Optimal blowup stability for supercritical wave maps
Roland Donninger, David Wallauch
研究了从$(1+4)$维Minkowski空间到$4$维球面的共旋波映射.证明了在临界索伯列夫空间中，一个明确已知的自相似波映射在小扰动下的稳定性。
We study corotational wave maps from $(1+4)$-dimensional Minkowski space into the $4$-sphere. We prove the stability of an explicitly known self-similar wave map under perturbations that are small in the critical Sobolev space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On blowup in supercritical wave equations
研究了三维空间中聚焦能-超临界半线性波动方程解的爆破行为。我们证明了ODE爆破剖面的稳定性。
Self-similar blowup for mass supercritical Schrödinger equations
本文研究三维质量超临界聚焦非线性薛定谔方程，证明幂次接近三次时存在自相似解，并推广三次情形结论，表明自相似爆破在方程扰动下保持稳定。
Co-dimension one stable blowup for the supercritical cubic wave equation
对于聚焦三次波方程，我们找到了一个显式的、非平凡的自相似爆破解$u^*_T$，该解定义在整个空间上并且存在于所有超临界维度$d \geq 5$中。对于$d=7$，我们在没有任何对称性假设的情况下分析了它的稳定性，并证明了在后向光锥中通过$u^*_T$导致爆破的一组扰动的存在性。此外，这个集合对应于一个余维1 Lipschitz流形模平移对称相似坐标。
Hyperboloidal similarity coordinates and a globally stable blowup profile for supercritical wave maps
本文考虑从（1+3）维Minkowski空间到三维球面的共旋波映射。该模型具有显式的爆破解，我们证明了该解在整个空间的小扰动下的渐近非线性稳定性。关键的成分是引入了一个新的坐标系，使人们能够跟踪过去的爆破时间，几乎到柯西视界的奇点的演变。作为结果，我们还得到了关于爆破后连续性的一个结果。
A globally stable self-similar blowup profile in energy supercritical Yang-Mills theory
本文研究奇数维等变杨-米尔斯理论中能量超临界非线性波动方程的自相似爆破剖面，利用双曲相似坐标和自由波增长估计证明其全局非线性稳定性。
Stable self-similar blowup in energy supercritical Yang-Mills theory
考虑了$(1+5)$ -维杨-米尔斯理论中能量超临界非线性波动方程的柯西问题.该模型的一个自相似解$W_0$被证明可以作为一般大数据演化的吸引子。假设$W_0$的模式稳定性，我们证明了这个猜想的一个弱版本，即自相似解$W_0$是（非线性）稳定的。换句话说，我们证明了$W_0$的模式稳定性意味着它的非线性稳定性。事实上，这种说法并不是空洞的，这是由Bizoirs和Chmaj仔细的数值工作得出的，他们的工作证实了$W_0$的模式稳定性，没有合理的怀疑。
Stable blowup for the supercritical hyperbolic Yang-Mills equations
我们考虑$(1+d)$维Minkowski时空中的Yang-Mills方程。已知在超临界情况下，即，对于$d \geq 5$，这些方程允许封闭形式的等变自相似爆破解\cite{BieBiz15}。这些解决方案进一步证明是通用的大等变数据演化的普遍吸引子。本文部分证明了这一猜想。也就是说，我们表明，所有奇数$d \geq 5$的爆破机制表现出这些解决方案是稳定的。
Stable blowup for the supercritical Yang-Mills heat flow
本文研究了$\mathbb{R}^5 \times SO(5)$上Yang-Mills联络的热流。在$SO(5)-$等变条件下，Yang-Mills热方程化为一个半线性反应扩散方程，Weinkove \cite{Wei04}发现了该方程的显式自相似爆破解.我们证明了该解在小扰动下的非线性渐近稳定性。特别地，我们证明了在一个合适的拓扑结构中存在一个初始条件的开集，使得相应的解在有限时间内爆破并收敛到一个无界区域上的非平凡自相似爆破轮廓。收敛性得到适当的Sobolev规范和$L^{\infty}$。
Self-similar blowup from arbitrary data for supercritical wave maps with additive noise
该研究针对d≥3维能量超临界的随机扰动波映射，证明共旋非退化高斯加性噪声可使任意共旋初始数据以正概率产生自相似爆破，弥补了无噪声情形下大数据对应结论仅为猜想的空白。
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
Globally stable blowup profile for supercritical wave maps in all dimensions
研究超临界波映射的共旋自相似爆破解，通过基于全空间相似变量的新方法证明其在所有维度下整体非线性稳定，验证了相关爆破行为猜想。
On blowup for the supercritical quadratic wave equation
该文研究$d\geq7$维能量超临界聚焦二次波动方程的奇异性形成，找到新的径向自相似爆破解，分析其稳定性及ODE爆破解的非径向稳定性，还首次建立相似坐标下波动方程的正则性保持性。
Threshold for blowup for the supercritical cubic wave equation
我们考虑能量超临界情况下的聚焦立方波方程，即，尺寸为$d \geq 5$。对于这个模型的显式非平凡的自相似爆破解决方案最近发现的第一和第三作者在\cite{GlogicSchoerkhuber}。进一步证明了该解在$d=7$中是余维1稳定的.在本文中，我们从数值的角度研究方程。对于$d=5$和$d=7$在径向的情况下，我们提供的证据表明，这种解决方案是在通用的ODE爆破和分散之间的阈值。此外，我们调查的频谱问题，基础的稳定性分析和计算的频谱一般超临界尺寸。
Dynamics at the threshold for blowup for supercritical wave equations outside a ball
考虑球外球对称超临界聚焦波方程。使用混合分析和数值方法，我们表明，爆破的阈值是由一个余维一稳定的唯一的静态解决方案，正好有一个不稳定的方向的流形。我们详细分析了收敛到这个关键的解决方案的初始数据微调到阈值。
On Strichartz estimates and optimal blowup stability of supercritical wave equations
本文在相似变量下为径向波动方程建立含空间导数的Strichartz估计，覆盖所有维数及阈值以下正则性，并由此统一推导能量超临界非线性波动方程的最优爆破稳定性，以五次方程为例验证。
Blowup behavior of strongly perturbed wave equations
研究了一类具有聚焦超临界幂非线性项的强扰动波动方程在三维空间中的爆破行为。我们证明了未扰动方程的常微分方程爆破轮廓仍然描述了稳定爆破的渐近性。因此，稳定的ODE型爆破被认为是一个普遍的现象，存在于一个大类的半线性波动方程。
Finite-time blowup in a supercritical quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system in dimension 2
本文证明了具有任意正质量的拟线性抛物-抛物二维Keller-Segel方程组的径向对称解的有限时间爆破。这是在非线性扩散的情况下进行的，并且也在非线性交叉扩散的情况下进行，前提是假设非线性化学敏感性项不衰减。此外，它表明，上述缺乏非衰减假设是必不可少的关于保持二分法有限时间爆破对有界的解决方案。也就是说，我们证明，没有非衰减假设可能的渐近行为的解决方案也包括无限时间爆破。
Stable blowup for supercritical wave maps into perturbed spheres
本文研究了从$(1+d)$维Minkowski空间到球面$\mathbb S^d$小扰动流形的超临界波映射，证明了共旋自相似有限时间爆破解的存在性及其在适当小共旋扰动下的非线性渐近稳定性。
Construction of a spectrally stable self-similar blowup solution to the supercritical corotational harmonic map heat flow
证明了从$\mathbb R^3$到三球面的共转调和映射的热流的（谱）稳定的自相似爆破解$f_0$的存在性。特别地，我们的结果验证了作者提出的谱隙猜想，并为证明$f_0$的非线性稳定性奠定了基础.在我们的分析的核心在于一个新的单调自相似解$f_0$的存在性结果。虽然这种解决方案已经被构造之前，我们的方法揭示了大量的定量性质的$f_0$，导致稳定的结果。其中一个关键因素是使用了区间运算：一种严格的计算机辅助函数估计方法。这是很容易验证我们的结果，强大的数值，但本文的目的是提供数学上严格的证明。
Stable type II blowup for the 7 dimensional 1-corotational energy supercritical harmonic map heat flow
在1-共转对称性的附加假设下，我们考虑了从$\mathbb{R}^d$到$\mathbb{S}^d$的能量-超临界调和映射热流。我们感兴趣的是7维的情况下，这是之间的边界I型爆破制度。对于这个问题，我们构造了一个稳定的有限时间爆破解决方案的条件下的共旋对称，通过浓度的普遍配置文件$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$，其中$Q$是固定的解决方案的方程和速度是由速率$$λ(t) \sim \frac{\sqrt{(T-t)}}{|\log(T-t)|},$$，这对应于Biernat预测的速度。
Future stability of large-data wave maps in energy-supercritical dimensions
本文研究了能量超临界维度中大数据波映射的未来稳定性，证明了自相似解的非线性渐进行为稳定性，并发现初始数据开集产生衰减较慢的波映射。
On blowup solutions to the focusing $L^2$-supercritical nonlinear fractional Schrödinger equation
研究了聚焦型$L^2$ -超临界非线性分数阶薛定谔方程\[ i\partial_t u -(-Δ)^s u = -|u|^αu, \quad u(0) = u_0, \quad \text{on } [0,\infty) \times \mathbb{R}^d, \]爆破解的动力学性质，其中$d \geq 2, \frac{d}{2d-1} \leq s <1$，$\frac{4s}{d}<α<\frac{4s}{d-2s}$和$u_0 \in \dot{H}^{s_{\text{c}}} \cap \dot{H}^s$是径向的，临界Sobolev指数为$s_{\text{c}}$ .为此，我们利用$\dot{H}^{s_{\text{c}}} \cap \dot{H}^s$中有界序列的剖面分解，建立了与方程相关的一个紧性引理。得到了具有有界$\dot{H}^{s_{\text{c}}}$-范数的爆破解的$\dot{H}^{s_{\text{c}}}$ -集中度和具有临界$\dot{H}^{s_{\text{c}}}$ -范数的爆破解的极限轮廓.
Stable blowup for focusing semilinear wave equations in all dimensions
本文研究聚焦半线性波动方程的爆破现象，首次在所有空间维度和所有超线性幂次下，证明ODE爆破机制在无径向对称限制时的非线性渐近稳定性，覆盖整个能量超临界范围。
On blowup of co-rotational wave maps in odd space dimensions
考虑从$(1+d)$维Minkowski空间到$(1+d)$球的共旋波映射，其中$d\geq 3$为$d\geq 3$奇数.这是一个能量超临界模型，已知它通过自相似解表现出有限时间爆破。基于第二作者和Schörkhuber提出的方法，我们证明了“基态”自相似解的渐近非线性稳定性.
Supercritical blowup in coupled parity-time-symmetric nonlinear Schrödinger equations
证明了两个耦合的非线性薛定谔（NLS）方程的宇称时间对称系统的有限时间超临界爆破。其中一个方程包含增益，另一个方程包含耗散，使得增益和耗散的强度相等。我们处理两种情况：在第一种模型中，所有非线性系数（即描述自作用和非线性耦合的系数）对应于吸引（聚焦）非线性，在第二种情况下，具有增益的NLS方程具有吸引非线性，而具有耗散的NLS方程具有排斥（散焦）非线性，非线性耦合也是排斥的。证明是基于维里技术参数。几个特殊的情况下，也说明了数字。
Stable blowup for wave equations in odd space dimensions
考虑奇维空间中具有聚焦幂非线性项的半线性波动方程$d \geq 5$ .证明了对于每个$p > \frac{d+3}{d-1}$，在$H^{\frac{d+1}{2}} \times H^{\frac{d-1}{2}}$中存在一个径向初始数据的开集，使得相应的解存在于一个后向光锥中并逼近常微分方程的爆破轮廓.结果涵盖了整个范围内的能量超临界非线性和扩展我们以前的工作，三维径向波方程到更高的空间维度。
The defocusing energy-supercritical nonlinear wave equation in three space dimensions
本文考虑能量超临界区p>4的散焦非线性波动方程$u_{tt}-Δu + |u|^p u=0$。对于偶数值的功率p，我们表明，爆破（或未能分散）必须伴随着爆破的关键Sobolev规范。一个等价的公式是，具有有界临界Sobolev范数的解是整体的和分散的。考虑这个问题的动力来自最近的工作凯尼格和梅尔谁治疗的情况下球对称的解决方案。
On stable self-similar blowup for corotational wave maps and equivariant Yang-Mills connections
针对所有能量超临界维度下的共旋波映射与等变杨-米尔斯方程，证明其显式自相似有限时间爆破解在趋近奇点未来光锥区域的非线性渐近稳定性，并发展适配相似坐标下的泛函分析框架以演化解附近的稳定波流。
Blowup stability of wave maps without symmetry
本文研究了无对称性条件下波映射的爆破稳定性，证明了自相似解在小扰动下的渐近稳定性。
Energy conservation and blowup of solutions for focusing Gross-Pitaevskii hierarchies
我们认为解决方案的重点三次和五次Gross-Pitaevskii（GP）的层次。我们确定了一个可观察到的对应于每个粒子的平均能量，我们证明了它是一个守恒量。证明了当初始条件下每个粒子的能量为负时，在$L^2$ -临界或$L^2$ -超临界水平上聚焦GP族的所有解在有限时间内爆破.我们的结果不假设任何分解的初始数据。
The radial defocusing energy-supercritical nonlinear wave equation in all space dimensions
我们考虑散焦非线性波动方程$u_{tt}-Δu + |u|^p u=0$与球对称的初始数据在政权$\frac4{d-2}<p<\frac4{d-3}$（这是能量超临界）和尺寸$3\leq d\leq 6$，我们也考虑$d\geq 7$，但对于一个较小的范围$p>\frac4{d-2}$。主要的结果是，爆破（或未能分散）必须伴随着爆破的关键Sobolev规范。一个等价的公式是，具有界临界Sobolev范数的最大寿命解是全局的和分散的。
The unconditional uniqueness for the energy-supercritical NLS
本文研究了$\mathbb{R}^{d}$和$\mathbb{T}^{d}$能量超临界下的三次和五次非线性薛定谔方程。通过一个新的统一格式，我们证明了非线性最小二乘问题的解在临界正则性下的无条件唯一性。因此，与[18，19]一起，$H^{1}$ -临界和$H^{1}$ -超临界三次和五次NLS的无条件唯一性问题在这些区域的临界正则性处完全且一致地解决。我们的定理的一个应用是证明了在这些区域中存在[54]中类型的散焦爆破解是唯一可能的$C([0,T);\dot{H}^{s_{c}})$解。
Mode stability for self-similar blowup of slightly supercritical NLS: II. high-energy spectrum
本文利用线性Liouville论证证明了略超临界NLS在1至10维下的高能模态稳定性，完成了自相似爆破的渐近稳定性证明，并刻画了质量临界基态附近的线性化算子谱。
On stability of self-similar blowup for mass supercritical NLS
本文证明了质量超临界 NLS 中一大类自相似爆破剖面的有限余维非线性渐近稳定性，核心是通过推导变形拉普拉斯算子的 Strichartz 色散估计来实现。
On the stability of type II blowup for the 1-corotational energy supercritical harmonic heat flow
本文考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界谐波热流.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性热方程$$\partial_t u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; 2\ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：由于Merle，Raphaël和Rodnianski开发的鲁棒通用能量方法和调制技术，将问题减少到有限维[Camb. Jour. Math，3（4）：439-617，2015]对于能量超临界非线性薛定谔方程和Raphaël和Schweyer [Anal. PDE，7（8）：1713-1805，2014]，然后我们通过矛盾来解决有限维问题，并使用Brouwer不动点定理得出…
On the existence and stability of blowup for wave maps into a negatively curved target
考虑$(1+d)$维Minkowski空间上的波映射.对于每一个维度$d\geq 8$，我们构建一个负弯曲，$d$维目标流形，允许存在一个自相似波映射，提供了一个稳定的爆破机制，相应的柯西问题。
Threshold for blowup for equivariant wave maps in higher dimensions
我们考虑超临界维数$3\leq d\leq 6$中从$\mathbb{R}^{d+1}$到$\mathbb{S}^d$的等变波映射.利用混合数值和分析方法，我们证明了爆破的阈值是由余维一稳定流形的自相似解的一个不稳定。
Construction of type II blowup solutions for the 1-corotational energy supercritical wave maps
考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界波映射.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性波动方程$$\partial_t^2 u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化速率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; \ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：利用Merle，Raphaël和Rodnianski提出的能量超临界非线性Schr dinger方程的鲁棒泛能量方法和调制技术，将问题化为有限维问题，然后利用Brouwer不动点定理，通过矛盾法求解有限维问题.
Optimal blowup stability for three-dimensional wave maps
本文研究(1+3)维Minkowski空间到三维球面的同旋转波映射，通过在相似坐标下证明带势径向波方程的Strichartz估计，确立了显式自相似波映射在分数阶临界Sobolev空间微扰下的渐近稳定性。
Mode stability for self-similar blowup of slightly supercritical NLS: I. low-energy spectrum
本文研究了略质量超临界 NLS 自相似爆破的渐近稳定性，将其归结为矩阵线性化算子的模态稳定性，并利用 Jost 函数论证、WKB 分析和匹配渐近方法证明了低能谱的模态稳定性。
Blowup for fractional NLS
我们考虑具有聚焦功率型非线性$$i \partial_t u = (-Δ)^s u - |u|^{2 σ} u, \quad (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N,$$的分数阶NLS，其中$1/2< s < 1$和$0 < σ< \infty$用于$s \geq N/2$，$0 < σ\leq 2s/(N-2s)$用于$s < N/2$。我们证明了在$\mathbb{R}^N$与$N \geq 2$的$L^2$ -超临界和$L^2$ -临界功率$σ\geq 2s/N$的径向解爆破的一般准则。此外，我们研究了分数NLS的情况下提出的有界星形域$Ω\subset \mathbb{R}^N$在任何尺寸$N \geq 1$和外部Dirichlet条件。在这种情况下，我们证明了一个一般的爆破结果，而不施加任何对称性假设$u(t,x)$。对于$\mathbb{R}^N$中的爆破证明，我们利用半群理论中关于分数Laplacian $(-Δ)^s$的Balakrishnan公式，得到了$\mathbb{R}^N$中分数NLS的局部维里估计.在有界域的情况下，我们使用分数拉普拉斯算子的Pohozaev型估计来证明爆破。
Universal Upper Bound on The Blowup Rate of Nonlinear Schrödinger Equation with Rotation
本文在加权索伯列夫空间中，假设初始数据是径向对称的，证明了在囚禁调和势作用下具有角动量的聚焦非线性薛定谔方程爆破速率的一个普适上界.非线性处于质量超临界和能量亚临界状态。还进行了数值模拟。
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
Blowup for Biharmonic NLS
我们考虑双调和函数的Cauchy问题（即，e.~四阶）NLS，其具有由针对$(t,x) \in [0,T) \times \mathbb{R}^d$的$i \partial_t u = Δ^2 u - μΔu -|u|^{2 σ} u$给出的聚焦非线性，其中针对$d \leq 4$的$0 < σ<\infty$和针对$d \geq 5$的$0 < σ\leq 4/(d-4)$;以及$μ\in \mathbb{R}$是包括可能的低阶色散的某个参数。在质量超临界情形$σ> 4/d$中，我们证明了任意维$d \geq 2$中径向数据在$H^2(\mathbb{R}^d)$中有限时间爆破的一般结果。此外，我们得到了一个普遍的上限爆破率为合适的$4/d < σ< 4/(d-4)$。在质量临界情形$σ=4/d$中，我们证明了$H^2(\mathbb{R}^d)$中径向数据在有限或无限时间内的一般爆破结果。作为一个关键因素，我们利用时间演化的非负量，我们称之为（本地化）Riesz双方差双调和NLS。这种构造为我们提供了经典NLS问题中使用的方差的合适替代品。此外，我们还证明了双调和非线性最小二乘系统基态的径向对称性，这对相关的椭圆问题可能有一定的参考价值。
Finite time blowup for a supercritical defocusing nonlinear Schrödinger system
本文考虑Galilean时空${\bf R} \times {\bf R}^d$上的散焦非线性薛定谔系统$$ i \partial_t + Δu = (\nabla_{{\bf R}^m} F)(u) + G $$的整体正则性问题，其中场$u\colon {\bf R}^{1+d} \to {\bf C}^m$是向量值场，$F\colon {\bf C}^m \to {\bf R}$是一个光滑势，它是正的，相位旋转不变的，并且对于某个指数$p >1$，在单位球外是$p+1$阶齐次的，$G: {\bf R} \times {\bf R}^d \to {\bf C}^m$是一个光滑的紧支撑强迫项.推广了标量散焦非线性薛定谔（NLS）方程，其中$m=1$和$F(v) = \frac{1}{p+1} |v|^{p+1}$ .本文研究了$d \geq 3$和$p > 1 + \frac{4}{d-2}$的超临界情况。我们表明，在这种情况下，存在一个光滑的潜在$F$为一些足够大的$m$，积极和均匀的顺序$p+1$以外的单位球，和一个光滑的companitary选择的初始数据$u(0)$和强制项$G$的解决方案开发一个有限的时间奇异性。事实上，该解是局部离散自相似的关于抛物重新标度的时空。这表明，人们不能希望建立一个整体的正则性结果的标量散焦NLS，除非使用一些特殊的性质，该方程是不共享这些散焦…
Finite time blowup for a supercritical defocusing nonlinear wave system
本文考虑具有d'Alambertian $\Box := -\partial_t^2 + \sum_{i=1}^d \partial_{x_i}^2$的Minkowski时空${\bf R}^{1+d}$上的散焦非线性波系统$$ \Box u = (\nabla_{{\bf R}^m} F)(u) $$的整体正则性问题，其中场$u: {\bf R}^{1+d} \to {\bf R}^m$是向量值的，$F: {\bf R}^m \to {\bf R}$是单位球外的正的齐次$p+1$阶的光滑势.推广了标量散焦非线性波动方程，其中$m=1$和$F(v) = \frac{1}{p+1} |v|^{p+1}$ .众所周知，在能量次临界和能量临界情形下，当$d \leq 2$或$d \geq 3$和$p \leq 1+\frac{4}{d-2}$，从任意光滑初始数据$u(0), \partial_t u(0)$出发，具有光滑解的整体存在性（至少对于维数$d \leq 7$）.在本文中，我们研究了超临界情况下，$d = 3$和$p > 5$。我们表明，在这种情况下，存在一些足够大的$m$（事实上，我们可以采取$m=40$），积极和均匀的顺序$p+1$外的单位球，并顺利选择初始数据$u(0), \partial_t u(0)$的解决方案开发一个有限的时间奇异性的光滑的潜在$F$。事实上，该解在向…
Blowup and Scattering problems for the Nonlinear Schrödinger equations
我们考虑$L^{2}$-超临界和$H^{1}$-亚临界聚焦非线性薛定谔方程。我们为$d\ge 1$引入了$H^{1}(\mathbb{R}^{d})$的一个子集$PW$，并研究了初始数据在这个集合中的解的行为.为此，我们将$PW$分为两个不相交的组件$PW_{+}$和$PW_{-}$。然后，证明了从$PW_{+}$中的一个数据点出发的解是渐近自由的，从$PW_{-}$中的一个数据点出发的解是爆破的或增长的，由此我们发现基态有两个不稳定的方向.我们还研究了一般的整体解和爆破解的一些性质。
Generic self-similar blowup for equivariant wave maps and Yang-Mills fields in higher dimensions
我们考虑从$(d+1)$维Minkowski时空到$d\geq 4$的$d$球的等变波映射.我们找到了一个新的显式稳定的自相似解，并给出了数值证据，它起着通用爆破的普遍吸引子的作用。对$d\geq 6$的$SO(d)$对称杨-米尔斯场也得到了类似的结果。
Existence and stability of discretely self-similar blowup for a wave maps type equation
本文研究了波映射类型方程中离散自相似爆破的存在性与稳定性，通过非线性稳定性分析和谱分析，证明了在所有维度中该类解的稳定性。
On the stability of self-similar solutions to nonlinear wave equations
考虑了能量超临界Yang-Mills方程的显式自相似解，并证明了其模式稳定性。基于作者之一的早期工作，我们得到了自相似爆破剖面的非线性稳定性的充分严格的证明。这是一个超临界波动方程的大数据结果。我们的方法是广泛适用的，并提供了一个通用的方法来解决非线性波动方程的自相似解的稳定性问题。
Scattering and blowup for $L^{2}$-supercritical and $\dot{H}^{2}$-subcritical biharmonic NLS with potentials
我们主要考虑具有大径向排斥势$V(x)$的聚焦双调和薛定谔方程：\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} iu_{t}+(Δ^2+V)u-|u|^{p-1}u=0,\;\;(t,x) \in {\bf{R}\times{\bf{R}}^{N}}, u(0, x)=u_{0}(x)\in H^{2}({\bf{R}}^{N}), \end{aligned}\right. \end{equation*}如果是$N>8$，\$1+\frac{8}{N}<p<1+\frac{8}{N-4}$（即$L^{2}$-超临界和$\dot{H}^{2}$-亚临界情况），以及某些$β>N+4$的$\langle x\rangle^β\big(|V(x)|+|\nabla V(x)|\big)\in L^\infty$，然后我们首先证明了径向数据$u_0\in H^2({\bf R}^N)$的一个全局适定性和散射结果，它满足$$ M(u_0)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(u_0)<M(Q)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E_{0}(Q) \ \ {\rm{and}}\ \ \|u_{0}\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{L^{2}}\|H^{\frac{1}{2}} u_{0}\|_{L^{2}}<\|Q\|^{\frac{2…
Global regularity of wave maps VI. Abstract theory of minimal-energy blowup solutions
在本系列的前几篇文章中，关于二维Minkowski空间$\R^{1+2}$到双曲空间$\H^m$的波映射的整体正则性猜想被归结为在该猜想失败的情况下构造几乎周期模对称的最小能量爆破解的问题。在本文中，我们表明，这个问题可以进一步减少，显示的解决方案，在临界能量，无论是频率离域，空间分散，或空间离域有界的“熵”。后面的这些事实将在本系列的最后一篇论文中得到证明。
Collapsing-ring blowup solutions for the Keller-Segel system in three dimensions and higher
我们考虑抛物椭圆Keller-Segel系统在三维和更高的，相应的质量超临界的情况下。我们严格地构造了一个解，它在有限时间内爆炸，因为它的质量集中在一个收缩到一个点的环附近。特别是，奇点是II型，非自相似。我们证明了球对称解之间的动力学的稳定性。在重整化变量中，解类似于一个在原点坍缩的行波，据我们所知，这是演化偏微分方程中第一个关于这种现象的稳定性结果。我们开发了一个框架来处理两个爆破区之间的相互作用，有助于该机制：一个薄的内部区域周围的环的粘性效应发生，和一个外部区域的演变主要是无粘性的。
Asymptotic stability of harmonic maps under the Schrödinger flow
对于从$\R^2\times\R^+$到2-球面$§^2$的薛定谔映射，不知道有限能量解是否能在有限时间内形成奇点（"爆破“）。我们考虑能量接近于两参数等变调和映射族能量的等变解。我们证明了，如果映射的拓扑度至少是4，blowup { \it不}发生，和全球解决方案收敛（在分散的意义上-即分散）到一个固定的调和映射的时间趋于无穷大。证明使用，除其他事项外，一个时间依赖分裂的解决方案，“广义Hasimoto变换”，并对某一两个空间维线性薛定谔方程，其潜在的临界功率空间奇异性和衰减的Schr hartz（色散）估计。在此过程中，我们建立了一个能量空间局部适定性结果，其存在时间由附近调和映射的长度尺度决定。
On collapse of wave maps
我们得到了从2+1 Minkowski时空到2-球面的1次等变波映射（sigma模型的解）的普适坍缩律。为此，我们引入了一个非线性变换从原始变量爆破。我们的正式推导证实了数值模拟。
Co-dimension one stable blowup for the quadratic wave equation beyond the light cone
研究了最低能量超临界维数$d = 7$中二次波动方程显式已知的非平凡自相似爆破解的稳定性。这个解在一个点处爆炸，并自然地从奇点向外延伸。通过使用双曲相似坐标，我们证明了条件的非线性渐近稳定性的小，紧支撑的径向扰动下的时空区域，可以任意接近的柯西视界的奇异性。为了实现这一点，我们严格解决基本的谱问题，并表明该解决方案只有一个真正的不稳定性。解的不稳定性要求在$t = 0$上仔细构造适当调整的初始数据，当传播到一族具有恒定双曲时间的类空超曲面时，需要采取所需的形式来保证收敛。由此，我们引入了一种新的正则方法，在双曲相似坐标的框架下研究非线性波动方程的不稳定自相似解。
Supercritical equivariant biharmonic maps from $\mathbf{R}^5$ into $S^5$
研究了超临界$O(d)$ -等变双调和映射，重点研究了$d = 5$，其中$d$是整环的维数.给出了从$\mathbf{R}^5$到$S^5$的非平凡等变双调和映射作为伴随动力系统的异宿轨道的特征.此外，我们证明了这种非平凡的等变双调和映射的存在性。最后，在鲜明的对比调和映射模拟，我们证明了存在一个等变双调和映射从$B^5(0, 1)$到$S^5$，周围的$S^5$无限次。
Minimizing fractional harmonic maps on the real line in the supercritical regime
本文讨论了从区间到光滑流形的$s\in(0,1/2)$阶分数调和映射极小化的正则性问题。对一般目标建立了远离局部有限集的Hölder连续性。如果目标是标准球体，那么Hölder连续性处处成立。
Global-in-space stability of singularity formation for Yang-Mills fields in higher dimensions
本文研究(1+d)维Minkowski空间中Yang-Mills方程在d≥5能量超临界情形下，显式等变自相似爆破解在小等变扰动下的非线性空间全局渐近稳定性，补充了奇数维并首次给出了偶数维的稳定性结果。
Energy identity for stationary biharmonic mappings into spheres in supercritical dimensions
本文在超临界维数n≥5中，通过改进Lin-Rivière的方法，建立了驻定双调和映射到球面的能量恒等式。
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