该解决方案渐近解耦成一个规则的部分，加上一个小动量的行波，在能量空间。特别地，能量集中的唯一可能形式是通过行波的集中。这通常被称为爆炸时能量的量子化。我们还简要回顾了二维波映射的亚临界和临界正则性理论的重要背景结果。
2016-12-15 math.AP
Near soliton evolution for equivariant Schroedinger Maps in two spatial dimensions
我们考虑$2+1$维的薛定谔映射方程，其值为$§^2$。这承认一个最低能量的稳态$Q$，即球极平面投影，它扩展到一个二维家庭的稳定状态的缩放和旋转。我们证明了$Q$在能量空间$\dot H^1$中是不稳定的。然而，在证明这一点的过程中，我们还表明，在等变类$Q$是稳定的，在一个更强的拓扑结构$X \subset \dot H^1$。
2010-09-08 math.AP
Stable blowup for supercritical wave maps into perturbed spheres
本文研究了从$(1+d)$维Minkowski空间到球面$\mathbb S^d$小扰动流形的超临界波映射，证明了共旋自相似有限时间爆破解的存在性及其在适当小共旋扰动下的非线性渐近稳定性。
2025-03-06 math.AP math.CA math.FA
On stability of blow up solutions for the critical co-rotational Wave Maps problem
我们证明了在[7，15]中构造的共旋波映射问题的有限时间爆破解在共旋类中适当小的扰动下是稳定的，只要标度参数$λ(t) = t^{-1-ν}$与$t^{-1}$足够接近，即. e.常数$ν$足够小且为正。证明方法受到[3，12]的启发，但利用了[1，21]中已经使用的波映射问题的几何结构来简化分析。特别地，我们大量利用零处的共振满足自然的一阶微分方程。
2018-03-07 math.AP
Equivariant Wave Maps on the Hyperbolic Plane with Large Energy
在本文中，我们继续分析从2维双曲空间到旋转曲面的等变波映射，这是在[13，14]中开始的。当目标是双曲平面时，我们在[13]中证明了以每个映射围绕目标的距离为指标的1-参数有限能量调和映射族的存在性和渐近稳定性。在这里，我们猜想，这些调和映射是全局渐近稳定的，这意味着任何任意大的有限能量扰动的调和映射的演化渐近分解成调和映射本身加上自由辐射。由于这样的初始数据耗尽了能量空间，这就是这个方程的孤子分辨率猜想。主要结果是对调和映射的一个非微扰子集验证了这一猜想
2015-05-14 math.AP
Gradient estimates and blow-up analysis for stationary harmonic maps
对于黎曼流形之间的平稳调和映射，我们给出了内部和边界梯度一致估计的一个充要条件。我们还证明了，如果解析目标流形不携带任何调和S ^2，则平稳映射的奇异集是m \leq n - 4可求长的。这两个结果都来自于对弱收敛平稳调和映射序列的亏损测度和能量集中集的一般分析。
1999-05-01 math.AP math.DG
Global regularity of wave maps VI. Abstract theory of minimal-energy blowup solutions
在本系列的前几篇文章中，关于二维Minkowski空间$\R^{1+2}$到双曲空间$\H^m$的波映射的整体正则性猜想被归结为在该猜想失败的情况下构造几乎周期模对称的最小能量爆破解的问题。在本文中，我们表明，这个问题可以进一步减少，显示的解决方案，在临界能量，无论是频率离域，空间分散，或空间离域有界的“熵”。后面的这些事实将在本系列的最后一篇论文中得到证明。
2009-08-06 math.AP
Blow-up dynamics for radial self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation with prescribed asymptotic profile
Seoul National University（首尔大学）；Korea Advanced Institute of Science and Technology（韩国科学技术院）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）
研究径向自对偶Chern-Simons-Schrödinger方程的有限能量爆破解，通过预设渐进行为构造连续的爆破速率，与H^3解的刚性爆破结果形成对比，且在爆破速率范围和渐进行为正则性方面达到最优。
2026-01-26 math.AP
Stability of stationary equivariant wave maps from the hyperbolic plane
本文首次研究了从二维双曲空间到旋转对称曲面的等变波映射。这个问题表现出显着不同的现象，比它的欧几里德对应的，由于指数体积增长的同心测地球上的域。特别是，当目标是2-球，我们发现一个家庭的等变谐波映射索引的参数，衡量多远的图像，每个谐波映射环绕球。这些映射的能量取零和唯一的共旋转欧氏调和映射Q的能量之间的所有值，Q是从欧氏平面到2-球面的，由球极平面投影给出。我们证明了调和映射是渐近稳定的参数值小于小于阈值，是足够大的，以允许地图，包装超过一半左右的领域。事实上，我们证明了通过线性化这样的调和映射周围的运营商的哈茨估计。然而，对于能量接近于Q的欧几里德能量的调和映射，线性化算子谱中存在间隙特征值，从而排除了基于Eschhartz估计的扰动变元的渐近稳定性.当目标是二维双曲空间时，我们找到了一类连续的渐近稳定的等变调和映射，它们具有任意小和任意大的能量。这与欧几里得空间上的相应问题形成鲜明对比，在欧几里德空间中，当时间趋于无穷大时，所有有限能量解都分散到零。
2014-11-14 math.AP
A construction of blow up solutions for co-rotational wave maps
证明了从R^{2+1}到N的波映射问题的共旋转有限时间爆破解的存在性，其中N是具有度量dρ^2+g（ρ）^2 dθ^2的旋转曲面，g是整函数.它们的形式是u（t，r）=Q（λ（t）t）+R（t，r），其中Q是共旋波图方程- u_{tt} + u_{rr} +r^{-1}u_r=r^{-2}g（u）g '（u）的与时间无关的解，λ（t）=t^{-1-ν}，ν>1/2是任意的，R是当t变为0时局部能量变为零的项。
2009-08-09 math.AP
